Prof. Dr. Roland Meyer Abgabe bis 5. Juli 2013, 12:00 Uhr Aufgab

SS 2013
26. Juni 2013
Übungen zur Vorlesung Logik
Blatt 6
Jun.-Prof. Dr. Roland Meyer
Abgabe bis 5. Juli 2013, 12:00 Uhr
Aufgabe 6.1 [Nicht-Standard-Modelle]
Es sei S “ pF, P q die Signatur mit Funktionssymbolen F “ t0{0, 1{0, `{2, ˚{2u und
Prädikatsymbolen P “ tď{2u. Außerdem sei N “ pN, IN q die S-Struktur, in der der
Datenbereich aus den natürlichen Zahlen besteht und die Symbole 0, 1, `, ď und ˚ wie
üblich interpretiert sind. Schließlich sei TN die Menge aller geschlossenen Formeln, für
die N ein Modell ist.
a) Betrachten Sie die Formelmenge
TN1 “ TN Y t1looooomooooon
` ¨ ¨ ¨ ` 1 ď x | n ě 1u,
n
wobei x eine Variable ist. Zeigen Sie, dass die Formelmenge TN1 erfüllbar ist. Hinweis:
Verwenden Sie den Kompaktheitssatz.
b) Es seien M und M1 Strukturen über derselben Signatur S 1 . Die Strukturen M und
M1 heißen elementar äquivalent, wenn für jede geschlossene Formel A der Prädikatenlogik über S 1 gilt: M |ù A genau dann, wenn M1 |ù A. Zeigen Sie, dass jede
Struktur M, die TN1 erfüllt, elementar äquivalent ist zum obigen Modell N .
c) Sind M “ pD, Iq und M1 “ pD1 , I 1 q Strukturen über der selben Signatur, dann
nennen wir M und M1 isomorph, wenn es eine Bijektion ϕ : D Ñ D1 gibt mit
1
pM pd1 , . . . , dk q “ pM pϕpd1 q, . . . , ϕpdk qq
ϕpf M pd1 , . . . , d` qq “ f
M1
pϕpd1 q, . . . , ϕpd` qq
für alle d1 , . . . , dk P D und
für alle d1 , . . . , d` P D
für jedes k-stellige Prädikatssymbol p und jedes `-stellige Funktionssymbol f . Schließen Sie aus a) und b), dass es eine Struktur gibt, die elementar äquivalent, aber nicht
isomorph ist zu N .
Aufgabe 6.2 [Erfüllbarkeit und Folgerung]
Zeigen Sie, dass die folgenden Probleme semi-entscheidbar, aber nicht entscheidbar
sind:
a) Gegeben eine prädikatenlogische Formel A entscheide man, ob A erfüllbar ist.
b) Gegeben prädikatenlogische Formeln A und B entscheide man, ob A () B.
Aufgabe 6.3 [Unentscheidbarkeit]
Eine kontextfreie Grammatik heißt linear, wenn auf der rechten Seite jeder Regel
höchstens ein Nichtterminal-Symbol vorkommt. Zeigen Sie, dass das folgende Problem
unentscheidbar ist: Gegeben lineare kontextfreie Grammatiken G1 und G2 , ist die Menge
LpG1 q X LpG2 q leer?
Aufgabe 6.4 [Reduktionen]
Es sei C eine Klasse von Problemen. Ein Problem A heißt C-schwer, wenn jedes
Problem aus C auf A many-one-reduzierbar ist. Zeigen Sie: Ist A ein C-schweres Problem und A auf ein Problem B many-one-reduzierbar, dann ist auch B ein C-schweres
Problem.
Abgabe: bis 5. Juli 2013, 12:00 Uhr im Kasten neben Raum 34/401.4