Formale Systeme - bei der Forschungsgruppe Logik und Formale

Formale Systeme
Modallogik
Prof. Dr. Peter H. Schmitt
KIT – I NSTITUT F ÜR T HEORETISCHE I NFORMATIK
KIT – Universität des Landes Baden-Württemberg und
nationales Forschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft
www.kit.edu
Modale Logik
Im Unterschied zur klassischen Logik,
in der nur die Wahrheit einer Aussage von Bedeutung ist,
spielt in der modalen Logik
die Art und Weise, der Modus,
in der eine Aussage wahr ist eine große Rolle.
Prof. Dr. Peter H. Schmitt – Formale Systeme
2/40
Modale Logik
Im Unterschied zur klassischen Logik,
in der nur die Wahrheit einer Aussage von Bedeutung ist,
spielt in der modalen Logik
die Art und Weise, der Modus,
in der eine Aussage wahr ist eine große Rolle.
Eine Aussage ist
I
notwendigerweise wahr, zufälligerweise wahr
Prof. Dr. Peter H. Schmitt – Formale Systeme
2/40
Modale Logik
Im Unterschied zur klassischen Logik,
in der nur die Wahrheit einer Aussage von Bedeutung ist,
spielt in der modalen Logik
die Art und Weise, der Modus,
in der eine Aussage wahr ist eine große Rolle.
Eine Aussage ist
I
notwendigerweise wahr, zufälligerweise wahr
I
heute, gestern oder morgen wahr
Prof. Dr. Peter H. Schmitt – Formale Systeme
2/40
Modale Logik
Im Unterschied zur klassischen Logik,
in der nur die Wahrheit einer Aussage von Bedeutung ist,
spielt in der modalen Logik
die Art und Weise, der Modus,
in der eine Aussage wahr ist eine große Rolle.
Eine Aussage ist
I
notwendigerweise wahr, zufälligerweise wahr
I
heute, gestern oder morgen wahr
I
wird geglaubt, gehört zum Wissen einer Person
Prof. Dr. Peter H. Schmitt – Formale Systeme
2/40
Modale Logik
Im Unterschied zur klassischen Logik,
in der nur die Wahrheit einer Aussage von Bedeutung ist,
spielt in der modalen Logik
die Art und Weise, der Modus,
in der eine Aussage wahr ist eine große Rolle.
Eine Aussage ist
I
notwendigerweise wahr, zufälligerweise wahr
I
heute, gestern oder morgen wahr
I
wird geglaubt, gehört zum Wissen einer Person
I
ist vor/nach einer Aktion wahr, nach Ausführung eines
Programms wahr.
Prof. Dr. Peter H. Schmitt – Formale Systeme
2/40
Einführungsbeispiel
Drei Weisen werden Hüte aufgesetzt, jedem genau
einer. Die Hüte sind entweder weiß oder schwarz, und
jedem ist bekannt, daß mindestens ein schwarzer Hut
mit dabei ist. Jeder Beteiligte sieht, welche Hüte die
anderen beiden aufsitzen haben und soll erschließen,
welchen Hut er aufsitzen hat, natürlich ohne in einen
Spiegel zu schauen, den Hut abzunehmen oder
ähnliches. Nach einer Weile sagt der erste Weise: Ich
”
weiß nicht, welchen Hut ich aufhabe.“ Nach einer
weiteren Pause des Nachdenkens sagt der zweite:
Ich weiß auch nicht, welchen Hut ich aufhabe.“
”
Dann“, sagt der dritte, weiß ich, daß ich einen
”
”
schwarzen Hut aufhabe.“
Prof. Dr. Peter H. Schmitt – Formale Systeme
3/40
Mögliche Welten
w
b
w
b
b
w
w
b
b
b
b
b
w
w
b
b
w
w
b
w
b
Mögliche Welten
w
b
w
w
b
b
w
w
b
1
1
b
b
w
b
w
w
b
b
b
1
b
w
b
Mögliche Welten
w
b
w
w
b
b
w
w
b
1
1
b
b
w
b
w
w
b
b
b
1
b
w
b
Mögliche Welten
w
b
w
1
b
b
w
2
b
w
w
des 2. Weisen
w
b
b
1
b
b
b
2
2
w
w
b
1
b
w
b
Mögliche Welten
w
b
w
1
3
w
b
b
b
b
w
2
b
w
w
des 2. Weisen
3
1
b
b
b
Prof. Dr. Peter H. Schmitt – Formale Systeme
des 3. Weisen
2
2
w
w
b
3
1
b
w
b
4/40
Erster Schritt
w
b
w
1
3
w
b
b
b
b
w
Prof. Dr. Peter H. Schmitt – Formale Systeme
b
w
w
3
1
b
b
b
3
2
2
w
w
b
2
1
b
w
b
5/40
Erster Schritt
Da der erste
Weise
die Farbe
seines
Huts nicht
erschließen
kann, kann
die Welt
(b
w
w
b
w
1
3
w
b
b
b
b
w
1
b
b
b
Prof. Dr. Peter H. Schmitt – Formale Systeme
3
2
2
w
w
b
b
w
w
3
w)
nicht auftreten.
2
1
b
w
b
5/40
Erster Schritt
Da der erste
Weise
die Farbe
seines
Huts nicht
erschließen
kann, kann
die Welt
(b
w
w
b
w
1
3
w
b
b
b
b
w
3
1
b
b
b
w)
2
2
nicht auftreten.
w
w
b
Prof. Dr. Peter H. Schmitt – Formale Systeme
1
b
w
b
5/40
Zweiter Schritt
w
b
w
1
3
w
b
b
b
b
w
3
1
b
b
b
2
2
w
w
b
Prof. Dr. Peter H. Schmitt – Formale Systeme
1
b
w
b
6/40
Zweiter Schritt
Da
der
zweite
Weise die
Farbe seines
Huts
nicht weiß,
können die
Welten
(w b w)
(b b w)
nicht auftreten.
w
b
w
1
3
w
b
b
b
b
w
3
1
b
b
b
2
2
w
w
b
Prof. Dr. Peter H. Schmitt – Formale Systeme
1
b
w
b
6/40
Zweiter Schritt
Da
der
zweite
Weise die
Farbe seines
Huts
nicht weiß,
können die
Welten
(w b w)
(b b w)
nicht auftreten.
w
b
b
1
b
b
b
2
2
w
w
b
Prof. Dr. Peter H. Schmitt – Formale Systeme
1
b
w
b
6/40
Letzter Schritt
w
b
b
1
b
b
b
2
2
w
w
b
1
b
w
b
In den noch verbleibenden möglichen Welten hat der dritte
Weise stets einen schwarzen Hut auf.
Prof. Dr. Peter H. Schmitt – Formale Systeme
7/40
Modallogische Grundbegriffe
in der Welt s weiß der i-te Weise die Aussage A
Prof. Dr. Peter H. Schmitt – Formale Systeme
8/40
Modallogische Grundbegriffe
in der Welt s weiß der i-te Weise die Aussage A
genauer
in jeder für den i-ten Weisen von s aus gesehen möglichen
Welt gilt A.
Prof. Dr. Peter H. Schmitt – Formale Systeme
8/40
Modallogische Grundbegriffe
in der Welt s weiß der i-te Weise die Aussage A
genauer
in jeder für den i-ten Weisen von s aus gesehen möglichen
Welt gilt A.
s |= i A
Prof. Dr. Peter H. Schmitt – Formale Systeme
8/40
Beispiele
w
b
w
b
b
w
b
w
w
Die Boolesche
Variable
Bi
w
b
b
w
w
b
Prof. Dr. Peter H. Schmitt – Formale Systeme
b
b
b
b
w
b
ist wahr in der
Welt s, wenn in
s der i-te Weise
einen schwarzen
Hut aufhat.
Entsprechend
für Wj .
9/40
Beispiele
w
b
w
b
b
w
b
w
w
Die Boolesche
Variable
Bi
w
b
b
b
b
b
w
w
b
b
w
b
(w, b, w) |= 1 B2
ist wahr in der
Welt s, wenn in
s der i-te Weise
einen schwarzen
Hut aufhat.
Entsprechend
für Wj .
(w, b, w) |= 1 W3
nicht (w, b, w) |= 1 W1 (b, w, w) |= 1 B1
Prof. Dr. Peter H. Schmitt – Formale Systeme
9/40
Zweites Einführungsbeispiel
Konfliktfreie Zugriffskontrolle
Der Bakery-Algorithmus ist benannt nach der in manchen
amerikanischen Bäckereien (und manchen deutschen
Behörden, Arztpraxen etc.) üblichen Methode, daß der Kunde
beim Eintritt eine Nummer zieht und dann an die Reihe kommt,
wenn seine Numnmer die kleinste unter den noch Wartenden
ist.
So ist sichergestellt, daß jeder schließlich an die Reihe kommt
und kein Streit darüber entsteht, wer als nächster drankommt.
Prof. Dr. Peter H. Schmitt – Formale Systeme
10/40
Prozesse
Die Prozesse, die am Bakery-Algorithmus teilnehmen, können
wir uns als Instanzen der Klasse Customer vorstellen.
Customer
int ticket
{idle, trying, critical} phase
Prof. Dr. Peter H. Schmitt – Formale Systeme
11/40
Zustandsübergangsregeln
try:
if phase = idle
enter:
if phase = trying and
ticket less than
all other tickets
leave
phase = critical
Prof. Dr. Peter H. Schmitt – Formale Systeme
then
phase := trying
ticket := max of all other tickets + 1
then
phase := critical
then
phase := idle
ticket := 0
12/40
Endlicher Automat
Zwei Prozesse, keine Nummern
idle
idle
idle
critical
idle
trying
trying
critical
Prof. Dr. Peter H. Schmitt – Formale Systeme
trying
idle
trying
trying
critical
idle
critical
trying
13/40
Eigenschaften
idle
idle
idle
critical
idle
trying
trying
critical
trying
idle
trying
trying
Prof. Dr. Peter H. Schmitt – Formale Systeme
critical
idle
critical
trying
14/40
Eigenschaften
idle
idle
idle
critical
idle
trying
trying
critical
trying
idle
trying
trying
Prof. Dr. Peter H. Schmitt – Formale Systeme
critical
idle
critical
trying
Notation
Die Booleschen Variablen i.idle, i.trying,
i.critical seien wahr in
einem Zustand s, wenn
in s der i-te Prozess in
der angegebenen Phase
ist.
14/40
Eigenschaften
idle
idle
idle
critical
idle
trying
trying
critical
trying
idle
trying
trying
critical
idle
critical
trying
Notation
Die Booleschen Variablen i.idle, i.trying,
i.critical seien wahr in
einem Zustand s, wenn
in s der i-te Prozess in
der angegebenen Phase
ist.
Ist der 1. Prozess in der trying Phase, dann kann er in
höchstens zwei Schritt in die kritische Phase gelangen.
Prof. Dr. Peter H. Schmitt – Formale Systeme
14/40
Eigenschaften
idle
idle
idle
critical
idle
trying
trying
critical
trying
idle
trying
trying
critical
idle
critical
trying
Notation
Die Booleschen Variablen i.idle, i.trying,
i.critical seien wahr in
einem Zustand s, wenn
in s der i-te Prozess in
der angegebenen Phase
ist.
Ist der 1. Prozess in der trying Phase, dann kann er in
höchstens zwei Schritt in die kritische Phase gelangen.
1.trying → (♦1.critical ∨ ♦♦1.critical)
Prof. Dr. Peter H. Schmitt – Formale Systeme
14/40
Eigenschaften
idle
idle
idle
critical
idle
trying
trying
critical
trying
idle
trying
trying
critical
idle
critical
trying
Notation
Die Booleschen Variablen i.idle, i.trying,
i.critical seien wahr in
einem Zustand s, wenn
in s der i-te Prozess in
der angegebenen Phase
ist.
Ist der 1. Prozess in der trying Phase, dann kann er in
höchstens zwei Schritt in die kritische Phase gelangen.
1.trying → (♦1.critical ∨ ♦♦1.critical)
nicht 1.trying → ♦1.idle
Prof. Dr. Peter H. Schmitt – Formale Systeme
14/40
Formeln der Modalen Aussagenlogik
Definition
1. 1, 0 ∈ mFor 0Σ
Prof. Dr. Peter H. Schmitt – Formale Systeme
15/40
Formeln der Modalen Aussagenlogik
Definition
1. 1, 0 ∈ mFor 0Σ
2. Jede aussagenlogische Variable P ∈ Σ ist in mFor 0Σ .
Prof. Dr. Peter H. Schmitt – Formale Systeme
15/40
Formeln der Modalen Aussagenlogik
Definition
1. 1, 0 ∈ mFor 0Σ
2. Jede aussagenlogische Variable P ∈ Σ ist in mFor 0Σ .
3. Mit A, B ∈ mFor 0Σ liegen ebenfalls in mFor 0Σ :
¬A, A ∧ B, A ∨ B, A → B.
Prof. Dr. Peter H. Schmitt – Formale Systeme
15/40
Formeln der Modalen Aussagenlogik
Definition
1. 1, 0 ∈ mFor 0Σ
2. Jede aussagenlogische Variable P ∈ Σ ist in mFor 0Σ .
3. Mit A, B ∈ mFor 0Σ liegen ebenfalls in mFor 0Σ :
¬A, A ∧ B, A ∨ B, A → B.
4. Mit A ∈ mFor 0Σ liegen ebenfalls in mFor 0Σ :
A
(gelesen als Box A“, notwendig A“)
”
”
♦B
(gelesen als Diamond A“, möglich A“)
”
”
Prof. Dr. Peter H. Schmitt – Formale Systeme
15/40
Kripke-Strukturen
Definition
Sei Σ eine Menge aussagenlogischer Variablen.
Eine Kripke-Struktur
K = (S, R, I)
über Σ besteht aus:
I
S eine nichtleere Menge
(die Menge von Zuständen oder möglichen Welten)
Prof. Dr. Peter H. Schmitt – Formale Systeme
16/40
Kripke-Strukturen
Definition
Sei Σ eine Menge aussagenlogischer Variablen.
Eine Kripke-Struktur
K = (S, R, I)
über Σ besteht aus:
I
S eine nichtleere Menge
(die Menge von Zuständen oder möglichen Welten)
I
R⊆S×S
Prof. Dr. Peter H. Schmitt – Formale Systeme
(die Zugänglichkeitsrelation)
16/40
Kripke-Strukturen
Definition
Sei Σ eine Menge aussagenlogischer Variablen.
Eine Kripke-Struktur
K = (S, R, I)
über Σ besteht aus:
I
S eine nichtleere Menge
(die Menge von Zuständen oder möglichen Welten)
I
R⊆S×S
I
I: (Σ × S) → {W , F }
Prof. Dr. Peter H. Schmitt – Formale Systeme
(die Zugänglichkeitsrelation)
(Interpretation der AL-Variablen)
16/40
Kripke-Strukturen
Definition
Sei Σ eine Menge aussagenlogischer Variablen.
Eine Kripke-Struktur
K = (S, R, I)
über Σ besteht aus:
I
S eine nichtleere Menge
(die Menge von Zuständen oder möglichen Welten)
I
R⊆S×S
I
I: (Σ × S) → {W , F }
Prof. Dr. Peter H. Schmitt – Formale Systeme
(die Zugänglichkeitsrelation)
(Interpretation der AL-Variablen)
16/40
Kripke-Strukturen
Definition
Sei Σ eine Menge aussagenlogischer Variablen.
Eine Kripke-Struktur
K = (S, R, I)
über Σ besteht aus:
I
S eine nichtleere Menge
(die Menge von Zuständen oder möglichen Welten)
I
R⊆S×S
I
I: (Σ × S) → {W , F }
(die Zugänglichkeitsrelation)
(Interpretation der AL-Variablen)
(S, R) heißt der Kripke Rahmen von K.
Prof. Dr. Peter H. Schmitt – Formale Systeme
16/40
Beispiel einer Kripke-Struktur
aus Huth and Ryan
x3
P, Q
P x1
x2
Q
Q x4
x5
Prof. Dr. Peter H. Schmitt – Formale Systeme
x6
P
17/40
Beispiel einer Kripke-Struktur
aus Huth and Ryan
x3
P, Q
P x1
x2
Q
Q x4
x5
x6
P
Menge der Zustände S = {x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 }
Prof. Dr. Peter H. Schmitt – Formale Systeme
17/40
Beispiel einer Kripke-Struktur
aus Huth and Ryan
x3
P, Q
P x1
x2
Q
Q x4
x5
x6
P
R=
{(x1 , x2 ), (x1 , x3 ), (x2 , x3 ), (x3 , x2 ), (x3 , x3 ), (x4 , x5 ), (x5 , x4 ), (x5 , x6 )}
Prof. Dr. Peter H. Schmitt – Formale Systeme
17/40
Beispiel einer Kripke-Struktur
aus Huth and Ryan
x3
P, Q
P x1
x2
Q
Q x4
x5
x6
P
I(P, x1 ) = I(P, x3 ) = I(P, x6 ) = 1
I(Q, x2 ) = I(Q, x3 ) = I(Q, x4 ) = 1, sonst I(s, x) = 0
Prof. Dr. Peter H. Schmitt – Formale Systeme
17/40
Auswertung von Formeln
Sei K = (S, R, I) eine Kripke-Struktur. Wir definieren für jeden
Zustand s ∈ S, wann eine Formeln aus mFor 0 in s wahr ist.
Definition
vals (A) =
vals (♦A)
=

 W

 F
 W

F
Prof. Dr. Peter H. Schmitt – Formale Systeme
falls für alle s0 ∈ S mit sRs0
gilt vals0 (A) = W
sonst
falls ein s0 ∈ S existiert mit sRs0
und vals0 (A) = W
sonst
18/40
Notation
K = (S, R, I) eine Kripke-Struktur,
s ∈ S,
F eine modale Formel
Prof. Dr. Peter H. Schmitt – Formale Systeme
19/40
Notation
K = (S, R, I) eine Kripke-Struktur,
s ∈ S,
F eine modale Formel
(K, s) |= F
⇔ vals (F ) = W
wenn K aus dem Kontext bekannt ist auch:
s |= F ⇔ vals (F ) = W
K |= F
⇔ für alle s ∈ S gilt (K, s) |= F
Gültigkeit in einen Kripke-Rahmen (S, R) :
(S, R) |= F ⇔ für alle I gilt (S, R, I) |= F
Prof. Dr. Peter H. Schmitt – Formale Systeme
19/40
Saul Aaron Kripke
Geboren 1940 in Omaha (US)
1. Publikation A Completeness Theorem in
Modal Logic
The Journal of Symbolic Logic, 1959
Studium
in Harvard, Princeton, Oxford
und an der Rockefeller University
Positionen
in Harvard, Rockefeller, Columbia,
Cornell, Berkeley and UCLA, Oxford
Ab 1977
Professor an der Princeton University
Seit 1998 Emeritus der Princeton University
Prof. Dr. Peter H. Schmitt – Formale Systeme
20/40
Beispiel zur Auswertung von
Formeln
P A
¬P D
Prof. Dr. Peter H. Schmitt – Formale Systeme
B ¬P
C P
21/40
Beispiel zur Auswertung von
Formeln
P A
¬P D
B ¬P
C P
(K, A) |= P
(K, B) |= P
(K, C) |= P
(K, D) |= P
(K, A) |= P
(K, B) |= P
(K, C) |= P
(K, D) |= P
(K, A) |= P (K, B) |= P (K, C) |= P (K, D) |= P
Prof. Dr. Peter H. Schmitt – Formale Systeme
21/40
Beispiel zur Auswertung von
Formeln
B ¬P
P A
¬P D
C P
(K, A) |= P
(K, B) |= P
(K, C) |= P
(K, D) |= P
(K, A) |= P
(K, B) |= P
(K, C) |= P
(K, D) |= P
(K, A) |= P (K, B) |= P (K, C) |= P (K, D) |= P
true false
Prof. Dr. Peter H. Schmitt – Formale Systeme
21/40
Logische Folgerung
Definition
Sei A eine Formel und Γ eine Menge von Formeln der modalen
Aussagenlogik.
A ist eine logische Folgerung aus Γ
Γ |= A
gdw
für alle Kripke-Strukturen K und jede Welt s von K gilt
wenn (K, s) |= Γ dann auch (K, s) |= A
A ist allgemeingültig wenn
∅ |= A
Prof. Dr. Peter H. Schmitt – Formale Systeme
22/40
Allgemeingültige Formeln
1. (P → Q) → (P → Q)
Prof. Dr. Peter H. Schmitt – Formale Systeme
23/40
Allgemeingültige Formeln
1. (P → Q) → (P → Q)
2. (P ∧ (P → Q)) → Q
Prof. Dr. Peter H. Schmitt – Formale Systeme
23/40
Allgemeingültige Formeln
1. (P → Q) → (P → Q)
2. (P ∧ (P → Q)) → Q
3. (P ∨ Q) → (P ∨ Q)
Prof. Dr. Peter H. Schmitt – Formale Systeme
23/40
Allgemeingültige Formeln
1. (P → Q) → (P → Q)
2. (P ∧ (P → Q)) → Q
3. (P ∨ Q) → (P ∨ Q)
4. (P ∧ Q) ↔ (P ∧ Q)
Prof. Dr. Peter H. Schmitt – Formale Systeme
23/40
Allgemeingültige Formeln
1. (P → Q) → (P → Q)
2. (P ∧ (P → Q)) → Q
3. (P ∨ Q) → (P ∨ Q)
4. (P ∧ Q) ↔ (P ∧ Q)
5. P ↔ ¬♦¬P
Prof. Dr. Peter H. Schmitt – Formale Systeme
23/40
Allgemeingültige Formeln
1. (P → Q) → (P → Q)
2. (P ∧ (P → Q)) → Q
3. (P ∨ Q) → (P ∨ Q)
4. (P ∧ Q) ↔ (P ∧ Q)
5. P ↔ ¬♦¬P
6. ♦(P ∨ Q) ↔ (♦P ∨ ♦Q)
Prof. Dr. Peter H. Schmitt – Formale Systeme
23/40
Allgemeingültige Formeln
1. (P → Q) → (P → Q)
2. (P ∧ (P → Q)) → Q
3. (P ∨ Q) → (P ∨ Q)
4. (P ∧ Q) ↔ (P ∧ Q)
5. P ↔ ¬♦¬P
6. ♦(P ∨ Q) ↔ (♦P ∨ ♦Q)
7. ♦(P ∧ Q) → (♦P ∧ ♦Q)
Prof. Dr. Peter H. Schmitt – Formale Systeme
23/40
Äquivalenzen zwischen den beiden
Modalitäten
Varianten
Modale Logik
P
¬P
♦P
¬♦P
↔ ¬♦¬P
↔
♦¬P
↔ ¬¬P
↔
¬P
Prof. Dr. Peter H. Schmitt – Formale Systeme
24/40
Äquivalenzen zwischen den beiden
Modalitäten
Varianten
Modale Logik
P
¬P
♦P
¬♦P
↔ ¬♦¬P
↔
♦¬P
↔ ¬¬P
↔
¬P
Prof. Dr. Peter H. Schmitt – Formale Systeme
24/40
Äquivalenzen zwischen den beiden
Modalitäten
Varianten
Modale Logik
P
¬P
♦P
¬♦P
↔ ¬♦¬P
↔
♦¬P
↔ ¬¬P
↔
¬P
Prof. Dr. Peter H. Schmitt – Formale Systeme
Analogie aus
Prädikatenlogik
∀xA
¬∀xA
∃xA
¬∃xA
↔
↔
↔
↔
¬∃x¬A
∃x¬A
¬∀x¬A
∀x¬A
24/40
Gegenbeispiel zur
Allgemeingültigkeit von
(P ∨ Q) → (P ∨ Q)
Prof. Dr. Peter H. Schmitt – Formale Systeme
25/40
Relative Allgemeingültigkeit
Erstes Beispiel
Die Formel
A → A
ist nicht allgemeingültig.
Prof. Dr. Peter H. Schmitt – Formale Systeme
26/40
Relative Allgemeingültigkeit
Erstes Beispiel
Die Formel
A → A
ist nicht allgemeingültig.
Aber
Prof. Dr. Peter H. Schmitt – Formale Systeme
26/40
Relative Allgemeingültigkeit
Erstes Beispiel
Die Formel
A → A
ist nicht allgemeingültig.
Aber
für alle Kripke-Strukturen K = (S, R, I), so daß (S, R) eine
reflexive Relation ist gilt
K |= A → A
Prof. Dr. Peter H. Schmitt – Formale Systeme
26/40
Relative Allgemeingültigkeit
allgemeingültige Formel
P → P
Prof. Dr. Peter H. Schmitt – Formale Systeme
Eigenschaft von R
reflexiv
27/40
Relative Allgemeingültigkeit
allgemeingültige Formel
P → P
P → P
Prof. Dr. Peter H. Schmitt – Formale Systeme
Eigenschaft von R
reflexiv
transitiv
27/40
Relative Allgemeingültigkeit
allgemeingültige Formel
P → P
P → P
P → ♦P
Prof. Dr. Peter H. Schmitt – Formale Systeme
Eigenschaft von R
reflexiv
transitiv
symmetrisch
27/40
Relative Allgemeingültigkeit
allgemeingültige Formel
P → P
P → P
P → ♦P
P → P
Prof. Dr. Peter H. Schmitt – Formale Systeme
Eigenschaft von R
reflexiv
transitiv
symmetrisch
dicht
27/40
Relative Allgemeingültigkeit
allgemeingültige Formel
P → P
P → P
P → ♦P
P → P
Prof. Dr. Peter H. Schmitt – Formale Systeme
Eigenschaft von R
reflexiv
transitiv
symmetrisch
dicht
für alle t1 , t2 ∈ S mit R(t1 , t2 )
existiert t3 ∈ S mit R(t1 , t3 ) und R(t3 , t2 ).
27/40
Relative Allgemeingültigkeit
allgemeingültige Formel
P → P
P → P
P → ♦P
P → P
♦P → P
Prof. Dr. Peter H. Schmitt – Formale Systeme
Eigenschaft von R
reflexiv
transitiv
symmetrisch
dicht
für alle t1 , t2 ∈ S mit R(t1 , t2 )
existiert t3 ∈ S mit R(t1 , t3 ) und R(t3 , t2 ).
partiell funktional
27/40
Relative Allgemeingültigkeit
allgemeingültige Formel
P → P
P → P
P → ♦P
P → P
♦P → P
Prof. Dr. Peter H. Schmitt – Formale Systeme
Eigenschaft von R
reflexiv
transitiv
symmetrisch
dicht
für alle t1 , t2 ∈ S mit R(t1 , t2 )
existiert t3 ∈ S mit R(t1 , t3 ) und R(t3 , t2 ).
partiell funktional
für alle s, t1 , t2 ∈ S mit R(s, t1 ) ∧ R(s, t2 )
folgt t1 = t2 .
27/40
Relative Allgemeingültigkeit
allgemeingültige Formel
P → P
P → P
P → ♦P
P → P
♦P → P
P → ♦P
Prof. Dr. Peter H. Schmitt – Formale Systeme
Eigenschaft von R
reflexiv
transitiv
symmetrisch
dicht
für alle t1 , t2 ∈ S mit R(t1 , t2 )
existiert t3 ∈ S mit R(t1 , t3 ) und R(t3 , t2 ).
partiell funktional
für alle s, t1 , t2 ∈ S mit R(s, t1 ) ∧ R(s, t2 )
folgt t1 = t2 .
endlos
27/40
Relative Allgemeingültigkeit
allgemeingültige Formel
P → P
P → P
P → ♦P
P → P
♦P → P
P → ♦P
Eigenschaft von R
reflexiv
transitiv
symmetrisch
dicht
für alle t1 , t2 ∈ S mit R(t1 , t2 )
existiert t3 ∈ S mit R(t1 , t3 ) und R(t3 , t2 ).
partiell funktional
für alle s, t1 , t2 ∈ S mit R(s, t1 ) ∧ R(s, t2 )
folgt t1 = t2 .
endlos
für jedes s ∈ S ein t existiert mit R(s, t).
P eine aussagenlogische Variable.
Prof. Dr. Peter H. Schmitt – Formale Systeme
27/40
Relative Allgemeingültigkeit
Weitere Beispiele
allgemeingültige Formel
Eigenschaft von R
P → P
reflexiv
P → ♦P
reflexiv
P → P
reflexiv
♦P → ♦P
reflexiv
P → ♦P
reflexiv
♦♦P → ♦P
transitiv
P → P
transitiv
P → ♦P
symmetrisch
P ↔ P
reflexiv und transitiv
♦♦P ↔ ♦P
reflexiv und transitiv
♦P ↔ P
Äquivalenzrelation
♦P ↔ ♦P
Äquivalenzrelation
P eine aussagenlogische Variable.
Prof. Dr. Peter H. Schmitt – Formale Systeme
28/40
Charakterisierung
Erstes Beispiel
Prof. Dr. Peter H. Schmitt – Formale Systeme
29/40
Charakterisierung
Erstes Beispiel
Gilt für einen Kripke-Rahmen (S, R)
für alle I gilt (S, R, I) |= P → P
dann ist
(S, R) reflexiv
Prof. Dr. Peter H. Schmitt – Formale Systeme
29/40
Charakterisierungstheorie
Definition
Sei R eine Klasse von Kripke-Rahmen,
und F eine Formel der Modallogik.
Prof. Dr. Peter H. Schmitt – Formale Systeme
30/40
Charakterisierungstheorie
Definition
Sei R eine Klasse von Kripke-Rahmen,
und F eine Formel der Modallogik.
F charakterisiert die Klasse R genau dann, wenn für alle KripkeRahmen (S, R) gilt
für alle I gilt (S, R, I) |= F
gdw
(S, R) ∈ R
Prof. Dr. Peter H. Schmitt – Formale Systeme
30/40
Einige Charakterisierungsresultate
Formel
charakterisierte Eigenschaft
P → P
reflexiv
Prof. Dr. Peter H. Schmitt – Formale Systeme
31/40
Einige Charakterisierungsresultate
Formel
charakterisierte Eigenschaft
P → P
P → P
reflexiv
transitiv
Prof. Dr. Peter H. Schmitt – Formale Systeme
31/40
Einige Charakterisierungsresultate
Formel
charakterisierte Eigenschaft
P → P
P → P
P → ♦P
reflexiv
transitiv
symmetrisch
Prof. Dr. Peter H. Schmitt – Formale Systeme
31/40
Einige Charakterisierungsresultate
Formel
charakterisierte Eigenschaft
P → P
P → P
P → ♦P
P → P
reflexiv
transitiv
symmetrisch
dicht
Prof. Dr. Peter H. Schmitt – Formale Systeme
31/40
Einige Charakterisierungsresultate
Formel
charakterisierte Eigenschaft
P → P
P → P
P → ♦P
P → P
♦P → P
reflexiv
transitiv
symmetrisch
dicht
partiell funktional
Prof. Dr. Peter H. Schmitt – Formale Systeme
31/40
Einige Charakterisierungsresultate
Formel
charakterisierte Eigenschaft
P → P
P → P
P → ♦P
P → P
♦P → P
P → ♦P
reflexiv
transitiv
symmetrisch
dicht
partiell funktional
Prof. Dr. Peter H. Schmitt – Formale Systeme
31/40
Einige Charakterisierungsresultate
Formel
charakterisierte Eigenschaft
P → P
P → P
P → ♦P
P → P
♦P → P
P → ♦P
reflexiv
transitiv
symmetrisch
dicht
partiell funktional
Prof. Dr. Peter H. Schmitt – Formale Systeme
31/40
Einige Charakterisierungsresultate
Formel
charakterisierte Eigenschaft
P → P
reflexiv
P → P
transitiv
P → ♦P
symmetrisch
P → P
dicht
♦P → P
partiell funktional
P → ♦P
endlos
P eine aussagenlogische Variable.
Prof. Dr. Peter H. Schmitt – Formale Systeme
31/40
Grenzen der
Charaktersierungstheorie
Konkretisierung
Sei φ eine Formel der Prädikatenlogik in der Signatur Σ = {R}
und
Rφ = {(S, R) | (S, R) |= φ}
Frage 1 Gibt es zu jedem φ eine modallogische Formel F ,
so daß die Klasse der Rahmen Rφ charakterisiert?
Prof. Dr. Peter H. Schmitt – Formale Systeme
32/40
Grenzen der
Charaktersierungstheorie
Konkretisierung
Sei φ eine Formel der Prädikatenlogik in der Signatur Σ = {R}
und
Rφ = {(S, R) | (S, R) |= φ}
Frage 1 Gibt es zu jedem φ eine modallogische Formel F ,
so daß die Klasse der Rahmen Rφ charakterisiert?
Frage 2 Gibt es zu jeder modallogischen Formel F eine
prädikatenlogische Formel φ, so daß Rφ mit der
Klasse der durch F charakterisierten Rahmen
zusammenfällt?
Prof. Dr. Peter H. Schmitt – Formale Systeme
32/40
Grenzen der
Charaktersierungstheorie
Antworten
Antwort 1 Nein
Z.B. für φ = ∀x¬R(x, x) kann die Klasse Rφ nicht
durch eine modallogische Formel charakterisiert
werden
Prof. Dr. Peter H. Schmitt – Formale Systeme
33/40
Grenzen der
Charaktersierungstheorie
Antworten
Antwort 1 Nein
Z.B. für φ = ∀x¬R(x, x) kann die Klasse Rφ nicht
durch eine modallogische Formel charakterisiert
werden
Antwort 2 Nein
Es gibt modallogische Formel F , so daß die durch
F charakterisierten Rahmen nicht durch eine
prädikatenlogische Formel φ axiomatisiert werden
kann.
Prof. Dr. Peter H. Schmitt – Formale Systeme
33/40
Entscheidbarkeit
modaler Logiken
Prof. Dr. Peter H. Schmitt – Formale Systeme
34/40
Entscheidbarkeit
Aus dem Filtrationslemma (siehe Skriptum) folgt:
Theorem
Jede Menge Γ modallogischer Formeln, die überhaupt ein Modell hat,
hat auch ein Modell (S, R, I), so dass S endlich ist, wobei eine
obere Schranke für die Größe von S aus Γ berechnet werden
kann.
Prof. Dr. Peter H. Schmitt – Formale Systeme
35/40
Entscheidbarkeit
Aus dem Filtrationslemma (siehe Skriptum) folgt:
Theorem
Jede Menge Γ modallogischer Formeln, die überhaupt ein Modell hat,
hat auch ein Modell (S, R, I), so dass S endlich ist, wobei eine
obere Schranke für die Größe von S aus Γ berechnet werden
kann.
Korollar
Die modale Aussagenlogik K ist entscheidbar,
Prof. Dr. Peter H. Schmitt – Formale Systeme
35/40
Entscheidbarkeit
Aus dem Filtrationslemma (siehe Skriptum) folgt:
Theorem
Jede Menge Γ modallogischer Formeln, die überhaupt ein Modell hat,
hat auch ein Modell (S, R, I), so dass S endlich ist, wobei eine
obere Schranke für die Größe von S aus Γ berechnet werden
kann.
Korollar
Die modale Aussagenlogik K ist entscheidbar, d.h.
es gibt einen Algorithmus, der für jede Formel A entscheidet, ob
A eine K-Tautologie ist oder nicht.
Prof. Dr. Peter H. Schmitt – Formale Systeme
35/40
Andere Modalitäten
Prof. Dr. Peter H. Schmitt – Formale Systeme
36/40
Informale Interpretationen von F
F ist notwendigerweise wahr
F ist zu jedem zukünftigen Zeitpunkt wahr
Ein Agent a glaubt F
Ein Agent a weiß F
Nach jeder Ausführung des Programms p gilt F
Falls erforderlich schreibt man
a F ,
p F ,
[a]F
oder
[p]F
anstelle von F .
Prof. Dr. Peter H. Schmitt – Formale Systeme
37/40
Informale Interpretationen von ♦
♦F ≡ ¬¬F
F
♦F
F ist notwendigerweise wahr F ist möglicherweise wahr
F ist zu jedem zukünftigen
es gibt einen zukünftigen Zeitpunkt,
Zeitpunkt wahr
zu dem F wahr ist.
Ein Agent a glaubt F
F ist konsistent mit den Aussagen,
die a für wahr hält.
Ein Agent a weiß F
a weiß nicht, daß F falsch ist.
Nach jeder Ausführung des Es gibt eine Ausführung des
Programms p gilt F
Programms p, nach der F wahr ist.
Prof. Dr. Peter H. Schmitt – Formale Systeme
38/40
Prof. Dr. Peter H. Schmitt – Formale Systeme
♦true
((F → G) ∧ F ) → G
F → ♦F
F → F
F → F
F
F ist notwendigerweise wahr
F ist immer wahr
Ein Agent a glaubt F
Ein Agent a weiß F
Nach jeder Ausführung des
Programms p gilt F
39/40
Prof. Dr. Peter H. Schmitt – Formale Systeme
((F → G) ∧ F ) → G
yes
yes
?
yes
yes
yes
yes
yes
yes
yes
yes
yes
no
no
no
yes
no
40/40
♦true
F → ♦F
yes
yes
?
yes
F → F
?
?
no
yes
F → F
F
F ist notwendigerweise wahr
F ist immer wahr (in der Zukunft)
Ein Agent a glaubt F
Ein Agent a weiß F
Nach jeder Ausführung des
Programms p gilt F