Logik und Diskrete Strukturen Hausübungen 3

Hertrampf/Walter
Wintersemester 2011/12
Logik und Diskrete Strukturen
Hausübungen 3
Abgabe: bis Donnerstag, 17. November um 13:10 bei den Abgabekästen im 1. Stock
1. Saubere Abgabe
(1 Punkt)
Schreiben Sie Ihren Namen, die Übungsgruppe und den Tutor leserlich oben
rechts auf Ihre Abgabe. Tackern Sie Ihre Abgabe links oben, falls Sie mehrere Blätter abgeben. Werfen Sie die Abgabe in den korrekten Abgabekasten im
Mittelgang des 1. Stocks.
2. Gültigkeit einer Formel in DNF
(5 Punkte)
F = (¬B ∧ C ∧ D) ∨ (A ∧ ¬D) ∨ ¬A ∨ (B ∧ D ∧ ¬E) ∨ (C ∧ D ∧ E) ∨ (A ∧ ¬C ∧ D)
Zeigen Sie, dass F gültig ist. Ihr Beweis muss ohne Wahrheitstafel auskommen.
3. Folgerung
(5 Punkte)
Sei M eine unendliche Formelmenge und F eine Formel. Zeigen Sie, dass die
beiden folgenden Aussagen äquivalent sind:
i) M |= F
ii) Es existiert eine endliche Teilmenge N ⊆ M , für die gilt: N |= F .
M |= F bedeutet: Für jede Belegung A, die Modell für M und passend zu F ist,
gilt A |= F .
Hinweis: Überlegen Sie zunächst, welche Aussage Sie mithilfe des Endlichkeitssatzes über die Menge M ∪ {¬F } treffen können.
4. Anti-Hornformeln
(5 Punkte)
Eine Formel in KNF nennen wir Anti-Hornformel, falls in jeder Disjunktion
höchstens ein negatives Literal vorkommt. Sei F eine Anti-Hornformel mit n atomaren Formeln. Beschreiben Sie einen Algorithmus, der in höchstens n Schritten
entscheidet, ob F erfüllbar ist und ggf. eine Belegung konstruiert. Beweisen Sie
dessen Korrektheit.
Hertrampf/Walter
Wintersemester 2011/12
Logik und Diskrete Strukturen
Votierübungen 3
Besprechung: In den Kalenderwochen 47 und 48.
1. Komplizierte Beziehungen
Durch langwierige Beobachtungen des Teilnehmerverhaltens ihrer Übung hat eine
Tutorin Folgendes herausgefunden:
• Wenn Erik kommt, aber Frieder nicht, dann bleibt auch David zu Hause.
• Schafft es Lars nur bis zur Cafeteria, dann bleibt auch Benedikt dort hängen.
• Oli steht grundsätzlich nicht vor Mittag auf.
• Erik ist der Ex- und Kai der neue Freund von Christiane, d. h. wenn Christiane mit Kai kommt, dann auch (der offenbar immernoch eifersüchtige)
Erik.
• Wenn Georg da ist, fehlt Benedikt nie.
• Nico kommt immer zur Übung, außer die S-Bahn bleibt im Tunnel stecken.
Dann darf man aber auch mit Michael nicht rechnen.
• Lars will auf keinen Fall mit Ingo in einem Raum sein. (Man munkelt, ein
ausgeliehener und nicht wieder zurückgegebener USB-Stick sei der Grund
für das Zerwürfnis.)
• Sind Nico und Michael an der Uni, dann kommt Kai auch immer, um die
Hausaufgaben von ihnen abzuschreiben.
• Immer wenn Andreas da ist und David nicht, dann fehlt Horst.
• Kommt Johannes, so bringt er auch Ingo mit.
• Ist Erik da, aber Horst nicht, dann fehlt Christiane oder Nico.
• Ist Erik anwesend, dann kommt Georg oder Kai fehlt.
• Schaffen Frieder und Benedikt es ausnahmsweise gleichzeitig an die Uni,
dann ist auch Johannes da.
• Wenn Nico da ist, dann fehlt aus einem unbekannten Grund Christiane nie.
Kurz vor 11:30 Uhr sieht die Tutorin Andreas schon im Übungsraum sitzen.
Formalisieren Sie diese Aussagen. Verwenden Sie den Erfüllbarkeitstest für Hornformeln um herauszufinden, ob Michael heute in die Übung kommt.
2. Hornformeln
Gegeben seien die folgenden Hornformeln:
a) F = (A ∨ ¬B) ∧ (¬A ∨ ¬B ∨ ¬C) ∧ B ∧ (¬B ∨ C)
b) G = (¬A ∨ ¬D ∨ B) ∧ D ∧ ¬B ∧ E ∧ (¬D ∨ ¬E ∨ C)
Führen Sie den Markierungsalgorithmus für jede der Hornformeln durch. Welche
der Formeln sind erfüllbar? Geben Sie für jede erfüllbare Formel eine erfüllende
Belegung an.
3. Resolution
Die Formel F sei als Klauselmenge wie folgt gegeben:
F = {¬C, ¬A}, {¬A, B, C}, {A, B}, {¬B} .
Berechnen Sie die Resolutionshülle von F . Ist F unerfüllbar, erfüllbar oder gültig?