Formale Logik - Universität Bielefeld

Beurteilung umgangssprachlicher
Sätze und Argumente
Formale Logik
12. Sitzung
Prof. Dr. Ansgar Beckermann
Sommersemester 2005
Universität Bielefeld
Beurteilung umgangssprachlicher
Sätze und Argumente
Auch hier gilt wieder
Wenn A′ eine optimal strukturreiche adäquate
Übersetzung von A in PL ist, dann ist A genau dann
prädikatenlogisch wahr, wenn A′ logisch wahr ist.
Und
Wenn die Sätze A′1, …, A′n und A′ optimal strukturreiche adäquate Übersetzungen der Sätze A1, …, An
und A in PL sind, dann folgt A genau dann prädikatenlogisch aus den Sätzen A1, …, An, wenn A′
logisch aus den Sätzen A′1, …, A′n folgt.
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Sprachliche Verabredung
Wenn es für den deutschen Satz A eine adäquate
Übersetzung A′ in PL gibt, die logisch wahr ist, dann
nennt man den deutschen Satz A prädikatenlogisch wahr.
Und ein umgangssprachliches Argument A1, …, An,
Also: A nennt man prädikatenlogisch gültig, wenn
es für die deutschen Sätze A, A1, …, An adäquate
Übersetzungen A', A'1, …, A'n von PL gibt, für die gilt:
A' folgt logisch aus A'1, …, A'n.
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Beurteilung umgangssprachlicher
Sätze und Argumente
Zwei Schritte
1. Finde eine optimal strukturreiche adäquate
Übersetzung A′ von A in PL.
2. Prüfe, ob A′ logisch wahr ist.
Beim zweiten Schritt gibt es zwei Möglichkeiten
1. Man versucht mit Hilfe der Wahrheitsbaummethode zu zeigen, dass A' logisch wahr ist.
2. Man versucht, durch Angabe eines Gegenbeispiels zu zeigen, dass A' nicht logisch wahr ist.
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Beurteilung umgangssprachlicher
Sätze und Argumente
Beurteilung umgangssprachlicher
Sätze und Argumente
Welchen Weg soll man zuerst einschlagen?
Welchen Weg soll man zuerst einschlagen?
Im allgemeinen ist folgendes Vorgehen sinnvoll:
Im allgemeinen ist folgendes Vorgehen sinnvoll:
• Wenn ein Gegenbeispiel auf der Hand liegt, dann
kann man durch Angabe dieses Gegenbeispiels
sofort nachweisen, dass A' nicht logisch wahr ist.
• Wenn jedoch ein Gegenbeispiel nicht auf der Hand
liegt, ist es vernünftig, zunächst die Wahrheitsbaummethode anzuwenden. Wenn sich dabei ein
in allen Ästen geschlossener Wahrheitsbaum
ergibt, ist die logische Wahrheit von A' gezeigt.
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Beurteilung umgangssprachlicher
Sätze und Argumente
Finden einer optimal strukturreichen Übersetzung
1. Man untersucht zunächst, welche Namen (d.h.
allgemein: Gegenstandsbezeichner) und Prädikate
der zu übersetzende Satz A enthält, und ordnet
diesen geeignete IK und PB zu, wobei man auf die
Stellenzahl der Prädikate achten muss.
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• Wenn sich aber der Wahrheitsbaum nicht abschließen lässt, hat man entweder einen Fehler gemacht
oder A' ist doch nicht logisch wahr. Dann muss
dann erneut versuchen, ein geeignetes Gegenbeispiel zu finden.
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Beurteilung umgangssprachlicher
Sätze und Argumente
Finden einer optimal strukturreichen Übersetzung
2. Man versucht, in der im zuvor erörterten Weise mit
Hilfe von Junktoren und Quantoren aus diesen IK
und PB einen Satz von PL zu bilden, der (in etwa)
dieselben Wahrheitsbedingungen hat wie A.
Dabei muss zugleich ein geeigneter Bereich D
gefunden werden.
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2
Beurteilung umgangssprachlicher Sätze
Beurteilung umgangssprachlicher Sätze
Beispiel
1. Schritt
(Finden einer optimal strukturreichen Übersetzung)
(1)
Wenn Hans einen Bruder hat und alle Brüder Verwandte sind, dann hat Hans einen Verwandten.
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(1)
Wenn Hans einen Bruder hat und alle Brüder Verwandte sind, dann hat Hans einen Verwandten.
(1a) Hans
⇒ a
(1b) … ist ein Bruder von ---
⇒ F2
(1c) … ist verwandt mit ---
⇒ G2
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Beurteilung umgangssprachlicher Sätze
Beurteilung umgangssprachlicher Sätze
1. Schritt
(Finden einer optimal strukturreichen Übersetzung)
2. Schritt
(1)
Wenn Hans einen Bruder hat und alle Brüder Verwandte sind, dann hat Hans einen Verwandten.
D =
a:
F2:
G2:
(1′)
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Überprüfen der logischen Wahrheit von
(1′)
∃xF2xa ∧ ∀x∀y(F2xy → G2xy) → ∃xG2xa
die Menge aller Menschen;
Hans;
… ist ein Bruder von ---;
… ist verwandt mit ---.
∃xF2xa ∧ ∀x∀y(F2xy → G2xy) → ∃xG2xa
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1. √ ¬(∃xF2xa ∧ ∀x∀y(F2xy → G2xy) → ∃xG2xa)
A
(1)
2. √
∃xF2xa ∧ ∀x∀y(F2xy → G2xy)
3. √
(1)
¬∃xG2xa
∃xF2xa
(2)
∀x∀y(F2xy → G2xy)
(2)
6.
∀x¬G2xa
(3)
7.
F2ba
(4)
8.
¬G2ba
(6)
9.
∀y(F2by → G2by)
(5)
→
(9)
4. √
5.
10. √
11.
F2ba
¬F2ba
x
G2ba
12.
G2ba
x
Beurteilung umgangssprachlicher Sätze
Beispiel
(2)
Wenn eine gerade natürliche Zahl größer als sie
selbst ist, dann ist sie größer als alle ungeraden
natürlichen Zahlen.
(10)
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Beurteilung umgangssprachlicher Sätze
Beurteilung umgangssprachlicher Sätze
1. Schritt
(Finden einer optimal strukturreichen Übersetzung)
1. Schritt
(Finden einer optimal strukturreichen Übersetzung)
(2)
(2)
Wenn eine gerade natürliche Zahl größer als sie
selbst ist, dann ist sie größer als alle ungeraden
natürlichen Zahlen.
(2a) … ist eine gerade natürliche Zahl
⇒ F1
D =
F1:
G1:
F2 :
(2b) … ist eine ungerade natürliche Zahl ⇒ G1
(2c) … ist größer als ---
Wenn eine gerade natürliche Zahl größer als sie
selbst ist, dann ist sie größer als alle ungeraden
natürlichen Zahlen.
⇒ F2
die Menge der natürlichen Zahlen;
… ist eine gerade natürliche Zahl;
… ist eine ungerade natürliche Zahl;
… ist größer als ---.
(2′) ∀x( F1x ∧ F2xx → ∀y(G1y → F2xy) )
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Beurteilung umgangssprachlicher Sätze
1. √
2. √
2. Schritt
¬∀x(F1x ∧ F2xx → ∀y(G1y → F2xy))
A
∃x¬ (F1x ∧ F2xx → ∀y(G1y → F2xy))
(1)
¬(F1a ∧ F2aa → ∀y(G1y → F2ay))
(2)
Überprüfen der logischen Wahrheit von
3. √
4. √
F1a ∧ F2aa
(3)
(2′) ∀x( F1x ∧ F2xx → ∀y(G1y → F2xy) )
5. √
¬∀y(G1y → F2ay)
(3)
6.
F1a
(4)
7.
8. √
9. √
F2aa
(4)
(5)
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¬(G1b → F2ab)
(8)
10.
G1b
(9)
11.
¬F2ab
(9)
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2. Schritt
Beurteilung umgangssprachlicher Argumente
Beispiel
Überprüfen der logischen Wahrheit von
(2′)
∃y¬(G1y → F2ay)
∀x( F1x
∧
F2xx
→
∀y(G1y
→
(3)
F2xy) )
(P1)
(P2)
(K)
Väter sind älter als ihre Kinder.
Paul ist nicht älter als Hans.
Paul ist nicht der Vater von Hans.
Gegenbeispiel
D =
F1:
G1:
F2 :
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die Menge der natürlichen Zahlen;
… ist eine gerade natürliche Zahl;
… ist eine ungerade natürliche Zahl;
… ist gleich ---.
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Beurteilung umgangssprachlicher Argumente
1. Schritt
(Finden einer optimal strukturreichen Übersetzung)
(3)
(P1)
(P2)
(K)
(3a)
(3b)
(3c)
(3d)
Paul
Hans
… ist der Vater von --… ist älter als ---
Beurteilung umgangssprachlicher Argumente
1. Schritt
(3)
Väter sind älter als ihre Kinder.
Paul ist nicht älter als Hans.
Paul ist nicht der Vater von Hans.
⇒
⇒
⇒
⇒
a
b
F2
G2
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(3′)
(P1)
(P2)
(K)
Väter sind älter als ihre Kinder.
Paul ist nicht älter als Hans.
Paul ist nicht der Vater von Hans.
D = die Menge aller Menschen;
a:
Paul;
b:
Hans;
… ist der Vater von ---;
F2:
… ist älter als ---.
G2 :
(P1′) ∀x∀y(F2xy → G2xy)
(P2′) ¬G2ab
(K′)
¬F2ab
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Beurteilung umgangssprachlicher Argumente
Beurteilung umgangssprachlicher Argumente
2. Schritt
1.
∀x∀y(F2xy → G2xy)
A
Prüfen ob
2.
¬G2ab
A
(K′)
3.
¬¬F2ab
A
¬F2ab
4.
logisch aus
folgt.
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(P1′)
∀x∀y(F2xy → G2xy)
(P2′)
¬G2ab
∀y(F2ay
und
(1)
F2ab → G2ab
5. √
6.
→
G2ay)
¬F2ab
x
7.
(4)
G2ab
x
(5)
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6
Beurteilung umgangssprachlicher Argumente
Beispiel
(4)
(P1)
(P2)
(K)
Kein Hund ist eine Katze.
Keine Katze ist ein Vogel.
Kein Hund ist ein Vogel.
Beurteilung umgangssprachlicher Argumente
1. Schritt
(Finden einer optimal strukturreichen Übersetzung)
(4)
(P1)
(P2)
(K)
Kein Hund ist eine Katze.
Keine Katze ist ein Vogel.
Kein Hund ist ein Vogel.
(4a) … ist ein Hund
(4b) … ist eine Katze
(4c) … ist ein Vogel
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Beurteilung umgangssprachlicher Argumente
1. Schritt
(4)
(P1)
(P2)
(K)
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(P1′)
(P2′)
(K′)
Beurteilung umgangssprachlicher Argumente
2. Schritt
Kein Hund ist eine Katze.
Keine Katze ist ein Vogel.
Kein Hund ist ein Vogel.
D = die Menge aller Tiere;
… ist ein Hund;
F1:
… ist eine Katze;
G1:
… ist ein Vogel.
H1:
(4′)
⇒ F1
⇒ G1
⇒ H1
Prüfen ob
(K′)
¬∃x(F1x ∧ H1x)
logisch aus
(P1′)
¬∃x(F1x ∧ G1x) und
(P2′)
¬∃x(G1x ∧ H1x)
folgt.
¬∃x(F1x ∧ G1x)
¬∃x(G1x ∧ H1x)
¬∃x(F1x ∧ H1x)
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1. √
2. √
¬∃x(F1x ∧ G1x)
A
¬∃x(G1x ∧ H1x)
A
A
3. √
4.
¬¬∃x(F1x
5.
∧
∀x¬(F1x ∧ G1x)
H1x)
(1)
∀x¬(G1x ∧ H1x)
(2)
6. √
∃x(F1x ∧ H1x)
(3)
7. √
F1a ∧ H1a
(6)
8.
F1a
(7)
9.
H1a
(7)
10. √
¬(F1a ∧ G1a)
(4)
11. √
¬(G1a ∧ H1a)
(5)
12.
¬F1a
x
14.
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¬G1a
13.
¬G1a
15. ¬H1a
x
Beurteilung umgangssprachlicher Argumente
2. Schritt
Prüfen ob
(K′)
¬∃x(F1x ∧ H1x)
logisch aus
(P1′) ¬∃x(F1x ∧ G1x) und
(P2′) ¬∃x(G1x ∧ H1x)
folgt.
Gegenbeispiel
D =
F1:
G1:
H1 :
(10)
(11)
die Menge aller Tiere;
… ist ein Hund;
… ist eine Katze;
… ist ein Hund.
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