Logik und Diskrete Strukturen

Hertrampf/Weiÿ
Wintersemester 2013/14
Logik und Diskrete Strukturen
Aufgabenblatt 3
Abgabe: Bis Mo 18.11. 14:00 in den Abgabekästen im Mittelgang des 1. Stocks.
Besprechung: In den Kalenderwochen 47 und 48.
Schreiben Sie Ihren Namen, die Übungsgruppe und den Tutor leserlich auf Ihre Abgabe. Tackern
Sie Ihre Abgabe links oben, falls Sie mehrere Blätter abgeben. Werfen Sie die Abgabe in den
korrekten Abgabekasten im Mittelgang des 1. Stocks.
1.
Hornformeln (schriftlich)
(5
Gegeben seien die folgenden Hornformeln:
Punkte )
a) F = (A ∨ ¬B) ∧ (¬A ∨ ¬B ∨ ¬C) ∧ B ∧ (¬B ∨ C)
b) G = (¬A ∨ ¬D ∨ B) ∧ D ∧ ¬B ∧ E ∧ (¬D ∨ ¬E ∨ C)
Führen Sie den Markierungsalgorithmus für jede der Hornformeln durch. Welche der Formeln
sind erfüllbar? Geben Sie für jede erfüllbare Formel eine erfüllende Belegung an.
2.
Hornformeln II (schriftlich)
(5
Punkte )
Sei F eine Hornformel und A1 , A2 zwei Modelle für F . Wir denieren eine neue Belegung
A1 ∩ A2 vermöge
(
1 falls A1 (Ai ) = A2 (Ai ) = 1,
(A1 ∩ A2 )(Ai ) = min(A1 (Ai ), A2 (Ai )) =
0 sonst.
Zeigen Sie, dass A1 ∩ A2 ein Modell für F ist.
3.
DNF und KNF aus Wahrheitstafeln (Votieraufgabe)
Gegeben sei die folgende Wahrheitstafel für F und G. Konstruieren Sie mit Hilfe des Verfahrens aus der Vorlesung äquivalente Formeln zu F bzw. G in DNF und KNF.
A
0
0
0
0
1
1
1
1
B C
0 0
0 1
1 0
1 1
0 0
0 1
1 0
1 1
F G
0 1
0 1
0 0
1 1
1 0
1 1
0 1
1 1
Vergleichen Sie die Gröÿe der entstehenden Formeln mit der Gröÿe der Formeln aus der
Shannon-Zerlegung (siehe Blatt 2). Welche Darstellung ist im Allgemeinen länger?
4.
Komplizierte Beziehungen (Votieraufgabe)
Durch langwierige Beobachtungen des Teilnehmerverhaltens ihrer Übung hat eine Tutorin
Folgendes herausgefunden:
• Wenn Erik kommt, aber Frieder nicht, dann bleibt auch David zu Hause.
• Schat es Lars nur bis zur Cafeteria, dann bleibt auch Benedikt dort hängen.
• Oli steht grundsätzlich nicht vor Mittag auf.
• Erik ist der Ex- und Kai der neue Freund von Christiane, d. h. wenn Christiane mit
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Kai kommt, dann auch (der oenbar immer noch eifersüchtige) Erik.
Wenn Georg da ist, fehlt Benedikt nie.
Nico kommt immer zur Übung, auÿer die S-Bahn bleibt im Tunnel stecken. Dann darf
man aber auch mit Michael nicht rechnen.
Lars will auf keinen Fall mit Ingo in einem Raum sein. (Man munkelt, ein ausgeliehener
und nicht wieder zurückgegebener USB-Stick sei der Grund für das Zerwürfnis.)
Sind Nico und Michael an der Uni, dann kommt Kai auch immer, um die Hausaufgaben
von ihnen abzuschreiben.
Immer wenn Andreas da ist und David nicht, dann fehlt Horst.
Kommt Johannes, so bringt er auch Ingo mit.
Ist Erik da, aber Horst nicht, dann fehlt Christiane oder Nico.
Ist Erik anwesend, dann kommt Georg oder Kai fehlt.
Schaen Frieder und Benedikt es ausnahmsweise gleichzeitig an die Uni, dann ist auch
Johannes da.
Wenn Nico da ist, dann fehlt aus einem unbekannten Grund Christiane nie.
Kurz vor 11:30 Uhr sieht die Tutorin Andreas schon im Übungsraum sitzen.
Formalisieren Sie diese Aussagen. Verwenden Sie den Erfüllbarkeitstest für Hornformeln um
herauszunden, ob Michael heute in die Übung kommt.
5.
6.
Endlichkeitssatz (schriftlich)
(5
Punkte )
Sei M = {F1 , F2 , . . .} eine unendliche Menge von Formeln. Seien die Mengen Kn =
{F1 , . . . , Fn } für unendlich viele n ∈ N erfüllbar. Für welche m ∈ N ist dann die Menge
Lm = {Fk | k ≥ m} erfüllbar? Beweisen Sie Ihre Antwort!
Endlichkeitssatz II (Votieraufgabe)
a) Gibt es eine unendliche Menge von Formeln M = {F1 , F2 , . . .}, sodass M unerfüllbar
ist, aber für alle m ∈ N die Formelmenge M \ {Fm } erfüllbar ist?
b) Ist die folgende Aussage wahr?
Sei M = {F1 , F2 , . . .} eine unendliche Menge von Formeln. Seien die Mengen Kn =
{Fn , . . . , F2n } für alle n ∈ N erfüllbar, dann ist M erfüllbar.
Beweisen Sie Ihre Antworten!
7.
Resolution (Votieraufgabe)
Die Formel F sei als Klauselmenge wie folgt gegeben:
F = {¬C, ¬A}, {¬A, B, C}, {A, B}, {¬B} .
Berechnen Sie die Resolutionshülle von F . Ist F erfüllbar?