Logik und Diskrete Strukturen Hausübungen 3

Hertrampf/Walter
Wintersemester 2012/13
Logik und Diskrete Strukturen
Hausübungen 3
Abgabe: bis Donnerstag, 15. November um 13:10 bei den Abgabekästen im 1. Stock
1. DNF und KNF aus Wahrheitstafeln (leicht)
(4 Punkte)
Gegeben sei die folgende Wahrheitstafel für F und G. Konstruieren Sie mit Hilfe des Verfahrens aus der Vorlesung äquivalente Formeln zu F bzw. G in DNF und KNF.
A
0
0
0
0
1
1
1
1
B C
0 0
0 1
1 0
1 1
0 0
0 1
1 0
1 1
F G
1 0
0 1
0 0
1 1
1 0
1 1
0 1
1 1
Vergleichen Sie die Größe der entstehenden Formeln mit der Größe der Formeln aus der
Shannon-Zerlegung. Welche Darstellung ist im Allgemeinen länger?
2. Gültigkeit einer Formel in DNF (leicht)
Gegeben sei die folgende Formel
(5 Punkte)
F = (¬B ∧ C ∧ D) ∨ (A ∧ ¬D) ∨ ¬A ∨ (B ∧ D ∧ ¬E) ∨ (C ∧ D ∧ E) ∨ (A ∧ ¬C ∧ D).
Zeigen Sie, dass F gültig ist. Ihr Beweis muss ohne Wahrheitstafel auskommen.
3. Endlichkeitssatz (mittel–schwer)
Sei M = {F1 , F2 , . . .} eine unendliche Menge von Formeln.
(5 Punkte)
a) Seien die Mengen Kn = {F1 , . . . , Fn } für unendlich viele n ∈ N erfüllbar. Für welche
m ∈ N ist dann die Menge Lm = {Fmk | k ∈ N} erfüllbar?
b) Sind für alle n ∈ N die Mengen Kn = {Fn2 , . . . , Fn2 +2n } erfüllbar, ist dann auch M
erfüllbar?
Beweisen Sie Ihre Antworten!
4. Hornformeln (mittel)
(4 Punkte)
a) Sei F eine Hornformel und A1 , A2 zwei Modelle für F . Wir definieren eine neue Belegung A1 ∩ A2 vermöge
(A1 ∩ A2 )(Ai ) = min(A1 (Ai ), A2 (Ai )).
Zeigen Sie, dass A1 ∩ A2 ein Modell für F ist.
b) Zeigen Sie mit a), dass die Formel F = A → (B ∨ C) keine Hornformel ist.
Hertrampf/Walter
Wintersemester 2012/13
Logik und Diskrete Strukturen
Votierübungen 3
Besprechung: In den Kalenderwochen 47 und 48.
1. Komplizierte Beziehungen
Durch langwierige Beobachtungen des Teilnehmerverhaltens ihrer Übung hat eine Tutorin
Folgendes herausgefunden:
• Wenn Erik kommt, aber Frieder nicht, dann bleibt auch David zu Hause.
• Schafft es Lars nur bis zur Cafeteria, dann bleibt auch Benedikt dort hängen.
• Oli steht grundsätzlich nicht vor Mittag auf.
• Erik ist der Ex- und Kai der neue Freund von Christiane, d. h. wenn Christiane mit
Kai kommt, dann auch (der offenbar immernoch eifersüchtige) Erik.
• Wenn Georg da ist, fehlt Benedikt nie.
• Nico kommt immer zur Übung, außer die S-Bahn bleibt im Tunnel stecken. Dann darf
man aber auch mit Michael nicht rechnen.
• Lars will auf keinen Fall mit Ingo in einem Raum sein. (Man munkelt, ein ausgeliehener
und nicht wieder zurückgegebener USB-Stick sei der Grund für das Zerwürfnis.)
• Sind Nico und Michael an der Uni, dann kommt Kai auch immer, um die Hausaufgaben
von ihnen abzuschreiben.
• Immer wenn Andreas da ist und David nicht, dann fehlt Horst.
• Kommt Johannes, so bringt er auch Ingo mit.
• Ist Erik da, aber Horst nicht, dann fehlt Christiane oder Nico.
• Ist Erik anwesend, dann kommt Georg oder Kai fehlt.
• Schaffen Frieder und Benedikt es ausnahmsweise gleichzeitig an die Uni, dann ist auch
Johannes da.
• Wenn Nico da ist, dann fehlt aus einem unbekannten Grund Christiane nie.
Kurz vor 11:30 Uhr sieht die Tutorin Andreas schon im Übungsraum sitzen.
Formalisieren Sie diese Aussagen. Verwenden Sie den Erfüllbarkeitstest für Hornformeln um
herauszufinden, ob Michael heute in die Übung kommt.
2. Hornformeln
Gegeben seien die folgenden Hornformeln:
a) F = (A ∨ ¬B) ∧ (¬A ∨ ¬B ∨ ¬C) ∧ B ∧ (¬B ∨ C)
b) G = (¬A ∨ ¬D ∨ B) ∧ D ∧ ¬B ∧ E ∧ (¬D ∨ ¬E ∨ C)
Führen Sie den Markierungsalgorithmus für jede der Hornformeln durch. Welche der Formeln
sind erfüllbar? Geben Sie für jede erfüllbare Formel eine erfüllende Belegung an.
3. Resolution
Die Formel F sei als Klauselmenge wie folgt gegeben:
F = {¬C, ¬A}, {¬A, B, C}, {A, B}, {¬B} .
Berechnen Sie die Resolutionshülle von F . Ist F unerfüllbar, erfüllbar oder gültig?