Geschichte der Analysis

Mathematikdidaktik 4 – WS 2005/2006 – FSU Jena – Prof. Dr. B. Zimmermann
Geschichte der Analysis, Übersicht (Präsentation A. Kehl, C. Rose, N. Schuchardt 15.11.2005))
Leitkonzepte
Wichtige
Personen
Archimedes
287-212 .
Integration
(Flächenproblem)
Differentiation
(Tangentenproblem)
Grenzwert
Funktion
Kreis (siehe Quadratur, Rektifikation);
Parabel; siehe Übungsaufgaben
Archimedische Spirale
Implizit in
Proportionen
Zu Geng
Ca. 450 - 520
Cavalieri
1598-1648
Newton
1643-1727
Kugelvolumen bestimmt mit
Cavalieriprinzip, explizit formuliert
Potenzfunktionen mit seiner Methode
integriert
Fluxionenrechnung:
Exhaustionsverfahren bei speziellen
Kurventypen. Erste Ansätze für eine
geschlossene Theorie auf
dynamisch/physikalischer Basis
Symbol- und (auch damit) Kalkülerfindung/präzisierung als Teilergebnis des
Programms chracteristica universalis.
Erste Ansätze für eine geschlossene
Theorie auf arithmetisch/symbolischer/algorithmischer Basis;
Hauptsatzidee: dF=ydx  dF/dx=y
(Viète/Descartes Analysis = Rückwärtsarbeiten mit Gleichungen) Analysis
infinitorum → daraus heutige „Analysis“
Implizit in Exhaustionsmethode (Kreis); in Indivisiblenmethode (Kugel)
Nur implizit und intuitiv,
Indivisiblen
Implizit Indivisiblen
Fluxionenrechnung: „Wackeln“
mit veränderlichen Größen.
Erste Ansätze für eine
geschlossene Theorie auf
dynamisch/physikalischer Basis
Symbol- und (auch damit) Kalkülerfindung/präzisierung
als Teilergebnis des Programms
chracteristica universalis. Erste
Ansätze für eine geschlossene
Theorie auf arithmetisch/symbolischer/algorithmischer Basis
Analysis infinitorum → daraus
heutige „Analysis“
Exhaustion elaboriert
Unendlich kleine Größen
implizit
Impliziter
Gebrauch
Exhaustion und
Indivisiblen: dx, dy, dy/dx,
…) elaboriert → NonStandard-Analysis
Impliziter
Gebrauch, L.
gebraucht das
Wort „Funktion“
noch intuitiv (z. T.
Divergenz von Reihen
nicht beachtet!)
Heute benutzte GW.Definition
Schreibweise
y=f(x)
Leibniz
1646-1716
Euler
1707-1783
Cauchy
1789-1857
Riemann
1826-1866
Nach ihm benanntes Integral
Vorbereitung
Funktionentheorie (CauchyRiemann DGLn)
Mathematikdidaktik 4 – WS 2005/2006 – FSU Jena – Prof. Dr. B. Zimmermann
Möglicher Nutzen für den MU in einigen beachtenswerten Punkten:
1. allgemein:
a. Erfahrung von Mathe als kulturelles Erbe der Menschheit
b. Mathematiker als Menschen, Menschlichkeit der Mathematik (Anekdoten), dieses wurde sehr schön vorgestellt!
c. Schöne Aufgaben
d. Auf dem Hintergrund von historischen Denkprozessen auch mehr Möglichkeiten, die von Schülern zu verstehen.
e. Man erfährt aus der Geschichte, welche Denkmethoden (Heuristiken) sich besonders bewährt haben (z. B. Analogie, Rückwärtsarbeiten,
sukzessive Approximation (wie „falscher Ansatz“ , daraus wurde regula falsi…)).
f. Auf dem Hintergrund von Schwierigkeiten in der Geschichte auch die von Schülern besser verstehen.
2. Speziell:
a. Schöne Beispiele: für Grenzwertproblem: Achilles und Schildkröte, Quadratur/Integration (Möndchen, Parabel, Kreis, Exhaustion), sehr
einfache Beweisidee für Hauptsatz nach Barrow (für monotone, stetige, positive Funktion, Stetigkeitsbegriff kann so ggf. motiviert
werden)
b. Erst Integralrechnung, dann Differentialrechnung?? Genetischer Aufbau der Analysis (vgl. Toeplitz)
c. Schwierigkeiten bei Grenzwertbegriff
d. Schwierigkeiten beim Funktionsbegriff/Koordinatensystem (hat auch in Geschichte sehr lange gedauert)
e. Schwierigkeiten, übergreifende Theorie zu bilden/erfinden und zu verstehen (hat auch in Geschichte sehr lange gedauert)
Sehr nützliche Adresse im Internet:
http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/
Literatur:
Edwards, C. H. jr.: The Historical Development of Calculus. J. Springer, New York, Heidelberg, Berlin 1979.
Glatfeld, M. (Hrsg.): Finden, Erfinden, Lernen. Zum Umgang mit Mathematik unter heuristischem Aspekt. Peter Lang, Frankfurt a. M., Bern, New
York, Paris 1990.
Hofmann, J. E.: Zur Frühgeschichte des Funktionsbegriffs in der Antike. Manuskript, posthum aufbereitet 1989. Erstmals abgedruckt in: Scriba 1990,
Bd. II, S. 436 - 490.
Jahnke, H. N.: Geschichte der Analysis. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg-Berlin, 1999.
Scriba, C. J. (Hrsg.): J. E. Hofmann: Ausgewählte Schriften. Bd. I und Bd. II. G. Olms, Hildesheim - Zürich - New York 1990.
Toeplitz, O.: Die Entwicklung der Analysis. Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt 1972.
Volkert, K.: Geschichte der Analysis. BI Wissenschaftsverlag, Mannheim/Wien/Zürich 1988.
Zimmermann, B.: Geschichte mathematischer Heuristik. In: Glatfeld 1990.