Konvergenz von Folgen - lehrer.uni

LGÖ Ks
VMa 11
Schuljahr 2017/2018
Aufgaben zu: Konvergenz von Folgen
1) Zeige mithilfe der Definition, dass die Folge ( an ) : an = 3 +
( −1)
n
gegen 3 konvergiert.
n
Ab welchem Index unterscheiden sich die Folgenglieder um weniger als 0,01 vom Grenzwert?
2) Zeige mithilfe der Definition, dass die Folge ( an ) : an =
2n
2
den Grenzwert
hat.
3n + 4
3
3) Zeige: Eine Folge ( an ) konvergiert genau dann gegen g ∈  , wenn die Folge ( an − g ) eine
Nullfolge ist.
4) Zeige: Eine Folge ist genau dann eine Nullfolge, wenn die Folge der Beträge eine Nullfolge ist.
5) a) Zeige: Konvergiert eine Folge gegen g ∈  , dann konvergiert die Folge der Beträge gegen
g.
Hinweis: Verwende die sog. „erweiterte Dreiecksungleichung“: Für alle reellen Zahlen x
und y gilt x − y ≤ x − y . Vergleiche Hausaufgabe 7) zu: Beweisverfahren 2.
b) Gilt die Umkehrung der Aussage aus Teilaufgabe a)?
6) Zeige: Ist ( an ) eine Nullfolge und ( bn ) eine Folge mit bn ≤ an für alle n, dann ist auch ( bn )
eine Nullfolge.
7) Zeige, dass die Folge ( an ) : an =
( −1)
n
nicht konvergiert.
8) Zeige, dass die Folge ( an ) mit an = n nicht konvergiert.
9) Gegeben sind reelle Zahlen a, b und c sowie positive reelle Zahlen d1 und d 2 .
Zeige: Aus a − b < d1 und b − c < d 2 folgt a − c < d1 + d 2 .
Bemerkung: Anschaulich bedeutet die Aussage: Ist der Abstand von a und b kleiner als d1 und
ist der Abstand von b und c kleiner als d 2 , dann ist der Abstand von a und c kleiner als d1 + d 2 .
10) Zeige, dass die Folge ( an ) : an = 3 + ( −1) nicht konvergiert.
n
Hausaufgaben zu: Konvergenz von Folgen
1) Gegeben sind zwei reelle Zahlen a und g sowie eine positive reelle Zahl ε.
Zeige: Gilt a − g < ε , dann gilt g − ε < a < g + ε .
Hinweis: Unterscheide die Fälle a ≥ g und a < g . Beweise die beiden zu zeigenden
Ungleichungen jeweils getrennt.
Bemerkungen:
1. Anschaulich bedeutet die Aussage:
Ist der Abstand von a und g kleiner als ε , dann liegt a zwischen g − ε und g + ε .
2. Auch die Umkehrung der Aussage ist (offensichtlich) richtig.
3a_auf_konvergenzvonfolgen
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VMa 11
Schuljahr 2017/2018
1
den Grenzwert 8 hat.
n2
Ab welchem Index unterscheiden sich die Folgenglieder um weniger als 0,01 vom Grenzwert?
2) Zeige mithilfe der Definition, dass die Folge ( an ) : an = 8 +
3) Zeige mithilfe der Definition, dass die Folge ( an ) gegen 0 konvergiert.
a) an = −
1
b) an = q n ;
n
q < 1.
3n 2
3
den Grenzwert
hat.
2
4
4n − 5
Hinweis: Es genügt, die Ungleichung an − g < ε nur für (beispielsweise) n ≥ 2 zu untersuchen.
4) Zeige mithilfe der Definition, dass die Folge ( an ) : an =
5) Gegeben sei eine konvergente Folge ( an ) mit an ∈  , an ≥ 0 .
Zeige, dass für den Grenzwert a = lim an die Ungleichung a ≥ 0 gilt.
n →∞
Hinweis: Zeige, dass die Annahme a < 0 zu einem Widerspruch zur Voraussetzung an ≥ 0
führt.
Aufgabe mit Lösung
1) Zeige: Ist ( an ) eine Nullfolge und ( bn ) eine beschränkte Folge, dann ist die Produktfolge
( an ⋅ bn )
eine Nullfolge.
Lösung
1) Da ( bn ) beschränkt ist, gibt es eine reelle Zahl K ≥ 0 mit bn ≤ K für alle n.
Sei ε > 0 .
Dann ist auch
ε
K
> 0.
Also gibt es eine natürliche Zahl n0 , so dass an − 0 <
Also gilt für alle n ≥ n0 :
ε
K
für alle n ≥ n0 .
an ⋅ bn − 0 = an ⋅ bn = an ⋅ bn = an − 0 ⋅ bn <
Also ist ( an ⋅ bn ) eine Nullfolge.
3a_auf_konvergenzvonfolgen
ε
K
⋅K = ε .
q.e.d.
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