Anhang A Vektoren und Matrizen

Anhang A
Vektoren und Matrizen
Betrachte einen d−dimensionalen Vektorraum V über dem Körper K (z.B. reelle oder komplexe
Zahlen). Dabei sei B = {e1 , . . . ed } eine Basis. Es gelte die Summenkonvention, dass über gleiche
Indizes summiert wird.
Vektorbeziehung
Matrixschreibweise
 
a1
 
Vektor a = ei ai
Spalte S(B, a) =  ... 
ad
Bilinearform φ(a, b) ∈ K
φ(a, b) = (ai )∗ φ(ei , ej )bi
Skalarprodukt φSP (a, b) = a · b
(positiv definite Bilinearform)
φ(a, b) = [S(B, a)]† M (B, φ, B)S(B, b)
mit der Matrix Mi,j (B, φ, B) = φ(ei , ej )
Metrik gij = φSP (ei , ej ); für ON-Basis B gilt:
gij = δij und a · b = [S(B, a)]† S(B, b)
S(B, T(a)) = M (B, T, B)S(B, a)
Lineare Abbildung T(a) ∈ V
mit T(ei ) = ej T j i
Hintereinander-Ausführung
T1 ◦ T2 (a) = T1 (T2 (a))
Abb. ist orthogonal/unitär wenn:
U(a) · U(b) = a · b , ∀a, b
Speziell für d = 3:
Kreuzprodukt c = a × b
c ⊥ a, b mit positiver Orientierung
und |c|2 = |a|2 |b|2 − (a · b)2
Das Kreuzprodukt ist weder kommutativ noch assoziativ
(A.1)
(A.2)
mit M j i (B, T, B) = T j i bzw.
¡
¢
M (B, T, B) = S(B, T(e1 )), . . . S(B, T(ed )) (A.3)
M (B, T1 ◦ T2 , B) = M (B, T1 , B)M (B, T2 , B) (A.4)
M −1 (B, U, B) = M † (B, U, B)
bzgl. positiv orientierter ON-Basis B gilt
S(B, a × b) = S(B, a) × S(B, b) wobei
 1  1  2 3

b
a b − a 3 b2
a
 a2  ×  b 2  =  a3 b 1 − a 1 b 3 
a3
b3
a1 b 2 − a 2 b 1
53
(A.5)
(A.6)
A. Wacker, TU Berlin: Theoretische Physik Ia, 6. Juni 2003
A.1
54
Basiswechsel auf neue Basis B̃ = {ẽ1, . . . ẽd}
Entwickle ei = ẽj M j i → a = ei ai = ẽj M j i ai = ẽj ãj
In Matrixdarstellung:
j
mit M i (B̃, B) = M
j
i
,
S(B̃, a) = M (B̃, B)S(B, a)
¡
¢
bzw. M (B̃, B) = S(B̃, e1 ), . . . S(B̃, ed )
(A.7)
(A.8)
D.h. M (B̃, B) besteht aus den Spalten der Elemente der Basis B bezüglich der Basis B̃. Es gilt:
M (B2 , B) = M (B2 , B1 )M (B1 , B) und M (B, B̃) = M (B̃, B)−1
Für den Tensor einer Abbildung gilt die Transformationsvorschrift
M (B̃, T, B̃) = M (B̃, B)M (B, T, B)M (B, B̃)
(A.9)
Für den Tensor einer Bilinearform gilt die Transformationsvorschrift
M (B̃, φ, B̃) = M (B, B̃)† M (B, φ, B)M (B, B̃)
(A.10)
Falls B̃ und B ON-Basen sind, gilt:
M (B, B̃) = M (B̃, B)† = M (B̃, B)−1
(A.11)
und die Tensoren von Abbildungen und Bilinearformen transformieren sich gleich.
Falls B̃ und B positiv orientierte ON-Basen sind, gilt detM (B̃, B) = 1 und:
h
i h
i
h
i
M (B̃, B)S(B, a) × M (B̃, B)S(B, b) = M (B̃, B) S(B, a) × S(B, b)
d.h. das Kreuzprodukt zweier Vektoren transformiert sich wie ein Vektor. Dies zeigt, dass die
Matrixdarstellung (A.6) basisunabhängig ist. Bei Basen mit umgekehrter Orientierung kommt
ein Faktor −1 hinzu.
A.2
Diagonalisierung von Tensoren
Sei M (B, A, B) ein symmetrischer (hermitescher) Tensor. Dann existiert ein (orthonormales)
System von Spalten S1 , . . . Sd mit M (B, A, B)Si = Ai Si
Interpretiere³Si = S(B,´ui ) und wähle nun die neue Basis B̃ = {u1 , . . . ud }. Dann gilt M (B̃, B)† =
M (B, B̃) = S1 , . . . Sd und

A1
 ..
M (B̃, A, B̃) =  .
0

0 ... 0
.. ..
.. 
. .
. 
0 . . . Ad