Kapitel 16 Spezielle Relativit atstheorie

Kapitel 16
Spezielle Relativitatstheorie
Ende des vorigen Jahrhunderts zeigt sich, da gewisse elektromagnetische und optische Phanomene nicht mit den Voraussagen der in Kapitel 2 behandelten speziellen Galilei-Transformationen in Einklang gebracht werden konnten (s. z.B. das
Skriptum zur Vorlesung "Spezielle Relativitatstheorie", WS 1997/98, von M. Rinke
sowie die weitere am Ende dieses Kapitels angegebene Literatur). Insbesondere
das uberraschende Ergebnis von Michelson und Morley, da der Wert der Lichtgeschwindigkeit c in verschiedenen Inertialsystemen, die sich mit der Geschwindigkeit
~u relativ zueinander bewegen, denselben Wert hat, war mit der Galileischen Vektoraddition von Geschwindigkeiten nicht vereinbar.
Der entscheidende Durchbruch bei diesen Schwierigkeiten kam im Jahre 1905 als
Einstein und Poincare etwa gleichzeitig vorschlugen, da bei Geschwindigkeiten, die
nicht wesentlich kleiner als die Lichtgeschwindigkeit sind, an die Stelle der speziellen
Galilei-Transformationen die von Lorentz schon vorher als Symmetrietransformation
der Maxwellschen Gleichungen gefundene "spezielle Lorentz-Transformation" treten
solle. Wahrend die Argumentation von Poincare im wesentlichen mathematisch war,
hatte Einstein zusatzlich klar erkannt, da den Lorentz-Transformationen ein neues
Konzept von Raum und Zeit zugrundeliegt und da die Newtonsche Vorstellung einer absoluten Zeit unabhangig von allen Inertialsystemen modiziert werden mute.
Die Grundannahmen Einsteins lassen sich in folgenden Postulaten zusammenfassen:
1. Die Geometrie des 3-dimensionalen Raumes ist weiterhin euklidisch.
2. Es gibt Inertialsysteme, d.h. Systeme, in denen die Bahnen kraftefreier
Teilchen Geraden sind und in jedem solchen System ein Zeitma, so da ein
kraftefreies Teilchen in gleichen Zeiten gleiche Strecken zurucklegt (s. Kap. 2).
In einem vorgegebenen Inertialsystem I (~ei; i = 1; 2; 3; et) werden Ereignisse E
ein-eindeutig durch 4-tupel (x1 ; x2; x3 ; t) (~x; t); xi ; t 2 R; charakterisiert.
3. Relativitatsprinzip: Alle Inertialsysteme sind physikalisch - d.h. nicht nur
mechanisch - aquivalent.
4. Die Lichtgeschwindigkeit hat in allen Inertialsystemen den gleichen Wert
c.
202
16.1. SPEZIELLE LORENTZ-TRANSFORMATIONEN
203
Nicht mehr gefordert wird die Existenz einer absoluten Gleichzeitigkeit fur alle
Inertialsysteme!
Das 4. Postulat erlaubt die Denition von Gleichzeitigkeit in ein und demselben
Inertialsystem I : 2 "Ereignisse" E1 und E2 , die - von I aus gesehen - an den
Punkten P1 und P2 zu den Zeitpunkten T1 und T2 stattnden, sind gleichzeitig,
falls zwei zu den Zeitpunkten T1 und T2 emittierte Lichtblitze sich in der Mitte M
zwischen P1 und P2 treen. Mit dieser Vorschrift lassen sich - im Prinzip - alle Uhren
innerhalb eines Inertialsystems synchronisieren. Die wesentliche Frage ist dann, wie
Zeiten und Koordinaten in verschiedenen Inertialsystemen zu vergleichen sind.
16.1 Spezielle Lorentz-Transformationen
Es seien I (~ei; et; O) und I^(~e^i; e^t ; O^ ) zwei zunachst beliebige Inertialsysteme, die dieselben Langen- und Zeiteinheiten benutzen und Ereignisse E mit den 4-tupeln (~x; t)
bzw. (~x^; t^) beschreiben. Die Frage ist dann, wie die Koordinaten (~x; t) und (~x^; t^) ein
und desselben Ereignisses miteinander zusammenhangen. Diese Frage soll zunachst
fur den folgenden wichtigen Spezialfall beantwortet werden:
16.1.1 Herleitung der speziell. Lorentz-Transformationen
Das System I^ bewege sich gegenuber I in x1 -Richtung mit der Geschwindigkeit u,
wobei die "1"-Achsen beider Systeme und die Ebenen x2 = 0 und x^2 = 0 sowie
x3 = 0 und x^3 = 0 zusammenfallen sollen. Ferner seien die Zeit-Nullpunkte so
gewahlt, da t^ = t fur O^ = O.
~e^3 6
3: E
?
?
~x ?~e^2??? ~x^
~e2??
?
? -~
?O^
?O
~e1
e^1
~e3 6
Zunachst soll begrundet werden, da sich das System I von I^ aus gesehen mit der
Geschwindigkeit ?u langs der ~e^1-Achse bewegt, falls I^ sich von I aus gesehen mit
der Geschwindigkeit u langs der ~e1 -Achse bewegt. Zur Begrundung benutzen wir
ein Argument, kurz "(1,3)-Inversion" genannt, das in den folgenden U berlegungen
hauger benutzt wird:
Kehren wir in beiden Systemen die Richtungen der 1- und 3-Achsen um, so sind
in allen Formeln die Vorzeichen der Koordinaten x1 ; x3 bzw. x^1 ; x^3 umzukehren.
Zu diesen rein mathematischen Konsequenzen kommt die physikalische, da durch
204

KAPITEL 16. SPEZIELLE RELATIVITATSTHEORIE
diese (1,3)-Inversion die Rollen der beiden Systeme vertauscht werden: Das System
I bewegt sich relativ zu I^ nun in Richtung der positiven ^1-Achse, wahrend sich das
System I^ relativ zu I in Richtung der negativen 1-Achse bewegt. Wegen der physikalischen A quivalenz der beiden Inertialsysteme mussen daher alle Beziehungen, die
vor der Inversion zwischen den Koordinaten (~x; t) galten, nach der Inversion fur die
Koordinaten (~x^; t^) gelten und umgekehrt. Aus der Kombination der Formeln, die
aus der mathematischen Inversion folgen, mit denen, die sich aus der physikalischen
A quivalenz ergeben, lassen sich dann haug wichtige Schlusse ziehen.
Angewandt auf die Relativgeschwindigkeiten der beiden Inertialsysteme ergibt die
(1,3)-Inversion Folgendes: Nehmen wir zunachst an, da die Geschwindigkeit von I^
in I den Wert u = dx1=dt und die Geschwindigkeit von I in I^ den Wert u^ = dx^1=dt^
habe. Die mathematische (1,3)-Inversion bedeutet u ! ?u; u^ ! ?u^ wahrend die
zugehorige physikalische A quivalenz den gleichzeitigen Austausch u $ u^ impliziert.
Dies bedeutet, da die Beziehungen ?u = u^ und ?u^ = u gelten mussen.
Aus den Postulaten 2 und 3 folgt weiter, da der Zusammenhang zwischen den
Koordinaten xi ; t und x^i ; t^ linear sein mu, da eine Geradengleichung der Form
~x = ~v t + ~a in eine der Form ~x^ = ~v^ t^ + ~a^ uberzugehen hat. Die allgemeinsten
Transformationen, die Geraden in Geraden uberfuhren, sind die gebrochen linearen
( projektiven )
x^1 = a11bx1x++a12b xx2 ++ab13xx3 ++ba10t +t +b a1 ; x^2 = : : : :
1 1 2 2 3 3 0
Sie haben in ihrer allgemeinen Form jedoch zur Folge, da Punkte einer Geraden in I
- namlich die, fur die der Nenner verschwindet, im System I^ unendliche Koordinaten
haben wurden. Wenn aber endliche Koordinaten in endliche Koordinaten ubergehen
sollen, so bleiben zunachst nur ane Transformationen, fur die der Nenner den Wert
1 hat.
Da aus der Ebenengleichung x2 = 0 die Gleichung x^2 = 0 folgen mu, so gilt
x^2 = k x2 ; k > 0:
Die (1,3)-Inversion fuhrt zu x2 = k x^2 , also gilt k = 1. Entsprechend impliziert
das gleichzeitige Bestehen der Ebenengleichungen x3 = 0 und x^3 = 0 die Beziehung
x^3 = k x3 . Auch hier liefert die (1,3)-Inversion wieder k = 1. Es gilt also
x^2 = x2; x^3 = x3 :
Da ferner aus x1 (t) = u t die Gleichung x^1 = 0 fur den Ursprung des Systems I^
folgen soll, so mu
x^1 = (u) (x1 ? u t); (u) > 0;
sein. Die Eigenschaft (u) > 0 folgt daraus, da die 1-Achse und die ^1-Achse die
gleiche Richtung haben. Analoge Argumente ergeben fur die Umkehrtransformation
x1 = ^(u) (^x1 + u t^); ^ > 0:
16.1. SPEZIELLE LORENTZ-TRANSFORMATIONEN
205
Die (1,3)-Inversion fuhrt wegen x1 ! ?x1 ; x^1 ! ?x^1 ; u ! ?u mathematisch zu
x^1 = (x1 ? u t);
wahrend wegen der oben beschriebenen physikalischen A quivalenz die Beziehung
x1 = ^ (^x1 + u ^t ) die Relation
x^1 = ^ (x1 ? u t)
impliziert, d.h. es gilt
^(u) = (u):
Wegen der Gleichheit der Lichtgeschwindigkeit in allen Inertialsystemen mu aus
x1 = c t die Beziehung x^1 = c t^ folgen. Eingesetzt in die obigen Ausdrucke ergibt
dies
c t^ = t (c ? u); c t = t^(c + u);
also
(u) = q 1 2 2 :
(1 ? u =c )
Eliminieren wir schlielich noch x^1 aus den Formeln x^1 = (x1 ? u t); x1 = (^x1 +
u t^), so bekommen wir
t^ = (u) (t ? ucx2 1 ):
Damit haben wir die speziellen Lorentz-Transformationen hergeleitet, die die
Koordinaten (~x; t) und (~x^; t^) ein und desselben Ereignisses E miteinander verknupften,
mit denen dies Ereignis von zwei verschiedenen Inertialsystemen I und I^ aus beschrieben wird, wobei sich das System I^ gegenuber I mit der Geschwindigkeit u
langs der 1-Achse bewegt:
x^1 = (u) ( x1 ? u t ); x^2 = x2 ; x^3 = x3 ; t^ = (u) ( t ? ucx2 1 ):
Die Umkehrung dieser Transformationen ergibt sich unmittelbar aus den Substitutionen u ! ?u; (~x^; t^) $ (~x; t):
x1 = (u) ( x^1 + u ^t ); x2 = x^2 ; x3 = x^3 ; t = (u) (t^ + ucx^2 1 ):
Fur juj c und u x1 c2 t bekommen wir
x^1 x1 ? u t; t^ t;
d.h. fur Geschwindigkeiten u, die wesentlich kleiner als die Lichtgeschwindigkeit
sind, gehen die speziellen Lorentz-Transformationen in die speziellen Galilei-Transformationen uber!
Andererseits sieht man, da der Faktor (u) imaginar, d.h. unphysikalisch wird,
falls juj > c. Dies bedeutet, da Relativgeschwindigkeiten groer als die Lichtgeschwindigkeit zwischen physikalischen Systemen nicht moglich sind!

KAPITEL 16. SPEZIELLE RELATIVITATSTHEORIE
206
16.1.2 Minkowski-Raum und Eigenzeit
Die obigen Formeln fur die Lorentz-Transformationen lassen sich symmetrischer
schreiben, wenn man die Variablen
x0 = c t; = uc ; ?1 +1
einfuhrt. Aus Grunden, die erst spater deutlich werden, ist es ferner zweckmaig,
fur die Komponenten des Ortsvektors ~x die Notation xi anstelle von xi ; i = 1; 2; 3;
zu benutzen. Die Lorentz-Transformationen lauten dann
x^1 = ( )(x1 ? x0 ); x^i = xi ; i = 2; 3; x^0 = ( ) (x0 ? x1 ); ( ) = q 1 2 ;
(1 ? )
mit den entsprechenden Formeln fur die Umkehrtransformation. Den Raum
M 4 = fx = (x0 ; x1 ; x2; x3 )g
bezeichnet man als Minkowski-Raum. Eigenschaften dieses Raumes kann man
sich gut anhand des folgenden Minkowski-Diagrammes veranschaulichen:
1
x0
6 x^1 = 0 x (t) = v t
?
@@
??
@
???
@@ L+ (O)
@@
??
?
@
: x^0 = 0
@@ ?
?
@@?
? tan = @
?
x1
@
?
?
@
@
? @@
?
? @@
??L? (O) @
?
@@
?
?
@@
??
@
x0 = x1
x0 = ?x1
Die Gleichung x^0 = 0 der Hyperebene, der im System I^ die Gesamheit aller Ereignisse entspricht, die zur Zeit t^ = 0 stattnden, hat im System I die Form x0 = x1
16.1. SPEZIELLE LORENTZ-TRANSFORMATIONEN
207
und man sieht anschaulich, da die Ereignisse, die in I^ gleichzeitig sind - d.h. in
Hyperebenen mit den Gleichungen x^0 = const: liegen, in I nicht mehr gleichzeitig
sein konnen.
Die Menge der Punkte
L+ (O) = fx : (x0)2 ? (~x)2 0; x0 > 0 g
bezeichnet man als vorderen Lichtkegel des Ursprunges O und die Punktmenge
L? (O) = fx : (x0)2 ? (~x)2 0; x0 < 0 g
entsprechend als hinteren Lichtkegel des Ursprunges.
Da physikalische Signale sich hochstens mit Lichtgeschwindigkeit fortpanzen, kann
der Urspung O nur durch Ereignisse beeinut werden, die in L?(O) liegen; von
O aus konnen andererseits nur Ereignisse in L+ (O) beeinut werden, wahrend
Ereignisse in M 4 ? L+ (O) nicht beeinubar sind ( sog. Einstein-Kausalitat ).
Man nennt Ereignisse, die in L?(O) [ L+(O) liegen, relativ zeitartig zu O und
solche aus M 4 n L?(O) [ L+(O) relativ raumartig zu O.
Die zur Bewegungsgleichung x1 = v t eines kraftefreien Teilchens gehorige Gerade
kann wegen jvj c nur im hinteren und vorderen Lichtkegel von O liegen.
Die hier speziell fur den Punkt O eingefuhrten Begrie wie "hinterer und vorderer
Lichtkegel, relativ zeitartig und raumartig" lassen sich oensichtlich durch geeignete
Raum-Zeit-Translationen auf beliebige Punkte P ubertragen.
Fuhren wir noch die "Schnelligkeit" oder "Rapiditat" durch die Denition
cosh = ( )
ein, so folgt wegen cosh2 ? sinh2 = 1, da
sinh = ; = tanh ;
also
!
1
1
+
= 2 ln 1 ? :
Mit Hilfe der Rapiditat erhalten wir fur die Lorentz-Transformationen die Form
x^1 = x1 cosh ? x0 sinh ; x^0 = x0 cosh ? x1 sinh :
Fuhrt man zwei spezielle Lorentz-Transformationen x ! x^ ! x^ mit den "reduzierten" Geschwindigkeiten 1 und 2 sowie den zugehorigen Rapiditaten 1 und 2
nacheinander aus, so folgt aus den Relationen
cosh(1 + 2) = cosh 1 cosh 2 + sinh 1 sinh 2 ;
sinh(1 + 2) = cosh 1 sinh 2 + cosh 2 sinh 1
fur das 3 = 3 (1; 2) der zusammengesetzten speziellen Lorentz-Transformation
x ! x^:
3 = 1 + 2 :
208

KAPITEL 16. SPEZIELLE RELATIVITATSTHEORIE
Wie der Winkel bei raumlichen Drehungen um eine feste Achse so ist auch die
Rapiditat bei speziellen Lorentz-Transformationen bezuglich einer festen Richtung
additiv!
Wegen
1 + tanh 2
tanh(1 + 2 ) = 1tanh
+ tanh 1 tanh 2
folgt dann
3 = 1+1 + 2 :
1 2
Analog zur Invarianz von (x2 )2 + (x3 )2 bei Drehungen um die 3-Achse gilt fur die
obigen speziellen Lorentz-Transformationen
(^x0 )2 ? (^x1 )2 = (x0)2 ? (x1)2 :
Sind x1 und x2 die Raum-Zeit-Koordinaten von 2 Ereignissen E1 und E2, so gilt
oenbar auch fur die Relativkoordinaten
x = x2 ? x1 ; = 0; 1; 2; 3;
da
^x0 = x0 cosh ? x1 sinh ; ^x1 = x1 cosh ? x0 sinh und ^xi = xi; i = 2; 3: Aus diesen Relationen folgt da die Groe
c2( )2 = (x0 )2 ? (x1 )2 ? (x2 )2 ? (x3 )2
in allen Inertialsystemen den gleichen Wert hat!
Fur ein Teilchen, das im System I ruht, gilt xi = 0; i = 1; 2; 3, also ist jetzt =
t. Man bezeichnet deswegen die Variable auch als Eigenzeit des Teilchens.
Die Eigenzeitintervalle haben in allen Inertialsystemen denselben Wert. Sie
treten an die Stelle der Newtonschen absoluten Zeit!
16.1.3 Anwendungen der Lorentz-Transformationen
Zu den wichtigsten Anwendungen der Lorentz-Transformationen gehoren die A nderungen von Zeit- und Langenintervallen beim U bergang vom ruhenden zum bewegten System und umgekehrt: Es seien E1 und E2 zwei Ereignisse, die in I bzw. I^
mittels der Raum-Zeit-Koordinaten x bzw. x^ beschrieben werden. Fur die Koordinatendierenzen x1 = x12 ? x11 ; : : : ; t = t2 ? t1; : : : folgt aus den obigen Formeln
1
x );
^x1 = ( x1 ? u t ); ^x2 = x2 ; ^x3 = x3 ; t^ = ( t ? u 2
c
1
x ):
x1 = (^x1 + u t^); t = (t^ + u ^
2
c
16.1. SPEZIELLE LORENTZ-TRANSFORMATIONEN
209
Transformation gleichzeitiger Ereignisse
Die Ereignisse E1 und E2 seien im System I gleichzeitig, d.h. es ist t = 0. Dann
folgt
1
t^ = ? u (uc)2 x :
Fur einen Beobachter in I^ sind die beiden Ereignisse nicht gleichzeitig, falls x1 6= 0,
und dort ist das Ereignis E2 fruher als E1 fur x1 > 0! Zahlenbeispiel:
u = 0; 75 c : 1; 5; x1 = 300 m; c 3 108 m s?1:
Daraus ergibt sich
1
t^ ?1; 1 x ?1; 1 10?6 s:
c
Langenkontraktion
Eine in I^ ruhende Lange ^l = ^x1 werde von I aus gemessen, wobei t = 0. Es
folgt, da
l = x1 = ?1 ^l = (1 ? 2)1=2 ^l < ^l fur u 6= 0:
Dies bedeutet, da die von I aus gesehene bewegte Lange ^l dort verkurzt ist!
Zeitdilatation
Fur die Zeitintervalle t^ einer in I^ ruhenden Uhr, ^x1 = 0, erhalt man in I :
t = t^ > t^:
Fur einen Beobachter im System I geht die bewegte Uhr also langsamer !
Anwendungsbeispiel:
Das Elementarteilchen Myon hat in seinem Ruhesystem eine mittlere Lebensdauer
2; 2 10?6 s: Myonen werden z.B. durch die kosmische Strahlung in ca. 60
km Hohe uber der Erdoberache erzeugt und im Labor auf der Erde beobachtet.
Wegen c 660 m konnten die Myonen nach Galilei/Newton die Erde garnicht
erreichen. Nach Einstein haben sie jedoch wegen ihrer groen Geschwindigkeit einen
-Faktor in der Groe 100 und damit vom Labor auf der Erde aus gesehen eine
Lebensdauer L 100 , wahrend der sie die Erdoberache erreichen konnen.
Vom Ruhesytem der Myonen aus gesehen ist andererseits die Entfernung zwischen
ihrem Entstehungsort und der Erdoberache um den Faktor 100 verkurzt!
Zwillingsparadoxon
Einer von zwei Zwillingen fahre in einem Raumschi mit der Geschwindigkeit u =
3c=5 zu einem l = 15 Lichtjahre entferntem Stern, kehre dort um und komme mit
der Geschwindigkeit ?u zur Erde zuruck.
Vom Zwilling auf der Erde aus gesehen gehen die Uhren im Raumschi um den

KAPITEL 16. SPEZIELLE RELATIVITATSTHEORIE
210
Faktor (1 ? 2)1=2 = 4=5 langsamer, d.h. von der Erde aus gesehen, ist der reisende
Zwilling nach der Ruckehr um T^ = 2 l (1 ? 2)1=2 =u = 40 Jahre gealtert, wahrend
der zuruckgebliebene Zwilling gema seiner eigenen Uhren T = 2 l=u = 50 Jahre
alter geworden ist.
Vom Raumschi aus gesehen gehen dagegen die Uhren auf der Erde langsamer, d.h.
fur den Zwilling im Raumschi sollte nach dessen Ruckehr der zuruckgebliebene
Zwilling junger sein! Welches Resultat ist richtig?
Die Losung dieses beruhmten Paradoxons liegt in der Tatsache, da der Zwilling im
Raumschi nicht wahrend des gesamten Fluges in ein und demselben Inertialsystem bleibt, sondern wahrend des Umkehrmanovers von einem Inertialsystem
zu einem anderen "umsteuern" mu. Wahrend dieser Brems- und Beschleunigungsvorgange altert der Zwilling auf der Erde um 18 Jahre! Man macht sich diesen
Sachverhalt am einfachsten an dem folgenden Minkowski-Diagramm klar ( a =
Jahr):
6t
Flugende
16 a
T
T
TT
TT t^ = 20 a
b T
9 a bbbTT
Gerade t^ = const: unmittelbar
bbT
nach der Umkehr
" Umkehrbereich
"
9a
""
Gerade t^ = const: unmittelbar
"
" t^ = 20 a
vor der Umkehr
t = 45 20 a = 16 a Lichtjahre
j
Flugbeginn 15 Lichtjahre
Im Jahre 1971 hat man ein Experiment dieses Types in der Form gemacht, da
man eine von zwei sehr genauen Casium-Uhren in einem Flugzeug um die Erde
transportiert hat wahrend die andere auf der Erde zuruckblieb. Das Ergebnis war
so wie von der speziellen Relativitatstheorie vorausgesagt.
Der sprintende Stabhochspringer in der Scheune
Ein Laufer sprinte - Geschwindigkeit u - mit einem Stab der ( Ruhe-) Lange ^l so
schnell durch eine an zwei Seiten oene Scheune der Lange a < ^l , da der Stab
16.1. SPEZIELLE LORENTZ-TRANSFORMATIONEN
211
fur einen in der Scheune ruhenden Beobachter zur Zeit t = 0 gerade ganz in die
Scheune hineinpat, d.h. l = ?1 ^l = a ist.
Fur den Laufer ist dagegen die Lange a der Scheune um den Faktor ?1 verkurzt!
Wie sind beide Aussagen zu vereinbaren? Antwort: Fur den Laufer sind vorderes
und hinteres Stabende nicht gleichzeitig am ersten und zweiten Scheunentor! Es sei
t^ = 0, wenn das vordere Stabende das zweite Tor bei x^1 = x1 = 0 passiert. Fur
den Laufer hat in diesem Zeitpunkt die Scheune die Lange a^ = ?1 a, d.h. ein Stuck
der Lange ^l ? a^ = ^l ? ?1 a des Stabes ragt hinten aus dem ersten Tor der Scheune
heraus. Fur den Laufer passiert das hintere Ende des Stabes das erste Tor zur Zeit
t^ = ? u x1=c2 = u a=c2, da t = 0 und x1 = ?a fur das hintere Stabende im
System I . Es gilt dann oenbar ^l ? a^ = u ^t, oder
^l = ?1 a + u2 a=c2 = ( ?2 + u2=c2 )a = a = l:
Wie kommt der Stab durch die O nung ?
Im System I bewege sich ein aches Blech mit einem kreisformigen Loch vom Radius
R mit konstanter Geschwindigkeit v3 > 0 in Richtung der 3-Achse, wobei das Blech
parallel zur (1,2)-Ebene ( x3 = 0 ) ist und der Mittelpunkt des Loches immer auf
der 3-Achse bleibt. Das Blech passiere, von der negativen 3-Achse herkommend,
zur Zeit t = 0 die Ebene x3 = 0.
Gleichzeitig mit dem Blech bewege sich parallel und langs der 1-Achse ein dunner
Stab der ( Ruhe-) Lange a^ > 2 R mit einer so hohen konstanten Geschwindigkeit u,
da er im System I die kontrahierte Lange a = ?1 a^ < 2 R habe. Die Bewegungen
von Blech und Stab seien so arrangiert, da der Mittelpunkt des Stabes ebenfalls
zur Zeit t = 0 den Ursprung des Koordinatensystemes passiert.

Da der Stab im System I gegenuber dem Blech verkurzt ist, kann sich die Onung
des Bleches uber ihn hinwegbewegen, ohne ihn zu beruhren! Im Ruhesystem I^ des
Stabes ist dagegen die O nung im Blech verkurzt. Wieso kann der Stab, von I^ aus
gesehen, uberhaupt durch die O nung kommen?

Antwort: Im System I^ ist das Blech mit seiner Onung
um einen Winkel ^ > 0
^
gegenuber der positiven 1-Achse geneigt, so da der Stab hindurchschlupfen kann!
Den Neigungswinkel ^ kann man folgendermaen berechnen:
Zunachst transformieren wir die Geschwindigkeit ~v = (0; 0; v3) des Bleches von I
nach I^: Aus der Eigenschaft x1 = 0 folgt
t^ = t; ^x1 = ?u t^ = ?u t;
so da
1
3
3
v^3 = ^x^ = x t = ?1 v3; v^1 = ^x^ = ?u:
t
t
Es bewege sich nun eine zur 1-Achse parallele Lange 2 R in I mit der Geschwindigkeit
v3 langs der 3-Achse, wobei ihr Mittelpunkt immer auf der 3-Achse liege und dieser
die Ebene x3 = 0 und damit den Ursprung zur Zeit t = 0 passiere. Zu diesem
Zeitpunkt sei fur den Mittelpunkt auch t^ = 0; ~x^ = 0.

KAPITEL 16. SPEZIELLE RELATIVITATSTHEORIE
212
Im System I hat das rechte Ende der Lange zur Zeit t = 0 die Koordinaten (R; 0; 0).
Dazu gehort im System I^ die ( negative ) Zeit
t^ = ? u R=c2;
d.h. zur spateren Zeit t^ = 0 hat das rechte Ende in I^ die Koordinaten
^x3 = v^3 (?t^) = R u v3=c2;
^x1 = R + v^1 (?t^) = R ? u u R=c2 = ?1 R;
wobei R die zur Zeit t = 0 von I nach I^ transformierte Lange R und v^1 (?t^) die
von der Lange in der Zeit ?t^ in Richtung der ( negativen ) ^1- Richtung zuruckgelegte
Strecke. Hieraus ergibt sich schlielich
^x3 = u v3=c2:
tan ^ = ^
x1
Viele weitere Beispiele ndet man z.B. in E.F. Taylor and J.A. Wheeler, Spacetime
Physics: Introduction to Special Relativity, 2nd ed. W.H. Freeman and Co., San
Francisco 1992.
16.1.4 Transformation von Geschwindigkeiten
Im System I bewege sich ein Teilchen mit der Geschwindigkeit
~x :
~v = (v1; v2; v3) = lim
t!0 t
Die Frage ist, mit welcher Geschwindigkeit das Teilchen in I^ beobachtet wird. Wir
bekommen
^x1 = lim x1 ? u t = lim (x1 =t) ? u ;
v^1 = lim
t^!0 t^ t!0 t ? x1 =c t!0 1 ? (x1 =c t)
so da
v^1 =
v1 ? u :
1 ? v1=c
Analog erhalt man
2
2 )1=2
3
2 )1=2
v^2 = v 1(1?? v1=c
; v^3 = v 1(1?? v1=c
:
Grenzfall: Ist ~v = (c; 0; 0), so folgt aus den obigen Formeln, da ~v^ = (c; 0; 0) !
16.2. IMPULS UND ENERGIE
213
16.2 Impuls und Energie
In der Galilei-Newtonschen Physik sind der Impuls ~p eines freien Teilchens durch
m~v und seine Energie E durch m~v 2 =2 gegeben. Wurde man diese Denition des
Impulses beibehalten, so ginge der Satz von der Impulserhaltung verloren, wie man
schon an dem folgenden einfachen Beispiel sehen kann:
Zwei harte Kugeln gleicher Masse m werden im System I als Schwerpunktsystem
in der (1,2)-Ebene elastisch aneinander gestreut.
6x2
I@
@
@@~v1 0
@
vorher
@
?
??
??~v1
?
nachher
-x1
nachher
??
?~v2?
?
?
@
@@ 0
@~v2
@@R
vorher
Aus der Impulserhaltung im Schwerpunktsystem,
m v1i + m v2i = m v1i 0 + m v2i 0 = 0; i = 1; 2;
folgt
v1i = ?v2i ; v1i 0 = ?v2i 0; i = 1; 2:
Wir betrachten den Spezialfall einer Streuung, bei dem zusatzlich
vi1 0 = vi1; vi2 0 = ?vi2 ; 1; 2:
Das System I^ bewege sich relativ zu I mit der Geschwindigkeit u = v21 . Dann
folgt aus den im letzten Abschnitt hergeleiteten Formeln fur die Transformation
von Geschwindigkeitskomponenten, da
2
(v21=c)2 )1=2 ; v^2 = v22 (1 ? (v21=c)2 )1=2 6= ?v^2;
v^12 = v1 (11 ?
2
1
+ (v21=c)2
1 ? (v21=c)2
214

KAPITEL 16. SPEZIELLE RELATIVITATSTHEORIE
und entsprechend, wegen v21 0 = v21; vi2 0 = ?vi2 ; i = 1; 2,
20
1 2 1=2
20
1 =c)2 )1=2
2 ; v^2 0 = v2 (1 ? (v2 =c) ) = ?v^2 :
=
?
v
^
v^12 0 = v1 (11 +? ((vv12=c
1
2
2
1 ? =v21=c)2
2 )2
Man sieht, da nun
m v^12 0 + m v^22 0 = ?m v^12 ? m v^22 6= m v^12 + m v^22;
d.h. die Erhaltung des Impulses ware von der Wahl des Inertialsystems abhangig,
was nicht sein kann. Der Impuls eines Teilchen mu in der speziellen Relativitatstheorie neu deniert werden.
16.2.1 Der relativistische Impuls
Bei der Neudenition des Impulses eines relativistischen Teilchens greifen wir auf
seine Eigenzeit zuruck ( s. Abschnitt 16.1.2 ): Es sei I^ das Ruhesystem des Teilchens. Dann ist die Zeit t^ dieses Systems mit der Eigenzeit des Teilchens identisch.
Das Teilchen bewege sich langs der 1-Achse mit der Geschwindigkeit c = v.Die
Ortskoordinaten xi; i = 1; 2; 3 werden jetzt als Funktionen der Eigenzeit angesehen, xi = xi( ); i = 1; 2; 3:
Als relativistische Geschwindigkeit u1 in 1-Richtung denieren wir
x1 = dx1 = dx1 dt = v = (v) v;
u1 = lim
!0 d
dt d d
dt
da
= (v) (1 ? v2=c2) = (v)?1:
= (v)(t ? v x1 =c2); t
Wir denieren nun den relativistischen Impuls in 1-Richtung durch die Beziehung
p1 = m u1 = m (v) v;
bzw. unabhangig von der speziellen Wahl des Koordiantensystems durch
x = m (v) ~v = q m~v ; v = k~vk :
p~ = m d~
d
1 ? v2 =c2
Hierbei ist m die in Kapitel 3 denierte trage ( Ruhe-) Masse des Teilchens. Zur
Begrundung der letzten Beziehung fur beliebige Geschwindigkeiten beachte man,
da die Eigenzeit allgemein durch
c2 ( )2 = (x0 )2 ?
3
X
i=1
(xi )2
16.2. IMPULS UND ENERGIE
215
gegeben ist, so da
2
3 xi !2 d
X
1
2 2 1=2
=1? 2
t
c i=1 t ; dt = (1 ? v =c ) :
Da die Masse m und die Eigenzeit in allen Inertialsystemen denselben Wert
haben, so transformieren sich die Komponenten pi ; i = 1; 2; 3; des relativistischen
Impulses wie die Koordinaten xi selbst, d.h. der Impulserhaltungssatz fur Streuprozesse gilt in allen Inertialsystemen , falls er fur ein System erfullt ist!
Aus der Reihenentwicklung ( s.S. 20 )
2
2
4
(v) = (1 ? vc2 )?1=2 = 1 + 12 vc2 + 38 vc4 + : : :
folgt fur kleine Geschwindigkeiten, da
m (v) m + c12 Tkin; Tkin = m2 v2:
Diese Beziehung lat sich so interpretieren, da die nichtrelativistische kinetische
Energie Tkin zur tragen Masse des Teilchens beitragt. Jedoch ist der Beitrag wegen
des Faktors c2 im Nenner fur Geschwindigkeiten v c sehr klein und fur makroskopische Korper auf der Erde in der Regel vernachlassigbar.
16.2.2 Relativistische Energie
Aufregend werden die obigen Beziehungen, wenn man die Reihenentwicklung in der
Form
4
m (v) c2 = m c2 + m2 v2 + 38m vc2 + : : :
schreibt. Jetzt tritt zu der nichtrelativistischen kinetischen Energie Tkin noch der
Term m c2 hinzu, der im Limes v ! 0 ubrig bleibt und den man deshalb als "Ruheenergie" des Teilchens interpretieren kann. Dies hat die folgende, zuerst von
Einstein im Jahre 1905 gesehene, weitreichende Konsequenz:
Die trage Masse m eines Korpers stellt ein Energieaquivalent der Groe
m c2 dar!
Die Groe
E = m (v) c2 = c ( ~p 2 + c2 m2 )1=2
ist demnach als Gesamtenergie des freien Teilchens,
E0 = m c 2
als seine Ruheenergie und schlielich die Dierenz
Ekin = E ? E0 = m c2 ( (v) ? 1)
216

KAPITEL 16. SPEZIELLE RELATIVITATSTHEORIE
als seine kinetische Energie zu interpretieren.
Wir haben die Komponenten pi des Impulses mittels der relativistischen Geschwindigkeiten ui = dxi=d deniert. Analog erhalten wir fur die Koordinate x0 :
0 dx0 dt
u0 = dx
d = dt d = c (v);
d.h. wir haben
0
dx
0
0
0
E = c p ; p m u = m d = (p~ 2 + m2 c2)1=2 :
Die Groe
u = (u0; ~u )
bezeichnet man als Vierergeschwindigkeit und
m u = p = (p0 ; ~p )
als Viererimpuls. Fur diese gelten die Beziehungen
2
(u0)2 ? ~u 2 = c2; (p0)2 ? p~ 2 = Ec2 ? ~p 2 = m2 c2:
Bewegt sich ein System I^ gegenuber dem System I mit der Geschwindigkeit c
in 1-Richtung, so transformieren sich die Komponenten des Viererimpulses folgendermaen
p^0 = ( ) ( p0 ? p1 ); p^1 = ( ) (p1 ? p0 ); p^i = pi; i = 2; 3:
Dies ist eine unmittelbare Folge der oben schon erwahnten Eigenschaft, da die
Impulse p sich aufgrund ihrer Denition wie die Koordinaten x ( s. Abschnitt
16.1.2 ) transformieren mussen.
16.3 A uere Krafte auf ein relativistisches Teilchen
16.3.1 Die Bewegungsgleichung
Es sei K~ eine vorgegebene auere Newtonsche Kraft, z.B. die Lorentz-Kraft K~ =
q (E~ + ~v B~ ), die auf ein relativistisches Teilchen wirkt, d.h. auf ein Teilchen mit
dem Impuls ~p = m (v) ~v. Die Bewegungsgleichung lautet nun
d~p = m d[ (v)~v ] = K:
~
dt
dt
Die zugehorige Leistung ergibt sich auch hier durch Multiplikation mit ~v :
p = K~ ~v:
~v d~
dt


16.3. AUERE
KRAFTE
AUF EIN RELATIVISTISCHES TEILCHEN
217
Wegen
@p0 = vi ; i = 1; 2; 3;
@pi c
kann man die letzte Gleichung auch als
c dp0 = dE = K~ ~v
dt
dt
schreiben.
Falls ferner
K~ = ?gradV;
und V nicht explizit von der Zeit abhangt, so folgt auch hier der Energiesatz
c p0 + V = const::
Beispiel:
Bewegung eines Teilchens mit Ladung q in einem konstanten elektrischen Feld E~ =
(E0 ; 0; 0): Das Teilchen habe zur Zeit t = 0 die Geschwindigkeit ~v0 = (v01; v02; 0):
Dann folgt aus den Bewegungsgleichungen
dp1 = q E ; dp2 = 0; dp3 = 0;
0 dt
dt
dt
da
p1 = q E0 t + b1 ; p2 = b2 ; p3 = 0; p0(t) = [ m2 c2 + (b2 )2 + ( q E0 t + b1 )2]1=2 ;
wobei
~b = m (v0 ) ~v0; ~v0 = c ~b=p0 (t = 0):
Es gilt demnach
dx1 = v1 = c p1 = c d [ m2 c2 + (b2 )2 + ( q E t + b1 )2]1=2 ;
0
dt
p0(t) q E0 dt
dx2 = v2 = c p2 = c b2 ; dx3 = 0:
dt
p0 p0 dt
Daraus ergeben sich die Losungen
x1 (t) = q Ec [ m2 c2 + (b2)2 + ( q E0 t + b1 )2 ]1=2 + C 1;
0Z
2
2
x (t) = c b [ m2 c2 + (b2 )2 + ( q E0 t + b1 )2]?1=2 dt
2
1
= qcEb arsinh[ q q E2 02t + b 2 2 ] + C 2 ;
0
m c + (b )
wobei C i; i = 1; 2; Integrationskonstanten.
218

KAPITEL 16. SPEZIELLE RELATIVITATSTHEORIE
16.3.2 Lagrange- und Hamilton-Funktion
Da
@ (1 ? ~v 2 )1=2 = ? (v) vi ; i = 1; 2; 3;
@vi
c2
c2
so lat sich die Bewegungsgleichung fur ein relativistisches Teilchen unter dem Einu der Lorentz-Kraft aus der Lagrange-Funktion
2
L = ?m c2 (1 ? vc2 )1=2 ? q + q ~v A~
herleiten. Um Verwechslungen zu vermeiden, werden wir in diesem Kapitel die
kanonischen Impulse mit i bezeichnen. Wir erhalten dann
@L = m vi + q Ai = pi + q Ai; i = 1; 2; 3:
i = @v
i
Daraus ergibt sich die Hamilton-Funktion
H=
3
X
i=1
vi i ? L = m c2 (v) + q ;
und da m c (v) = ( m2 c2 + ~p 2 )1=2 , so folgt
H (~x;~; t) = c [ m2 c2 + (~ ? q A~ )2 ]1=2 + q ;
oder, etwas symmetrischer geschrieben,
1 (H ? q )2 ? (~ ? q A~ )2 = m2 c2 :
c2
16.3.3 Relativistische Form der Lorentz-Kraft
Wir haben schon im Zusammenhang mit Geschwindigkeit und Impuls gesehen, da
es fur die Beschreibung relativistischer Teilchen vorteilhaft ist, anstelle der vom jeweiligen Inertialsystem abhangigen Zeit t die invariante Eigenzeit als unabhangige
Variable einzufuhren. Dies ist auch fur die Formulierung der Bewegungsgleichung
so. Dazu denieren wir zunachst die Viererbeschleunigung
2
Oensichtlich ist
a = ddx2 ; = 0; 1; 2; 3:
Dierenziert man die Relation
d~p = m~a
d
(u0)2 ? ~u 2 = c2


16.3. AUERE
KRAFTE
AUF EIN RELATIVISTISCHES TEILCHEN
nach , so folgt
219
a0 u0 ? ~a ~u = 0:
Es ist daher
dp0 = m a0 = m~a ~u=u0 = ~v d~p = ~v d~p dt = K~ ~u=c:
d
c d c dt d
Die Groe dp0=d ist also im wesentlichen die relativistische Leistung.
Denieren wir
~ (v);
F 0 K~ ~u=c; F~ K
so lauten relativistische Energiebilanz und Bewegungsgleichungen
dp = F ; = 0; 1; 2; 3:
d
Speziell fur die Lorentz-Kraft erhalten wir
~ + ~u B~ ):
F 0 = q E~ ~u=c; F~ = q (E~ + ~v B~ ) = q (u0 E=c
Beim Wirkungsintegral bekommen wir durch den U bergang t ! Z t2
Z 2
dt = L :
L dt = L~ d; L~ = L d
t1
1
Im Falle der Lorentz-Kraft ergibt das
L~ (x; u) = ?m c ( (u0)2 ? ~u 2 )1=2 ? q (u0 =c ? ~u A~ ):
Hier sind die 4 Koordinaten x ; = 0; 1; 2; 3; die verallgemeinerten Koordinaten
q und die Vierergeschwindigkeiten u die verallgemeinerten Geschwindigkeiten.
Dabei ist zu beachten, da die Beziehung (u0)2 ? ~u 2 = c2 erst fur die Groen in den
Bewegungsgleichungen, namlich den Lagrangeschen Gleichungen
d @ L~ = @ L~ ; = 0; 1; 2; 3;
d @u @x
gilt. Explizit lauten diese Gleichungen
d @ L~ = ? d (m u0 + q =c) = @ L~ = ?q (u0@ =c ? ~u @ A~ );
0
0
d @u0
d
@x0
wobei @ @=@x ; = 0; 1; 2; 3: Da ?grad ? @t A~ = E~ ( s. S. 132/133 ), so folgt
m a0 =
dp0 = q ~u E=c:
~
d

KAPITEL 16. SPEZIELLE RELATIVITATSTHEORIE
220
Die Lagrangesche Gleichung fur die Variable x0 ist also die dierentielle Energiebilanz-Gleichung .
Analog erhalten wir aus den ubrigen Lagrangeschen Gleichungen fur xi ; i = 1; 2; 3;
d~p = q (u0 E=c
~ + ~u B~ ):
m~a = d
Wir denieren ferner
A0 = =c; A = (A0 ; A1; A2; A3):
Man bezeichnet A als elektromagnetisches Viererpotential. Die durch
E i = ?@i A0 ? @0 Ai F0i = ?Fi0 ;
ijk B k = @i Aj ? @j Ai ?Fij = Fji; i; j = 1; 2; 3;
denierten Groen F ; ; = 0; 1; 2; 3; bilden eine schiefsymmetrische 4 4-Matrix
der elektromagnetischen Feldstarken:
0
1 E2 E3 1
E
BB 0
CC
c
c C
BB E 1 c
C
BB ?
0 ?B 3 B 2 C
CC
(F ) = B
CC :
BB Ec2 3
1
BB ? c B
0 ?B C
CC
B@ E 3
A
? c ?B 2 B 1 0
Mit diesen Denitionen konnen wir schreiben (Summationskonvention!)
u0 E i=c = u0 F0i; (~u B~ )i = uj Fji; i = 1; 2; 3;
und erhalten daher die folgende symmetrische Form der relativistischen Bewegungsgleichungen fur die Lorentz-Kraft
dp0 = q F u;
0
d
i
dp = ?q F u; i = 1; 2; 3:
i
d
Man beachte , da F00 = 0.
16.4. DIE LORENTZ-GRUPPE, VIERERVEKTOREN UND TENSOREN 221
16.4 Die Lorentz-Gruppe, Vierervektoren und
Tensoren
16.4.1 Allgemeine Lorentz-Transformationen
Wir haben bisher nur spezielle Lorentz-Transformationen in Richtung der 1-Achse
betrachtet. Die Verallgemeinerung fur beliebige Richtungen ~n; ~n 2 = 1; mit Geschwindigkeiten ~ c = c~n, ist einfach, wenn man beachtet, da
x1 ~e1 = ~xk = (~e1 ~x) ~e1; x2 ~e2 + x3 ~e3 = ~x? = ~x ? (~e1 ~x) ~e1 :
Die speziellen Lorentz-Transformationen lauten dann
x^0 = ( )(x0 ? (~e1 ~x )); ~x^k = ( )(~xk ? x0 ~e1 ); ~x^? = ~x?:
Ersetzen wir die Richtung ~e1 durch die beliebige Richtung ~n, so gilt
~xk = (~n ~x ) ~n; ~x? = ~x ? (~n ~x ) ~n;
mit analogen Formeln fur das System I^. Dabei beachte man, da zwar die Bewegungsrichtung ~n von I^ gegenuber I beliebig ist, da jedoch weiterhin die Achsen
der beiden Systeme parallel sind, d.h. es gilt weiterhin ~e^i = ~ei; i = 1; 2; 3!
Die Lorentz-Transformationen in die Richtung ~n sind vollig analog wie bei ~e1 gegeben durch
x^0 = ( ) ( x0 ? ~n ~x );
~x^k = ( ) (~xk ? x0 ~n );
~x^? = ~x?:
Setzen wir noch ( ) = cosh ; ( ) = sinh und beachten wir da ~x^ = ~x^k + ~x^?
so konnen wir auch schreiben:
x^0 = x0 cosh ? (~n ~x ) sinh ;
~x^ = (~n ~x )~n cosh ? x0 ~n sinh + ~x ? (~n ~x) ~n
= ~x + ( cosh ? 1) (~n ~x ) ~n ? x0 ~n sinh :
Man rechnet leicht nach, da
(^x0 )2 ? ~x^ 2 = (x0)2 ? ~x 2:

KAPITEL 16. SPEZIELLE RELATIVITATSTHEORIE
222
Die obigen Formeln fur eine Lorentz-Transformation in Richtung ~n bilden das Analogon zu den entsprechenden Formeln fur Drehungen um die Richtung ~n mit Drehwinkel :
~x^ = (~n ~x ) ~x + (~x ? (~n ~x )) cos + (~n ~x ) sin = ~x cos + (1 ? cos ) (~n ~x ) ~n + cos ~n ~x:
Es ist oensichtlich naheliegend, im Raum der Vierervektoren x = (x0 ; x1 ; x2; x3 )T
das indenite Skalarprodukt
(x; y) x0 y0 ? ~x ~y = g x y 3
X
; =0
g x y
einzufuhren, wobei
g00 = 1 = ?g11 = g22 = g33; g = 0 fur 6= :
Sowohl Lorentz-Transformationen in beliebige Richtungen ~n wie auch beliebige Drehungen lassen dieses Skalarprodukt invariant! Allgemein gilt ( Summationskonvention ! ):
Es sei
x ! x^ = x ; y^ ! y^ = x
eine Transformation, die das Skalarprodukt (x; y) invariant lat. Da x und y beliebig, so folgt aus
(^x; y^) = g x^ y^ = g x x = (x; y) = g x x ;
da
g = g ; ; = 0; 1; 2; 3:
Deniert man die 4 4-Matrizen
= ( ); g = ( g );
so lassen sich diese 16 Bedingungsgleichungen in der kompakten Form
T g = g
schreiben. Da gT = g, so sind nur 10 der 16 Bedingungsgleichungen voneinander
unabhangig. Eine beliebige Matrix hangt daher von 6 unabhangigen Parametern
ab. Fur diese kann man die drei Drehwinkel von drei voneinander unabhangigen
Drehungen sowie die drei reduzierten Geschwindigkeiten i ; i = 1; 2; 3; von 3 speziellen Lorentz-Transformationen in drei unabhangige Richtungen wahlen.
16.4. DIE LORENTZ-GRUPPE, VIERERVEKTOREN UND TENSOREN 223
Eine beliebige Transformation mit der Eigenschaft T g = g heit homogene
Lorentz-Transformation . Die Menge
L = fg
bildet eine Gruppe:
Falls namlich 1; 2 2 L, so gilt
(2 1)T g (2 1) = T1 T2 g 2 1 = T1 g 1 = g; ) 2 1 2 L:
Wegen det g = ?1 folgt aus
det(T g ) = ? det T det = ?(det )2 = ?1;
die Beziehung
det = 1:
Dies bedeutet, da ?1 existiert und
(?1)T g ?1 = (T )?1 T g ?1 = g; ) ?1 2 L:
Die homogenen Lorentz-Transformationen bilden also eine Gruppe, die homogene
Lorentz-Gruppe .
Aus
0 g 0 = g00 = 1
folgt
so da
(0 0 )2 = 1 + (1 0 )2 + (2 0)2 + (3 0 )2;
0 0 1 oder 0 0 ?1:
Dies bedeutet, da die Menge L in vier "Stucke" oder "Komponenten" zerfallt, die
je durch ein Paar der Vorzeichen
det = 1; sgn(0 0) = 1
bestimmt sind. Die Untermenge
L"+ = f; det = 1; sgn(0 0) = 1 g
bildet eine Untergruppe, die eigentliche orthochrone homogene Lorentz-Gruppe .

KAPITEL 16. SPEZIELLE RELATIVITATSTHEORIE
224
16.4.2 Kontra- und kovariante Vierervektoren sowie Kovarianz der relativistischen Lorentz-Kraft
Mittels des "symmetrischen metrischen Tensors" (g ) kann man fur die "kontravarianten" Vierervektoren
0 A0 1
0 p0 1
0 x0 1
B 1C
B 1C
B x1 CC
B@ x2 CA ; p = BB@ pp2 CCA ; A = BB@ AA2 CCA etc.
x=B
A3
p3
x3
durch die Abbildung
x (x0 ; x1 ; x2; x3 ) = xT g;
p (p0 ; p1; p2; p3) = pT g;
A (A0 ; A1; A2; A3 ) = AT g
die zu ihnen "dualen" bzw. "kovarianten" Vektoren x; p; A etc. denieren. Fur die
Komponenten bedeutet dies
x = g x : x0 = x0 ; xi = ?xi ; i = 1; 2; 3 etc. :
Fur das Skalarprodukt konnen wir damit schreiben
(x; y) = x y = xT g y = g x y = x y = x y:
Aus x^ = x folgt
x^ = x^T g = xT T g = xT g (g T g) = x ?1 = x^;
Bei Lorentz-Transformationen gilt also
x ! x; x ! x ?1 ; x x ! x ?1 x = x x:
Fur p; p; A; A etc. ergeben sich entsprechende Formeln. Z.B. haben wir fur den
Viererimpuls p ! p^ = p; p ! ^p = p ?1 mit
(^p; p^) = p ?1 p = p p = g p p = p p = m2 c2:
Denieren wir noch
(g ) (g )?1 ;
so folgt fur den Minkowski-Raum
(g ) = (g ):
16.4. DIE LORENTZ-GRUPPE, VIERERVEKTOREN UND TENSOREN 225
Mit
F g g F = ?F erhalten wir dann fur die relativistische Lorentz-Kraft die kompakte symmetrische
Form
dp = q F (x) u ; = 0; 1; 2; 3;
d
und fur die zugehorige Lagrange-Funktion
L~ = ?m c ( u u )1=2 ? q u A :
Wenn die Komponenten A(x) des Vektorpotentials sich bei Lorentz-Transformationen wie
Ax) ! A^(^x) = A (x); = 0; 1; 2; 3;
transformieren, so folgt fur die Komponenten F des Feldstarketensors:
F (x) ! F^ (^x) = F (x):
Die obigen Gleichungen fur die Lorentz-Kraft sind bei solchen Transformationen
"Lorentz-kovariant", d.h. beide Seiten transformieren sich wie Vierervektoren und
haben daher in allen Inertialsystemen die gleiche Form. Im System I^ gilt also
dp^ = q F^ (^x) u^ ; = 0; 1; 2; 3:
d
Mehr zur speziellen Relativitatstheorie ndet man in
1. M. Rinke, Skriptum zur Vorlesung "Spezielle Relativitatstheorie", WS 97/98;
dort auch weitere Literaturhinweise.
2. E.F. Taylor and J.A. Wheeler, Spacetime Physics: Introduction to Special
Relativity, 2nd ed., W.H. Freeman and Co., San Francisco 1992.
3. R.U. Sexl und H.K. Urbantke, Relativitat, Gruppen, Teilchen, 2. Auage,
Springer-Verlag, Wien und New York 1982.
Inhaltsverzeichnis
1 Allgemeines zum Inhalt der Vorlesung
1.1 Voraussetzungen : : : : : : : : : : : : : :
1.2 Literatur zur Vorlesung : : : : : : : : : : :
1.3 Wissenschaftstheoretische Bemerkungen :
1.3.1 Empirisch-experimenteller Bereich :
1.3.2 Mathematische Modelle : : : : : :
1.3.3 Verbindliche Interpretation : : : : :
1.4 Wissenschaftssoziologische Bemerkungen :
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2 Geometrie von Raum und Zeit
2.1 Literatur : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
2.2 Verschiedene Raum-Zeit Modelle : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
2.2.1 Modelle, bei denen die Struktur von Raum und Zeit unabhangig
von der vorhandenen Materie ist : : : : : : : : : : : : : : : :
2.2.2 Modelle, bei denen die Struktur von Raum und Zeit durch die
vorhandene Materie bestimmt ist : : : : : : : : : : : : : : :
2.3 Die euklidische Geometrie des Raumes : : : : : : : : : : : : : : : :
2.4 Der Galilei-Newtonsche Zeitbegri : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
2.4.1 Elemente des Zeitbegries : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
2.4.2 Problem der Realisierbarkeit von freien Teilchen sowie von
Inertialsystemen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
2.5 Einige Eigenschaften von Inertialsystemen : : : : : : : : : : : : : :
2.5.1 Analytische Beschreibung eines Teilchens in einem Inertialsystem : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
2.5.2 Relationen zwischen verschiedenen Inertialsystemen : : : : :
2.6 Galileisches Relativitatsprinzip : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
3 Die trage Masse
3.1 Operative Denition der tragen Masse durch Stovorgange
3.2 Eigenschaften der tragen Masse : : : : : : : : : : : : : : :
3.2.1 Relationen zwischen Massen : : : : : : : : : : : : :
3.2.2 Additivitat : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
3.2.3 Unabhangigkeit vom Inertialsystem : : : : : : : : :
3.2.4 Impulssatz : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
226
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1
1
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3
3
3
3
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6
6
6
6
7
7
11
11
12
13
13
13
17
18
18
19
19
19
19
20
INHALTSVERZEICHNIS
227
4 A uere Krafte auf ein Teilchen
21
4.1 Der Newtonsche Kraftbegri : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
4.1.1 Die Bewegungsgleichung : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
4.1.2 Allgemeine Eigenschaften der Kraft : : : : : : : : : : : : : :
4.2 Energien und Leistung : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
4.2.1 Der Energiesatz, Folge der Invarianz des Potentials gegenuber
Zeittranslationen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
4.2.2 Arbeit und Leistung : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
4.3 Konstante Krafte, Wurfbewegungen : : : : : : : : : : : : : : : : : :
5 Oszillatoren
5.1 Der 1-dimensionale harmonische Oszillator : : : : : : : : : : : : :
5.1.1 Stabiles Gleichgewicht (b > 0) : : : : : : : : : : : : : : : :
5.1.2 Instabiles Gleichgewicht (b < 0) : : : : : : : : : : : : : : :
5.2 Reibungskrafte : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
5.3 Gedampfte Schwingungen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
5.3.1 Bewegungsgleichung und Energiebilanz : : : : : : : : : : :
5.3.2 Bestimmung von Losungen durch Ansatz : : : : : : : : : :
5.3.3 Systematische Herleitung der Losungen : : : : : : : : : : :
5.3.4 Diskussion verschiedener Losungstypen : : : : : : : : : : :
5.3.5 Phasenportrat des gedampften harmonischen Oszillators :
5.3.6 Attraktoren und asymptotische Stabilitat : : : : : : : : : :
5.3.7 Wronski-Determinante : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
5.4 Erzwungene Schwingungen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
5.4.1 Inhomogene Bewegungsgleichungen und ihre Losungen : :
5.4.2 Spezielle Losung bei zeitlich periodisch einwirkender Kraft
5.4.3 Diskussion spezieller Losungen, Resonanzen : : : : : : : :
5.5 Nichtlineare Oszillatoren : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
5.6 Harmonischer Oszillator in der Ebene : : : : : : : : : : : : : : : :
5.6.1 Beschreibung mittels kartesischer Koordinaten : : : : : : :
5.6.2 Phasenportrat : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
5.6.3 Periodische und quasiperiodische Bahnen : : : : : : : : : :
5.6.4 Beschreibung mittels Polarkoordinaten : : : : : : : : : : :
6 Rotationssymmetrische Potentiale
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6.1 Erhaltung des Drehimpulses : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
6.1.1 Drehimpulserhaltung und ebene Bewegung : : : : : : : : : :
6.1.2 Drehimpulserhaltung und Keplerscher Flachensatz : : : : : :
6.1.3 Tragheitskrafte und eektives Potential : : : : : : : : : : : :
6.2 Verhalten am Ursprung und an den Umkehrpunkten : : : : : : : : :
6.3 Phasenportrat der Radialkoordinaten : : : : : : : : : : : : : : : : :
6.4 Integration der Bewegungsgleichungen : : : : : : : : : : : : : : : :
6.4.1 Bestimmung der Zeitabhangigkeit von Radialkoordinate und
Winkel : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
6.4.2 Die Bahngleichung : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
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66
66
67
68
72
72
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73
INHALTSVERZEICHNIS
228
6.5 Der Virialsatz : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
7 Bewegungen in Schwerefeldern
7.1 Schwere und trage Masse : : : : : : : : : :
7.2 Die Bahnen im Gravitationsfeld : : : : : :
7.2.1 Ellipsenbahnen : : : : : : : : : : :
7.2.2 Parabelbahnen : : : : : : : : : : :
7.2.3 Hyperbelbahnen : : : : : : : : : : :
7.3 Keplers 3. Gesetz : : : : : : : : : : : : : :
7.4 Die Zeitabhangigkeit der Ellipsenbewegung
7.5 Der Runge-Lenz-Vektor : : : : : : : : : : :
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8 Zwei-Korper-Probleme
90
9 Zum N-Korper-Problem
107
8.1 Allgemeine Eigenschaften, Erhaltungssatze : : : : : : : : : : : : : : 90
8.1.1 Erhaltung des Gesamtimpulses : : : : : : : : : : : : : : : : 90
8.1.2 Erhaltung der Gesamtenergie : : : : : : : : : : : : : : : : : 91
8.1.3 Erhaltung des Gesamtdrehimpulses : : : : : : : : : : : : : : 92
8.1.4 Kraftefreie Schwerpunktbewegung : : : : : : : : : : : : : : : 92
8.1.5 Relativ- und Schwerpunkt-Bewegungen : : : : : : : : : : : : 93
8.1.6 Nochmal die Planetenbewegung : : : : : : : : : : : : : : : : 94
8.2 Zwei-Korper-Zerfall eines Teilchens : : : : : : : : : : : : : : : : : : 94
8.2.1 Beschreibung des Zerfalls im Schwerpunktsystem : : : : : : 95
8.2.2 Der Zerfall im Laborsystem : : : : : : : : : : : : : : : : : : 95
8.2.3 Statistische Zerfallsverteilungen : : : : : : : : : : : : : : : : 96
8.3 Elastische Streuung : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 97
8.3.1 Qualitative Skizze von Streuprozessen : : : : : : : : : : : : : 97
8.3.2 Anfangszustande, Endzustande und Erhaltungssatze : : : : : 98
8.3.3 Streuwinkel und Wirkungsquerschnitt : : : : : : : : : : : : : 103
8.3.4 Rutherfordscher Wirkungsquerschnitt fur die Streuung geladener Teilchen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 106
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10.1 1-Teilchen-Dynamik mit Zwangsbedingungen : : : : : : : :
10.1.1 Treibende Krafte und Zwangskrafte : : : : : : : : :
10.1.2 D'Alembertsches Prinzip : : : : : : : : : : : : : : :
10.1.3 Energiebilanz bei zeitabhangiger Zwangsbedingung
10.1.4 Bewegung bei zwei Zwangsbedingungen : : : : : : :
10.2 N-Teilchen-Bewegungen bei Zwangsbedingungen : : : : : :
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9.1
9.2
9.3
9.4
9.5
Bezeichnungen und Grundannahmen : : :
Gesamtimpuls und Schwerpunktbewegung
Drehimpulse und Drehmomente : : : : : :
Energieerhaltung : : : : : : : : : : : : : :
Virialsatz : : : : : : : : : : : : : : : : : :
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10 Zwangskrafte und d'Alembertsches Prinzip
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119
119
120
INHALTSVERZEICHNIS
229
10.2.1 Lagrangesche Gleichungen 1. Art : : : : : : : : : : : : : : : 120
10.2.2 D'Alembertsches Prinzip fur N Massenpunkte : : : : : : : : 121
10.2.3 Statische Gleichgewichte : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 122
11 Lagrangesche Formulierung der Mechanik
11.1 Mathematische Vorbemerkungen : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
11.2 Lagrangesche Gleichungen 2.Art : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
11.2.1 Verallgemeinerte Koordinaten : : : : : : : : : : : : : : : : :
11.2.2 Die Bewegungsgleichungen fur die verallgemeinerten Koordinaten : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
11.2.3 Beispiele fur Lagrange-Funktionen und zugehorige Lagrangesche Gleichungen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
11.2.4 Zyklische Koordinaten und Erhaltungssatze : : : : : : : : :
12 Das Wirkungsintegral
12.1 Die 1. Variation des Wirkungsintegrals : : : : : :
12.2 Lagrangesche Gleichungen und Wirkungsprinzip :
12.3 Noetherscher Satz : : : : : : : : : : : : : : : : : :
12.3.1 Invariante Lagrange-Funktion : : : : : : :
12.3.2 Invarianz der Wirkung bis auf Randterme
12.3.3 Die 1. Variation bei Mitvariation der Zeit :
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146
13 Hamiltonsche Formulierung der Mechanik
148
14 Beliebig bewegte Bezugssysteme
168
13.1 Hamilton-Funktionen und kanonische Gleichungen : : : : : : : : : : 148
13.2 Die Poisson-Algebra : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 151
13.3 Kanonische Transformationen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 152
13.3.1 Endliche Transformationen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 152
13.3.2 Innitesimale Transformationen : : : : : : : : : : : : : : : : 155
13.4 Hamilton-Jacobi-Theorie : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 156
13.4.1 Zeitabhangige Hamilton-Jacobi-Gleichung : : : : : : : : : : 156
13.4.2 Zeitunabhangige Hamilton-Jacobi-Gleichung, Winkel- und Wirkungsvariable : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 161
14.1 Rotierende Bezugssysteme : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
14.1.1 Die Transformationen von Geschwindigkeiten und Beschleunigungen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
14.1.2 Die Newtonsche Bewegungsgleichungen in rotierenden Bezugssystemen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
14.1.3 Die Erde als rotierendes Bezugssystem : : : : : : : : : : : :
14.2 Beliebig beschleunigte Bezugssysteme : : : : : : : : : : : : : : : : :
14.2.1 Die momentane Drehachse : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
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177
INHALTSVERZEICHNIS
230
15 Der starre Korper
15.1 Eulersche Winkel und Drehgeschwindigkeiten : : : : : : : : : : : : :
15.2 Kinetische Energie und Tragheitstensor : : : : : : : : : : : : : : : :
15.2.1 Kinetische Energie : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
15.2.2 Der Tragheitstensor : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
15.3 Translationsbewegung des Schwerpunktes : : : : : : : : : : : : : : :
15.4 Drehimpuls : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
15.4.1 Der kraftefreie Kreisel im Inertialsystem : : : : : : : : : : :
15.5 Die Eulerschen Kreiselgleichungen : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
15.5.1 Nochmal der kraftefreie symmetrische Kreisel : : : : : : : :
15.6 Der schwere symmetrische Kreisel : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
15.6.1 Eulersche Winkel und Drehmoment : : : : : : : : : : : : : :
15.6.2 Lagrange-Funktion, Erhaltungssatze und Integration der Bewegungsgleichungen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
15.6.3 Eektives #-Potential und verschiedene Bewegungstypen des
Kreisels : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
16 Spezielle Relativitatstheorie
16.1 Spezielle Lorentz-Transformationen : : : : : : : : : : : : : : : : : :
16.1.1 Herleitung der speziell. Lorentz-Transformationen : : : : : :
16.1.2 Minkowski-Raum und Eigenzeit : : : : : : : : : : : : : : : :
16.1.3 Anwendungen der Lorentz-Transformationen : : : : : : : : :
16.1.4 Transformation von Geschwindigkeiten : : : : : : : : : : : :
16.2 Impuls und Energie : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
16.2.1 Der relativistische Impuls : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
16.2.2 Relativistische Energie : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
16.3 A uere Krafte auf ein relativistisches Teilchen : : : : : : : : : : : :
16.3.1 Die Bewegungsgleichung : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
16.3.2 Lagrange- und Hamilton-Funktion : : : : : : : : : : : : : : :
16.3.3 Relativistische Form der Lorentz-Kraft : : : : : : : : : : : :
16.4 Die Lorentz-Gruppe, Vierervektoren und Tensoren : : : : : : : : : :
16.4.1 Allgemeine Lorentz-Transformationen : : : : : : : : : : : : :
16.4.2 Kontra- und kovariante Vierervektoren sowie Kovarianz der
relativistischen Lorentz-Kraft : : : : : : : : : : : : : : : : :
180
180
183
183
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192
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