Blatt 3 - Universität Münster

Prof. K. Tent
Dr. I. Halupczok
Universität Münster
Sommersemester 2012
Logik I
Übungsblatt 3
Aufgabe 1.
a) Eine Menge T von L-Formeln heißt erfüllbar, wenn es eine Belegung der Variablen
gibt, bei der alle Formeln aus T wahr werden. Zeigen Sie die folgende Variante
des Kompaktheitsatzes:
Eine Formelmenge T ist erfüllbar genau dann, wenn jede endliche Teilmenge von
T erfüllbar ist.
Hinweis: Reduzieren Sie diesen Satz auf den aus der Vorlesung, indem Sie für jede
freie Variable in den Formeln von T eine Konstante zur Sprache hinzufügen.
b) Ein angeordneter Körper K heißt nicht-archimedisch, wenn es ein Element a ∈ K
gibt mit a > n für alle n ∈ .
N
R
Sei L = {0, 1, +, −, ·, <} und sei Th( ) die Menge aller L-Aussagen, die in
gelten. Zeigen Sie, dass es nicht-archimedische Modelle K von Th( ) gibt.
R
R
Aufgabe 2. Ein Graph G = (E, K) besteht aus einer Eckenmenge E und einer zweistelligen, symmetrischen, irreflexiven Relation K; zwei Ecken e1 , e2 heißen (durch eine
Kante) verbunden, wenn e1 K e2 gilt. Eine n-Färbung von G ordnet jeder Ecke eine der
Farben c1 , . . . , cn zu, so dass verbundene Ecken verschiedene Farben haben.
Zeigen Sie: G ist n-färbbar genau dann wenn jede endliche Teilmenge von G n-färbbar
ist.
Hinweis: Wählen Sie eine geeignete Sprache und verwenden Sie den Kompaktheitssatz.
Aufgabe 3. Sei A eine L-Struktur. Eine Unterstruktur B heißt elementare Unterstruktur, wenn für alle φ und alle b1 , . . . , bn ∈ B gilt:
A |= φ[b1 , . . . , bn ] ⇐⇒ B |= φ[b1 , . . . , bn ]
Zeigen Sie das Tarski-Kriterium: B ist genau dann das Universum einer elementaren
Unterstruktur von A, wenn für alle φ(x, y1 , . . . , yn ) und alle b1 , . . . , bn ∈ B gilt: Wenn
es ein a ∈ A gibt mit A |= φ[a, b1 , . . . , bn ], dann gibt es auch ein b ∈ B mit A |=
φ[b, b1 , . . . , bn ].
Hinweis: Verwenden Sie für “⇐” Induktion über den Aufbau der Formeln.
(Bitte wenden.)
Aufgabe 4. Eine Klasse K von L-Strukturen heißt elementar (oder auch: axiomatisierbar ), wenn sie die Klasse aller Modelle einer Theorie T ist; K heißt endlich axiomatisierbar, wenn T endlich gewählt werden kann.
Zeigen Sie:
a) Die Klasse der unendlichen L-Strukturen ist elementar; die Klasse der endlichen
L-Strukturen ist nicht elementar.
b) Eine Klasse K von L-Strukturen ist endlich axiomatisierbar genau dann, wenn
sowohl K als auch das Komplement von K elementar ist.
c) Die Klasse der Körper der Charakteristik 0 ist elementar aber nicht endlich axiomatisierbar.
Abgabe bis Montag, den 23.4., 18:00 Uhr, im Briefkasten 15.
Die Übungsblätter sollten zu zweit bearbeitet und abgegeben werden.
Web-Seite: http: // wwwmath. uni-muenster. de/ logik/ Personen/ Halupczok/ S12-logik/