Anhang A Vektoren und Matrizen Betrachte einen d−dimensionalen Vektorraum V über dem Körper K (z.B. reelle oder komplexe Zahlen). Dabei sei B = {e1 , . . . ed } eine Basis. Es gelte die Summenkonvention, dass über gleiche Indizes summiert wird. Vektorbeziehung Matrixschreibweise a1 Vektor a = ei ai Spalte S(B, a) = ... ad Bilinearform φ(a, b) ∈ K φ(a, b) = (ai )∗ φ(ei , ej )bi Skalarprodukt φSP (a, b) = a · b (positiv definite Bilinearform) φ(a, b) = [S(B, a)]† M (B, φ, B)S(B, b) mit der Matrix Mi,j (B, φ, B) = φ(ei , ej ) Metrik gij = φSP (ei , ej ); für ON-Basis B gilt: gij = δij und a · b = [S(B, a)]† S(B, b) S(B, T(a)) = M (B, T, B)S(B, a) Lineare Abbildung T(a) ∈ V mit T(ei ) = ej T j i Hintereinander-Ausführung T1 ◦ T2 (a) = T1 (T2 (a)) Abb. ist orthogonal/unitär wenn: U(a) · U(b) = a · b , ∀a, b Speziell für d = 3: Kreuzprodukt c = a × b c ⊥ a, b mit positiver Orientierung und |c|2 = |a|2 |b|2 − (a · b)2 Das Kreuzprodukt ist weder kommutativ noch assoziativ (A.1) (A.2) mit M j i (B, T, B) = T j i bzw. ¡ ¢ M (B, T, B) = S(B, T(e1 )), . . . S(B, T(ed )) (A.3) M (B, T1 ◦ T2 , B) = M (B, T1 , B)M (B, T2 , B) (A.4) M −1 (B, U, B) = M † (B, U, B) bzgl. positiv orientierter ON-Basis B gilt S(B, a × b) = S(B, a) × S(B, b) wobei 1 1 2 3 b a b − a 3 b2 a a2 × b 2 = a3 b 1 − a 1 b 3 a3 b3 a1 b 2 − a 2 b 1 53 (A.5) (A.6) A. Wacker, TU Berlin: Theoretische Physik Ia, 6. Juni 2003 A.1 54 Basiswechsel auf neue Basis B̃ = {ẽ1, . . . ẽd} Entwickle ei = ẽj M j i → a = ei ai = ẽj M j i ai = ẽj ãj In Matrixdarstellung: j mit M i (B̃, B) = M j i , S(B̃, a) = M (B̃, B)S(B, a) ¡ ¢ bzw. M (B̃, B) = S(B̃, e1 ), . . . S(B̃, ed ) (A.7) (A.8) D.h. M (B̃, B) besteht aus den Spalten der Elemente der Basis B bezüglich der Basis B̃. Es gilt: M (B2 , B) = M (B2 , B1 )M (B1 , B) und M (B, B̃) = M (B̃, B)−1 Für den Tensor einer Abbildung gilt die Transformationsvorschrift M (B̃, T, B̃) = M (B̃, B)M (B, T, B)M (B, B̃) (A.9) Für den Tensor einer Bilinearform gilt die Transformationsvorschrift M (B̃, φ, B̃) = M (B, B̃)† M (B, φ, B)M (B, B̃) (A.10) Falls B̃ und B ON-Basen sind, gilt: M (B, B̃) = M (B̃, B)† = M (B̃, B)−1 (A.11) und die Tensoren von Abbildungen und Bilinearformen transformieren sich gleich. Falls B̃ und B positiv orientierte ON-Basen sind, gilt detM (B̃, B) = 1 und: h i h i h i M (B̃, B)S(B, a) × M (B̃, B)S(B, b) = M (B̃, B) S(B, a) × S(B, b) d.h. das Kreuzprodukt zweier Vektoren transformiert sich wie ein Vektor. Dies zeigt, dass die Matrixdarstellung (A.6) basisunabhängig ist. Bei Basen mit umgekehrter Orientierung kommt ein Faktor −1 hinzu. A.2 Diagonalisierung von Tensoren Sei M (B, A, B) ein symmetrischer (hermitescher) Tensor. Dann existiert ein (orthonormales) System von Spalten S1 , . . . Sd mit M (B, A, B)Si = Ai Si Interpretiere³Si = S(B,´ui ) und wähle nun die neue Basis B̃ = {u1 , . . . ud }. Dann gilt M (B̃, B)† = M (B, B̃) = S1 , . . . Sd und A1 .. M (B̃, A, B̃) = . 0 0 ... 0 .. .. .. . . . 0 . . . Ad