Vektorielles Produkt, Kreuzprodukt
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Vektorielles Produkt, Kreuzprodukt Elisabeth Lindner, Sophie Albert, Christian Sohm Gruppe 6 19. Januar 2011 Das Kreuzprodukt ~a×~b (auch Vektorprodukt, vektorielles Produkt oder äußeres Produkt genannt) zweier Vektoren ~a und ~b im dreidimensionalen euklidischen Vektorraum ist ein Vektor ~c, dessen Richtung senkrecht auf der von ~a und ~b aufgespannten Ebene steht und mit ihnen ein Rechtssystem bildet, wobei der Betrag des Vektors ~c dem Flächeninhalt des Parallelogramms mit den Seiten ~a und ~b entspricht. In der Physik tritt das Kreuzprodukt beispielsweise beim Drehmoment oder bei der Lorentzkraft auf. Das Kreuzprodukt wird mit einem Kreuz als Multiplikationszeichen geschrieben. Es gilt ~a × ~b = |~a| |~b| sin θ ~n . Dabei sind |~a| und |~b| die Längen der Vektoren ~a und ~a und sin θ ist der Sinus des von ihnen eingeschlossenen Winkels θ der Vektor ~n ist der Richtungsvektor von ~c nämlich der zu ~a und ~b senkrechte Einheitsvektor, der die zwei Vektoren zu einem Rechtssystem ergänzt, das heißt, ~a, ~b und ~a ×~b verhalten sich wie Daumen, Zeigefinger und Mittelfinger der rechten Hand (Rechte-Hand-Regel). Komponentenweise Berechnung Im euklidischen Vektorraum R3 mit der Standardbasis gilt für das Kreuzprodukt: a1 b1 a2 b3 − a3 b2 ~a × ~b = a2 × b2 = a3 b1 − a1 b3 . a3 b3 a1 b2 − a2 b1 Bilinearität, Antisymmetrie Die Bilinearität entspricht dem Distributivgesetz und erklärt wie sich zwei zweistellige Verknüpfungen bei der Auflösung von Klammern zueinander verhalten (“Ausmultiplizieren”). 1 Das Kreuzprodukt ist bilinear, für alle Zahlen α, β und γ und alle Vektoren ~a, ~b und ~c gilt: ~a × (β ~b + γ ~c) = β (~a × ~b) + γ (~a × ~c) , (α ~a + β ~b) × ~c = α (~a × ~c) + β (~b × ~c) . Da die Fläche jedes Parallelogramms verschwindet, das ein Vektor mit sich aufspannt, ~a × ~a = 0 , ist das Kreuzprodukt antisymmetrisch, 0 = (~a + ~b) × (~a + ~b) = ~a × ~a + ~a × ~b + ~b × ~a + ~b × ~b = 0 + ~a × ~b + ~b × ~a + 0 , ~a × ~b = − ~b × ~a . Das Kreuzprodukt ist “antikommutativ’. Bei Vertauschung der Vektoren ändert sich also das Vorzeichen (Der Vektor zeigt in die entgegengesetzte Richtung). Beispiele Die folgenden Beispiele sollen der besseren Verständlichkeit dienen. Drehmoment ~ einer einzelnen, am Punkt ~r angreifenden Kraft F~ in Bezug auf Das Drehmoment M den Punkt r~0 lässt sich mit einem Kreuzprodukt berechnen: ~ = (~r − r~0 ) × F~ , M befindet sich der Punkt r~0 im Koordinatenursprung (siehe Abbildung 1): ~ = ~r × F~ . M Der Kraftpfeil lässt sich auf seiner Wirkungslinie so verschieben, dass der Abstandsvektor senkrecht zu ihm steht. Er wird dann als Hebelarm bezeichnet. Betragsmäßig gilt dann Kraft mal Hebelarm. Lorentzkraft Die (allgemeine) Lorentzkraft F~ wird auf eine elektrische Ladung q ausgeübt, die sich mit der Geschwindigkeit ~v durch ein elektromagnetisches Feld bewegt. Für sie gilt: ~ + ~v × B ~ . F~ = q E ~ die elektrische Feldstärke und B ~ die magnetische Flussdichte. Teilweise wird Dabei ist E nur die magnetische Komponente als Lorentzkraft bezeichnet (siehe Abbildung 2), hier gilt dann: ~ . F~L = q ~v × B Die Kraft durch die elektrische Komponente ~ F~C = q E wird dabei als Coulombkraft bezeichnet. 2 Abbildung 1: Drehmoment, tangential Abbildung 2: Lorentzkraft, ohne elektrisches Feld 3
