1 Kovariante Ableitung - Plarthin!
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Mehr von PLARTHIN gibt's im Internet auf http://plarthin.wordpress.com Literatur: - [1] deutsche, englische Wikipedia (Literaturverweise hierauf gekennzeichnet mit [1, de]; [1, en]) - [2] Spacetime and Geometry, Sean Carroll Für Pedanten: Alles hier gilt nur für endlichdimensionale Vektorräume. 1 Kovariante Ableitung Da die partiellen Ableitungen auf Tensoren keine Tensoren mehr sind, bilden wir nun eine neue Ableitung, die kovariante Ableitung, die aus einem -Tensor einen -Tensor macht. Wir fordern an diese: 1. Linearität 2. Leibnitz-Regel (=Produkt-Regel) 3. Kommutiert mit Kontraktion: 4. Ist die "normale" partielle Ableitung für skalare: Wir suchen nun eine solche Vorschrift. Wie schon erwähnt ist die partielle Ableitung eines Tensors allein kein Tensor, da wir Störterme erhalten. Die Idee ist nun, diese zu "korrigieren", indem wir mit n -Matrizen hantieren. Dabei wird aber wenig auf Indizes geachtet, die Wirkung auf einen Vektor V ist dann: Wir müssen bei nicht auf die Indexplatzierungen achten, da Das Ergebnis hingegen ist ein Tensor: Mit kein Tensor ist. haben wir aus dem (1,0)-Tensor V einen (1,1)-Tensor gemacht, der auch tatsächlich wie ein Tensor transformiert. Auf 1-Formen hingegen wirkt die kovariante Ableitung wie folgt: Daraus folgt dann das Verhalten auf allgemeine Tensoren: Für jeden oberen Index (entspricht im zugrundeliegendem Tensorprodukt einem Vektor) gibt es "+ ", für jeden unteren Index (entspricht einer Dualform) ein "- ": Denkbar wären nun viele solcher , die alle diese Eigenschaften erfüllen. Übrigens ist die Differenz zweier solcher Symbole ein Tensor: Insbesondere können wir so den Torsionstensor definieren: Wir nennen solche , die in ihren unteren Indizes symmetrisch sind "torsionsfrei". Dies ist eine nützliche Eigenschaft, daher fordern wir an ein spezielles : Torsionsfrei Kompatibel mit der Metrik: Aus der letzten Eigenschaft folgt direkt durch Ausschreiben verschiedener Indexpermutationen die Vorschrift für das Christoffel-symbol: Teilweise nennt man dies auch den Christoffel-Zusammenhang. Mit diesem erhalten wir eine "angenehme" Vorschrift für die Divergenz, für die wir noch den Zusammenhang brauchen. Damit erhalten wir dann: Nun hält uns nichts mehr auf: Damit erhalten wir sofort den Stoke'schen Satz. Sei also Rand . Dann: Dabei ist die auf induzierte Metrik, ist der Normalenvektor. ein Gebiet mit 2 Paralleltransport Bisher haben wir, wenn wir von Vektoren gesprochen haben, stets Elemente des Tangentialraums gemeint, der wie in der Notation angedeutet aber für jeden Punkt p auf der Mannigfaltigkeit unterschiedlich ist. Wir können daher nicht Vektoren miteinander vergleichen. Wir wollen nun genauer überlegen, warum das so ist, und ob wir dies ändern können. In flachen, "normalen" Koordinaten achten wir nicht darauf, wie wir mit Vektoren mit unterschiedlichen "Startpunkten" umzugehen haben. Wir werden sehen, dass dies daran liegt, dass das Ergebnis aller Paralleltransporte zwischen gleichen Start- und Endpunkt gleich ist, d.h. das Ergebnis hängt nicht vom gewählten Weg ab. Bei einem Paralleltransport gehen wir entlang eines Weges, und "schieben" und "drehen" dabei den Vektor so mit, dass er konstant bleibt. In flachen Raumzeitkoordinaten "verschieben" wir den Vektor einfach. Aber schon auf der Kugeloberfläche ist dies nicht mehr der Fall. Führen wir einen Paralleltransport von einem Vektor am Äquator zum Nordpol durch, so hängt das Ergebnis vom genommenen Weg ab: Paralleltransport auf der -Oberfläche. Offensichtlich hängt das Ergebnis des Paralleltransports des schwarzen Vektors vom genommenen Weg ab. Diese Tatsache ist offenbar eine direkte Folge der Krümmung des Raumes - das "abbiegen" der Vektoren ist nötig, um der Krümmung der Mannigfaltigkeit zu folgen. Analog sind bei entsprechenden Metriken auch "Verlängerungen" o.ä. denkbar. Bei der Veranschauung oben aber bitte bedenken: Das ist ein Analogon zur im eingebetteten Kugeloberfläche . "Unsere" Vektoren, die wir betrachten, sind nach wie vor Linearkombinationen partieller Ableitungen. Versuchen wir das zu verallgemeinern. Die Idee ist, dass die Komponenten eines Tensors bei einem Paralleltransport konstant bleiben (unabhängig davon, ob und wie sich Basisvektoren ändern). Man kann die in der flachen Raumzeit geltende Gleichung in einer Tensorgleichung umschreiben. Entlang einer Kurve muss gelten, dass die Tensorkomponenten konstant bleiben: Wobei wir den neuen Operator der gerichteten kovarianten Ableitung eingeführt haben: Er bildet -Tensoren nach -Tensoren ab (da wir über einen Index summieren (vgl. mit Definition der Tensorverjüngung)). Dabei hängt diese Gleichung natürlich von dem verwendeten Zusammenhang ab (da davon abhängt). Ist der Zusammenhang kompatibel mit der Metrik, so wird die Metrik immer korrekt Paralleltransportiert: Dann ist das Skalarprodukt ebenfalls erhalten - wie man sieht, wenn man auf Das bedeutet, dass sowohl Längen als auch Orthogonalität u.ä. erhalten bleiben. wirken lässt. 3 Geodäten Nach der Allgemeinen Relativitätstheorie bewegen sich unbeschleunigte Körper auf Geodäten. Eine Geodäte ist die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten - im Euklidischen Raum ist das einfach eine Gerade. Auf einer Kugeloberfläche hingegen ist das "Teil eines Großkreises". Mithilfe des Paralleltransportes können wir eine Geodäte einfach charakterisieren: Dies sind die Wege, bei denen der Tangentialvektor entlang des Weges paralleltransportiert wird, also: Was äquivalent ist zu: Das ist die Geodätengleichung. Analog erhält man sie, wenn man den Ausdruck für die Weglänge (die für zeitartige Pfade der Eigenzeit entspricht): maximiert (wir müssen ihn maximieren, und nicht minimieren, da für Beobachter, die sich weniger bewegen mehr Zeit vergeht (vgl. Zwillingsparadoxon). Dies geschieht am einfachsten, indem man eine kleine Variation betrachtet und diese für alle Pfade null werden lässt. Führt man dies durch, so erhält man: Was dem ersten Ausdruck der Geodätengleichung für das Christoffensen-Symbol entspricht - und auch nur dies interessiert uns in der ART. ... Naja, fast. Hier taucht nämlich nicht ein beliebiger Parameter auf, sondern die Eigenzeit . Tatsächlich gilt dies nur für Parameter , die affin mit zusammenhängen: Mit dem Vierervektor kann man die Geodätengleichung auch so schreiben: Ein Problem sind lichtartige (lightlike oder null) Wege. Denn diese können wg. nicht über die Eigenzeit charakterisiert werden. Man nimmt in diesem Fall häufig einen Parameter der so gewählt ist, dass gilt: Damit misst ein Beobachter mit Geschwindigkeit für das Teilchen die Energie (in ): Was wiederrum durch Umschreiben der Gleichungen der spez. Relativitätstheorie mit Tensoren in lokalen Inertialkoordinaten folgt, aber wg. der Tensorschreibweise allgemeingültig ist. Exponentialabbildung Geodäten erlauben es, eine Abbildung zu finden, die die Vektoren des Tangentialraums in die Mannigfaltigkeit abbilden, genannt die Exponentialabbildung ("exponential map"): . Ihr Vorteil liegt darin, dass man mit ihnen in recht anschaulicher Konstruktion lokale Inertialkoordinaten finden kann. Der Ableitung jeder Geodäte durch den Punkt p (wobei wir setzen) entspricht einem Vektor im Tangentialraum. Dabei ist diese Zuordnung sogar eindeutig, weil die Geodäte mit den zwei Anfangsbedingungen (ihr Ort und ihre Ableitung bei ) eine DGL zweiter Ordnung erfüllt (die Geodätengleichung). Nun können wir quasi "willkürlich" diese Geodäte bei "auslesen", und nennen den Punkt . Wir fassen zusammen: Ein Vektor aus dem Tangentialraum entspricht eine eindeutige Geodäte , und die an der Stelle 1 ausgelesen gibt einen Punkt auf der Mannigfaltigkeit: I.d.R. ist das aber auf alle Vektoren beliebig kompliziert sein kann. angewandt nicht invertierbar, da die Mannigfaltigkeit Diese Karte kann nun genutzt werden, um lokale Inertialkoordinaten zu finden. Wählen wir also lin. unabhängige Vektoren in , so sollen diese die Bedingung erfüllen. Dies geschieht "ganz normal" nach den Methoden der linearen Algebra - es ist ja grundsätzlich möglich, eine Basis zu finden, in der die Metrik Diagonalform hat. Aber die Basisvektoren des Tangentialraums wollten wir wählen, so dass zum einen , zum anderen gilt - da die durch die Bedingung der diagonalen Metrik schon festgelegt sind, müssen wir also unsere Koordinaten (also unsere Karten) anpassen. Dies geht mit der Exponentialabbildung aber recht schmerzlos: Definieren wir p (willkürlich) als unseren Nullpunkt. Nun suchen wir die Koordinaten(komponenten) von einem Punkt . Zunächst nehmen wir uns die Geodäte , die durch p und q geht, und zwar: Dann existiert aber, wie wir eben gesehen haben, ein Tangentialvektor Wobei natürlich mit gilt. Dann definieren wir unsere neuen Koordinaten einfach: Diese erfüllt die gefordewrten Eigenschaften, was wir hier aber nicht zeigen wollen (es läuft auf die Verwendung der Geodätengleichung heraus, mithilfe derer man zeigt, dass bei p verschwindet). 4 Riemann'scher Krümmungstensor Der Riemann'sche Krümmungstensor (auch oft nur "Riemanntensor") gibt ein Mass für die Krümmung der Metrik an. Man kann ihn auf verschiedene Arten definieren. Die anschaulichste funktioniert wie folgt: Nehmen wir einen Vektoren , und paralleltransportieren diesen entlang eines infinitesimal kleinen Vektors (da er infinitesimal ist, brauchen wir die Krümmung entlang seiner Länge nicht berücksichtigen, und können wir in flacher Raumzeit denken). Anschließend transportieren wir ihn entlang eines anderen infinitesimalen Vektors , und dann wieder zurück entlang und , insgesamt gehen wir also eine (infinitesimale) Schleife. Da wir gesehen haben, dass sich Vektoren durch Paralleltransport ändern können, haben wir nun eine kleine Änderung, die wir mithilfe des Riemanntensors ausdrücken können als: Dabei ist R der Riemann'sche Krümmungstensor - er ist offensichtlich antisymmetrisch in den letzten beiden Indizes (die sozusagen die Vektoren angeben, entlang derer wir verschoben haben - tauschen wir diese aus, so gehen wir die Kurve rückwärts - dann geht auch die Änderung mit umgekehrtem Vorzeichen ein): Das gibt uns ein Verständnis für den Krümmungstensor, aber keine Rechenvorschrift. Um diese zu haben, gehen wir das Problem von einer anderen Sichtweise aus an. Die Kovariante Ableitung in eine bestimmte Richtung können wir als ein Maß verstehen, wie stark sich ein Tensor in diese Richtung verändert, verglichen mit dem in diese Richtung paralleltransportierten Vektor, d.h. gibt ein Maß für die Veränderung des Tensors in die durch gegebene Richtung, indem sie den Tensor T mit dem vergleicht, den wir nach Paralleltransport in diese Richtung erhalten würden (denn nach Definition ist die kovariante Ableitung eines Tensors in die Richtung, in welche er paralleltransportiert wird null). Bilden wir also den Kommutator , so messen wir den Unterschied zwischen den Vektoren (Tensoren), die zunächst in Richtung , dann Richtung paralleltransportiert wurden mit denen, die zunächst in Richtung , dann Richtung paralleltransportiert wurden (hier ändern sich sozusagen die Bezugspunkte: Zuvor haben wir Veränderung zu Bezugspunkt gemessen. Die Differenz zweier solcher Messungen ist, wenn die Veränderung konstant ist (hierfür können wir ausgehen, für Skalare sieht man es sofort, dann ist dies das Lemma von Schwarz [part. Ableitungen kommutieren]) dann einfach der Unterschied der Bezugspunkte (und die Bezugspunkte sind hier die Paralleltransportierten Vektoren (Tensoren)). Also z.B.: Wobei T den Torsionstensor und R wieder den Riemann'schen Krümmungstensor beschreibt: Die Wirkung auf einen Tensor höherer Ordnung folgt wieder wie zuvor: Wir gehen alle Indizes durch Indizes oben kriegen ein "plus R", Indizes unten ein "minus R", und zum Schluss benutzen wir noch den Torsionstensor: Was durchaus eklig werden kann - schließlich stecken in den kovarianten Ableitungen neben den Partiellen Ableitungen noch Korrekturterme (Christoffelsymbole). Häufig schreibt man auch für die Torsion: und für den Riemann'schen Krümmungstensor: Der Riemanntensor wird identisch verschwinden (= ist überall immer null), falls es ein Koordinatensystem gibt, in dem die Metrikkomponenten konstant sind und umgekehrt gibt es immer ein solches Koordinatensystem wenn der Riemanntensor identisch verschwindet. Um einige der Symmetrieeigenschaften, die R erfüllt, besser zu sehen, schreiben wir zunächst wie gewohnt Eine Reihe Eigenschaften, die der Riemanntensor erfüllt, ohne Erläuterung (siehe sonst [2], S. 126ff.): Antisymmetrie in den hinteren Indizes: Antisymmetrie in den vorderen Indizes: Invariant unter Vertauschung der vorderen mit hinteren Indizes-Paaren: Summe aller zykl. Permutationen der hinteren Indizes verschwindet: Summe der antisymmetrischen Vertauschungen (mit Vorzeichen) verschwindet: Bianchi-Identität: Aufgrund dieser Symmetrieeigenschaften bleiben im n-dimensionalen nur Parameter, d.h.: freie (Das bedeutet eindimensionale Mannigfaltigkeiten, etwa die Kreislinie keine Krümmung.) , besitzt Aus dem Riemanntensor abgeleitete Tensoren Aus dem Riemann'schen Krümmungstensor erhalten wir den Ricci-Tensor, indem wir über einen oberen und einen unteren Index summieren: Wir verwenden den gleichen Buchstaben für diese Tensoren, aber aufgrund der unterschiedlichen Zahl an Indizes sollten keine Verwechslungen vorkommen. Die Spur dieser Matrix heißt Ricci Skalar (auch Krümmungsskalar): Und es ist: Wobei existiert, falls wir diese kovariante Ableitung kompatibel mit der Metrik angesetzt haben (was bei uns ja der Fall ist). Es ist . Der Weyltensor ist der Tensor, den wir aus R erhalten, wenn wir alle daraus ableitbaren Tensorverjüngungen ("Contractions") abziehen, so dass diese für den neuen Tensor null ergeben. Der Ausdruck zum berechnen ist dann im n-dimensionalen: Wir sehen sofort, dass der Ausdruck nur für existiert (dort aber immer identisch null ist). Dieser Tensor ist invariant unter komformen Transformationen (falls wir statt nun bestimmen ergeben sich die gleichen Nun noch der Einsteintensor: Für den gilt: ).
