Discussion:

1
Basis-SE Logik II (Schurz)
Ss 2012 Mi 10:30-12, 23.21/U1.46
Übung zu Logik II: Mi 14:30-16, 23.21/02.22
Tutorium: Nils Wolf Di 14:30 - 16, Mat-Nat Geb 26.11, Hs 6G
[email protected]
Zeitplan:
Übung dazu am selben Tag
1) 11. 04. Einführung
2) 18. 04. Prädikatenlogik ohne Identität I: Sprache, Repräsentierung
3) 25. 04. Prädikatenlogik ohne Identität II: Semantik, deduktive Methode
4) 02. 05. AL Äquivalenzkalkül
5) 09. 05. PL Äquivalenzkalkül
6) 16. 05 PL mit Identität und Funktionszeichen.
7) 23. 05. Äquivalenz- und Ordnungsrelationen
30.05. entfällt wegen Vortragsreise
8) 06. 06. Zahlquantoren (Frege) und definite Deskriptionen (Russell)
9) 13. 06. Informelle Mengenlehre  die Metalogik der PL-Semantik.
10) 20. 06. Metalogik: Induktive Beweise Metatheoreme der PL (induktive Beweise)
11) 27. 06. Korrektheit der PL
12) 04. 07. Vollständigkeit der AL und PL
13) 11.07. Klausur
1
2
2
Literatur:
Einführungen in die Logik:
Bergmann, M. et al. (1998): The Logic Book, McGraw Hill, New York, 3. Aufl.
Beckermann, A. (1997): Einführung in die Logik, W. de Gruyter, Berlin (2. Aufl.
2003).
Bühler, A. (2000): Einführung in die Logik, Alber, Freiburg i. Breisgau, 3. Aufl.
Essler, W., und Martinez, R. (1991): Grundzüge der Logik Bd. I, Vittorio Klostermann, Frankfurt/M.
Klenk, Virginia (1989): Understanding Symbolic Logic, Prentice Hall, Englewood
Cliffs, NJ.
Grundkurse in Logik für Fortgeschrittene:
Ebbinghaus, H.D. et al. (1996): Einführung in die mathematische Logik, Spektrum,
Heidelberg (4. Aufl.).
Essler, W., Brendel, E., und Martinez, R. (1987): Grundzüge der Logik Bd. II, Vittorio Klostermann, Frankfurt/M.
Machover, M. (1996?): Set Theory, Logic and their Limitations, Cambridge Univ.
Press.
Rautenberg, W. (2002): Einführung in die mathematische Logik, Vieweg, Braunschweig.
Hunter, G. (1971): Metalogic , Univ. of California Press, Berkeley, 6. Aufl. 1996.
Einführung in die Mengenlehre:
Van Dalen, D., et al. (1978): Sets. Naive, Axiomatic and Applied, Pergamon Press,
Oxford.
Ebbinghaus, H.-D. (2003): Einführung in die Mengenlehre, Spektrum Akad. Verlag,
Heidelberg (4. Aufl.).
O. Deiser, Einführung in die Mengenlehre, Springer, 3. korr. Aufl. 2010.
3
1. Einleitung
1.1 (Philosophische) Logik im weiten Sinne = Theorie des korrekten Schließens
Das Grundlegende Muster des Schließens: Ein Argument (ein Schluss)
Präm 1
Präm1, …, Prämn

/ Konkl
 (semantische Gültigkeit, auch  )

| (syntaktische Beweisbarkeit)
Präm n
Konkl
Gültigkeits-Kriterium = Wahrheitserhaltung: wenn alle Prämissen wahr sind, ist auch
die Konklusion wahr
Klassifikation von Arten logischer Systeme:
Deduktive Logik
Nichtdeduktive Logik
(Logik im engen Sinne)
(Logik im weiten Sinne)
Ein deduktiv korrektes Argument
induktive (probabilistische) Logik
= ein gültiges Argument
nichtmonotone Logik, unsicheres Schließen
Wahrheitserhaltung
Wahrheitserhaltung mit hoher Wahrschein-
mit Sicherheit
lichkeit, Plausibilität, Unsicherheit
Klassische Logik(en):
Nichtklassische Logik(en):
(Wahrheitsfunktionale) propositionale Logik
intuitionistische Logik
Prädikatenlogik 1. Ordnung
Quantenlogik
modale (propositionale, Prädikaten-) Logik
Relevanzlogik
(alethische ML, deontische L, epistemische L,
mehrwertige Logik
konditionale L., )
...
…
Prädikatenlogik zweiter Ordnung
3
4
4
Eine generelle Charakterisierung eines deduktiv gültigen Arguments:
Präsupponiert ist eine Unterteilung der Menge aller Symbole der Sprache in:
Nichtlogische Symbole
Logische Symbole
elementare Sätze p, q,…
propositionale Konnektive ,,,,…
Individuenkonstanten a, b,…
Quantoren x, x, (Identität)
Prädikate F, G,…, R,…
Modal-Operatoren , , 
Funktionssymbole f, g, …
variierende (welt-referierende) Interpr.
fixierte (logische) Interpretation
Ein Argument ist gültig gdw. (genau dann, wenn) die Wahrheit übertragen wird
(d.h. die Konklusion wahr ist, sofern alle Prämissen wahr sind)
- in allen Interpretationen seiner nichtlogischen Symbole
(semantische Charakterisierung)
- alleine aufgrund seiner logischen Form
(syntaktische Charakterisierung) (Jedes Argument der gegebenen Form ist gültig)
Beispiel für logische Form: pq, p | q (Modus Ponens)
Formalisierung = Übersetzung der natürlichen Sprache in formale Sprache:
z.B. p  es regnet, q  die Straße ist nass
Wenn es regnet, ist die Straße nass, es regnet / die Straße ist nass.
Hauptziel eines Argumentes:
 Positiver Nutzen: --> Wahrheitstransfer (Voraussage, Erklärung). Ein gültiges,
sowie korrektes Argument: Ein gültiges Argument mit wahren Prämissen.
 Negativer Nutzen: --> Falschheits-Rücktransfer (Falsifikation).
5
Unterdeterminiertheit der Falsifikation: Man kann lediglich schließen, dass einige der
Prämissen falsch sind (welche?)
(Duhem-Problem der Theorienfalsifikation)
Hauptziel der Logik:
Zu wissen  welche Argumente gültig sind und  welche Sätze logisch wahr sind.
Logisch wahre (L-wahre) Sätze:
Zu jedem gültigen Argument gibt es einen korrespondierenden, logisch wahren Satz.
Logisch wahr: ((pq)p) q
Gültig: (pq), p / q
Es gibt auch logisch wahre Sätze, die kein korrespondierendes, gültiges Argument
haben.
(pp), etc.
z.B. pp,
Ein Satz ist logisch wahr/falsch, gdw. er wahr/falsch ist ...
- in allen Interpretationen seiner nichtlogischen Symbole
(semantische Charakterisierung)
- einzig Aufgrund seiner logischen Form/Struktur (syntaktische Charakterisierung)
(Jeder Satz dieser Form ist logisch wahr/falsch )
(Ein logisch wahrer Satz wird auch gültig genannt.)
Ein Satz, der logisch falsch ist, wird kontradiktorisch genannt.
Ein Satz, der nicht logisch falsch ist, wird logisch konsistent genannt.
Ein Satz, der logisch wahr, oder logisch falsch ist, wird logisch determiniert genannt.
Andernfalls ist ein Satz kontingent (logisch indeterminiert).
L-konsistent
L-falsch
L-wahr
L-determiniert
kontingent
L-indeterminiert
5
6
6
Logische vs. extralogisch-analytische Wahrheiten:
Ein Kreis hat Ecken, oder er hat keine Ecken
Ein Kreis hat keine Ecken
x(Kx  (Ex Ex))
x(Kx x)
Ein Satz ist extralogisch-analytisch wahr, gdw seine Wahrheit durch die Bedeutung
seiner nichtlogischen Symbole determiniert ist, unabhängig von Fakten der Welt.
Im Gegensatz zu logischen Wahrheiten ist seine Wahrheit nicht alleine durch die Bedeutung seiner logischen Symbole determiniert.
 Analoges gilt für die Gültigkeit von extralogisch-analytischen Argumenten.
Übungen
1.1: Welches der folgenden Argumente ist logisch gültig: (i) Alle Tiere sind Instinktwesen. Keine Pflanze ist ein Tier. Also ist keine Pflanze ein Instinktwesen. (ii)
Alle Tiere sind Instinktwesen. Kein Mensch ist ein Instinktwesen. Also ist kein
Mensch ein Tier. (iii) Alle guten Menschen sind vernünftig. Alle Menschen sind gut.
Also sind alle Menschen vernünftig. (iv) Alle schlechten Menschen sind unvernünftig. Alle unvernünftigen Menschen sind schlecht. Also sind alle Menschen unvernünftig.
1.2: Welche der folgenden Argumente sind (a) logisch (deduktiv) gültig, (b) extralogisch-analytisch gültig, (c) induktiv oder probabilistisch 'gültig', (d) nichts dergleichen: (i) Alle Menschen sind sterblich. Aristoteles ist ein Mensch. Also ist auch
Aristoteles sterblich. (ii) Die meisten Lichtschalter funktionieren. Ich drücke den
Lichtschalter. Also geht das Licht an. (iii) Alle verheirateten Personen genießen eine
Steuerbegünstigung. Paul und Maria sind ein Ehepaar. Also genießen Paul und Maria
eine Steuerbegünstigung. (iv) Bisher hat mein Kühlschrank gut funktioniert. Also
kann ich mich auch in Zukunft auf ihn verlassen. (v) Immer wenn Gregor von seinem
Bruder spricht, nimmt sein Gesicht gespannte Züge an. Also nimmt Gregors Gesicht
auch jetzt, wo er gerade von seinem Bruder spricht, gespannte Züge an. (vi) Immer
wenn Gregor von seinem Bruder spricht, nimmt sein Gesicht gespannte Züge an. Al-
7
so hat Gregor gegenüber seinem Bruder einen Minderwertigkeitskomplex. (vii) Alle
Raben sind schwarz. Dieser Vogel ist kein Rabe. Also ist er auch nicht schwarz. (viii)
Abtreibung ist vorsätzliche Tötung eines Embryos. Ein Embryo ist ein menschliches
Lebewesen. Also ist Abtreibung Mord.
1.3 Welcher der folgenden wahren Sätze ist logisch wahr, extralogisch-analytisch
wahr, oder synthetisch (d.h. nicht-analytisch) wahr: (a) Kein unzerlegbarer Gegenstand ist zerlegbar, (b) Jeder unzerlegbare Gegenstand ist atomar, (c) Jedes Atom besteht aus Protonen, Neutronen und Elektronen, (d) stabile Demokratien sind nicht krisenanfällig, (e) Demokratien können krisenanfällig oder nicht krisenanfällig sein, (f)
Demokratien können nur stabil sein, wenn sie eine stabile Wirtschaft besitzen.
1.4 Welcher der folgenden Behauptungen ist wahr:
Ein Argument ist deduktiv gültig g.d.w
1) es keine Interpretation (seiner nichtlogischen Symbole) gibt, welche alle Prämissen
falsch macht und die Konklusion wahr macht.
2) jede Interpretation (seiner nichtlogischen Symbole), welche die Prämissen falsch
macht, auch die Konklusion falsch macht.
3) jede Interpretation (seiner nichtlogischen Symbole), welche die Konklusion falsch
macht, alle Prämissen falsch macht.
4) es keine Interpretation (seiner nichtlogischen Symbole) gibt, welche alle Prämissen
wahr macht und die Konklusion falsch macht.
5) jede Interpretation (seiner nichtlogischen Symbole), welche die Konklusion falsch
macht, mindestens eine Prämisse falsch macht.
6) es keine Interpretation (seiner nichtlogischen Symbole) gibt, welche die Konklusion falsch macht und mindestens eine Prämisse wahr macht.
7) es keine Interpretation (seiner nichtlogischen Symbole) gibt, welche die Konklusion falsch macht und alle Prämissen wahr macht.
7
8
8
1.2 Syntax - Semantik ( - Pragmatik)
(Charles Morris)
Zwei Aspekte von Bedeutung:
Intension (Bedeutung,
Extension (Referenz,
Freges Sinn)
Freges Bedeutung)
Satz:
Proposition, Weltzustand
Wahrheitswert -------
AL
Prädikats:
Eigenschaft
Klasse
PL
Individuen-Term:
Charakteristisches Cluster
Objekt
von Eigenschaften
Für die Semantik der formalen Logik werden nur die Extensionen gebraucht.
Ein logisches System besteht aus:
1. Einer logischen Grammatik: Definition des formalen Gebrauchs
SYNTAX
seiner Sprache und seine Formregeln (logische Grammatik)
2. Einer Semantik: Definitionen und Regeln von semantischer Interpreta-
SEMANTIK
tion. Semantische Definition von Logischer Wahrheit und Gültigkeit (s.o.)
|| steht für die semantische Gültigkeit eines Argumentes
Semantische Theoreme (z.B. über Entscheidungsverfahren etc.)
3. Einer Beweistheorie: Ein deduktiver Kalkül: eine Menge von
Axiomen, Regeln und /oder Meta-Regeln der Deduktion plus einer
SYNTAX
Definition von Beweisbarkeit und Ableitbarkeit.
| steht für syntaktische Beweisbarkeit (Ableitbarkeit) eines Argumentes
Syntaktische Theoreme (z.B. über Entscheidungsverfahren etc.)
4. Ein Beweis der Korrektheit und (wenn möglich)
Vollständigkeit.
SYNTAX+SEMANTIK
9
Warum haben wir diese Aufteilung der Logik in Semantik || und Beweis | ?
 Das ist eine lange Geschichte. Es ist ein grundlegendes Charakteristikum der modernen Logik.
Die meta-mathematische Motivation:
 Beweistheorie befasst sich mit konkreten/finiten Entitäten: syntaktische Regeln
(Algorithmen)
Die Semantik befasst sich mit abstrakten Entitäten: (potentiell infinite) mengentheoretische Modelle.
Ist jede mathematische Intuition algorithmisch korrekt u. gültig?
(Antinomien!)
Kann mathematisches Schließen komplett computerisiert werden?
(KI)
Die philosophische und psychichologische Motivation:
Regelbasiertes Denken und modellbasiertes Denken sind zwei grundlegende Arten
des Denkens, die manchmal miteinander konkurrieren; doch sie sind eigentlich komplementär.
Definitionen von fundamentalen meta-theoretischen Konzepten:
Korrektheit: Beweisbarkeit

Gültigkeit/L-Wahrheit
schwach: für Sätze
stark: für Argumente
Vollständigkeit: Gültigkeit/L-Wahrheit 
schwach: für Sätze
mechanisch - algorithmische Verfahren
Beweisbarkeit
stark: für Argumente
Entscheidbarkeit
1.3 Objektsprache vs. Metasprache, formale Logik vs. informelle Mengenlehre
 Die Objektsprache ist die Sprache, die untersucht wird.
9
10
10
 Die Meta-Sprache ist die Sprache in der wir die Eigenschaften unserer Objektsprache, oder ihre Relation zur Welt-wie-in-Metasprache-beschrieben, ausdrücken.
Tarski, Gödel …
Gebrauch (nicht zitiert) vs. Erwähnung (zitiert):
Objektsprache
Metasprache
Schnee ist weiß
"Schnee ist weiß" ist wahr gdw. Schnee weiß ist.
"Schnee ist weiß, oder Schnee ist nicht weiß" ist ein logisch
wahrer Satz.
Die Theorie der formalen Objektsprachen und ihren logischen Eigenschaften, ausgedrückt mit den Mitteln der informellen Mengenlehre nennt man auch Metalogik.
Vereinbarung: Wir sprechen immer in der Metasprache. Alle objektsprachlichen
Ausdrücke werden implizit als zitiert gebraucht. Wir vermeiden so alle Anführungszeichen.
Formale Objektspr. Natürliche Metasprache
Mathemat. Metaspr.
pq
"pq" ist wahr
I(pq)
(pq), p / q
"(pq), p / q" ist ein gültiger Schluss (pq), p || q
Anmerkung: Unsere Konvention, keine Zitate zu verwenden, bedeutet, dass wir objektsprachliche Ausdrücke in unserer Metasprache als Namen für selbige verwenden.
In der Metasprache sind unsere terminologischen Konventionen relativ frei. Wir benutzen in der Metasprache oft dieselben logischen Symbole, wie in der Objektsprache
- sofern der Kontext klarstellt, was objekt- und was metasprachlich ist.
11
Ausnahmen sind:
Objektsprache
Metasprache
wenn-dann


Identität



=
1.4 Extensionale und intensionale klassische Logik:
Semantische Grundlagen der klassischen Logik
 Jeder Satz ist entweder wahr, oder falsch
(Zweiwertigkeit)
1a: Prinzip des ausgeschlossenen Dritten: p p (Aristoteles:1c:Identität: a=a)
1b: Prinzip des ausgeschlossenen Widerspruchs: (pp)
Arten von Satzoperatoren:
extensional (wahrheitswertfunktional)
intensional (nicht-wahrheitswertfunkt.)
nicht p (es ist nicht der Fall, dass p)
es ist notwendig, dass p
p und q
es ist geboten, dass p


Ein Satzoperator ist extensional (wahrheitsfunktional) gdw der Wahrheitswert des
gesamten Satzes, in dem er vorkommt, vollständig durch die Wahrheitswerte seiner
Argumente bestimmt ist. Ansonsten ist er intensional (nicht-wahrheitsfunktional).
Klassische Aussagenlogik = die Logik der extensionalen Satzoperatoren.
Interpretationen/Modelle sind beschränkt auf die Zuordnungen der Wahrheitswerte.
Klassische Prädikatenlogik 1. Ordnung ist extensional im mengentheoret. Sinne:
Der Wahrheitswert eines Satzes ist vollständig determiniert durch:
- die Extension von Individuentermen (Objekte)
- die Extension von Prädikatensymbolen (Klassen)
- die Extension des Bereichs "Dm" (Domain) der Quantoren
Fa ist wahr gdw I(a)  I(F)
xFx ist wahr gdw dDm: d  I(F)
(I – Die extensionale Interpretations-Funktion)
etc.
11
12
12
Modale Aussagenlogik - berücksichtigt auch intensionale Satzoperatoren
p für notwendig p, p  p für möglich p
Interpretationen werden in Bezug gesetzt zu möglichen Welten.
A ist wahr gdw A in allen möglichen Welten wahr ist.
Formale Modallogik behandelt mögliche Welten als 'Individuen' ('Punkte');
 in diesem Sinne reduziert sie die Intension auf Extension über mögliche Welten.
Klassische Logik: AL und PL
AL = wahrheitswertfunktionale AL
Erweiterte klassische Logik: M-AL and M-PL (lässt intensionale Operatoren zu)
Übung: 1.5) Welche der folgenden natursprachlichen Verknüpfungsausdrücke sind
extensional, und welche intensional:
p nachdem q
es ist wahrscheinlich, daß p
es ist falsch, daß p
p damit q
p es sei denn dass q
p nur wenn q
p weil q
p außer wenn q
es ist schön, daß p
weder p noch q
es ist bezweckt, daß p
p eher als q
Einige wichtige Namen in der Geschichte der Logik:
Aristoteles: um 350 v.Chr. Syllogistik
300 v.Chr. Stoische Logiker
um 1200 n.Chr. Scholastische Logik
(kaum Fortschritte...)
AL: um 1850 George Boole
Mengenlehre: um 1880 Georg Cantor
PL: um 1880 Gottlob Frege, Charles S. Peirce
um 1900-20 Bertrand Russell, Ludwig Wittgenstein
13
um 1930 Kurt Gödel, Alfred Tarski, …. (Metalogische Resultate, Semantik)
Modallogik: um 1920 Clarence Irving Lewis, 1945 Rudolf Carnap,
1960 Saul Kripke, Jakkoo Hintikka 
1.5 Beispiele nicht-klassischer (deduktiver) Logiken und nicht-logischer, analytischer Wahrheiten
 Nichtklassische Logiken: - Nehmen nicht das Prinzip der Zweiwertigkeit an.
Intuitionistische Logik:
p wird behauptet --> p hat einen konstruktiven Beweis
p wird behauptet --> es gibt einen konstruktiven Beweis von p zu einem Widerspruch
intuit. gültig: (pp), p p
intuit. ungültig: pp, p p
 Mehrwertige Logiken, Quantenlogik:
Ein Satz kann einen dritten, “unbestimmten” Wahrheitswert haben
{w, u, f}
Übungen:
1.6 Diskutieren Sie das Zweiwertigkeitsprinzip der klassischen Logik.
Was bedeutet die Annahme eines Wahrheitswertes "unbestimmt" für unsere
ontologische Auffassung der Welt?
1.7 Wie könnten vernünftige Wahrheitstafeln mit drei Wahrheitswerten {w,u,f} für
die Negation, Konjunktion, Disjunktion und materiale Implikation aussehen?
1.7 Überlegen Sie sich eine Methode, die dreiwertige Logik auf die zweiwertige Logik innerhalb einer erweiterten Sprache zurückzuführen, aufgrund der folgenden Beobachtung: p kann wahr, unbestimmt oder falsch sein; aber "p ist unbestimmt" ist
entweder wahr oder falsch.
13
14
14
2. Prädikatenlogik ohne Identität I
Die vier Aristotelischen Aussageformen bzw. allgemein alle Aussagen der monadischen
Prädikatenlogik lassen sich durch sogenannte Venn-Diagramme mengentheoretisch veranschaulichen. Hierbei werden Prädikate durch Kreise dargestellt, welche die zugehörigen
Mengen resp. Klassen veranschaulichen. Die Venn-Diagramme sehen so aus:
SaP
x(Sx Px)
P
S
SiP
P
S
Die Menge aller S liegt
vollständig in der Menge der P
mengentheoretisch: {x: Sx}  {x: Px}
x(Sx  Px)
Die Überschneidung der S- und PMenge ist nicht leer, oder
{x: Sx}  {x: Px} ≠ 
nicht leer
SeP x(Sx  Px)
P
S
SoP x(Sx Px)
P
S
Die Überschneidung der S- und PMenge ist leer
{x: Sx}  {x: Px} = 
Das Komplement von P auf S - also die
Menge aller S, die nicht in P liegen ist nicht leer
{x: Sx} - {x: Px} ≠ 
nicht leer
PL-Aussagen, die keinen Quantor enthalten, nennt man auch singuläre Aussagen. Eine
Untergruppe davon sind die bereits erwähnten atomaren Aussagen, die AL-unzerlegbar
sind.
15
15
Kurzüberblick über die einfachsten logischen Beziehungen zwischen quantifizierten und
singulären Aussagen verschaffen.
(i) Aus einer Allsatz folgt (||) ein entsprechender singulärer Satz, und aus diesem
ein entsprechender Existenzsatz:

xFx|| Fa|| xFx
(ii) Aus einer Allimplikation und der singulären Anfangsbedingung folgt die singuläre Konsequenzbedingung  dieser Schluß heißt in der Wissenschaftstheorie deduktiv-nomologisches Erklärungsschema:
x(FxGx) , Fa || Ga
(iii) Ein geeigneter Singulärsatz falsifiziert einen Allsatz, nämlich:
FaGa || x(FxGx)
und ebenso falsifiziert ein geeigneter Existenzsatz falsifiziert einen Allsatz:

x(FxGx) || x(FxGx)
(iv) Ein Allsatz ist logisch äquivalent mit der Negation eines geeigneten Existenzsatzes, nämlich:

|| x(FxGx)  x(FxGx)
Zum Verständnis quantifizierter Aussagen ist weiters folgendes wesentlich:
1.) Die gebundenen Variablen x, y, ... etc. tragen keine eigenständige Bedeutung, sondern
geben lediglich an, auf welches Prädikat bzw. welche Argumentstelle eines Prädikats sich
der entsprechende Quantor bezieht.
Gebundene Variablen rechnen wir zu den logischen Symbolen.
Dass gebundene Variable keine eigenständige Bedeutung tragen, sieht man so:
Die beiden Aussagen
xFx
und yFy
besagen beide dasselbe, nämlich daß alle Individuen (des zugrundeliegenden Bereichs) F
sind. Ob als gebundene Variable x oder y genommen wird, ist ohne Belang. V
Verschiedene gebundene Individuenvariablen spielen nur dann eine Rolle, wenn in ein
und derselben Formel über verschiedene Argumentstellen quantifiziert wird, wobei sich
die Quantorbereiche überlagern:
Z.B. bedeutet xyRxy etwas anderes als xyRxy - s. unten.
16
16
2.) Die Menge aller Individuen, auf die sich ein Quantor zusammen mit der gebundenen
Individuenvariable bezieht, nennt man den zugrundeliegenden Individuenbereich (auch:
Objektbereich, im Englischen: domain).
Wenn man den Individuenbereich nicht durch nähere Angaben eingrenzt, so ist damit immer der universale Bereich - i.e. alle Gegenstände (Objekte, Individuen ...) des Universums - gemeint: "x ..." bzw. "x ..." sind dann also zu lesen als: "Für alle x des universalen Bereichs gilt: ..." bzw. "Für mindestens ein x des universalen Bereichs gilt: ...".
Man kann sich aber auch auf einen eingeschränkten Individuen- bereich festlegen, z.B. auf
den Bereich aller physischen Gegenstände, den Bereich aller Zahlen, den Bereich aller
Raum- und Zeitpunkte. In diesem Fall muß der zugrundeliegende Individuenbereich bei
der Interpretation einer prädikatenlogischen Aussage mitangegeben werden.
3.) Jener Teil einer quantifizierten Aussage, auf den sich ein Quantor zusammen mit seiner
gebundenen Variablen bezieht, heißt Bereich des Quantors. Der Bereich eines Quantors ist
einfach jene Teilformel, die unmittelbar auf den Quantor folgt. In folgenden Beispielen ist
der Quantorenbereich eingezeichnet:
xFx
x(Fx  Gx)
xFx
x(Fx Gx)
x(Fx Gx)
Teilformeln sind dabei wie Teilaussagen zu verstehen - bloß mit dem Unterschied, daß sie
"gebundene" bzw. "zu bindende" Indivdiduenvariablen x, y, … besitzen, statt Individuenkonstanten a, b, …
Dass in "x(Fx  Gx)" sich das "x" nicht bloß auf den Bereich "Fx", sondern auf den
ganzen Bereich "(Fx Gx)" bezieht, wird durch die Klammern klargemacht: die Teilaussage, die auf "x" unmittelbar folgt, ist eben "(Fx Gx)" und nicht "Fx", denn zwischen
"x” und "Fx" steht die Klammer.
x, x bindet diejenigen Variablen in seinem Bereich, die frei darin sind (siehe unten).
Beispiele:
x (MxEx)
Alle Metalle leiten Strom

17
17
Bei Aussagen mit mehreren hintereinanderstehenden Quantoren sind die Bereiche ineinander verschachtelt. Z.B.
xy(Fx Ryx)
Bereich von y
Bereich von x
Hier ist es wichtig, die gebundenen
Variablen x und y streng auseinanderzuhalten.
Wir können quantifizierte Aussagen auch aussagenlogisch verknüpfen, sodaß die Bereiche
verschiedener Quantoren nicht ineinanderliegen. Z.B.
 xFx  yGy
Beispiel für xFx  yGy:
Alles ist vergänglich und es gibt einen Gott
Fx - x ist vergänglich, Gx - x ist Gott
Hier ist es unwesentlich, welche gebundene Individuenvariablen verwendet werden: Die
Aussage xFx  yGy ist gleichbedeutend mit: xFx  xGx, zFz  xGx, etc.
4.) Man beachte: Bei gleichen Quantoren ist die Reihenfolge bedeutungsmäßig belanglos,
denn xyRxy besagt dasselbe wie yxRxy und xyRxy dasselbe wie yxRxy.
Bei verschiedenen Quantoren aber macht die Reihenfolge einen Unterschied:
xyRxy ist eine wesentlich stärkere Behauptung als yxRxy.
Bedeutet etwa Rxy - x ist Ursache von y, so besagt xyRxy, daß alles ein und dieselbe
gemeinsame Ursache hat, während yxRxy besagt, daß jedes Ding ir- gendeine (aber
nicht notwendigerweise dieselbe) Ursache hat.
Schließlich: xRxx besagt etwas viel Spezielleres besagt als xyRxy. Ersteres, daß jedes Ding zu sich selbst in Beziehung R steht (z.B. jeder liebt sich selbst, Rxy - x liebt y).
Letzteres dagegen, daß jedes Ding mit jedem (anderem oder gleichem) Ding in Beziehung
R steht -- z.B. jeder liebt jeden anderen.
18
18
5) Relationsaussagen lassen sich nur mehr sehr schwer graphisch darstellen. Am ehesten
noch zweistellige Relationen - allerdings nicht mehr durch einfache Venn-Diagramme,
sondern durch graphische Zuordnungen zwischen Mengen. Beispielsweise kann die Relation "größer als" innerhalb der Menge {1, 2, 3} so dargestellt werden:
größer als:
3
2
1
3
2
1
Folgende graphische Darstellung verdeutlicht die Bedeutung von Relationsaussagen mit
zwei Quantoren (Individuenbereich = natürliche Zahlen):
xyR1xy Für jede Zahl x gibt es eine Zahl y, die um 1 größer ist
...
...
...
4
3
3
2
2
1
1
0
0
x
y
xyR2xy Es gibt eine Zahl x, die kleiner oder gleich jede andere ist
...
...
3
2
...
2
1
1
0
0
x
y
19
19
xyR3xy Für jede Zahl x und jede Zahl y gilt: x ist kleiner, gleich oder
größer als y. Individuenbereich: {0, 1, 2, 3}
3
2
1
x
3
2
1
y

PL-Aussagen, die Quantoren enthalten, nennen wir allgemein quantifizierte Aussagen.
Wichtige Untergruppe davon sind jene, die mit ein- oder mehreren hintereinander stehenden Quantoren beginnen, gefolgt von einer quantorfreien Formel - das sind quantifizierte
Aussagen in sogenannter pränexer Normalform (s. später).
Quantifizierte Aussagen mit mehr als zwei Quantoren sind unter anderen in mathematischen Definitionen wichtig - z.B. ist die Definition des Grenzwertes g einer unendlichen
Zahlenfolge (x1,x2,x3,) eine ---Aussage (  n  m≥n: |xmg| ≤).
Definition: Eine Individuenvariable x in einer Formel heisst frei wenn sie nicht
im Bereich eines Quantors der Fom x oder x auftritt; ansonsten heisst sie gebunden.
Eine Formel heisst geschlossene Formel, oder Satz oder Aussage, wenn sie keine
freien Individuenvariablen enthält. Sonst offene Formel.
Beachte: Freie Individuenvariablen haben keine Bedeutung, und Formeln keinen
Wahrheitswert. Nur Sätze/Aussagen haben einen Wahrheitswert.
Beispiele:
xy(RxzQy)
x, y gebunden
z frei
20
20
Übungen:
2.1 Welche Individuenvariablen in folgenden Formeln sind frei, welche gebunden.
Zeichnen Sie den Bereich der Quantoren ein.
2.2 Wo gibt es darin Quantoren, die nichts in der Formel binden?
Welche der Formeln sind geschlossen (sind Sätze)?
xy(Fxy Gxy)  Rab
xFxyzHzx
xyRxy  yxRxy
yPy  (xRxy  zRxz)
x(FxyGxy)  xHxx
x1x2(y2(RaQzb)y2(Rbx5Qy1x3))
xxRx
xFa
xxRx FxGx)
xy(Ty xy  Mxa))Rxb
xy(FaFyGx)z(Fx23Gy).
Definition der prädikatenlogischen Sprache:
Alphabet:
Nichtlogische Zeichen:
- Individuenkonstanten a, b, ..., auch indiziert
- n-stellige Prädikate
für n = 1, 2, 3 ... oberer Index
F1, G1, P2, R3, ...
auch mit unterem Index
Aussagenlogik: p, q, für Aussagevariablen
(Hinweis: mehrstellige Prädikate heissen auch Relationszeichen)
Logische Zeichen:
- Aussagenlogische Junktoren , , ,  ( definiert als )
- Individuenvariablen x, y, ..., auch indiziert
- Quantoren , 
Hilfszeichen:
- Klammern (, )
A, B, sind Schemabuchstaben, die für beliebig komplexe Aussagen stehen
21
21
(Lechner-Skriptum: A, B usw.)
Terme: Individuenvariablen und Individuenkonstanten heissen (singuläre) Terme.
Schemabuchstaben: t1, t2,
Formregeln:
1. Für atomare Formeln:
Ist R ein n-stelliges Prädikat und sind t1, ..., tn Terme (nicht notwendigerweise verschieden), so ist Rt1 ..tn eine Formel.  Rt1 ...tn heißt dann atomar.
Für R kann auch Q etc.gesetzt werden, d.h. wir haben in dieser Formregel R als Schemabuchstaben für beliebige n-stellige Prädikate und t1, ..., tn als Schemabuchstaben für
beliebige Terme verwendet.
2. Aussagenlogische Formregeln:
Sind A und B beliebige Formeln, so sind auch
a) A
b) (A  B)
c) (A  B)
d) (A  B)
Formeln.
(AB) =def (AB)  (BA)
3. Formregeln für quantifizierte Aussagen:
Ist A eine Formel, dann sind auch
a) xA
b) xA
Formeln. (Für x kann AUCH y, z ... gesetzt werden, d.h x fungiert als Schemabuchstaben
für beliebige Individuenvariablen.)
4. Sonst ist nichts eine Aussage.
Mithilfe dieser Formregeln können wir nun - wie in der Aussagenlogik - für jede Zeichenreihe bestimmen, ob sie eine (wohlgeformte) prädikatenlogische Aussage ist, und im positiven Fall ihren Strukturbaum zeichnen.
22
22
Z.B. ist x(F1x  G1x) wohlgeformt, und der Strukturbaum lautet:
x(F1x  G1x):
(1)
F1x
(1)
G1x
(2d)
(F1x  G1x)
(3b)
x(F1x  G1x)
Weitere Beispiele:
F1a: (1)
F1a
F1a  R 2ab: (1)
F1a
(1)
R2ab
2b
(F1a  R2ab)
F2 a
 ist keine Aussage, die Stellenzahl stimmt nicht
Konvention: wird bei Prädikaten keine Stellenzahl als oberer Index angegeben, so nehmen
wir automatisch an, daß die Stellenzahl des Prädikats mit der Anzahl seiner Argumente in
der Formel übereinstimmt - daß also alle atomaren Aussagen korrekt gebildet wurden.


xFx:
(1)
Fx
(2a)
Fx
(3b)
xFx

23
23
xy(Fx Gxy): (d.h. G hier zweistellig)
(1)
Fx
(1)
Gxy
(2d)
(FxGxy)
(3a)
y(Fx Gxy)
(3b)
xy(Fx Gxy)

x(Fx x):
- ist nicht wohlgeformt

Abschließende Bemerkungen:
(a) Man kann die Formregel (3) auch anders formulieren - etwa so, dass nur Aussagen
bzw. geschossene Formeln zugelassen sind. Dann kann man z.B. "Fx" bzw. nicht "offiziel"
verwenden, weil A ja eine offene Formel ist. Man muss dann die Ersetzung A[x/a] ("a uniform ersetzt durch x") einführen, und sagen, ist A ein Satz, und liegt a nicht im Bereich
eines Quantors der x bindet. dann ist auch xA[x/a] ein Satz.
(b) Unser System lässt redundante Quantoren zu. Mit Q =  oder :
QxFa bedeutet soviel Fa, und xxFx ist gleichbedeutend mit xFx (siehe Semantik).
Man kann die Formregeln auch so eingeschränken, dass keine redundanten Quantoren
möglich sind. ZB Aussagen der Art xxA[x] oder xFa nicht zulassen.
Dann muss man sagen: ist A[a] eine Aussage, in der a mindestens einmal vorkommt, und
enthält A keinen x-Quantor, dann ist auch xA[x/a] eine Aussage.
(c) Die so gebildete Prädikatenlogik nennt man Prädikatenlogik 1. Stufe, weil hier nur übe
Individuenvariablen quantifiziert wird. Eine Logik, in der man nicht nur über Individuenvariablen, sondern auch über Prädikatvariablen quantifizieren kann, heißt PL 2. Stufe.
Führt man Prädikate von Prädikaten (Prädikate 2. Stufe ein), und quantifiziert auch noch
über die, so erhält man eine PL 3. Stufe, usw. Auf diese Weise gelangt man zur sogenannten Typentheorie nach Russell.
24
24
Übungen zu Kap. 2:
2.3: Welche der folgenden Zeichenreihen sind Sätze der prädikatenlogischen Sprache, und
welche offene Formeln? Man zeichne im positiven Fall den Strukturbaum. Im negativen
Fall unterstreiche man die Fehler.
1)
F1a R2ab
2)
F1b  xR2xy
3)
x(F2xya x(G3xz yF
4)
x(Fx  xGx)
5)
y(Fy Gyz)
6)
xFx  xGx
7)
xz((F1xa  G1y) (z  H1(x)))
8)
zyx(Fx Ryz)
9)
xR2xy
10)
x(Fx yRxy)
11)
xF2xx R2aa
12)
y(xRxx Ray)
13)
(x1R2x1a Qa1b)  Fc
14)
15)
xyFz
yR2xa  P1xb
Repräsentierung in der Prädikatenlogik
Bei der Übersetzung eines natursprachlichen Satzes in eine PL-Aussage gibt es noch weniger Standardregeln als in der AL. Wir müssen herausfinden, welche Teile resp. Worte
des gegebenen natursprachlichen Satzes folgenden PL-Zeichen entsprechen:
a) Individuenkonstanten - diese entsprechen meist Eigennamen, oder persönliche Fürwörter (er, sie ...) oder hinweisende Fürwörter wie "dieses", "hier", "jetzt" etc.
(Fürwörter nennt man auch indexikalische Ausdrücke, weil ihre Referenz von Sprecher,
Zeit oder Ort ihrer Äußerung abhängt.)
25
25
b) Prädikatvariablen - diese entsprechen meist Verbalphrasen des Satzes. Voralledem muß
die Stellenzahl des Prädikats herausgefunden werden.
c) Quantoren. Z.B. entsprechen Allquantoren Phrasen wie "alle, jeder, immer ..." etc.,
Existenzquantoren "einige, es gibt, jemand, einmal, etwas ...", negierte Existenzquantoren
entsprechen "niemand, keiner, nichts ..." etc. - Genaueres s. unten. Quantoren können aber
auch versteckt auftreten - s.u.
d) Aussagenlogischen Junktoren - darüber sprachen wir in Logik I.
- Bei der PL-Repräsentierung natursprachlicher Sätze darf man sich nicht zu sehr an der
natursprachlichen Grammatik orientieren, da letztere die PL-Struktur oft nicht wiedergibt.
Z.B. haben in den beiden Sätzen
(1) Dieser Tiger ist stark
(2) Der Tiger ist stark
die grammatischen Satzsubjekte "dieser Tiger" und "der Tiger" eine völlig unterschiedliche PL-Bedeutung: "dieser Tiger" ist eine freie Individuenvariable und (1) hat
daher die Form Ga, während "der Tiger" einen Allsatz über Tiger andeutet, d.h. (2) ist von
der Form x(Fx Gx).
Oft sind auch Quantoren in natursprachlichen Verbalphrasen versteckt, z.B. scheint der
Satz
(3) Peter sieht etwas
ein einfacher Subjekt-Prädikat-Satz zu sein; tatsächlich handelt es sich um eine Existenzaussage, nämlich
(3') Es gibt ein x: Peter sieht x.
Der Existenzquantor rutscht also in der natürlichen Sprache in die Verbalphrase "sieht etwas", während in der PL-Wiedergabe die Quantoren immer voranzustellen sind.
Das "etwas" drückt im Regelfall einen Existenzquantor aus. Auch hier gibt es eine Ausnahme: Wenn das Etwas im Wenn-Glied einer Wenn-Dann-Aussage vorkommt, ist damit
eine Allaussage gemeint. Z.B.:
(4) Wenn etwas aus Holz ist, dann ist es brennbar
besagt:
Alles, was aus Holz ist, ist brennbar
x(HxBx) mit Hx - x ist aus Holz, Bx - x ist brennbar
Man beachte, daß das "es" im Dann-Glied auf das "etwas" im Wenn-Glied zurückweist --
26
26
d.h. das weder das wenn Glied noch das Dann-Glied sind ein eigenständiger Aussagesatz,
sondern sind eben quantifiziert.
Im folgenden werden wir für die wichtigsten PL-Satztypen die natursprachlichen Korrelate
und deren Ausnahmen angegeben. Die einfachsten Sätze sind natürlich singuläre Sätze (=
Sätze ohne Quantoren) wie:
(5) Wenn Peter krank ist, dann wohnt er bei Mama
Repräsentierung: Fa Pab
Übersetzung:
Fx - x ist krank
Pxy - x wohnt bei y
a - Peter
b - Mama
Die folgenden natursprachlichen Sätze
(6) Eisbären sind weiß
(7) Die Eisbären sind weiß
(8) Der Eisbär ist weiß
(9) Ein Eisbär ist weiß
(10) Jeder Eisbär ist weiß
(11) Alle Eisbären sind weiß
drücken alle eine Allimplikation aus, von der PL-Form:
(12) x(Fx Gx)
Übersetzung:
Fx - x ist ein Eisbär
Gx - x ist weiß
Die folgenden natursprachlichen Sätze
(15) Es existieren Bibelhandschriften aus dem 4. Jh.
(16) Es gibt Bibelhandschriften aus dem 4. Jh.
(17) Einige Bibelhandschriften sind aus dem 4. Jh.
(18) Manche Bibelhandschriften sind aus dem 4. Jh.
(19) (Mindestens) eine Bibelhandschrift ist aus dem 4. Jh.
(20) Es existiert (mindestens) eine Bibelhandschrift aus dem 4. Jh.
(21) Es gibt (mindestens) eine Bibelhandschrift aus dem 4. Jh.
drücken alle einen Existenzsatz folgender Form aus:
(22)
x(Fx  Gx)
27
27
F1x - x ist eine Bibelhandschrift
G1x - x ist aus dem 4. Jh.
Allerdings haben einige dieser Sätze, z.B. (17), eine Zusatzbedeutung - nämlich daß es
nicht nur eine, sondern "einige", also "mehrere" Bibelhandschriften gibt. Noch deutlicher
wird diese Zusatzbedeutung in Sätzen wie
(23) Etliche F sind G
(24) Viele F sind G
etc. Alle derartigen Sätze lassen sich nicht vollständig PL repräsentieren, da wir innerhalb
der P.L. nur zwischen "x" und "x" unterscheiden können.
Wir können also nur eine Teilbedeutung von (23) und (24), nämlich eben "x(Fx  Gx) "
repräsentieren - die Zusatzbedeutung, daß es sich um "etliche", "viele" handelt, ist nicht
p.l. repräsentierbar.
Erwähnt sei, daß es möglich ist, innerhalb der PL Zahlenquantoren zu definieren, z.B.
5x = es gibt genau 5x, sodaß ...
- jedoch behandeln wir solche Zahlenquantoren in unseren einfachen P.L.-Systemen nicht
(man würde dazu die Identität = benötigen).
Dass gewisse natursprachliche Sätze nur in einer Teilbedeutung logisch repräsentierbar
sind, wissen wir ja bereits aus der Aussagenlogik. Wichtig ist hier zu beachten: Wenn A
nur eine logische Teilbedeutung eines natursprachlichen Satzes S repräsentiert, dann ist
A eine inkorrekte Repräsentierung von Nicht-S! Z.B. wird
"Nicht viele F sind G"
durch "x(Fx  Gx) inkorrekt repräsentiert (denn wenn nicht viele F's G's sind, heißt das
ja noch lange nicht, daß kein F G ist).
Folgende natursprachliche Sätze entsprechen PL Allsätzen bzw. PL Existenzätzen mit nur
einem Prädikat:
(25) Jemand hat gerufen
(26) Es hat jemand gerufen
(27) Es fährt etwas auf der Straße
(28) Es gibt platonische Ideen
entsprechen
(29) xFx
(30) Jedermann strebt nach Glück
(31) Jeder strebt nach Glück
(32) Alles ist vergänglich
28
28
(33) Alles fließt
entsprechen
(34) xFx
Ein weiteres Beispiel:
Alle Menschen sind sterblich, aber nur manche sind vernünftig
Die Zusatzinformation im "nur" besagt, daß nicht alle Menschen vernünftig sind.
Also: x(Mx Sx)  x(Mx  Vx)  x(Mx Vx)
mit: Mx - x ist ein Mensch
Sx - x ist sterblich
Vx - x ist vernünftig
Wichtig ist auch, in natursprachlichen Sätzen Quantoren zu identifizieren, die über Orte
(Raumpunkte, Raumintervalle) und über Zeitpunkte (Zeitintervalle) laufen. Bei der Formalisierung solcher Sätze drückt man die gebundenen Ortsvariablen meist durch s und die
gebundenen Zeitvariablen durch t aus (analog zur Physik). Freie Orts- resp. Zeitvariablen
kann man durch ks und kt ausdrücken, wobei k für "irgendeinen konstanten Wert" steht.
Einige Beispiele:
(35) Die Gravitationskraft wirkt überall
entspricht
(36) sWas
Wxs - x wirkt am Ort s
a - die Gravitationskraft
Der Individuenbereich der gebundenen Variable s sind Raumpunkte.
(37) Peter ist immer freundlich
entspricht
(38) tFat
Fxt - x ist freundlich zu t
a - Peter
Der Individuenbereich für t sind Zeitpunkte.
Man sieht an obigen Beispielen: Treten in einem natursprachlichen Satz Orts- und Zeitangaben auf, so sind diese immer als zusätzliche Argumentstellen der Prädikate aufzufassen.
Ein n-stelliges natursprachliches Verb plus Orts- und Zeitangabe ist also in der PL zu repräsentieren als ein n+2-stelliges Prädikat:
29
29
Rn+2x1...xn s t x1...xn: Gegenstandsangaben
s: Ortsangabe
t: Zeitangabe
Für negierte Existenzquantoren hat unsere Sprache eigene Ausdrücke wie "nichts", "keiner" etc. zur Hand. Alle folgenden natursprachlichen Sätze
(39) Es währt nichts ewig
(40) Es gibt nichts, was ewig währt
(41) Es gibt keine platonischen Ideen
(42) Ex existieren keine platonischen Ideen
(43) Niemand hat gerufen
(44) Es hat niemand gerufen
(45) Keiner hat gerufen
(46) Nichts fährt auf der Straße
entsprechen der PL-Aussage:
(47) xFx
Zusammengesetzte negierte Existenzsätze sind etwa
(48) Kein Eisbär ist schwarz
(49) Es gibt keine schwarzen Eisbären
- mit der PL-Form
(50) x(Fx  Gx)
Fx - x ist ein Eisbär
Gx - x ist schwarz
Man beachte die unterschiedliche Stellung der Negation in folgenden Sätzen:
(51) Kein Eisbär ist schwarz
x(Fx  Gx) Negierte Existenzkonjunktion
(52) Der Eisbär ist nicht schwarz
(Alle Eisbären sind nicht schwarz)
x(Fx Gx) Allimplikation im negiertem Hinterglied
(53) Die Eisbären sind nicht alle schwarz
(Nicht alle Eisbären sind schwarz)
x(Fx Gx) Negierte Allimplikation
(51) und (52) haben eine verschiedene grammatische Form, sind jedoch logisch äquiva-
30
30
lent. (53) drückt jedoch etwas anderes aus als (51) und (52)!
Die folgenden Beispiele zeigen abschließend die Repräsentierung von einfachen Sätzen
mit mehreren Quantoren. Voralledem geht es dabei darum, versteckte Quantoren herauszufinden - z.B. ist im Satz (54) "der Mars hat Monde" im "Monde-haben" ein Existenzquantor versteckt: "es gibt einige x, die Monde des Mars sind".
Übersetzungsbeispiele für Relationen und mehreren Quantoren:
a - Mars b - Venus
Mxy - x ist Mond von y
Px - x ist ein Planet
(54) Der Mars hat Monde
xMxa
(55) Alle Planeten habe Monde
x(Px yMyx)
(56) Alle Planeten haben einen gemeinsamen Mond
yx(Px Myx)
(57) Einige Planeten haben keinen Mond
x(Px  yMyx)
(58) Nicht alle Planeten haben einen Mond
x(Px yMyx)
(59) Die Venus hat keinen Mond
xMxb
(60) Nur Planeten haben Monde
x(yMyx Px)
(61) Nicht nur Planeten haben Monde
x(yMyx Px)
(62) Kein Planet hat alle Monde
(Kein Planet hat alle Monde beliebiger Planeten
als seine Monde)
x(Px  y(z(Pz  Myz) Myx))
Übungen zu Kap. 2:
2.4: Man repräsentiere die folgenden Aussagen der natürlichen Sprache durch prädikatenlogische Aussagen. Falls der Objektbereich nicht der universale Bereich ist, gebe man
ihn explizit an.
1) a) Dieser Tisch ist braun und höher als der Stuhl dort.
b) Wenn Peter schlecht gekleidet ist, schimpft mit ihm seine Oma.
31
c) Die Sonne schien ihm um 12 Uhr ins Gesicht.
d) Wer einem anderen eine Grube gräbt, fällt selbst hinein.
e) Meier und Müller kämpften um das goldene Trikot, welches der
Sulmtaler Rennsportclub gespendet hatte.
2) a) Gotische Kathedralen haben Türme.
b) Es gibt keine gotische Kathedrale ohne Turm.
c) Keine gotische Kathedrale ist ohne Turm.
d) Kathedralen mit Türmen sind gotisch.
e) Alle Kathedralen ohne Türme sind nicht gotisch.
f) Nur gotische Kathedralen haben Türme.
g) Nur Kathedralen mit Türmen sind gotisch.
h) Gotische Kathedralen ohne Turm gibt es nicht.
i) Jede Substanz hat einen Schmelzpunkt.
3) a) Alles hat eine Ursache.
b) Es gibt etwas, das alles verursacht hat.
c) Alles hat eine gemeinsame Ursache.
d) Gott ist die Ursache von allem.
e) Wenn eines die Ursache eines zweiten ist, ist das zweite die Wirkung des ersten.
f) Alles wirkt sich auf alles aus.
g) Es gibt etwas, das mit nichts in einer Kausalbeziehung steht.
h) Nichts verursacht sich selbst.
i) Physische Entitäten haben physische und psychische Entitäten
haben psychische Ursachen.
j) Der Geist Gottes ist überall jederzeit vorhanden.
k) Auch den Geist des Teufels gibt es irgendwann und irgendwo.
4) a) Alle Planeten mit großen Monden haben ein Magnetfeld, das auf den Mond wirkt.
b) Nicht nur die Planeten mit Monden, auch die ohne Mond haben
ein starkes Magnetfeld.
c) Nur die Planeten mit Monden, nicht aber die ohne Mond haben
ein starkes Magnetfeld.
d) Alle Planeten mit starkem Magnetfeld haben Monde.
e) Nur wenn nicht nur die Planeten mit Monden, sondern auch die
ohne Mond ein starkes Magnetfeld haben, dann haben alle Planeten
ein starkes Magnetfeld.
31
32
32
3. Prädikatenlogik ohne Identität II: Semantik, deduktive Methode
3.1 Semantik
Die logische Semantik der PL befaßt sich nur mit extensionaler Interpretation. So wie in
der AL den Aussagevariablen Wahrheitswerte (w, f) zugeordnet werden, so werden in der
PL nun den Prädikatvariablen Klassen zugeordnet und den freien Individuenvariablen Individuen. Die PL-Semantik ordnet den PL-Aussagen also abstrakte, rein mengentheoretisch formulierte Strukturen zu, sogenannte Modelle.
12.2 Mengentheoretische Grundlagen
(1) {a, b, c} bezeichnet die Menge bestehend aus a, b und c.
{x: Fx} bezeichnet die Menge aller x, die F sind.
(2) "" ist die Elementrelation. D.h. "aA" besagt, "a ist ein Element der Menge A". Z.B.
gilt a{a, b, c, ...}, oder a{x: Fx} g.d.w. (genau dann, wenn) Fa, usw.
"xD" steht für "alle d in der Menge D gilt "
Analog "xD" steht für "es gibt ein d in der Menge D für das gilt "
(c) Mehrstellige Relationen ordnet man geordnete Folgen von Individuen zu. Z.B. ordnet
man der 2-stelligen Relation "... ist größer als ..." die Menge aller Paare <x, y> zu sodaß x
größer ist als y.
Für ein geordnetes Paar ist die Reihenfolge ausschlaggebend ist, d.h. <x, y> ist ein anderes
Paar als <y, x>.
Bemerkung: Dies ist ein wichtiger Unterschied zwischen Folgen und Mengen: bei
Mengen kommt es nämlich nicht auf die Reihenfolge der Elemente an, d.h. {a, b} = {b, a}.
Dagegen gilt: <a, b>  <b, a>.
Die dreistellige Relation "x geht von y nach z" hat als Extension die Menge aller Tripel
- i.e. geordnete Folgen von drei Elementen - <x, y, z>, sodaß x von y nach z geht. Oder
etwas formaler: Wenn I die "Interpretationsfunktion" ist, die dem Prädikat R3 seine Extension zuordnet, so gilt:
I(R3) = {<x, y, z>: R3xyz}.
Im folgenden stehen D, D1, D2,.. für Mengen, aber auch M, N,
Sei D eine Menge, so bezeichnet Dn die Menge aller geordneten Folgen von n Individuen,
33
33
die aus Elementen von D gebildet werden können. Eine solche geordnete Folge heißt auch
n-Tupel. Dn ist also die Menge aller n-Tupel aus D.
Beispiel: Ist D = {1, 2, 3}, so ist
D2 = {<1, 1>, <1, 2>, <1, 3>, <2, 1>, <2, 2>, <2, 3>, <3, 1>, <3, 2>, <3, 3>}
(e) Extensionalität: Zwei Mengen sind identisch (=) g.d.w. sie dieselben Elemente enthalten.
"  " ist das Zeichen für die Teilmengenbeziehung, dabei steht "  für "unechte oder echte" Teilmenge und "" für "echte Teilmenge".
Angenommen, D1 und D2 sind zwei Mengen, so ist D1 Teilmenge von D2, wenn alle
Elemente von D1 auch in D2 enthalten sind. Ist zudem D1 "kleiner", also nicht identisch
mit D2, so ist D1 echte Teilmenge von D2. Ist zudem D1 identisch mit D2, so ist D1 unechte Teilmenge von D2.
Z.B. für D1 = {a, b} und D2 = {a, b, c} ergibt sich
D1  D2, d.h. {a, b}  {a, b, c} aber
D1  D2, d.h. {a, b}  {a, b, c} daher auch
D1  D2, also {a, b}  {a, b, c}.
Jedoch:
nicht D2  D1, denn cD2 aber c  D1, i.e. nicht cD1.
(Ein durchgestrichenes Zeichen, ≠, , steht kurz für die Negation der korrespondierenden
"undurchgestrichenen" Aussage.)
Mit diesen Grundbegriffen definieren wir nun den zentralen semantischen Begriff der PL nämlich den der Bewertung ür eine gegebene PL-Sprache.
Generell: v(x) = die semantische Bewertung des objektsprachlichen Ausdrucks x.
Eine Bewertung für eine gegebene PL-Sprache ist ein Paar <D, v> wobei D eine nichtleere Menge von Individuen ist  der Individuenbereich - und v ist die Bewertungsfunktion,
für die folgendes gilt:
Für alle Individuenterme t (Individuenkonstanten a und Individuenvariablen x) gilt:
v(t)D
Für alle n-stelligen Pädikate Rn (mit n ≥ 1) (der gegebenen PL-Sprache) gilt:
v(Rn)  Dn d.h. ist irgendeine Menge von n-Tupeln von Individuen aus d.
Speziell: v(F1)  D , d.h. = eine Teilmenge aus D.
Falls die Sprache auch Aussagevariablen (p,) enthält, gilt:
34
34
v(p)  {w,f}
Bewertungsfunktionen von freien Individuenvariablen heissen auch Variablenbelegungen.
Sie haben bloß technische Funktion, für die Definition des Wahrheitswertes von
quantifizierten Formeln.
Bewertungsfunktionen eingeschränkt auf Individuenkonstanten und Prädikate bzw.
Relationszeichen heissen auch Interpretationsfunktionen, man schreibt dafür I
bzw. Iv.
Ein Paar (D,I) nennt man eine Interpretation. Eine Interpretation definiert den
Wahrheitswert für jeden Satz (geschlossene Formel) der Sprache.
Eine Interpretation einer Sprache nennt man auch Struktur oder ein Modell für eine
Sprache.
Wir definieren die Wahrheit von beliebigen PL-Aussagen in einer gegebenen Interpretation wieder rekursiv - d.h. wir definieren die Wahrheit in einer Bewertung zunächst für atomare Aussagen, dann für beliebige aussagenlogische Verknüpfungen,
und dann für quantifizierte Aussagen.
Für "Satz A ist wahr in Bewertung <D, I>" schreiben wir kurz:
<D,I>  A, oder auch v(A) = w (wobei D implizit vorausgesetzt ist),
bzw. <D,I>  A, oder auch v(A) = f .
Der Wahrheitswert von A hängt dabei nur von (D,Iv) ab.
Handelt es sich bei A um eine offene Formel, so steht "(D,v)  A" für die Bewertung (D,v) erfüllt A.
Wahrheit von Aussagen/Erfüllung von Formeln in gegebenen Bewertung <D, v>:
(1) Atomare Formeln: Ist R eine n-stellige Relation, und sind t1,…,tn Terme
dann
<D,v>  Rt1…tn gdw <v(t1),…,v(tn)>  v(R) (sonst  ).
(D,I)  Fa gdw v(a)  v(F)
35
35
Beispiel: D = {1,2,3,4,5}
v(R²) ("<") = {<1,2>, <1,3>, <1,4>, <1,5>,<2,3>, <2,4>, <2,5>, <3,4>, <3,5>,
<4,5>}
v(a) = 1, v(b) = 3
<D,v>  Rab <D,v>  Rba <D,v> Raa
<D,v> Rab  Raa
<D,v> Rbb,
<D,v> Rab  Rba.
Für Aussagevariablen: <D,v>  p g.d.w. v(p) = w.
(2) AL-Verknüpfungen: entsprechen den Wahrheitstafeln und werden kurz so wiedergegeben:
(2a) <D,v>  A g.d.w. nicht <D,v>  A
(2b) <D,v> A  B g.d.w. <D,v>  A und <D,v> 

(2c) <D,v> A  B g.d.w. <D,v>  A oder <D,v> B (oder beides)
(2d) <D,v> A  B g.d.w. <D,v>  A oder <D,v>  B (oder beides)
(3) Quantifizierte Formeln: Referentielle Semantik nach Tarski: Es darf viel mehr Individuen in D geben als Individuenkonstanten in L. (Historisch zuvor: ‚substitutionelle’ Semantik nach Bolzano; Annahme: für jedes d D gibt es einen Namen n in L mit v(n) = d.
Für gewisse Zwecke sinnvoll; aber generell zu eng.)
Notation: Für eine gegebene Bewertungsfunktion v, ist v[x:d] wie v außer, dass sie d
der Variable x zuordnet. Gleichermaßen ist v[x1:d1,…,xn:dn] wie v außer, dass sie xi
di zuordnet (1≤i≤n).
(3a): <D,v>  xA g.d.w. für mindestens ein dD, (D,v[x:d])  A.
(3b): <D,v>  xA g.d.w. für alle dD, (D,v[x:d])  A.
zB <D,v>  xFx gdw dD, <D,v[x:d]> Fx.
36
36
Beispiel - Forsetzung:
Beispiel: D = {1,2,3,4,5}
(R für "<")
v(R²) = {<1,2>, <1,3>, <1,4>, <1,5>,<2,3>, <2,4>, <2,5>, <3,4>, <3,5>, <4,5>}
'Informeller' metalogischer Beweis von <D,v>  x Rxx:
(1)
dD, <d,d>  v(R)
gemäss Festlegung von v(R) und D oben
(2)
dD: nicht <D,v[x:d]>  Rxx
aus (1) gemäß Regel 1
(3)
d D, <D,v[x:d]>  Rxx
aus (2) gemäß Regel 2a
(4)
<D,v>  xRxx
aus (3) gemäß Regel 3b
(Hinweis: )
Metalogischer Beweis von <D,v> xyRxy:
(1) eD: <5,e>  v(R)
gemäss Festlegung von v(R) und D oben
(2) dDeD: (d,e) v(R)
aus (1) gemäß PL-Schlussregel EK informell
(2a) dDeD : nicht <D,v[x:d, y:e]>  Rxy aus (2) gemäß R1
(3) dDeD : <D,v[x:d, y:e]>  Rxy
(4) dD: <D,v[x:d]>  yRxy
(5) <D,v> xyRxy

aus (2a) gemäß R2a
aus (3) gemäß R3b

aus (4) gemäß R3a
Hinweis 1: Dies ist die ausführliche Version metalogischer Beweise.
Sie können auch abgekürzter bzw. "stark informell" sein; zB im ersten Fall:
"<D,v>  xRxx g.d.w. dD, <D,v[x:d]>  Rxx g.d.w. dD: nicht
<D,v[x:d]>  Rxx g.d.w. dD, <d,d>  v(R), und dies trifft auf D und v(R) zu".
Hinweis 2: PL-Schlüsse werden in metalogischen Beweisen benötigt.
Hinweis 3: es folgt speziell für "redundante Quantoren":
(D,v)  xp g.d.w. dD: (D,v[x:d])  p g.d.w. (D,v)  p
(weil p "x" nicht enthält).
Hinweis 4: In der substitutionellen Semantik definiert man:
<D,v>  xA g.d.w. für mindestens eine Individuenkonstante aA[a/x].
<D,v>  xA g.d.w. für alle Individuenkonstanten aA[a/x].
37
37
Objekt- vs. Metasprache: Manche Lehrbücher unterscheiden durchgängig syntaktisch
zwischen sprachlichen Entitäten als Gegenstück zu mengentheoretischen Entitäten
wie folgt: a, b  sind Konstanten in L; kursiv a, b, … sind (zugeordnete) Individuen
in D; gleichermaßen R, QRelationssymbole; R, Q,… (zugeordnete) Relationen
über D, etc. Wir tun das nicht; schreiben d1,d2, für Individuen in D; a, b, für Individuenkonstanten; bzw. machen im jeweiligen Kontext klar, was gemeint ist (also
ob R für ein Relationszeichen oder für eine Relation steht.
(Nur bei Identität unterscheiden wir später zwischen objektsprachlichem  und metasprachlichem =).
Übungsaufgabe 3.1: Bestimme den Wahrheitswert von PL-Formeln:
Unsere PL-Sprache enthalte das zweistellige Prädikat R, das einstellige P, und die freien
Individuenvariablen a, b, c - plus natürlich alle logischen Zeichen. Als Bewertung für unsere Sprache wählen wir:
D = {Sokrates, Plato, Cäsar}.
Für I legen wir fest:
v(a) = Sokrates, v(b) = Plato, v(c) = Cäsar
v(P) = {Sokrates, Plato}.
Intensional ist P die Eigenschaft, ein Philosoph zu sein
v(R) = {<Plato, Sokrates>, < Cäsar, Sokrates>, < Cäsar, Plato>}.
Intensional ist Rxy die Relation "x hat später gelebt als y"
Bestimme den Wahrheitswert folgender Aussagen:
(a) Pa
(b) x(Px  Rxb)
(c) xPx
(d) x(Px yRyx)
38
38
Wir sind nun in der Lage, zu definieren, wann eine PL-Satz logisch wahr ist. Anstelle der
Wahrheitswertbelegungen der AL stehen nun Interpretationen der PL.
1. Ein PL-Satz A ist logisch wahr g.d.w. ihn jede Interpretation <D, I> wahr macht.
Wir erweitern die Begriffe L-Wahrheit / Gültigkeit auf offene Formeln.
Eine offene Formel A ist logisch wahr g.d.w. sie jede Bewertung sie <D, v> wahr macht.
Gültigkeit von Schlüssen:
2. Ein PL-Schluß  // A ist gültig g.d.w. jede Bewertung <D,v>, die alle Prämissen in
wahr macht, auch die Konklusion A wahr macht
Notation: Wir schreiben  || A (oder   A) für "A folgt logisch aus " und
nennen dies auch eine Folgerungsbehauptung.
Der Schluss //A ist gültig genau dann wenn die Folgerungsbehauptung || A
wahr ist.
Erinnere: L-wahre Sätze A entsprechen gültigen Schlüsse mit leerer Prämissenmenge
A ist L-wahr gd.w. || A g.d.w. " //A" ist gültig.
Semantische Beweis- und Widerlegungsverfahren in der PL:
Die volle PL ist unentscheidbar. Es gibt kein allgemeines mechanisches Standardverfahren, um herauszufinden, ob eine gegebene Aussage logisch wahr ist (... usw.).
Denn: während es in der AL für eine Aussage immer nur endlich viele w-Belegungen gibt
(nämlich 2n - für n Aussagevariablen), gibt es in der PL für einen gegebene Aussage immer unendlich viele mögliche Interpretationen. Es ist unmöglich, alle möglichen Interpretationen einzeln zu prüfen (analog zur Wahrheitstafelmethode).
Die einzige generelle Möglichkeit, die Allgemeingültigkeit von PL-Aussagen semantisch
zu entscheiden, ist die über allgemeine metalogische Beweise (dies führt zur sogenannten
Modelltheorie und Metalogik und geht über unseren Rahmen hinaus). Solche beweise beruhen jedoch ihrerseits auf PL-Schlüssen, diwe "intuitiv" bzw. "informell" angenommen
werden.
D.h. im allgemeinen gibt es einen "Zirkel der Logik": die Metalogik der PLSemantik (Mengenlehre) enthält die Regeln des des deduktiven PL-Kalküls in "informeller Gestalt".
Aus diesem Grund kommt der syntaktisch-deduktiven Beweismethode in der P weit größe-
39
39
re Bedeutung zu als in der AL: viele Beweise lassen sich in der PL syntaktisch einfacher
formulieren als semantisch.
Allerdings kann man deduktiv nur L-wahre Sätze beweisen; nicht aber kontingente
Sätze durch Gegenmodelle als nicht L-wahr widerlegen.
Für Widerlegungen braucht man auch in der PL die Semantik: in Form der Konstruktion von Gegenmodellen. (D,v) A
Insgesamt arbeiten deduktive Methode und Semantik der PL so zusammen: vermutet man
einen Satz als PL-logisch wahr, so versucht man zunächst, ihn deduktiv zu beweisen. Gelingt das nicht, so muß man versuchen, ihn semantisch zu widerlegen, indem man versucht, ein Gegenmodell zu konstruieren - also ein Model, welches den Satz falsch macht.
Beispiel: Wir wollen zeigen, daß (xFx  xGx) x(Fx  Gx) nicht logisch wahr ist
Unsere Interpretation lautet D = {1,2}, v(F) = {1}, v(G) = {2}.
Wir zeigen, daß sie ein Gegenmodell ist.
Beweis:
Erinnere: "v(A) = w" steht für (D,v)  A"
(1) 1v(F)
gemäß Festlegung von v(F) und D
(2) v[x:1](Fx) = w
Aus (1) gemäß Regel 1
(3) v(xFx) = w
aus (2) gemäß Regel 3a
(4) 2v(G)
gemäß Festlegung von v(G) und D
(5) v[x:2](Gx) = w
aus (4) gemäß Regel 1
(6) v(xGx) = w
aus (5) gemäß Regel 3a
(7) v(xFx  xGx) = w aus (3), (6) gemäß Regel 2b und informellem AL-Schluss.
Die Prämisse (bzw. das Wenn-Glied) ist in der Interpretation also wahr.
Andererseits ist das Dann-Glied falsch. Beweis:
(1) 1v(G)
gemäß Festlegung von v(G) und D
(2) v[x:1](Gx) = f
aus (1) gemäß R1
(3) v[x:1](FxGx) = f aus (2) gemäss R2b und AL-Schluß
(4) 2v(F)
gemäß Festlegung von v(F) und D
(5) v[x:2](Fx) = f
aus (4) gemäß R1
(6) v[x:2](FxGx) = f aus (5) gemäss R2b und AL-Schluß
(7) v(x(FxGx)) = f aus (3), (6), Festlegung D und R3a.
Daher (D,v)  (xFx  xGx) x(Fx  Gx)
40
40
Was wir hier getan haben, nennt man wie gesagt metalogisches Beweisen. Einige
Schritte darin sind "Abkürzungen" mehrere Schritte, deshalb 'informell'. Wie gesagt
können solche Beweise viel informeller sein.
Letztlich ist ein metalogischer Beweis ein PL-Beweis in der Sprache der Metalogik
und unter benutzung von Definitionen (mengentheoretischen Axiomen) der Metalogik.  Zwischen Logik und Metalogik besteht eine unentrinnbare Zirkularität.
Es gibt ein heuristisches Verfahren, um für eine gegebene PL-Aussage herauszufinden,
ob sie logisch wahr ist oder nicht bzw. einen PL-Schluß, ob er gültig ist oder nicht): die
sogenannte Methode des finiten Universums (ausführlich z.B. im Buch von Virginia
Klenk). Diese Methode beruht darauf, daß ein Allquantor einer (evtl. unendlichen) Konjunktion entspricht, ein Existenzquantor einer (evtl. unendlichen) Disjunktion.
Wir nehmen ein endliches, kleines Modell. Dieses sollte zumindest für jede im Schluß
bzw. in der Aussage enthaltene Individuenkonstante ein Individuum enthalten, welches
wir zugleich mit einem Standardnamen benennen. Betreffend die Quantoren kommt man
aus, wenn man zusätzlich für so viele Individuen nimmt, wie es unterschiedliche Quantoren gibt, die in den Prämissen vorkommen, oder die in der Konklusion vorkommen (die
höhere Zahl von beiden zählt) (Faustregel).
Sei N die Menge der Namen für unsere Individuen. Dann ersetzen Allquantoren durch
Konjunktionen, und Existenzquantoren durch Disjunktionen.
Beispiel: Mit N = {a,b} wird
aus xFx wird Fa  Fb
aus xFx wird Fa  Fb
 Diese Übersetzungsregel wird auf jede elementare quantifizierte Teilformel angewandt.
bei verschachtelten Quantoren von innen nach außen, oder von außen nach innen,
muß dasselbe herauskommen)
aus xyRxy wird zunächst x(Rxa  Rxb)
und daraus die AL-Aussage (Raa  Rab)  (Rba  Rbb)
Generell gilt: Jeder PL-Satz impliziert seine AL-Übersetzung, aber nicht umgekehrt.
Ist die Aussage nicht AL-wahr (bzw. der Schluß AL-ungültig), so ist auch der entsprechend PL-Aussage nicht PL-wahr (bzw. der PL-Schluß nicht PL-gültig). Falls die ALAussage sich aber als AL-wahr herausstellt, so können wir nur im Fall eines Satzes
der monadischen PL (plus Faustregel) daraus schließen, dass er L-wahr ist.
Generell: Die Methode ist in der monadischen Prädikatenlogik korrekt und vollständig.
Die monadische PL ist daher entscheidbar. Für mehrstellige Relationen ist die Methode
ein Speziellfall des sogenannten Herbrand-Theorems (s. später)  hier benötigt man oft
unendlich viele Namen, was wiederum die Unentscheidbarkeit der vollen PL zeigt.
41
41
Übungsaufgabe 3.2:
Finde für folgende PL-Schlüsse mithilfe der Methode des finiten Universums heraus ob sie
gültig oder ungültig sind.
Bei relationalen Aussagen: wann ist eine konklusive Antwort möglich, wann nicht?
1-8 Wiederholung Logik I
Monadische PL, einlagige Quantoren:
sowie umgekehrt
1) xFx  xGx // x(FxGx)
2) xFx  xGx // x(FxGx)
sowie umgekehrt
sowie umgekehrt
3) xFx  xGx // x(FxGx)
4) xFx  xGx // x(FxGx)
sowie umgekehrt
sowie umgekehrt
5) xFx  xGx // x(FxGx)
6) xFx  xGx // x(FxGx)
sowie umgekehrt
sowie umgekehrt
7) xFx  xGx // x(FxGx)
8) xFx  xGx // x(FxGx)
sowie umgekehrt
Monadische PL, Verschachtelte Quantoren,
9) xFxyFx // xy(FxFy)
10) xy(FxFx) // xFx
11) x(FxyGy) // xFx  yGy
sowie umgekehrt
12) x(FxyGy) xFx  yGy
13) xFx  yGy  x(FxyGy)
14) xFx  yGy // x(FxyGy) 
15) x(FxyGy) // xFx  yGy
16) x(FxyGy) // xFx  yGy
17) xFx  yGy // x(FxyGy)
Relationale PL
18) xyRxy / yxRxy
19) xyRxy // yxRxy
20) xyRxy // xRxx
21) xyRxy // xRxx
22) xyRxy // xRxx
23) xyRxy // xyRxy
24) für Fortgeschrittene: Warum versagt die Methode des finiten Universums, um ein
Gegenmodell für folgende Vierer-Konjunktion von PL-Formeln zu finden. Die Konjunktion besagt, dass die zweistellige Relation R "grösser als" irreflexiv, antisymmetrisch und
transitiv ist  also eine partielle Ordnungsrelation, visuell dargestellt als azyklischer
Graph welche keine Endelemente bzw. grössten Elemente hat.
xRxx  xy(RxyRyx)  xyz(RxyRyzRxz)  xyRyx
42
42
Einige semantische Theoreme (und Metatheoreme) der PL:
(1.) Alle Theoreme, Schlüsse und Metatheoreme der AL gelten auch in der PL. Der Unterschied ist nur, daß wir für Aussagevariablen bzw. Schemabuchstaben in AL-Theoremen
nun beliebige PL-Aussagen einsetzen dürfen
Z.B. sind
Fa  (Fa Ga) // Ga
// xFx (xFx  xGx )
// xFx  xFx
aussagenlogisch gültig bzw. L-wahr.
Instanz von
A, A B // B
// A (A  B)
// A  A
bzw. p, pq // q
Hinweis: jede nicht AL-zerlegbare Teilformel eines PL-Satzes/Schlusses (eine sogenannte
elementare Teilformel) wird wie ein AL-Schemabuchstabe behandelt.
Übungsaufgabe 3.3: Was ist die propositionale Form der folgenden Formeln
und/oder Schlüsse:
a) x(FxGx)  (xFxQy),
(b) Fa  z(xRxz y(FyGyz)), (c)
(FaGa) / (Fa Ga), (d) (FaxGx)xRxx(FxGx)), (e) xFx
xGx)  xFx, (f) x(Fx Gx)  xFx, (g) (xyFxy xyFxy).
3.4 Welche der folgenden Theoreme von Schlüssen der PL sind propositional gültig?
Wenn sie es sind, was ist ihre propositionale Form?
xFx xGx) ||xFx, x(Fx Gx) ||xFx,
xFx, xFx xGxHx), xGx Qa || Qa
xFx , xFx xGxHb), xGx Ha || Ha  Hb.
43
43
(2.) Spezifische PL-Theoreme und Metatheoreme  Grundregeln unseres deduktiven
Kalküls S (in semantischer Version)
Notation:
A[t/x] steht für das Resultat der uniformen Substitution der freien Individuenvariable x
durch den Term t,
vorausgesetzt der Term t ist keine Individuenvariable, die im Bereich eines Quantors in A
liegt, der sie bindet (zB t=y, und t liegt im Bereich von y oder y).
Wir sagen dann auch: die Termsubstitution ist konfusionsfrei (oder t ist frei für x in A).
Ansonsten Variablenkonfusion! Im letzteren Fall muss der x-Quantor zuerst in einen anderen Quantor (z.B. z-Quantor) gebunden umbenannt werden, d.h durch eine neue (noch
nicht vorkommende) gebundene Individuenvariable uniform ersetzt werden (genaue Def.
später).
Übungsaufgabe 3.4a: Führe die folgenden Substitutionen mit Ik‘s durch:
(Fxy Gxz)[a/x]
xyRxy)[a/x,b/y]
yPy  xRxy)[c/y]
x(FxyGxy) Px)[a/x]
yRxy)[a/x]
xFx  Fx[a/x]
x(Rxy[b/y]  Ray[b/y]).
Unkritische Regeln:
(UI) xA || A[t/x]
für beliebige A, x und t
Universelle Instanziierung
Beispiel: xFx || Fa xFx || Fy
(EK) A[t/x] || xA
Existenz-Einführung in der Konklusion
Beispiel: Fa || xFx Fy || xFx
(Hinweis: falls x in A nicht vorkommt, trivial aber auch korrekt)
Beispiel für Ungültigkeit aufgrund Variablenkonfusion: A = yRxy
yRxy[z/x] = yRzy
xyRxy || yRzy ist gültig
yRxy[y/x] = yRyy  Variablenkonfusion. xyRxy || yRyy ungültig !
Gebundene Umbenennung von y in u: aus yRxy wird uRxu
44
44
xuRxu || uRyu gültig
Übung 3.4b Führen Sie folgende Variablensubstitutionen durch; wo entsteht Variablenkonfusion bzw. muss gebunden umbenannt werden.
y(RxyQxy)[z/x]
y(RxyQxy)[y/x]
y(RxyxQxz)[x/y]
y(RxyxQxz)[x/z]
y(RxyxQxz)[y/z]
yRxy xQxz[y/z]
xy(FxzGyu)[x/z, z/u]
Kritische Regeln
(UG) Universelle Generalisierung:
Wenn A1, ..., An || B[a/x], und die Individuenkonstante a kommt weder in A1, ..., An
noch inB vor, dann auch A1, ..., An || xB[x].
(EP) Existenzeinführung in der Prämisse
Wenn A[a/x], B1, ..., Bn || C, und die I.k. a kommt weder in C noch in B1, ..., Bn
noch in  vor, dann auch xA, B1, ..., Bn || C.
Hinweis: wird hier zunächst für Individuenkonstanten definiert.
Gilt zwar auch für Individuenvariablen (zu beweisen)
Gilt aber nicht generell für funktionale Terme.
Weitere Theoreme  später.
45
3.2 Deduktiver Kalkül der PL  Kalkül S:
3.3 Deduktive Kalküle für die Aussagenlogik
! Es gibt verschiedene mögliche Axiomatisierungen einer Logik, definiert durch eine
Semantik ! Haben jeweikls Vor- und Nachteile.
Axiome & Regeln 1. Stufe - Kalküle (Hilbert)
Zwei Arten deduktiver Kalküle
Kalküle natürlichen Schließens
Regeln 1. & 2. Stufe - Kalküle
Zwei Wege der Repräsentation von Kalkülen natürlichen Schließens:
Sequezenrepresentation – meta-logisch
Satzrepresentation  natürlich
z.B. Gentzen Style
z.B. Fitch-Style
Einheiten des Beweises sind Schlüsse
Einheiten des Beweises sind Sätze.
Logik I+II
= Sequenzen.
Sie sind Teil der Objektsprache:
Sequenzaxiome
Basisregeln: Regeln 1. Stufe 
z.B. A, AB | B (MP)
z.B.: A, AB / B (MP)
"A, AB" wird als Prämissenmenge gelesen
Die Schnittregel wird explizit angewendet Die Schnittregel wird implizit in der
oder implizit durch Sequenzenregeln
Beweisverkettung verwendet; z.B. MP:
mit gleicher Prämissenmenge
wenn  /A, und /AB herleitbar,
P:  | A,  | AB /  | B
dann /B herleitbar
Sequenzregeln mit veränderter
Prämissenmenge:
| A,  /  | B.
Annahmebeweisregeln: Regeln 2. Stufe


..... A Unterbeweis
B
45
46
46
Der Kalkül S (Approximation Logik I)
Alle Formelmengen in Beweisen werden als
P1
P2
finit angenommen (Beweise sind konkrete
zwischen Präm
Entitäten.)
Bereichsindikator
erlaubt
Trennlinie
und Abgeleitetem
C
(Bereich der Prämissen)
(Unterbeweis)
verboten
Wiederholung Aussagenlogik:
Neben Fitch-Style gibt es (z.B.):
Copi-Style
; Quine-Stern-Style *; AndersonBelnap explizite Abhängigkeitsaufzeichnung
47
Sequenzen-Präsentation:
A
Sequenz-Axiome:
Reiteration
REIT:A | A
A
A
Satz-Präsentation:
A
Basisregeln:
Sequenzregeln:
Modus Ponens, -Beseitigung:
MP: | A und  | AB / , | B
Anmerkung: Da als Regeln 2. Stufe formuliert,
kann die Trennlinie irgendwo über A, AB liegen
Simplifikation , -Beseitigung:
SIMP: | AB / | A |
A
AB
B
| AB / | B
Konjunktion, -Einführung:
KON:  | A and | B / ,  | AB
Addition, -Einführung:
ADD: | A / | AB ,
BA
AB
A
AB
B
A
A
A
B
AB
| A / | BA
AB

Disjunktiver Syllogismus  -Beseitigung:
DS: | AB und | A / , | B
| AB und | B / , | A
AB
A
B
AB
B
A
Klassische Doppelte Negation  -Beseitigung:
kDN:
| A / | A
Annahmebeweisregeln:
Konditionalbeweis - -Einführung:
KB: , A | B / | AB
(hier verschwinden Prämisse in Konk.sequenz)
intuitionistischer indirekter Beweis -  -Einf.:
iIB: , A | BB / | A
A
A
A
A
B
AB
B B
A
47
48
48
Definition Beweisbarkeit in S:
Sequenzen-Präsentation:| A ist beweisbar in S, kurz |S A, gdw ein Beweis
für | A existiert, d.h. eine endliche Folge von Sequenzen <1|A1,…,n|An>
sodass die Schlusssequenz die zu beweisende Sequenz ist (n=, An=A), und jede
Sequenz i | Ai entweder ein Axiom ist, oder aus ein oder zwei voriger Sequenzen
nach einer der Regeln folgt.
Satz-Präsentation:
| A ist beweisbar in S gdw eine endliche Sequenz
<A1,…,An> existiert, zusammen mit einer Indikation von Prämissen-und Annahmebereichen, sodass An = A und jedes Ai entweder ein Element vonoder eine Annahme eines geschlossenen Unterbeweises ist, oder aus früheren Elementen gemäß
einer der Basisregeln folgt oder aus einem geschlossenen Unterbeweis gemäß einer
der Annahmebeweisregeln.
Im System S sind folgende Desiderata erfüllt:
1) Für jeden AL-Operator gibt es genau eine Einführungs- und eine Ausführungsregel. Daher:  Alle Regeln sind voneiander unabhängig (keine Redundanz).
2) Durch Weglassung der Regel kDN entsteht genau der intuitionistische Kalkül.
3) Im System S lernt man die Parallelität von Sequenzenkalkül und Satzkalkül auf
einfache Weise kennen.
Weitere Definitionen deduktiver Begriffe:
| A, oder A ist ein Theorem von S, gdw |S A.
Wir dehnen das Konzept |S wie folgt auf unendliche Prämissenmengen aus:
|S A gdw f |S A für irgendein endliches f .
Cn() = {A: | A} = die (deduktive) Konsequenzmenge von 
Cn(A) := Cn({A}). Cn(A) wird auch der logische Gehalt von A genannt.
Cn() = die Menge der Theoreme von S.
Ab jetzt schreiben wir | A als Abkürzung für |SA, wenn der Kontext klar ist.
49
Abgeleitete Regeln:
Modus Tollens:
AB
MT: | B, | AB / , | A
B
A
intuitionistische DN:
A
(iDN):  | A /  | A
A



klassischer indirekter Beweis:
BB
kIB (Logik I: IB): , A | BB /  | A
A
spezielle Fallunterscheidung:
A
sFU: , A | B und , A | B / , | B
B
A
B
B
AB
Allgemeine Fallunterscheidung:
A
aFU: , A | C und , B | C / , , AB| C
C
B
C
C
49
50
50
Folgende Metaregeln sind implizit in die Satzpräsentation (Sequenzenrepräsentation mit Sequenzenregeln) eingebaut:
Schnitt bzw. Cut  | A,
A | B / ,  | B
Monotonie MON:  | A / ,  | A
Vertauschung: , P1, P2 | A  P2, P1 | A
Kürzung: , P1, P1 | A 
P1 | A
 Allgemeine Bemerkungen:
Um kurze und intuitiv transparente Beweise zu gewährleisten, sind Satz-Kalküle des
natürlichen Schließens (Fitch-Kalküle) zu bevorzugen, für metalogische Einfachheit
sind Sequenzen-kalküle vorzuziehen.
Einer weitere Art von Kalkülen sind Axiom-Regel-Kalküle (Hilbert-Kalküle);
bestehen nur aus Axiomen (z.B. A(BA), AA, usw.), haben als einzige Regel den MP, und haben keine Metaregeln (Annahmeregeln).
Hinweis (Logik II Lechner):
Man kommt mit KB als einziger Annahmebeweisregel aus, indem man alle anderen Annahmebeweisregeln in Pfeilform schreibt:
Statt sFU:
, A | B,
, A | B / ,  | B
setzt man sFU:
 | AB,  | AB / , | B
51
Beispiel einer Überführung von Satzpräsentation in Sequenzenpräsentation:
Beweis von: (A  (B  C)) | (A  B  C)
Satzpräsentation:
1) A  (BC)
Präm
2)
AB
KB-Ann
3)
A
Simp 2
4)
BC
MP 1,3
5)
B
Simp 2
6)
C
MP 4,5
7) AB  C
KB 2-6
Sequenzenpräsentation: man nehme zunächst Reit-Sequenten der Form A | A an:
1) A  (BC) | A  (BC)
Reit
2) AB | AB



Reit




Simp 2
3) AB | A
4) A  (BC), AB | BC
MP 1, 3
5) AB | B
Simp 2
A  (BC), AB | C
MP 5,4
7) A  (BC) | AB  C 

KB 6 


Übungen 3.5+3.6 Wiederholung Aussagenlogik  sofern Zeit bleibt:
Übung 3.5 optional: Beweise A  C, B  C | (A  B)  C in Satz- und Sequenzenpräsentation
Übung 3.6 optional: Herleitung der abgeleiteten Regeln des Systems S (s. oben) aus
den Basisregeln.
51
52
52
Kalkül S für PL ohne Identität (PL)
Sequenzen-Präsentation
Satz-Präsentation
AL-Regeln:
Jedes Axiom und jede Regel von S0
i1
A1
in
An
Zusätzlich:  als eine 'Abkürzung von PL-Beweisen':
(Taut): 1 | A1, …, n | An / {i:1in} | B
sofern A1,…,An | B "offensichtlich" tautologisch gültig ist
B
Taut i1,...,in
Unkritische Quantor-Regeln:
Universelle Instantiierung - -Beseitigung:
xA
UI:  | xA / | A[t/x] ( für jedes Iv. x und Term t)
A[t/x]
Hinweis: gilt auch für funktionale Terme wie "f(a)" (später)
(Durch Reit gewinnt man in Sequenzenpräsentation Regel 1. Stufe: xA | A[t/x]))
Durch KB gewinnt man Theorem: | xA A[t/x]
Beispiel von Instanzen der Regel:
"->" ist die Instanziierungsfunktion"
| xyRxy / | yRay
x->x, t->a, A->yRxy, A[t/x]->yRay
| yRay / | Rab
x->y, t->b, A-> Ray, A[t/x] -> Rab
Existenzeinführung in der Konklusion EK:
auch genannt: existenzielle Generalisierung
A[t/x]
EK: | A[t/x] / | xA (für jede Iv x und Term t)
xA
Regel 1. Stufe: A[t/x] | xA
Theorem | A[t/x]  x
53
Übungen 3.7: Welche sind korrekte Instanzen von UI bzw. EK ( evtl. in mehreren
Schritten?) Bilde die Instanziierungsfunktion.
UI: xRxx / Raa
xRxy /Ray
xRxx /Rxa
xyRxy / yRya
xyRxy / yRyx
xyRxy / Rba
yxRxy / Raa
xy(RxyGxx) / y(RzyGzc)
xy(RxyGxx) / y(RayGxa)
EK: vertauschen yRya / xyRxy
y(GxzHyz) / xy(GxzHyz)
xFxxGx / Fa  Ga
xyRxy / yRcy
yRyyxyRxy
Faa / xFxx Faa/xFxa Fab / Exxx
Übung 3.9 Beweise folgende PL-Schlüsse nur mit UI bzw. EK und AL:
(1) (Fa  Ga) / xFx
(2) xFx / xFx
(3) xFx, Fa Gb / xGx
(4) A[a/x]  B[b/x], A[a/x] / xB
(5) xFx/ xFx
53
54
54
Kritische Quantor-Regeln:
(haben Restriktionen R)
Universelle Generalisierung - -Einführung:
A[a/x]
(UG): | A[a/x] / | xA
xA R: a nicht in xA
R: a kommt nicht in oder xA vor
oder Prämisse oder
offene Annahme
Intuition: Wenn wir A[a] für irgendeine Konstante a beweisen können, ohne irgendetwas darüber anzunehmen, dann können wir dieselbe Behauptung für alles beweisen. Beispiele von Instanzen: (a, c nicht in )
| Rac / | xRxc
Instanz: x->x, a->a, A->Rxc, A[a/x]->Rac
| xRxc / | yxRxy Instanz: x->y, a->c, A->xRxy, A[a/x]->xRxc
 Gegenbeispiel zu "a nicht in A"
Sei A = FaFx, A[a/x] = FaFa.
| FaFa
aber|-/- x(FaFx) | | Fa xFx (s. u.).
Statt a darf nicht beliebiger Term gesetzt werden. Für funktionale Terme wie
f(a) ist UG ungültig. (s. später)
Wir dürfen aber über Variablen generalisieren:
(UGv): | A / | xA wobei x nicht frei in 
(Ugv ist abgeleitete Regel; folgt aus restlichen Regeln).
ExistenzEinführung in der Prämisse EP - als Annahmebeweis:
xA
Auch genannt: Existentielle Instantiierung
A[a/x]
(EP): A[a/x] | B / , xA | B
Vorausgesetzt R: a nicht in  oder B oder xA
B
B
R wie oben
55
KB-Version:  | A[a/x]  B /  | xAB
(EPv): A | B / , xA | B
(R wie oben)
wobei R: sofern x nicht frei in  oder B
Übung 3.10: Welches sind korrekte Instanzen von UG bzw. EP. Bilde die Instanziierungsfunktion:
UG: x(FxGx) | Fa / x(FxGx) | xFx
x(FxGx)Fa | Ga / x(FxGx), Fa | xGx
xRxb | Rab / xRxb | yRay
EG: Fa | x(FxGx) / xFx | x(FxGx)
x(FxGx), Fa | Ga / x(FxGx), xFx | Ga
x(RxaQxa), Rba | xQbx / x(RxaQxa), xRbx | xQbx
xRxa | Rba / yxRxy | Rba
Beispiele von Beweisen:
1. zuerst Quantoren beseitigen, mitteils UI und EK
2. dann aussagenlogischer Beweisteil
3. dann Quantoren wieder einführen mittels UG und EP
 wir instanziieren die Individuenvariablen durch Individuenkonstanten
x(A  B) / xA
(1) x(AB)
(2) A[a/x]  B[a/x]
(3) A[a/x]
(4) xA
Präm
UI aus (1), a komme in (1) nicht vor
(d.h., a wird so gewählt)
SIMP (2)
UG (3), R: a nicht in (1), (4)
(Würden wir, statt UG, Ugv benutzen, wäre der Beweis etwas einfacher,
aber 'abstrakter'; wir bleiben bei UG und EP)
...


55
56
56
x(A  B) // A  xB, sofern x in A nicht frei vorkommt.
(1) x(A  )
(2) A  B[a/x]

(3) A
(4) A  xB

(5) A
(6) B[a/x]
(7) xB
(8) A  xB
(9) A  xB
Präm
UI (1), a komme in (1) nicht vor
sFU-Ann.
ADD (3)
sFU-Ann.
DS (5), (2)
UG (6), R: a nicht in (1), (5), (7)
ADD (7)
sFU (3) - (4), (5) - (8)
xFx, x(Fx Gx) // xGx
(1) xFx
(2) x(Fx Gx)

(3) Fa
(4) Fa Ga
(5) Ga
(6) xGx
(7) xGx
Präm
Präm
EP-Ann. für (1)
UI (2)
MP (3), (4)
EK (5)
EP (3) - (6) R: a kommt in (6), (1), (2) nicht vor
xyRxy // xxRxy
(1) xyRxy

(2) yRay
(3) Rab
(4) xRxb
(5) yxRxy
(6) yxRxy
Präm
EP-Ann. für (1)
UI (2)
EK (3)
UG (4), R: b nicht in (1), (2)!, (5)
EP (2) - (5), R: a nicht in (1) und nicht in (5)
Inkorrekter Beweisversuch für yxRxy // xyRxy (ungültig!)
(1 yxRxy
Präm
(2) xRxa
UI (1)
(3) Rba
EP-Ann. für (2)
  (4) yRby
Inkorrekt: UG (3) geht nicht, denn R ist nicht erfüllt: a kommt
in der offenen EP-Annahme Rba vor!
57
57
Beispiel eines inkorrekten Beweisversuches für xFx, xGx // x(Fx  Gx)
(1) xFx
Präm
(2) xGx
Präm
(3) Fa
EP-Ann. für (1)

(4) Ga
EP-Ann. für (2)
(5) Fa  Ga
Kon (1), (2)
(6) x(Fx  Gx) EK (5)

(7) x(Fx  Gx) Inkorrekt: EP (4) - (6) geht nicht!
R verletzt , denn a kommt in der noch offenen Annahme (3) vor !
xFx // xFx
(1) xFx
(2) xFx
(3) Fa
(4) Fa
(5) Fa  (pp)
(6) pp
(7) pp
(8) xFx
Präm
iIB-Ann.
EP-Ann. für (2)
UI (1)
ADD (4)
DS (3), (5)
EP (3)-(6), R: a nicht in (1), (2), (6) 
IB (2)-(7)

Beachte, daß wir hier den "Trick" mit der Addition mit "pp" in (5) durchführten, weil
wir die EP-Annahme vor der IB-Annahme abschließen wollten, und dazu darf die Widerspruch, den wir in (7) erhalten, die Variable a nicht mehr enthalten. Mit "FaFa" wäre
das nicht gegangen.
Übung 3.11 Beweise folgende PL-Theoreme bzw. Schlüsse:
xFx / x(Fx  Gx)
xA  yA[y/x]
sofern y nicht in A, weder gebunden noch frei
x(Fx  Gx)  xFx xGx
x(Fx Gx) / x(FxHx Gx Hx)
x(Fx Gx) , x(Gx Hx) / x(Fx Hx)
x(y(Fxy Gxy) y(Hxy Gxy)) / xy(Fxy  Hxy Gxy)
7) Man zeige, warum der Beweis von
xy(Fxy Gxy) xy(Hxy Gxy) / xy(Fxy  Hxy Gxy)
scheitert.
x(Fx Gx), xFx / xGx
58
9) xFx / xFx
xFx / xFx
xy(RxyQxy) / yx(QxyRxy)
xyzRxyz / zyxRxyz
13) xyRxy / xRxx
14)xA  xB // x(A  B)
) x(Fx  Gx) // xFx  xGx
16) xFx  xGx // x(FxGx)
17) A  xB // x(A  B)
wenn x nicht in A
58
59
4. AL-Äquivalenzkalkül
Zwei Formeln A, B sind logisch äquivalent gdw || A  B.
Zwei L-äquivalente Formeln haben dieselbe Konsequenzenmenge, oder den selben
logischen Gehalt: || A  B gdw Cn(A)=Cn(B).
Basis-Äquivalenzgesetze des Äquivalenzkalküls Ä:
(DN)
A  A
doppelte Negation
(Komm)
(A  B)  (B  A)
Kommutativität von 
(Komm)
(A  B)  (B  A)
Kommutativität von 
(Ass)
(A  (B  C))  ((A  B)  C)
Assoziativität von 
(Ass)
(A  (B  C))  ((A  B)  C)
Assoziativität von 
(Idem)
A  (A  A)
Idempotenz von 
(Idem)
A  (A  A)
Idempotenz von 
(Distr)
(A  (B  C))  ((A  B)  (A  C))
--Distributivität 1
(Distr)
(A  (B  C))  ((A  B)  (A  C))
--Distributivität 2
(DM)
(A  B)  (A  B)
deMorgan 
(DM)
(A  B)  (A  B)
deMorgan 
(Def)
(A  B)  (A  B)
Bedeutung von 
(Def)
(A  B)  ((A  B)  (B  A))
Definition von 
(ÜbTaut)
A  (B  B)  A
überflüssige Tautologie
(ÜbKont)
A  (B  B)  A
überflüssige Kontradiktion
(GTaut)
A  (B  B)  (B  B)
generelle Tautologie
(GKont)
A  (B  B)  (B  B)
generelle Kontradiktion
(Abs)
A  (A  B)  A
-Absorption
(Abs)
A  (A  B)  A
-Absorption
59
60
60
n-stellige Operationen:
Kommutativität, Assoziativität und Idempotenz von  und erlauben uns n-stellige
Konjunktionen und Disjunktionen über Mengen von Formeln ohne Klammern geschrieben, einzuführen.
{A1,…,An} A1 …  An bzw. { A1,…,An} 
Speziell {A} =df {A} =df A, =df T, =df .
A1 …  An bzw.
Generalisierte Äquivalenztheoreme
(GTaut) ZB: A (CBEB)  A
(GKont) ZB:
A (CBEB)  A
(GAbs) ZB: AB(AC)  AB
(GAbs) ZB: AB(AC)  AB
(GDistr)
Z.B.: (A1…Am)  (B1…Bn)  (A1B1)  …  (AmBn) (mn Disjunkte)
(GDistr.)
ZB: (A1…Am)  (B1…Bn) (A1B1)  …  (AmBn) (mn Konjunkte)
(GDM) ZB: (A1An) = (A1An)
(A1An) = (A1An)
Notation: Wenn B eine Teilformel von A ist, dann bezeichnet A[B/C] eine Formel,
die aus der Ersetzung von einigen Vorkommnisse von B durch C resultiert (variable
Referenz)
Theorem: Ersetzung von Äquivalenten:
(Semantische Version:) Wenn || B  C, dann || A  A[B/C].
(Syntaktische Version: | anstelle von ||).
Der Kalkül Ä ist nachweislich korrekt und vollständig.
61
Der Kalkül Ä: Basis-Äquivalenzen, plus Regel der Ersetzung von Äquivalenten:
Beispiel:
Beweis von | (( pq)  (qr)) (p q r)
(pq) (qr)
| --------------DeM
(pq) (q r)
| -------------Def

 (pq) (q r)
|-------------DeM
(pq) (q r)
|-------------DN
(pq) qr)
| ------------Ass (Wegfall von Klammern)

 pqq r
|------------Idem
pqr
Übung 4.1:
Beweisen Sie die folgenden Äquvalenzen in Ä:
(A  B)  (B  A)
Kontraposition
(A  B)  (A  B)
Falsifikation
(AB)(AB)  (A  B)
((pq) (qr))  (pq)
(p p)  p
(p (q r))  (p  q r)
(p (q r))  (q (p r))
(A B)  (A C)  (A B  C))
(A B)  (C B)  (A  C B)
(A B)  (C B)  (A C B)
in Ä:
61
62
62
A  (A B)  A  B
A  (A B)  AB
p (q r))  (r (p q))

Normalformen:
Eine Aussagevariable oder deren Negation wird Literal (auch: Basissatz) genannt wir schreiben ±pi.
Definition (Normalformen):
1. Eine konjunktive Normalform KNF ist eine Konjunktion von (distinkten) Disjunktionen von (distinkten) Literalen.
(± p1,1 …±p1,n1)
…
(pm,1 … ±pm,nm)
ein elementares Konjunkt.
Beispiel: (p  q)  (r  p  q), aber nicht (pq), p  (q  (rp)), usw.
2. Eine disjunktive Normalform DNF ist eine Disjunktion von (distinkten) Konjunktionen von (distinkten) Literalen.
(± p1,1 …±p1,n1)
…
(pm,1 … ±pm,nm)
Beispiel: (p  q)  (r  p  q), aber nicht (pq), p  (q  (rp)), usw.
3. B ist eine KNF von A gdw B eine KNF ist, ||BA und P(B)  P(A).
(wobei P(A) = Menge der in A vorkommeneden Aussagevariablen)
4. B ist eine DNF von A gdw B eine DNF ist, ||BA und P(B)  P(A).

Eine Formel A kann mehrere verschiedene KNFs von DNFs haben (nicht ineinander
überfahrbar durch modulo Permutation von Konjunkten und Disjunkten!):
Z.B.: pq: KNFs: nur pq
DNFs: pq, (pq) p q, (pq) (pq) (pq)
pq: DNFs: nur pq
KNFs: pq, (pq)p q, (pq) (pq)(pq)
63
Definition: Eine KNF (DNF) einer Formel A wird irreduzibel genannt, wenn keine
KNF (DNF) von A kürzer ist.
Beispiele: (pq)p q ist keine irreduzible DNF von pq, nur pq.
(pq) (pq)(pq) ist keine irreduzible KNF von pq, nur pq.
Hinweis: ist stärkerer Begriff von INF als der der internen Streichbarkeit von überflüssigen Gliedern!
Mithilfe der folgenden Prozedur können wir jede Formel A in eine DNF oder KNF
von ihr umwandeln:
(1) Wir eliminieren  und  via Def und Def
(2) Wir bringen 's vor Aussagevariablen via GDM und GDM, DN.
die sog. Negations-Normalform.
(3) Wir produzieren eine kurze KNF oder DNF via GAss, GAbs, GAbs, GTaut,
GKont, IdemIdem und:
für KNF führen wir GDistr  durch  für DNF führen wir GDistr  durch.
4. Durch die Anwendung weiterer Äquivalenzumformungen, können wir immer eine
irreduzible KNF oder DNF produzieren.
63
64
64
Beispiel:
(p q)  (q (rp))
|------------------------------ Def
(p q)  (q (rp))
|------------------------------ 2 x DM
(p q) (q (r p))
|------------------------------ 3 x DN
(p q) (q (r p))
(=> Negationsnormnalform)
|------------------------------ 2 x Ass
 p q (q  rp)
ist eine DNF
|------------------------------ Absorp
p q
Ist eine DNF und eine KNF
Wenn wir nicht die Abkürzung der Absorption benutzt hätten, sondern mit genereller
Distribution fortgefahren wären, wäre die Umformung wie folgt weitergegangen:

 p q (q  rp)
|------------------------------ GDistr.
(pqq)  (pqr)  (pqp)
|----------------------------1xIdem, 1xGTaut
(pq)  (pqr)
|----------------------------Absorp
pq
Übung 4.2: Produzieren Sie kurze (möglichst irreduzible) KNFs und DNFs der folgenden Formeln:
(s t) (p q)
(p  (p q))  ((pr)p)
(p1  (p2  p3))  ((p1  p2)  p3)
(s  r)  (p  q)  r
(s t) (p q)
(p  (p q)) ((pr)p)
(p (q  (rq)))
p ((rq)  s)
65
(pr s (qr)))
(p1  (p2 p3)) ((p1 p2)  p3)
(s  r) (p  q)  r
r (s  t)) r) s(st))
(p q) (q (rp))

Normalformen sind wichtig für automatisiertes Theorem-Beweisen durch Resolutions-Widerlegung!
1. Wir wandeln einen Schluss | A in ,A um und versuchen daraus  zu
beweisen.
2. Wir wandeln , A in eine Menge von elementaren Disjunktionen
(sog. Klauseln) um:
3. Wir wenden nur die Regel der Resolution AB, AC / BC an,
bis wir letztlich  produziert haben.
Resolutions-Widerlegung ist ein vollständiger Kalkül.
Beispiel: Beweis von pq,  qr, rs ||  ps durch Resolutions-Widerlegung:
pq, qr, rs || ps
T
T
(ps) T
T
ps
pq, q, r , rs,
p
T : Transformation in Klauseln
Umwandlung in Sätze
(Umwandlungsschritte)
ps
s
p

Resolutionsschritte
(Abgeleitet: Widerlegungsbeweis
erfolgreich!)
65
66
66
Definition (ausgezeichnete Normalform):
1. A ist eine ADNF (eine ausgezeichnete DNF) von B gdw A eine DNF von B ist,
deren elementare Konjunktionsglied jedes pP(B) genau einmal enthalten, entweder
unnegiert, oder negiert.
2. Gleiches für eine AKNF (ausgezeichnete KNF).
Wir können eine DNF von B zu einer ADNF von B durch den folgenden Trick erweitern: wenn die DNF ein Disjunkt D enthält, welches eine Variable pP(B) nicht enthält, dann ersetzen wir es durch
(Dp) Dp)
nach Distr.
- gleiches für KNFs.
Beispiel: pq ist eine ADNF von sich selbst, aber keine AKNF.
Seine AKNF ist (pq) (pq)  (pq).
 Theorem (ausgezeichente Normalform):
1. Jedes Proposition A (und alle damit L-äquivalente A') besitzt eine einzige ADNF
und eine einzige AKNF (abgesehen von - bzw. -Permutationen.
2. Jedes elementare Disjunkt von ADNF von A entspricht einer Zeile von A's
Wahrheitstafel, welche A wahr macht. Sprachliches Pendant zu möglichen Welten.
3. Es gibt genau 2(2n) (verschiedene) Propositionen ausdrückbar in L({p1,…,pn}), die
jeweils mit einer eindeutigen ADNF, und AKNF in p1,,pn korrespondieren.
Übung 4.3: Wie lauten die ausgezeichneten disjunktiven Normalformen von
1. p q
2. p q
3. (pq)p
4. (pr)  (qr)

67
67
5. Der PL-Äquivalenzkalkül
PL-Äquivalenzregeln von Ä:
Man benötigt die folgenden Äquivalenztheorem für Umformungen in die pränexe Normalform:
(Umb) xA yA[y/x]
Gebundene
wobei y nicht frei in A,
xA  yA[y/x]
Umbenennung
und kein freies x in A im
Bereich eines y-Quantors
() xA  xA
Zusammenhang (sichere Strategie: y neu)
xA  xA
Allquantor-Existenzquantor
(HDist) Unter der Annahme: x nicht frei in A:
A  xB  x(A  B)
Distribution durch
A  xB  x(A  B)
Herausziehen/Hereinziehen von
A  xB  x(A  B)
Quantoren für  und 
A  xB  x(A  B)
(ÄDist) x(A  B)  xA  xB Äquivalenzdistribution
x(A  B)  xA  xB für , 
Weitere Äquivalenztheoreme (keine Basisregeln)
(HDist 
Distrib. durch Heraus/Hereinziehen für
(A xB)  x(A B)
wenn x nicht frei in A
(xA B)  x(A B)
wenn x nicht frei in B
(A xB)  x(A B)
wenn x nicht frei in A
(xA B) x(A B)
wenn x nicht frei in B
(ÄDist):
x(A B)  (xA xB)
(QVert) Quantorenvertauschung, nur bei gleichen Quantoren :
xyA  yxA
xyA  yxA
Nur zur Information: Einseitige Implikationstheoreme:
Einseitige Distributionen:
xA  xB x(A  B)
x(A  B ) xA  xB
68
68
x(A B ) (xA xB)
x(A  B)  xA  xB
x(A  B) (xA  xB)
x(A  B) (xA  xB)

Einseitige Quantorenvertauschung:
xyA yxA
Variablen-Identifizierung:
"() " zur besseren Veranschaulichung
 xA(x,x) xyA(x,y)
xyA(x,y) xA(x,x)
Definition der pränexen Normalform:
Eine pränexe DNF (KNF) ist eine Formel beginnend mit Quantoren gefolgt von einer
quantorenfreien DNF (oder KNF, respektive).
Schematische Struktur:  x1… xn ( (Fx1Rx1x2)  (Gx1x3  Fx2)  … )
analog für PKNF
Beispiel von Ä-Umformung (Äquivalenzkalkül der PL):
x(yRxy (z(Qxz tFxat) zGxz) )
|----------------------------------------------- Def
x(yRxy (z(Qxz tFxat) zGxz) )
|----------------------------------------------- Def
x(yRxy (z(Qxz tFxat) zGxz) )
|----------------------------------------------- Def  DN
x(yRxy (z(Qxz tFxat) zGxz) )
|----------------------------------------------- ÄDist 
x(yRxy  z( (Qxz tFxat) Gxz) )
|----------------------------------------------- Ass 
x(yRxy  z( Qxz tFxat Gxz) )
|----------------------------------------------- HDist
xy(Rxy  z( Qxz tFxat Gxz) )
|----------------------------------------------- HDist
xyz(Rxy  (Qxz tFxat Gxz) )
|----------------------------------------------- Ass 
xyz(Rxy  Qxz tFxat Gxz)
|------------------------------------------------HDist
xyzt(Rxy  Qxz Fxat Gxz)
(eine PDNF und PKNF)
69
Hinweis: hätte x(yRxy (z(Qxz yFxay) zGxz) ) dagestanden, hätten
wir zu erst „yFxay“ gebunden in „tFxat“ umbenennen müssen.
Algorithmus der Umformung
1) Umformung in Negationsnormalform
2) Quantoren vorziehen
3) -Distributionen in Matrix zum Schluss
Übungen 5.1: Formen Sie die folgenden Formeln in eine PDNF, oder PKNF um:
Führen Sie dabei möglichst wenig neue Quantoren ein.
x(FxyRxyzQxz))
x(Fx yRxy   zQxaz))
x((yRxy zQxz) (z(Rxz  Fz))
x((yTxya zSxz)  (yTxy  Rxxx))
xy(Fxy Gxy) xy(Hxy Gxy)
xy(Rxy z(Qyz Szx))
xy(Rxy y(Qyy Sx))
x(y(Fxy Gxy) z(Hxz Gxz) )
xFx  xGa) (xQxaxRx)
xFxxGx)  (xHxxKx)
x(Fxy(GyHy))
Zur Aufgabe xy(Rxy y(Qyy Sx)):
Wie komme ich von
xy(Rxy  y(Qyy Sx)) zu xy(Rxy  (Qyy Sx)) ?
Antwort: Über H-Dist invertiert:
x(yRxy  y(Qyy Sx))
Und dann Ä-Dist.
Sonst bräuchte man xA  A, wenn x nicht frei in A; ebenso für x.
69
70
Vorgriff auf Identitätskalkül:
x(Gx  y(Fy  xy) )

x(FxGx  y(Fy  xy)).
70
71
6. PL mit Identität und Funktionszeichen
Das Alphabet enthält zusätzliche nichtlogische Symbole:
 Für jedes n>0: eine abzählbare Menge Fn von n-stelligen Funktionssymbolen f, g,
f1, f2,
(Individuenkonstanten a als 'nullsteige Funktionen‘, Aussagevariablen als 'nullstellige
Prädikate‘ auffassbar)
Zusätzliches logische Symbol:  die (objektsprachliche) Identität.
Semantik: Bewertungen (D,v). Neu ist nur Interpretation von Funktionszeichen:
Für f Fn, v(f) ist eine n-stellige Funktion über D,
f ordnet jedem n-Tupel von Individuen in D genau ein weiteres Individuum in D zu.
Man schreibt v(f): DnD.
Erläuterung zu Funktionen: (Vorgriff auf Mengenlehre):
Im folgenden verwenden wir = für die Identität der mengentheoretischen Metasprache, und  für die Identität der Objektsprache, sowie
 für die Implikation der mengentheoretischen Metasprache, und  für die Implikation der Objektsprache.
Eine einstellige Funktion (Abbildung) von D nach D, geschrieben als f: DD, ist eine binäre Relation f  DD, also eine Menge von Paaren <x,y> aus DD, welche
zwei Bedingungen erfüllt (jetzt steht "f" statt "v(f)"; Metasprache):
(1) Funktionalität oder Rechtseindeutigkeit:
x,y,z: <x,y> f und <x,z>  f  y=z.
schreib : y = f(x)
f(x) heisst Wert von f an (der Stelle) x -- i.e. das einzige y so dass <x,y>f gilt.
(2) Der Argumentbereich (domain) von f, dom(f) := {x: y(<x,y>  f)}, deckt alle
Objekte in D ab.
Der Wertebereich (range) von f, ran(f) := {y: <x,y>f für irgendein x} kann eine
echte Teilmenge von D sein.
71
72
72
Hinweis. in "f:DD" steht "" nicht für eine Implikation, sondern eine Zuordnung.
Analog für n-stellige Funktionen:
Dn = DD (n-mal), also eine Menge von n-Tupeln <x1,,xn> aus D.
Eine n-stellige Funktion von Dn nach D, geschrieben als f: DnD, ist eine n+1stellige Relation f  DnD, also eine Menge von n+1-Tupeln aus Dn+1, welche folgende Bedingungen erfüllt:
(1) Funktionalität oder Rechtseindeutigkeit:
x1,,xn Dn, y,zD: <x1,,xn,y> f und <x1,,xn,z>  f  y=z.
(2) Der Argumentbereich dom(f) := {<x1,,xn>: y(<x1,,xn,y>  f)} deckt alle nTupeln in Dn ab.
Zurück zur Sprache: Z.B. stehe "m(x)" für "die Mutter von x", D ist der Bereich der
Wirbeltiere. "a" für "Peter. Dann bezeichnet "m(a)" die Mutter von Peter.
Mit "b" für "Anna" steht „f(a)  b“ für "die Mutter von Peter ist identisch mit Anna".
Mit "f(x,y)" für "x+y" steht "f(3,4)  7" für 3+4 = 7
Man kann beliebig komplexe Terme bilden, z.B.
m(m(m(a))) = die Urgroßmutter von a.
Oder: f(1,f(2,f(3,f(4,5))))) = 1 + (2 + (3 + (4 + 5))))).
Oder: f(g(x,y),h(g(x,y),z)).
Usw.
Rekursive Definition von "(singulären) Termen von L " :
T bezeichnet die Menge aller Terme
V Menge der Indeividuenvariablen, C Menge der Individuenkonstanten
1. s V C
 s T
2. f Fn (für n>0), und t1,…,tn T

dann ft1…tn T
Klammerkonvention: Wir dürfen auch f(t1,…,tn) statt ft1…tn schreiben. Nur dann
kann man obere Indizes bei Funktionszeichen ohne Konfusionsgefahr weglassen.
Wir dürfen auch (ab) statt ab schreiben.
73
Restlichen Formregeln wie zuvor:
Rn Menge der n-stelligen Relationssymbole
Fo(L) auch für Menge aller Formeln von L
1. wenn RRn, t1,…,tn T 
t1, t2 T 
Rt1…tn Fo(L )
atomare Formeln
t1t2  Fo(L)
Terminologie: Eine Formel ohne Quantoren wird singulär genannt.
Eine atomare Formel oder ihre Negation nennt man Literal, oder Basis-Satz (Carnap).
Eine Formel der Form x1…xnA für singuläres A wird rein universell genannt
Eine Formel der Form x1…xnA für singuläres A wird rein existentiell genannt
Rekursive Extension der Bewertungsfunktion v auf beliebige komplexe Terme:
1. Bewertung von Termen:
(i) Für t  VC: v(t)  D.
(ii) Für n>0, f  Fn, t1,…,tn  T: v(f(t1,…,tn)) = v(f)(v(t1),…,v(tn))
Beispiel:
+:NNN
D = {1, 2, 3, 4, ...} ,v(a) = 1, v(b) = 2, v(c) = 3, v(f) = +
v(f(a, b)) = v(f)(v(a), v(b)) = +(1, 2) = 1 + 2 = 3.
Daher: <D,v>  f(a,b) c.
v(f(c, f(a, b)) = v(f)(v(c), v(f(a,b))) = +(3, 1+ 2) = (1 + 2) + 3 = 1 + 2 + 3 = 6
2. Bewertung von Formeln: Wir bisher
Also für atomare Formeln: Für n0, RRn, t1,…,tn T:
(D,v) Rt1…tn g.d.w. <v(t1),…,v(tn)>  v(R) (sonst = 0).
Neu ist: (D,v) t1t2 g.d.w. v(t1) = v(t2).
Termsubstitution A[t/x]: Definition wie zuvor.
73
74
74
Koinzidenztheorem  Koinzidenz von Substitution und Bewertungswechsel
Wenn die Substitution A[t/x] konfusionsfrei ist, dann: v(A[t/x]) = v[x:v(t)](A)
Metalogischer Beweis durch Induktion: später
UI-Theorem: || xA  A[t/x] (vorausgesetzt A[t/x] ist konfusionsfrei)
Semantischer Beweis mittels Koinzidenztheorem.
Durch Kontraposition: wir zeigen || A[t/x]  xA.
Angenommen für beliebiges <D,v> gilt <D,v>  A[t/x], also v(A[t/x]) = 0. Dann,
nach Koinzidenzlemma, v[x:v(t)](A) = 0. Also gibt es dD (nämlich v(t)), sodass
v[x:d](A)=0. Also, v(xA) = 0, i.e. <D,v>  xA.
Wir haben damit gezeigt, für beliebiges und damit (UG!) für alle <D,v>, wenn
<D,v>  A[t/x], dann <D,v>  xA, somit || A[t/x]  xA. Q.E.D.
Erinnerung: UG:  | A[a/x] /  | xA (a nicht in , A)
gilt nur für Individuenkonstanten (und -variablen), nicht für komplexe Terme (Funktionsausdrücke):  Gegenbeispiel 1: A = Fx, t = f(a).
x(FxFf(x)), Fa | Ff(a)
 der Term f(a) taucht nicht in der Prämissenmenge auf.
Aber x(FxFfx), Fa |-/- xFx!
75
Zusätzliche Regeln und Axiome für S= (S mit Identität):
t=t
Identität - -Einführung:
(Id):| tt
(Anm.: äquivalent mit | x(x=x) )
für jedes tT
Extensionaliät (Substitution von Identischem, Gleichheit) - -Beseitigung:
(Ext): | t1t2 / | A[t1/x]  A[t2/x] für alle xV, tiT
t1t2
(Sequenzenschreibweise)
(sofern Substitution konfusionsfrei)
A[t1/x]A[t2/x]
Regelschreibweise: t1t2 / A[t1/x] A[t2/x] Regelschema
Einige Instanzen von (Ext):
ab / Fa  Fb
t1->a, t2b, A Fx, A[t1/x] Fa, A[t2/x] -> Fb
ab / xRxa  xRxb
A -> xyRxy,
x -> y ,
A[t1/x] -> xyRxy[a/y] = xRxa, A[t2/x] -> xRxb
Übung 6.1
Bilden Sie die Instanzen von Ext für Prämissen af(b), wobei A folgende Formel ist:
(i) FxGx, (ii) xFx, (iii) RaxyRyf(x), (iv) Fx(Gyf(x)Gg(x)),
(v) yz(Rxyz xQg(z)x).
Wichtige abgeleitete Identitätstheoreme und -regeln:
1. Symmetrie: | t1t2 / | t2t1
Beweis:
1.t1t2
Präm
2. t1t1  t2t1 
xt aus 1 (für A -> (xt1))
3. t1t1
Id
4. t2t1
MP 2,3
75
76
76
2. Transitivität: t1t2, t2t3 /t1t3.
Übung 6.2: Beweisen Sie die Transitivität von .
3. (Ext): | { titi' : 1≤i≤n} A[x1/t1,…,xn/tn]  A[x1/t1',…,xn/tn'])
Beweisskizze: Richtung von :zuerst ersetzen wir die Variablen x1,…,xn in A durch
neue Variablen z1,…,zn die nicht in A, oder in t1, , tn vorkommen, und erhalten A*.
Dann führen wir die sukzessive Substitution zu A*: A*[z1/t1], A*[z1/t1][z2/t2],
A*[z1/tn]…[zn/tn] durch. Jede dieser Formeln wird logisch impliziert, durch
{ titi' :
1≤i≤n} via (Ext) und AL. A*[z1/tn]…[zn/tn] ist identisch mit A.
Richtung von : folgt aus der Symmetrie von und AL. QED.
Übung 6.3
Formalisieren und beweisen Sie:
a) Peter ist der Älteste des Teams. Peter ist nicht älter als Pit. Pit gehört zum Team.
daher: Pit ist Peter
b) Everybody loves my baby. But my baby don't love nobody but me. Daher. Everybody loves me.
c) Peter ist der einzige, der mehr trinkt als Hans. Klaus ist Raucher. Peter ist Nichtraucher. Daher: Klaus trinkt nicht mehr als Hans.
[Aufgaben mit Funktionszeichen:] d) Uwe ist der Vater von Tom. Peters einziger
Bruder ist der Vater von Tom. Also ist Peters einzige Bruder Uwe.
e) Uwe ist der Vater von Tom. Der Vater von Tom ist ein Bruder von Peter. Also ist
Uwe ein Bruder von Peter.
…,
77
Übung 6.4 Beweisen Sie:
a) x(xt)
diskutieren Sie die Bedeutung für
b) | Ft  x(Fxxt)
Ontologie und Wissenschaftstheorie
c) | Ft  x(xt Fx)
Anm.: Ein Satz wird essentiell quantifiziert genannt gdw er quantifiziert ist und nicht
L-äquivalent mit einem singulären Satz. (Gleiches gilt für "essentiell universell" und
"essentiell existentiell").
77
78
78
7. Äquivalenz- und Ordnungsrelationen
Wir sprechen im folgenden öfters über die Relationszeichen R und die dadurch ausgedrückten Relationen v(R); und benutzen als Notation: R steht abkürzend für v(R),
a für v(a), f für v(f), usw.
Definition (Äquivalenzrelation, Gleichheitsrelation):
R bezeichnet eine Äquivalenzrelation über dem Bereich D, bzw. R ist eine Äquivalenzrelation, gdw R zweistellig ist und gilt:
1. Reflexivität: xRxx
2. Symmetrie: xy(Rxy  Ryx)
3. Transitivität: xyz(Rxy  Ryz  Rxz)
Eine spezielle Äquivalenzrelation: Die Identitäts- (oder diagonale) Relation, ausgedrückt durch : v() = {<x,x>: xD}, bzw. v() = '='.
Identität '=' ist die feinste Äquivalenzrelation über D.
Definition einer Partition bzw. Zerlegung:
Eine Partition (Zerlegung, Klassifikation) einer Menge D ist eine Klasse P(D) von
paarweise disjunkten und zusammen erschöpfenden Teilmengen von D.
 P(D)=D.
bezeichnet X die Vereinigung aller Mengen
D.h. es gilt: für alle x, y  P(D), xy = , und
Anm.: für X eine Klasse von Mengen,
in X
Bild:
79
Definition von Äquivalenzklassen:
Wenn R eine Äquivalenzrelation über D ist, dann bezeichnet
1. Für jedes aD, [a]R =df {bD: <a,b>R} die R-Äquivalenzklasse von a (in D),
oder die Äquivalenzklasse von a modulo R.
2. D/R =df {[a]R: aD} = die R-Partition von D.
Äquivalenzklassen sind eine wichtige Konstruktionsmethode in Philosophie, Ontologie, und Mathematik (Russell).  Beispiele:
Entität
identifiziert mit der Äquivalenzklasse von:
Mathematik:
Rationale Zahl
Klasse aller Erweiterungen einer Bruchzahl
Reelle Zahl
Klasse aller Folgen rationaler Zahlen mit gleichem Grenzwert
Kardinalzahl
Klasse gleichmächtiger Mengen
Logik:
Proposition
Klasse logisch äquivalenter Sätze
Ontologie:
Universal
Klasse alle typidentischen Tropen (=Eigenschaftsinstanzen)
Physik:
Zeitpunkt
Klasse zeitgleicher Punktereignisse
Raumpunkt
Maximale Klasse von sich überdeckenden Körpern
Weltlinie:
Klasse aller genidentischen Ereignisse
Definition von partielle Ordnungsrelationen:
1. Eine strikt partielle Ordnung über D ist eine binäre Relation R über D, die die folgenden Konditionen erfüllt:
Prototyp: <
[a. Irreflexivität: x Rxx

b. Anti-Symmetrie: xy(Rxy  Ryx)
c. Transitivität
(wie oben)
folgt aus b! ]
Übung
79
80
80
2. Eine schwach partielle Ordnung über D ist eine binäre Relation R über D, die folgendes erfüllt: Prototyp: 
a. Reflexivität (wie oben)
b. Asymmetrie (schwache anti-Symmetrie): xy(Rxy  xyRyx)
d.h.: xy(Rxy Ryx xy)
c. Transitivität.
Wir schreiben x <R y für Rxy als strikt partielle Ordnung, und x ≤R y für Rxy als
schwach partielle Ordnung. Dies steht nun als Abkürzung für objektsprachliche Sätze!
Strikte und schwache Ordnungen sind interdefinierbar:
xy( x ≤R y  x <R y  xy).
xy(x <R y  x ≤R y xy).
Definition von totalen Ordnungen:
1. Eine strikt partielle Ordnung R über D ist eine strikt totale  sog. lineare Ordnung
 gdw sie zusätzlich schwache Konnektivität erfüllt:
x,y(x <R y  y <R x  x y).
2. Eine schwach partielle Ordnung R über A ist eine schwach totale (oder lineare)
Ordnung gdw sie zusätzlich Konnektivität erfüllt:
x,y(x R y  y R x).
Hinweis: In einer nur partiellen Ordnung können Elemente unvergleichbar sein. Sie
können als gerichtete Pgade eines gerichteten azyklischen Graphen dargestellt werden. Bild:
Totale Ordnungen haben keine unvergleichbaren Elemente – ihre Struktur ist linear
Bild:
81
In empirischen Anwendungen, haben wir normalerweise keine (partiellen oder totalen) Ordnungen, sondern (partielle oder totale) Quasi-Ordnungen: hierbei können
zwei verschiedene Objekte den selben Rang auf der Ordinalskala haben. Daher gilt
weder a < b, b < a noch a=b.
Definitionen und Fakten bezüglich (schwacher) quasi-Ordnungen:
1. R über D ist eine schwache partielle quasi-Ordnung (R) g.d.w. R reflexiv und
transitiv ist.
hi
d e
f g
ab c
2. R über D ist eine schwache totale quasi-Ordnung g.d.w. R reflexiv, transitiv und
konnex ist.
hi
d e f g
ab c
3. Wir definieren die Relation R der Ranggleichheit durch:
Ded.: xy(x R y  x ≤R y y ≤R x).
Hinweis: R ist eine Äquivalenzrelation
s. Übung
4. Wir definieren eine strikte quasi-Ordnung durch:
Def.: xy(x <R y  x ≤R y  y ≤R x).
5. Wir können jede quasi-Ordnung über D in eine Ordnung über den Äquivalenzklasssen von D bezügl. R umwandeln.
Übung 7.1: Welche der folgenden Relationen ist eine Äquivalenzrelation? Erläutern
Sie wieso (bzw. wieso nicht): x lebt weit weg von y, x hat das selbe Geschlecht wie
y, x ist ein Geschwister von y, x ist ein Nachbar von y, x hat die selbe Farbe wie y, x
hat annähernd dasselbe Gewicht, wie y.
Übung 7.1*: Beweise: logische Äquivalenz ist eine Äquivalenzrelation.
81
82
82
Übung 7.2: Für eine gegebene Menge D, welche ist die gröbste Äquivalenzrelation
(extensional die umfassendste) und welche ist die feinste (extensional die kleinste)
Äquivalenzrelation über D, und was sind die korrespondierende Partition von D?
Übung 7.3: Welche der folgenden Relationen ist (i) eine Quasi-Ordnungsrelation, (ii)
eine Ordnungsrelation - und wenn eines von beiden, ist sie (iii) partiell oder total?
x wiegt mehr als y (physische Dinge), x ist mehr Geld wert als y, x ist annähernd 20
cm größer als y, x ist mindestens 20 cm größer als y, Ich mag Person x mehr als Person y, Handlung x is moralisch zu bevorzugen gegenüber Handlung y.
- Anhand von |: x ist ein Teiler von y, x ist kein Teiler von y.
Übung 7.4: Betrachten Sie folgende Quasi-Ordnung R über A = {a,b,c,d}: R = {a≤a,
a≤b, a≤c, a≤d, b≤b, b≤c, b≤d c≤c, c≤b, c≤d, d≤d}. Konstruieren Sie die Äquivalenzklassen bezügl. R und die totale Ordnung über A/R.
Übung 7.5: Beweisen Sie: Ist  R eine schwache partielle Ordnung, dann ist R (definiert) eine Äquivalenzrelation. Übung 7.5* Beweisen Sie: xy(x>y  xy)
Übung 7.6: Formalisieren Sie und beweisen Sie, unter Berücksichtigung der Eigenschaften der Relationen:
1) Peter ist genauso alt wie Hans. Ute ist nicht genauso alt wie Peter. Daher: Ute ist
nicht genauso alt wie Hans.
2) Peter ist älter als Udo. Hugo ist jünger als Udo. Paul ist gleich alt wie Hugo. Daher
ist Peter älter als Paul.
Übung 7.7: Sind folgende Schlüsse gültig?  Falls ungültig, versuche man ein Gegenmodell zu konstruieren, von dem man ausserdem zeigt, dass die Axiome für Quasiordnungen darin erfüllt sind.
1) Susi ist gleich groß wie Hanna. Hanna ist kleiner als Lena. Susi ist kleiner als Maria. Also sind Lena und Maria gleich gross.
2) Susi ist grösser als Hanna. Hanna ist kleiner als Lena. Also sind Lena und Susigleich gross.
3) Susi ist grösser als Hanna. Hanna gleich groß wie Lena. Susi ist gleich groß wie
Maria. Also ist Maria grösser als Lena.
83
8. Zahlquantoren und definite Deskriptionen
Ausdrücken von Zahlen, Teil von Frege’s Programm:
Erinnere: {Ai: 1in} = {A1,,An} = A1A2An
nx := x1…xn{xixj: 1≤i<j≤n}
D hat mindestens n Elemente
Lies: Es gibt ein x1, x2,,xn sodass diese x-e alle voneinander verschieden sind, d.h.
x1 verschieden von x2, x1 verschieden von x2 und x3, usw.
Anders geschrieben:
nx := x1…xn{xixj: 1j  jn  1i  in  i<j}
Ein Beispiel für n= 4:
4x :=
i=1: j=2 j=3,
j=4
i=2: j=3, j=4
i=3, j=4
x1x2x3x4(x1x2 x1x3x1x4  x2x3x2x4x3x4)
nxFx := x1…xn({Fxi:1≤i≤n} {xixj :1≤i<j≤n }
Es gibt mindestens n Fs, oder v(F) hat mindestens n Elemente
Beachte: Die Formel x1…xn({Fxi:1≤i≤n} könnte auch in einem D mit nur einem Individuum d wahr sein, wenn alle xi auf d referieren.

nx := x1…xn+1({xixj :1≤i<j≤n}  {xixn+1 |:1≤i≤n})
D hat höchstens n Eemente
Lies: Für alle x1, x2,,xn, xn+1 gilt: wenn die Variablen x1, x2 ,…,xn voneinander verschiedene Individuen bezeichnen, dann bezeichnet die Variable xn+1 eines der von x1
bis xn bezeichneten Individuen.
nxFx :=
x1…xn+1({Fxi:1≤i≤n+1} {xi  xj) :1≤i<j≤n }  {xixn+1 |:1≤i≤n})
Es gibt höchstens n Fs, oder v(F) hat höchstens n Elemente

!nx =df nx nx
D hat genau n Elemente
!nxFx =df nxFx nxFx Es gibt genau n Fs, oder v(F) hat genau n Elemente
83
84
84
Definition: !xFx := !1xFx.
Nach Übung 8e) unten, !xFx  xy(Fx (Fyxy))
Und nach 8f), !xFx  xy(Fy  xy).
Russell's Definition
Übung 8.1: Beweisen Sie, einmal informell-semantisch, dann syntaktisch:
Frege's Idee der Reduktion von Arithmetik zu Logik:
a) x(Fx Gx) nxFx mxGx (n+m)x(FxGx)
a')nxFx mxGx max(n,m)x(FxGx)
b) nxFx mxGx (n+m)x(FxGx)
c) x(Fx Gx)  n!xFx !mxGx  !(n+m)x(FxGx).
 Dies deckt jedenfalls nur den finiten Teil der Arithmetik ab. Wir können nicht
über „alle“ natürlichen Zahlen in dieser Weise sprechen.
Weiters, nur optional:
d) !nx  x1…xny( {xi  xj) :1≤i<j≤n} {xiy | 1≤i≤n} )
e) !nxFx  x1…xny({Fxi xixj) :1≤i<j≤n} (Fy  {xiy | 1≤i≤n})
f) !nxFx  x1…xny({Fxi xi  xj) :1≤i<j≤n}Fy {xiy |
1≤i≤n}))
Spezialfall: !xFx  xy(Fy  xy).
Hinweis. daraus folgt xFx, aufgrund der UI-Instanz "Fxxx".
85
Russell's Beseitigungsmethode für Eigennamen durch definite Beschreibung :
Statt mit Namen kann man Individuen auch mit definiten Beschreibungen benennen.
Russell’s „Eliminationsprogramm“: für jeden Namen "a" nimmt Russell eine definite
Beschreibung F(x) an.
Heisst auch „Jota-Operator“
Definition von Namen: a := xFx, vorausgesetzt !xFx ( dasjenige x, welches...)
F kann komplexes Prädikat
Russell’s Ersetzung von definiten Beschreibungen (G komplexe Eigenschaft):
(kontextuelle Definition= „G“ ist der Kontext in dem definiert wird)
Ga = G( x(Fx)) := !x(FxGx)  x(Gx y(Fy  xy))
[ x(FxGx y(Fy  xy)) gilt ebenfalls; "Fx " folgt]
Russells Definition G(
x(Fx)) := !x(FxGx) ist wichtig, um mit definiten Be-
schreibungen logisch umzugehen, auch wenn man nicht Russell’s Eliminatiionsprogramm für Eigennahmen annimmt (wie z.B. Kripke), weil viele Individuen nicht
durch Eigennamen sondern durch definite Beschreibungen bezeichnet werden.
Übung 8.2: (a) Gemäss der Theorie von Strawson sind Sätze wie
"der gegenwärtige Kaiser von Deutschland ist behaart"
weder wahr noch falsch (Wahrheitswertlücken).
Was folgt aufgrund von Russells Methode für den Wahrheitswert dieses Satzes?
(b) Diskutieren Sie die resultierende Ambiguität von "Ga" anhand des Beispiels:
"der gegenwärtige Kaiser von Deutschland ist nicht behaart"
– was sind die zwei möglichen Lesarten in Russell's Theorie der Namen?
8.3: Sind folgende Argumente gültig? Wenn ja, formalisieren und beweisen Sie.
Wenn nein, konstruieren Sie ein Gegenmodell.
a) Peter liebt Ute. Ute liebt jemanden, der sie liebt. Daher: Ute liebt Peter.
b) Peter ist der Liebhaber von Ute . Ute liebt jemanden, der sie liebt. Daher: Ute liebt
85
86
86
Stand Übungen
Peter.
c) Peter ist der Liebhaber von Ute. Daher: Ute liebt Peter. [Achtung: Übersetzung
ambig]
d) Ute hat einen Liebhaber, aber Peter ist er nicht. Ute liebt nur solche, die sie lieben.
Daher: Ute liebt nicht Peter.
e) Der Autor der KrV ist nicht der Autor des Faust. Kant ist der Autor der KrV. Daher: Kant hat nicht den Faust geschrieben.
f) Die Eltern einer Person sind niemals mit der Person identisch. Daher sind Peter,
Peters Mutter, Peters Oma und Peters Urgroßoma mindestens vier Personen.
g) Die Eltern einer Person sind niemals mit der Person identisch. Daher sind Peter,
Peters Mutter, Peters Oma und Peters Urgroßoma mindestens zwei Personen.
87
9. Informelle Mengenlehre  die Metalogik der PL-Semantik
Eine Menge = eine 'Sammlung' von Individuen (beliebiger Art), die selbst als Individuum betrachtet wird.
Eine Menge lässt sich charakterisieren
 wenn endlich, rein extensional, durch Auflisten ihrer Elemente : {a1,,an}
 durch eine gemeinsame Eigenschaft: {x: Px} = die Menge aller Objekte x,
für die "Px" gilt.
 durch eine rekursive Definition: z.B. die natürlichen Zahlen:
0  |N, und wenn n|N, dann (n+1) |N; sonst nichts.
Ein Objekt, das keine Menge ist: ein Urelement.
Wichtige Charakteristiken von Mengen: sie sind invariant gegenüber Permutationen
und Wiederholung ihrer Elemente: {a,b} = {b,a} = {a,a,a,b,b} etc.
Sprache der informellen Mengenlehre  terminologische Konventionen:
A,B (A1, A2) stehen für beliebige Mengen ;
a,b (a1,) … stehen für Urelemente.
Variablen x, y (x1, x2,) variieren über Mengen oder Urelemente.
Ausnahme von der Groß-/Klein-Konvention: f, g (f1,)  für Funktionen
Die einzigen Prädikate der Sprache der Mengenlehre sind die logische Relation "="
der Identität und die primitive (in der PL nicht-logische, aber im weiteren Sinne logisch-mathematische) Relation "":
Bekannte Notationen: a  A a A kurz für nicht a  A
a  b für  a = b.
a,b  A für aA und bA.
=df (oder =:) für Identität per Definition
{xA: Px} ist Abkürzung für {x: xA  Px}
x,y: Pxy oder x,y(Pxy)für xyPxy
xA: Pxfür x(Ax  Px)
87
88
88
Übersetzung informeller Spache in formale Sprache der PL:
Man ersetzt: y = {x: A} durch z(zy  z{x:A})
y  {x: A} durch A[y/x]
y  {x1,,xn} durch y = x1    y = xn
"x ist eine Menge" durch
(für n=0: )
y(x=y).
Man schreibe Großbuchstaben jeglicher Art in Variablen um x, y, z, x i Immer die
richtigen Quantoren hinzufügen.
Man {x: Px} = {x: Qx}, indem man x(Px  Qx) beweist!
Axiom 1: Naives Komprehensions--Axiom: (Frege's Formalisierung der Cantorschen
Mengenlehre) Für alle (komplexen) Prädikate P: x(x = {y: Py}).
Hinweis:
{a1,,an} = {x: x=a1    x=an}
Px := x=a1    x=an
Axiom 2 der naiven Mengenlehre: Axiom der Extensionalität:
Für alle Mengen A und B: wenn für alle x, x  A  xB, dann A = B.
A,B( x(x  A  xB)  A=B).
Die Richtung  folgt bereits aus dem Extensionalitätsaxiom ( Ersetzung von Identischem), z.B. wenn A=B, dann x(x  A  xB).
Extensionsgleiche und doch unterschiedliche Eigenschaften:
{x : x ist ein lebender Organismus} = {x: x's Reproduktion basiert auf RNS/DNS}
Wichtige Notation: Eine prädikatenlogische Theorie ist einfach eine Menge von
nicht logisch wahren (d.h. synthetischen) Sätzen, die als Axiome einer Theorie angesehen werden, (ihre "Eigenaxiome") plus die daraus folgenden logischen Kosequenzen oder Theoreme. Z.B. ist die naive Mengenlehre eine PL-Theorie mit der speziellen binären Relation .
89
Russell's Antinomie:
Russell (1903) zeigt, dass das naive Komprehensionsaxiom nicht generell zutrifft:
Die Annahme der Existenz einer Menge R := {x : x  x} führt zu einem Widerspruch.
Um dies zu sehen, frage man sich ob R R?
wenn R R, dann R  R. Und wenn R R, dann R  R. Widerspruch!
Axiomatische Mengenlehre, z.B. nach Zermelo-Fraenkel: man ersetzt naives Komprehensionsaxiom durch schwächeren Axiome
Ausgehend von gewissen Mengen, z.B. die leere Menge (oder auch von Urelementen) darf man weitere Mengen bilden.
Der Rest der Mengenlehre sind Definitionen.
Definition (Teilmenge):
B  A gdw x(xB  xA).
(B ist in A enthalten).
Def.: Echte Teilmenge: B A gdw B  A und B ≠ A.
B
A
Definition (Vereinigungsmenge):
AB =df {x: xA  xB}
= die Vereinigung von A und B (Skizzen zeichnen!)
Definition (Schnittmenge):
AB := {x: xA  xB} = die Schnittmenge von A und B
Definition ( relatives und absolutes Komplement):
A  B := {x: xA und x  B}
(auch: A \ B)
( = A  Bc )
Die mengentheoretische Differenz A minus B = das 'relative' Komplement von B in
Bezug auf A.
89
90
90
Ac =df {x: x  A} ('absolutes' Komplement von A; relativ zu einem Objektbereich
D)
( = D  A)
Definition (Potenzmenge):
|P(A)
:= {x: x  A} = Potenzmenge von A (Menge aller Teilmengen)
Definiton: |A| := die Kardinalität der Menge A = die Anzahl von A's Elementen.
(Beachte: |{a,a}| = |{a}| = 1.)
Definition: Leere Menge : x (xxx).
Äquivalent: x: x 
(Denn es gilt PL-Axiom: x(x=x) ).
Übungen 9.1: Nehmen Sie die folgenden zwei Mengen an, beide sind Teilmengen
eines Objektbereichs D, auf die sich das absolute Komplement bezieht:
D
4
9.2 Zeigen Sie auf, auf welche Teilmengen der Grundmenge (1,2,3,4) sich die folgenden Mengen erstrecken: AB, AB, AB, BA. Ac, Bc, AcBc, AcBc.
9.3 Welche Menge ist AAc? Welche Menge ist AAc? Welche Menge ist AAc?
Welche Menge ist AA? Erläutern Sie warum   A.
9.4. Was ist die Vereinigung von {1,2,3} und {4,5,3}?
9.5. Beweisen Sie: (a) (A  B)  A. (b) A  AB. (c) AB  A.
91
9.6. Es seien A = {1,3,4,5,6}, B = {3,5,7,8}, C = {2,3,6,9}.
Konstruieren Sie AB, BC, AB, AC, (AB)(AC), AB, (AB)C,
A(BC), (AB)(BC).
9.7. Konstruieren Sie alle Mengen von |P({1,2,3}).
9.8. Beweisen Sie durch Einsetzung der Definitionen, im Kalkül der PL:
(a) A Ac = All-Menge = {x:x=x} (Objektbereich), (b) AAc =  leere Menge =
{x:xx}, (c) (AB)c = (AcBc), (d) (AB)c = (AcBc), (e) (Ac)c) = A, (f) A(BC)
= (AB)(AC), (g) A – B = AB c
9.9. Reflektieren Sie die Ergebnisse aus (9.8): welche Beziehung besteht zwischen
den Operatoren c der Mengenlehre und den Konnektiven der Aussagenlogik?
Relationen und Funktionen
Definition (cartesisches Produkt): hatten wir schon
Illustration: A  B = {<x,y>: xA  yB}
Achtung: das cartesische Produkt ist nicht kommutativ.
Übungen
9.10. Schreiben Sie die Menge {1,3,4}  {2,4,6} auf.
9.11 Zeigen Sie: A  (BC) = (AB)(AC).
Zeigen Sie, dass A(BC) = (AB)  (AC ) nicht gilt.
Definition Relationen, Funktionen hatten wir schon
Wichtige weitere Begriffe: f:AB ist
a) eine Funktion von A auf B, oder eine surjektive Funktion, gdw ran(f)=B.
b) eine injektive Funktion, oder eine eins-zu-eins (1:1) Funktion gdw sie
linkseindeutig ist, d.h. gdw x,ydom(f): xy  f(x)f(y).
91
92
92
c) eine bijektive Funktion gdw sie surjektiv und injektiv ist. Wir schreiben auch
f:AB.
Übungen:
9.12 Zeichnen Sie (den Graph der) binäre(n) Relationen x > y (größer-als), x=y, und
x < y über {1,2,3,4}2 auf  und zwar in Form einer Matrix mit Zeilen 1,2,3,4 und
Spalten 1,2,3,4. Interpretieren Sie die 'Geometrie' des resultierenden Bildes.
9.13 Welche der folgenden Relationen ist eine Funktion:
(a) {<n,m>|2: m = 2n }, (b) {<x,y>: y ist die Mutter von x}, (c) {<x,y>: y ist der
Sohn von x}, (d) {<n,n+1>: n|}, {<x,y>: y ist der Hauptwohnsitz von Person x}.
9.14 Welche der folgenden Funktionen sind injektiv, surjektiv, bijektiv:
(a) f(n) = n+1 über den natürlichen Zahlen |, (b) f(n) = n+1 über den ganzen Zahlen,
(c) f(x) = die Mutter von x, über Menschen, (d) f(x) = der Ehemann von x, über verheiratete Personen.
93
10. Metalogik: induktive Beweise
Die generelle Struktur einer rekursiven (induktiven) Definition:
Gegeben: eine so genannte quasi-wohlgeordnete Menge A:
Ihre Elemente sind angeordnet nach Rängen durch natürliche Zahlen (QuasiOrdnung): Elemente des Ranges 0, 1, 2,

 Rekursive Definition einer Eigenschaft C  A auf A:
Startklausel: C(a) ist definiert für alle Elemente a des Ranges 0.
Rekursive Klausel(n): für alle Elemente xA des Ranges n wird der Besitz der Eigenschaft C definier,t durch den Besitz der Eigenschaft C durch bestimmte Elemente
y, deren Rang niedriger ist als n.
Darauf bezieht sich: Axiom der starken Induktion.
Spezialfall: C(x) wird definiert mit Hilfe von C(y) für bestimmte Elemente y vom
Rang n1. Darauf bezieht sich: Axiom der schwachen Induktion.
Wichtig: Auch wenn das Definiendum-Prädikat im Definiens auftaucht, führt eine
rekursive Definition nicht in einen Zirkel oder infiniten Regress.
Beispiel rekursiver Def: Startklausel: Adam und Eva waren Menschen.
Rekursive Klausel: x ist ein Mensch wenn x's Eltern Menschen waren.
Vgl. dazu die nicht-rekurisve Def. (Aristoteles):
Definiendum
x ist ein Mensch
Definiens
df x ist ein rationales Tier
Rekursive Definitionen benötigt man, um die fundamentale Beweistechnik der mathematischen Induktion anwenden zu können
(nicht zu verwechseln mit empirischer bzw. Humeschen Induktion)
93
94
94
Naive Arithmetik: Vorausgehende Fakten über natürliche Zahlen:
|
- die Klasse aller natürlichen Zahlen 0, 1, 2, …
i, j, n, n1, n2… variiert über Elemente von |.
Fakten: 1. < ist eine strikte und totale (d.h. lineare) Ordnungsrelation < über |, und 
die korrespondierende schwache Ordnung über |.
2. 0 ist das kleinste Element von | : n|, n≥0.
3. Jedes n| hat genau einen direkten Nachfolger bzgl. <, n+1.
4. Jedes n| verschieden von 0 hat genau einen direkten Vorgänger bzgl. <, n-1.
Hinweis: Axiome 3 und 4 folgen nicht aus 1, 2. es gibt dichte lineare Ordnungen ohne direkte Nachfolge und Vorgänger; z.B. rationale und relle Zahlen.
Axiom der schwachen Induktion SI: Für jede Eigenschaft P:
Start:
P(0)

nP(n)
n (P(n)  P(n+1) )
IH (Induktionshypothese)
Induktionsschritt (IS)
Anwendung der WI: Auf |N, oder auf einer beliebigen unendliche Menge, deren Elemente Ränge besitzen, indiziert durch natürliche Zahlen.
Quasi-Ordnung: mehrere ranggleiche Elemente werden zugelassen.
Die Eigenschaft P allquantifiziert dann über Elemente gleichen Rangs,
d.h. xRang(n):P(x)  xRang(n+1):P(x).
Übungen 10.1. Beweisen Sie durch schwache Induktion nach n: wenn Menge A n
Elemente hat, dann hat |P(A) 2n Elemente.
10.2 Beweisen Sie durch schwache Induktion, dass
n
 i = Error!
i 0
.
95
Starke Induktion SI: Für jede Eigenschaft P:
m<n: P(m)  P(n)

nP(n)
 Diese Form wird in induktiven Beweisen der Metalogik häufig angewendet.
Übung 10.3: zeige dass SI logisch mindestens so stark ist oder stärker als WI, indem
man zeigt: Wenn A || A’, dann (AB)C  (A’B)C
Theorem: Schwache und Starke Induktion sind äquivalent. [evtl. überspringen]
Beweis der Richtung: WI  SI:
[evtl. überspringen]
Der Trick besteht darin, die Eigenschaft "y<x:Py" als komplexe Eigenschaft "Qx"
zu betrachten und darüber schwache Induktion zu betreiben.
In Schritten (6) und (14) wird das Antecedens der schwachen Induktion für die komplexe Eigenschaft "Q" schließlich etabliert.
In den Schritten 4a bis 4e wird exemplarisch gezeigt, wie ein typischer informellmathematischer Schritt von (4) zu (5) in kleinere Einzelschritte zerlegt werden kann,
die Regeln des PL-Kalküls entsprechen, welche wir erst im hinteren Teil dieses
Skriptums im Detail entwickeln werden.
95
96
96
(1) (Antecedens-SI:) x(y<xPy  Px)
(2) Qx : y<x:Py
(3) x(Qx Px)
(4) y: y < 0
4a yA  yA
4b y:y<0
4c y < 0
4d A A B



4e (y<0 Py)
(5) y<0: Py
(6) Q(0)
(7) Qa
(8) y < a: Py
(9) Pa
(9a) y=a: Py
(10) y  (a+1): y < a  y = a
(11) y<(a+1): Py
(12) Q(a+1)
(13) Q(a)  Q(a+1)
(14) x(Q(x)  Q(x+1))
(15) (Q(0) x(Qx  Q(x+1))  xQx
(16) xQx
(17) xPx
(18) x(y<xPy  Px)  xPx
KB-Ann
Definition (eliminierbare Prämisse)
1+2, Ersetz. von Äquival., Theorem PL
Prämisse über |N
PL-Theorem (beliebige A)
MP 4, 4a-Instanz
UI 4b
AL-Theorem (beliebige A, B)
MP 4c, 4d-Instanz
UG 4e (mehrere PL-Schritten aus 4)
Ersetz v. Äquival. aus (5) und (2)
KB-Ann
Ersetz Äquiv (2), (7)
aus (3), (7) mit UI und MP
PL-Schritt aus (9)
Prämisse über |N
durch PL-Schritte aus 8,9a,10
Ersetz Äquiv 2, 11
KB 7-12
UG 13, VB bzgl a erfüllt
Präm. Weak. Ind.
AL-Schritte aus 6,14 und 15
PL-Schritte aus 3, 16
KB 1-17, := Strong Ind.
************************Ende Beweis ***********************
Weitere Metatheoreme der PL (induktive Beweise)
Induktion über die Komplexität von Formeln:
Start: für alle Atomformeln
Induktive Schritte: wenn für A, B, dann für: A, AB , xA
(AB, AB, xA --- definierbar)
97
Beweis des Theorems der Ersetzung von Äquivalenten, einmal semantisch, dann
syntaktisch
Theorem (Ersetzung von Äquivalenten):
Semantisch: Wenn || B  C, dann || A  A[B/C]
Syntaktisch: Wenn | B  C, dann | A  A[B/C]
Beweis semantische Version, über Komplexität von A:
(1) Start: A ist Atomformel Rt1tn. Dann ist die einzige Teilformel B von A, A
selbst:
|| B  C  || B C
(2) A hat die Form einer Negation A = D:
Induktionshypothese IH:
|| B  C  || D D[B/C]
Induktionsschritt IS: (a) wenn || D D[B/C], dann || D D[B/C])
Semantische Begründung: haben D und D[B/C] in jeder Zeile der Wahrheitstafel
denselben Wahrheitswert, dann auch D und D[B/C] (Wahrheitswertfunktionalität)
(b) Syntaktische Umschreibung: D[B/C]) = (D)[B/C] ,
denn in "" wird ja
nichts ersetzt".
Aus (a) und (b) folgt:: || D  (D)[B/C]
(3) A hat die Form einer Konjunktion A = DE
Induktionshypothese IH: || B  C  || D D[B/C]
sowie: || B  C  || E E[B/C]
Induktionsschritt IS: (a) wenn || D D[B/C] und || E E[B/C]
dann || (DE) D[B/C])  (E[B/C])
Semantische Begründung wie oben (Wahrheitswertfunktionalität):
Haben in jeder Zeile der Wahrheitstafel sowohl D und D[B/C] wie auch E und
E[B/C] denselben Wahrheitswert, dann auch (DE)und D[B/C])  (E[B/C]).
(b) Wie oben: D[B/C])  (E[B/C]) = (D  E)[B/C]
Ergo: || (D1D2)  (D1  D2)[B/C]
(4) A hat Form einer Disjunktion A = DE: nötig, weil definierbar mit  und .
Man könnte Beweis führen, wäre dann analog wie für Konjunktion.
97
98
98
(5) A hat Form einer Implikation A = DE: Nicht nötig, weil definierbar.
(6) A hat die Form eines Allsatzes A = xD:
Induktionshypothese IH: || B C  || D  D[B/C] offene Formel
Induktionsschritt IS: zu zeigen (a) || xD  x(D[B/C])
|| D  D[B/C] heisst ja
für alle Bewertungen <D,v>: <D,v>  D  <D,v>  D[B/C].
D.h. für alle D und für alle v über D: <D,v>  D  <D,v>  D[B/C].
D.h. für alle D und für alle v[x:d] über D und für beliebiges dD:
<D,v>  D  <D,v>  D[B/C].
Somit für alle <D,v>: dD ( <D,v[x:d]>  D  <D,v[x:d]>  D[B/C] ).
F(d)
G(d)
Daher durch PL-Schluss in Metasprache (d(FdGd) / xFd xGd):
für alle <D,v>: (dD: <D,v[x:d]>  D)  (dD: <D,v[x:d]>  D[B/C]).
Daraus folgt per semantischer Wahrheitsregel für :
für alle <D,v>: <D,v>  xD  <D,v>  x(D[B/C]).
(b) Syntaktisch: x(D[C/B]) = (xD)[B/C] denn in "x" wird nichts ersetzt.
Aus (a) und (b) folgt für alle <D,v>: <D,v>  xD  <D,v>  xD[B/C],
d.h. || xD  xD[B/C].
(7) A hat die Form eines Existenzsatzes A = xD: Weil  durch  und  definierbar, separater Beweis nicht nötig. Aber möglich, dann analog wie für .
Q.E.D.
Übung 10.4: Man beweise die syntaktische Form des Theorems -- hier muss man die
semantischen Wahrheitswertzeilen-Überlegungen durch deduktive Beweise ersetzen.
99
99
100
100
Induktiver Beweis der Koinzedenz von Substitution und Bewertungswechsel
Wenn die Substitution konfusionsfrei ist, dann: v(A[t/x]) = v[x:v(t)](A)
Beweis: In diesem Fall muss bei Termen angefangten werden:
Wir zeigen: v(t[t'/x]) = v[x:v(t')](t) für alle Terme t, t':
1. v(u[t/x]) := wenn u =x: = v(t) = v[x:v(t)](u) da u=x
wenn ux: = v(u) = v[x:v(t)](u) da ux.
2. v( (ft1…tn)[t/x] ) = v( f(t1)[t/x] … (tn)[t/x] )
= v(f)(v(t1[t/x]), … ,v(tn[t/x]))
= v[x:v(t)](f)(v[x:v(t)](t1),…,v[x:v(t)](tn)) nach IH und da v[x:v(t)](f) = v(f)
= v[x:v(t)](ft1…tn).
Nun für Formeln:
3. v((Rt1…tn)[t/x] = 1  v( R(t1)[t/x] … (tn)[t/x] ) = 1 
 ( v(t1[t/x]), … ,v(tn[t/x]) )  v(R)
 ( v[x:v(t)](t1),…,v[x:v(t)](tn) )  v(R) , da nach IH v[x:v(t)](ti) = v( ti[t/x] )
und da v[x:v(t)](R) = v(R)

v[x:v(t)](Rt1…tn).
4. v((A)[t/x]) = v((A[t/x])) = 1  v(A[t/x]) = 1 v[x:t](A)(IH) = v[x:t](A).
Analog für AB.
v((AB)[t/x]) = 1  v( A[t/x]B[t/x] ) = 1  v(A[t/x])=1  v(B[t/x])=1
 v[x:t](A)=1  v[x:t](B) = 1 (gemäß IH)  v[x:t](AB) = 1.
5. Für zB: Wir nehmen an, dass t frei für x ist in zB, also z  V(t).
Wenn x=z: v((zB[t/x])) = v(zB) = v[x:v(t)](zB), weil x nicht frei ist in zB
(und Extensionalitätstheorem).
Wenn xz: v((zB[t/x] )) = 1  v(z(B[t/x]) ) = 1  d  D: v[z:d](B[t/x]) = 1
 d  D: v[z:d, x: v[z:d](t)](B) = 1 nach IH
 d  D: v[z:d, x:v(t)] (B) = 1 weil v[z:d](t) = v(t) da z  V(t)
 v[x:v(t)] (zB) = 1. Q.E.D.
101 101
Optional: Übung 10.5 Beweise: Jede Formel A ist PL-äquivalent mit einer PNF(A).
Beweis: Durch über Induktion über die Komplexität von A und die Anzahl von Quantoren einer PNF. Wir nehmen  als eliminiert an.
Optional: Übung 10.6: L1 = Sprache der PL
L0 = Sprache der AL mit Ausssagevariablenmenge P
Es sei v1 eine L1-Bewertung. Wir definieren die korrespondierende v0-Bewertung zu
P durch: v0(p) = v1(s(p)).
wobei s eine aussagenlogische Substitutionsfunkttion ist. wobei s: P L1
Beweise durch Induktion über Formelaufbau: Koinzidenzlemma für AL-PL: Für
alle AL0: v0(A) = v1(s(A)).
Damit beweist man folgendes AL-PL-Theorem (AL ist in PL enthalten):
Ein Schluss  | A ist PL- gültig, wenn er eine Substitututionsinstanz eines gültigen AL-Schlusses ist.
Beweis: Es sei v1 eine L1-Bewertung. Wir definieren die korrespondierende v0Bewertung zu P durch: v0(p) = v1(s(p)).
Per Kontraposition: Wenn es ein v1 gäbe, welches s() ||1 s(A) widerlegen würde, dann würde das gemäss Koinzidenzlemma definierte v0 aufgrund Koinzidenzlemma ||o A widerlegen (v0  aber v0(A)=0). QED.
102
102
11. Korrektheit der PL
Zur Erinnerung:
schwache Korrektheit:
| A  ||A.
starke Korrektheit: | A 
|| A
Theorem (Korrektheit): schwache und starke Korrektheit sind äquivalent.
Beweis: Richtung  : schw. Korr. folgt aus st. Korr. durch Setzung von  = .
Richtung : | A

f | A (nach FIN)  | (f) A (nach
-
Ded.theorem, synt. Version)  || f A (nach schwacher Korrektheit) 
f ||A (nach
-Ded.theorem, semant. Version) 
||A (nach Mon für ||).
Q.E.D.

Induktion nach der Länge eines Beweises:

Theorem (starke Korrektheit): S ist stark korrekt.
Lemma L1: Alle S-Sequenzenaxiome von S (Basisregel in der Satzrepräsentation)
sind gültige Schlüsse.
Lemma L2: Alle Sequenzenregeln von S (Metaregeln in der Satzrepresentation) erhalten die Gültigkeit.
Beweis des Lemmas: siehe Kapitel über Semantik.
Wir haben zwei Dinge noch nicht bewiesen:
Optional Übung 11.1: Gültigkeitserhaltung von UG:
Beweisen sie: wenn ||A[x/a] mit a  C(,A), dann || xA.
Optional Übung 11.2: Gültigkeit von (Ext):
Beweisen Sie diese durch Induktion über Formelkomplexität:
t1t2 || A[t1/x] A[t2/x]
(stärkere  Version; ist einfacher !)
103 103
Beweis der starken Korrektheit:
Durch Induktion über die Länge eines S* -Beweises
< 1 | A1, … , n | An> von n| An.
i sind Prämissenmengen
Induktionsanfang: Wenn i | Ai ein Sequenzenaxiom (Basisregel) ist, dann ist es
gültig, wegen des Lemmas L1.
Induktionsschritt: Nehmen wir an, i | Ai ist abgeleitet aus vorigen Gliedern des
Beweises, j | Aj und (möglicherweise) k | Ak (mit j, k < i) nach einer der Sequenzenregeln (Metaregeln).
Gemäß Induktionshypothese sind j | Aj und k | Ak gültige Schlüsse.
Also ist wegen des Lemmas L2 auch i | Ai ein gültiger Schluss.
Q.E.D.
Definition (Konsistenz):
1. Eine Prämissenmenge  ist (einfach) konsistent gdw es kein A gibt, sodass

| AA.
2. Verallgemeinert: eine Logik L wird (einfach) konsistent genannt gdw es kein A
gibt, sodass | AA.
Aus dem Theorem der Korrektheit folgt: die klassische Logik ist konsistent.
Beweis: AA ist nicht L-wahr (sogar L-falsch), und daher aufgrund der Korrektheit, unbeweisbar.
Optional Übung 11.3: Beweisen Sie: L ist (stark) korrekt  jede semantisch erfüllbare Formelmenge ist konsistent.
104
104
12. Vollständigkeit der AL und der PL
12.1 Vollständigkeit der AL
Zur Erinnerung: schwache Vollständigkeit: || A 
starke Vollständigkeit:
|| A 
| A
| A.
Starke Vollst. impliziert schwache (man setze  = ).
Starke Vollst. impliziert nun nicht mehr automatisch die schwache, weil || nicht per
Definition finitär bzw. kompakt ist, so wie | (im Sinn von: wenn  || A, dann
folgt A schon aus einer endlichen Teilmenge von ). Erst aus dem Beweis der starken Vollständigkeit folgt die Kompaktheit von ||.
Folgende einfache Umformungen der Vollständigkeitsbedingungen sind wichtig:
 Theorem (Konsistenzversion der Vollständigkeit, Gödel):
1. L ist schwach vollständig gdw jede konsistente Formel erfüllbar ist.
2. L ist stark vollständig gdw jede konsistente Formelmenge erfüllbar ist.
Beweis: Theorem Nr. 2, durch Kontraposition.
Richtung : Wir nehmen an  ist nicht erfüllbar und zeigen, unter der Annnahme
der starken Vollsändigkeit, dass  inkonsistent ist.
Wenn  unerfüllbar ist, dann || BB, also, nach st. Vollständigkeit, |
BB, also  ist inkonsistent.
Richtung : Wir nehmen an, dass  |-/- A, und zeigen, unter der Annahme, dass jede konsistente Formelmenge erfüllbar ist, dass  ||-/- A.
 |-/- A impliziert, dass ,A konsistent ist, denn andernfalls , A | BB, was
implizieren würde, dass | A nach kIB (!). Also ist A erfüllbar (weil wir annehmen, dass jede konsistente Formel erfüllbar ist). Und daher  ||-/- A. Q.E.D.
 Für Theorem Nr.1 argumentieren wir wie für Nr.2, abgesehen davon, dass wir
= {A} in , und in setzen. Q.E.D.
105 105
Kanonischer Vollständigkeitsbeweis: Gödel, Lindenbaum, Henkin
 Definition (maximal konsistente Formelmengen)
 ist maximal konsistent gdw konsistent ist und keine echte Erweiterung von 
 d.h. kein sodass    konsistent ist.
 Theorem (maximal konsistente Formelmengen):
Angenommen  ist maximal konsistent. Dann gilt für alle A:
(Max |):  | A  A   

deduktive Abgeschlossenheit
(Max ): A   oder A  

syntaktische Vollständigkeit

(Max ): (AB)    (A  ) oder (B  )
Prim-heit
(Max ): (AB)    (A  ) und (B  )
(Max ): (AB)    ( wenn A  , dann B  )
Anmerkung: Alle Max-Eigenschaften gelten auch in der intuitionistischen Logik.
Übung 12.1: Beweisen Sie das Theorem über maximal konsistenter Formelmengen.
Der Gödel-Henkin Vollständigkeitsbeweis vollzieht sich in zwei Schritten:
 Man zeige, dass jede konsistente Formelmenge in einer maximal konsistenten
Formelmenge enthalten ist.
 Man zeige, dass jede maximal konsistente Formelmenge ein Modell hat.
106
106
Theorem (Lindenbaum-Lemma): Jedes konsistente  kann zu einem maximal konsistenten   erweitert werden.
Beweis: Wir können alle Formeln effektiv aufzählen (siehe später).
Ist eine solche Aufzählung gegeben,
A0, A1, A2,  ( i: |N L )
( steht für bijektive Abb.)
dann definieren wir rekursiv die folgende Aufzählung von ansteigenden Erweiterungen von :
 0 := 
 n+1 : = n {An} wenn n{An} konsistent ist,
andernfallsn.
Es sei:  =  {i | i |N }.
Wir zeigen, dass  maximal konsistent ist:
1.  ist konsistent: Indirekter Beweis: Wenn dem nicht so ist, dann  | AA, also gibt es nach Fin ein finites f  sodass f | AA. Sei n die Zahl der Formel in f mit der höchsten Nummer. Dann f  n+1. Also n+1 | AA nach
Mon, was der Definition widerspricht.
2.  ist maximal konsistent: Indirekter Beweis: Andernfalls gibt es ein A   sodass
{A} konsistent ist. Sei n A's Nummer, also A = An. Da n  , ist n{An}
konsistent. Also An  n+1 per Def. weshalb An  , was unserer Annahme wiederspricht. Q.E.D.
107 107
Theorem (Wahrheitslemma):
Jede maximal konsistente Formelmenge hat ein Modell (d.h. eine Bewertung v die all
ihre Formeln wahr macht).
Beweis: Wir definieren:
für alle p
v(p) = 1 gdw p   


Gödel-enkin-Modell.
Mit dieser Definition zeigen wir durch Induktion auf der Komplexität von Formeln,
dass:
v A gdw A  
für jedes A  L.
(1) Für A=p gilt das Theorem per Definition.
(2) A=B: v B gdw v  B gdw B   (nach IH) gdw B   (nach Max ).
(3) A=BC: v BC gdw v B und v C gdw B   und C   (nach IH) gdw
(BC)   (nach Max ).
(4) A=BC: v BC gdw v B oder v C gdw B   oder C   (nach IH)
gdw (BC)  nach ax ).
(5) A=(BC): v BC gdw (v B  v C) gdw (B    C  ) (nach
IH) gdw (BC)   (nach Max).
- Q.E.D.
Anmerkung : Beachten Sie, dass im Beweis alle Max-Eigenschaften benutzt wurden.
Jede Max-Eigenschaft benutzt wieder eine Kalkülregel. Generell gilt: in einem Vollständigkeitsbeweis müssen alle Regeln des Kalküls benutzt werden, andernfalls ist
entweder der Vollständigkeitsbeweis inkorrekt, oder der Kalkül redundant.
Theorem (starke Vollständigkeit): S ist stark (und damit schwach) vollständig.
Beweis: Nehmen wir an,  ist konsistent. Dann ist in einem maximal konsistenten
enthalten (nach Lindenbaum-Lemma). hat ein Modell v nach Wahrheitslemma.
v ist auch ein Modell von , da   . Also ist erfüllbar. Also ist S* stark vollständig, gemäß der Konsistenz-Version. Q.E.D.
108
108
Theorem (Kompaktheit): Sei unendlich.
1. Schluss-Version: || A gdw für irgendeine finite Teilmenge f , f ||A.
2. Erfüllbarkeits-Version: ist erfüllbar gdw jede endliche Teilmenge von  erfüllbar
ist.
Übung 12.2: Beweisen Sie die Kompaktheit (benutzen Sie die Endlichkeit von |,
Korrektheit und Vollständigkeit).
Da wir die Vollständigkeit bewiesen haben, folgt, dass alle Metatheoreme in semantischer und syntaktischer Version gültig sind: wir dürfen | und  austauschen.
109 109
12.2 Vollständigkeit der Prädikatenlogik
--> Wie für die AL im Henkin-Style.
--> Die Idee: Wir konstruieren ein kanonisches Modell für max aus der Sprache heraus. Wir wünschen, die Vollständigkeit durch ein Wahrheitslemma zu beweisen, welches besagt, dass eine Formel in max ist gdw sie wahr ist im kanonischen Modell
von max. Es gibt zwei Probleme:
1. Die Individuen des kanonischen Modells können nicht einfach syntaktische terme
sein. Denn wenn  Identitätsformeln t1t2 enthält, dann v(t1)=v(t2).
Aber t1  t2! (metasprachliche Bedeutung: t1 und t2 sind verschiedene Variablen).
Lösung: wir verstehen die -Äquivalenzklassen [t] von Termen als unsere Objekte.
2. Wenn  eine Formel der Form xA enthält, brauchen wir zumindest ein Objekt [a]
in unserem Objektbereich, sodass v[x:a] xA wahr macht; wobei a eine Individuenkonstante ist. Eine Formelmenge, die diese Eigenschaft erfüllt, wird vollständig genannt.
Lösung: wir nehmen eine neue Konstante a für jedes der unendlich vielen xA in
max. Wir fügen eine unendliche Menge C * von neuen Konstanten zu L hinzu.
Definition (-Vollständigkeit, Saturiertheit):
 ist vollständig gdw (xA   
A[t/x]   für irgendein t  T
2.  ist saturiert gdw  maximal konsistent und vollständig ist.
Übung optional 12.3: Beweisen Sie für maximal konsistentes :
(xA A[t/x] für irgendein t T  (A[t/x] für alle tT
 xA
).
(-Version der -Vollständigkeit)
(-Version der -Vollständigkeit)
Saturierte Formelmengen erfüllen alle Max-Eigenschaften, die wir in der AL bewiesen haben.
110
110
Saturierungstheorem:
Jede konsistente Formelmenge in einer gegebenen Sprache L kann zu einer saturierten Formelmenge erweitert werden,in einer Sprache L*, die aus L durch das
Hinzufügen einer unendliche Menge C + neuer Konstanten entsteht.
C * = C C +
L* ist wie L, außer, dass sie C * satt C hat
Saturierungslemma:
Wenn xA konsistent ist und a nicht in  oder xA vorkommt, dann ist auch
{xA, A[x/a]} konsistent.
Beweis: Andernfalls (i) {xA} | A[x/a] (nach iIB), woher {xA} |
xA (nach UG aus (i) da a  C ({xA})), was bedeuten würde, dass {xA}
inkonsistent ist (da xA = xA, per Def. ), was der Annahme widerspricht.
Beweis Theorem: Wir konstruieren wie folgt, unter der Annahme einer gegebenen
Nummerierung aller Formeln Ao, A1…
in L* (!) und aller Konstanten in C + wie
folgt:
o := 
n+1 = :
n  {An, B[x/a]}, wobei a die erste Konstante in C +  C ( n,An) ist
wenn  n {An} konsistent ist und An die Form xB hat
 n  {An} wenn n {An} konsistent ist und nicht die Form An xB hat
n
 :=
wenn n{An} inkonsistent ist
 {i | i   }
Für jedes n, gibt es unendlich viele neue Konstanten die in C +  C( n,An) verbleiben.
111 111
Wir beweisen, dass:  eine saturierte Erweiterung von ist.
  , also ist  eine Erweiterung von . 
ist konsistent: Nach dem Saturierungslemma wissen wir, dass für jedes n,  n+1
konsistent sein muss, wenn  n{An} konsistent ist; und wenn  n{An} inkonsistent ist, ist  n+1 per Def. konsistent. Also argumentieren wir wie im Vollständigkeitsbeweis der AL.
3. Dass maximal konsistent ist, zeigt man wie im Vollständigkeitsbeiweis der AL.
4. Dass -vollständig ist, gilt, da jede Formel xA eine feste Anzahl n in der
Nummerierung hat und in diesem Schritt eine Formel der Form A[x/a] zu n 
hinzugefügt worden ist.
Q.E.D.
 Theorem (kanonisches Modell):
Jede saturierte Formelmenge  hat ein Modell (das so genannte kanonische Modell,
wie unten definiert).
Beweis: Angenommen  ist saturiert. Wir definieren:
Definition des kanonischen Modells:
Für jedes tT, t] =def {t': tt'  }
d.h. : [t] ist die Äquivalenzklasse von t bzgl. , wobei  die
Äquivalenzrelation über T ist, definiert durch t1 t2 gdw
Dm = =def {[t]: tT}
t1t2  .
D.h der kanonische Objektbereich
besteht aus
denÄquivalenzklasen von Termen bzgl. 

1. v(x) = [x] für alle x  V
2. v(a) = [a] für alle a  C
die kanonische
Bewertungsfunktion
3. Für alle f F n, n > 0: v(f)([t1],…,[tn]) = [ft1…tn] (dies definiert v(f))
4. Für alle R  Rn, n >0: <[t1],…,[tn]> v(R) gdw Rt1…tn  (dies definiert v(R))
112
112
Wir müssen zeigen, dass unsere Definition von Bewertungsfunktionen für Äquivalenzklassen [t] für beliebige Wahlen von t' in [t] konsistent ist. Dafür müssen wir zeigen, dass bei jeder Wahl von t, t* [t] folgendes gilt:
Wenn ti, ti* [t], dann:
v(ft1…tn) = v(ft1*…tn*), und v(Rt1…tn) = v(Rt1*…tn*).
Beweis: Gilt wegen des Extensionalitätsaxioms. Wenn ti, ti* [t], dann titi*  ,
also  | titi*, daher folgen | ft1…tn  ft1*…tn* und | Rt1…tn 
Rt1*…tn* aufgrund von Ext.
 Wahrheitslemma: Es sei M = <D,v> das kanonische Modell von .
Dann gilt für alle A: M A gdw  A  
Beweis: A = Rt1…tn: per Definition.
A = t1t2: t1t2  gdw t1,t2  [t1] gdw v(t1) = v(t2) = [t1] gdw M  (t1t2).
(2) A=B, A = BC werden bewiesen wie in AL, durch die Eigenschaften Max |,
Max und Max.
(3) AxB: xB  
gdw t  T: B[t/x]  

 nach UI und Max|;  nach -Vollständigkeit von in der -Version

gdw t  T: M  B[t/x] (nach IH)
gdw t  T: v[x:[t] ](B) = 1
gdw d D: v[x:d](B) = 1
(Koinzidenzlemma, da v(t)=[t])
(da D = T/)
 M  xB. Q.E.D.
Theorem (starke Vollständigkeit): S1 ist stark (und daher schwach) vollständig.
Beweis: Wir argumentieren wie in AL: Eine gegebene, konsistente , kann erweitert
werden zu einer saturierten  (in erweitertem L*) nach dem Saturierungstheorem. 
und daher  , sind damit erfüllt von dem kanonischen Modell nach dem kanonischen Modell-Theorem. Q.E.D.
Theorem (Kompaktheit): S1 ist kompakt, d.h. für alle  L (Erfüllbarkeitsversion):
Jede endliche Teilmenge f von ist erfüllbar  ist erfüllbar.
Beweis: Wie in der AL.