Janis Postels ED-Seminar Sommer 2015

ED-Seminar Sommer 2015
Supraleitung/LondonGleichungen
erreichen. Ein Supraleiter kann also als idealer Diamagnet (Suszeptibilität χ = 1) betrachtet werden.
Einleitung
Supraleiter 1. und 2. Art
Janis Postels
Man unterscheidet zwischen Supraleiter 1. und 2. Art.
Die Supraleiter 1. Art werden dabei durch den MOE
definiert. Somit sind alle Materialien, die den MOE
zeigen, Supraleiter 1. Art. Supraleiter 2. Art zeigen
ein leicht verändertes Verhalten. Im Gegensatz zu
den Supraleitern 1. Art besitzt solche zwei kritische
Feldstärken Hc1 und Hc2 des äusseren Magnetfeldes
Ha . Ist Ha < Hc1 so zeigen Supraleiter 2. Art den
MOE und verhalten sich somit analog zu Supraleitern 1. Art. Ist widerrum Ha > Hc2 sind diese normalleitend. Der Unterschied liegt in dem verhalten für
Hc1 < Ha < Hc2 . Für solche Magnetfeldstr̈ken stellt
sich eine Art Mischzustand ein. Das Magnetfeld kann
in den Supraleiter teilweise eindringen. Dies geschieht
in Form sogenannter Flussschläuche 2. Der Betrag der
magnetischen Feldstr̈ke, mit der das äussere Feld eindringen kann, ist dabei gequantelt. Die magnetischen
Flussschläuche haben also die Feldstärke eines magneh
(Kit99).
tischen Flussquants Φ0 = 2e
Die Supraleitung wurde 1911 durch den niederländischen Physiker Heike Kamerlingh Onnes entdeckt. Dieser hatte es drei Jahre zuvor geschafft Helium unter den Siedepunkt herab zu kühlen und agierte
somit zu damaliger Zeit als einer der Pioniere der Tieftemperaturphysik. Bei Versuchen, die den Widerstand
von Metallen bei Temperaturen nahe des Nullpunktes untersuchten, stellte Onnes fest, dass der Widerstand ab einer Temperatur von ca. 4.2K sehr schnell
verschwindet 1. Diese Temperatur bezeichnet man als
die Sprungtemperatur Tc .
Abbildung 2: Gequanteltes Eindringen des äusseren
Magnetfeldes
In diesem Zustand besitzt das System einen nicht
verschwindenden Widerstand. Dieser resultiert aus der
Wechselwirkung zwischen den magnetischen Flussschläuchen und dem Strom.
Abbildung 1: Widerstand von Quecksilber in Des Weiteren wollen wir noch einen anderen Effekt im
Abhängigkeit von der Temperatur
Zusammenhang mit Supraleitern 2. Art erwähnen. Dabei handelt es sich um das flux pinning. Hierbei proDesweiteren beobachtete man, dass diese supralei- duziert man gezielt Störstellen im Gitter des Supratende Eigenschaft ebenfalls von der Existenz eines leiters. An diesen Störstellen können die magnetischen
äuÃeren Magnetfeldes abhängt. Erreicht ein äuÃeres Flussschläuche bis zu einer gewissen Grenzkraft nicht
Magnetfeld eine kritische Feldstärke Hc , welche von der passieren. Daraus resultiert ein räumliches Fixieren des
Temperatur abhängt, so verliert das Material ebenfalls äusseren magnetisches Feldes und letztlich ein fixieren
ebenfalls diese Eigentschaft.
des Supraleiters im Raum (LLC99).
London-Gleichungen
Meissner-Ochsenfeld-Effekt (MOE)
Herleitung (Bec69)
Der von den namensgebenden Physikern Walter Meissner und Robert Ochesnfeld 1933 entdeckte MOE besagt, dass ein Stoff, der sich im supraleitenden Zustand
befindet, kein magnetisches Feld in seinem Inneren besitzt. Dabei kommt es nicht darauf an, in welcher Reihenfolge wir das äussere Magnetfeld und die Temperatur modifizieren, um den supraleitenden Zustand zu
Bei den London-Gleichungen handelt es sich um eine phänomenologische Beschreibung der Supraleitung.
Wir wollen diese zunächst herleiten und anschliessend
mithilfe dieser den MOE erklÃren. Die Brüder London
gehen bei der Herleitung vom Zweiflüssigkeitenmodell
aus. Elektronen im Supraleiter können, laut diesem
1
Modell, in zwei verschieden Phasen vorliegen - der supraleitenden und der normalleitenden Phase. Die Gesamtstromdichte im Supraleiter ergibt sich somit zu
~ = j~s + j~n
jges
supraleitenden Elektronen. Diese ist vpn der Temperatur abhängig.

 0 ∀ T ≥ Tc
monoton steigend ∀ Tc ≥ T ≥ 0 . (9)
ns (T ) =

nges wenn T = 0
(1)
mit der Stromdichte der supraleitenden Elektronen j~s
Wir wollen nun das Regime betrachten, in dem der
und der Stromdichte der normalleitenden Elektronen
c2 ~
die Terj~n . Für j~n nehmen wir an, dass diese bis zum Tempe- von der Supraleitung abstammende Term λ2s H
raturnullpunkt dem ohmschen Gesetz
~
me, die eine Zeitableitung von H enthalten, dominiert.
Offensichtlich ist dies der Fall für zeitlich konstante Fel~
j~n = σ · E
(2) der. Nehmen zeitlich harmonisch oszillierende Felder
sich die zeitlichen Ableitungen ebenfalls für
genügt. Im folgenden wollen wir einen Ausdruck für an, lassen
c2
vernachlässigen.
In diesen Fällen erhalten wir
ω
2
die Stromdichte der supraleitenden Elektronen herleiλs
ten. Wir betrachten zunächst die Bewegungsgleichung
eines einzelnen Elektrons. Experimentelle Beobachtun~ − 1H
~ =0
(10)
∆H
λ2s
gen ergeben, dass keine Reibungskraft (verschwindener elektrischer Widerstand) und keine Lorentzkraft
Die Lösung dieser Gleichung ist eine Exponentialfunk(MOE) wirkt. Somit ergibt sich für die Bewegungsgleition mit der charakteristischen Eindringtiefe λs . Auf
chung eines Elektrons:
diese Weise können wir den MOE mithilfe der soeben hergeleiteten London-Gleichungen verstehen. Fer~
m~a = eE
(3)
ner lässt sich noch eine weitere interessante BeobachMit dem Ausdruck j~s = ne < ~v >, wobei < ~v > die tung an Supraleitung näher betrachten. Beim Phamittlere Geschwindigkeit der Elektronen ist, erhalten senübergang in den supraleitenden Zustand stellt man
fest, dass man einem System den Übergang nicht
wir
ne2 ~
∂ j~s
ansieht. Intuitiv erwartet man, aufgrund des MOE,
=
E
(4)
ein unstetiges Verhalten des Reflexionsvermögens ei∂t
m
nes
Systems beim Phasenübergang. In Experimenten
Mit 4 haben wir bereits die erste London-Gleichung
stellt
sich jedoch heraus, dass dies nicht der Fall ist.
vorliegen. Von dieser wollen wir nun die Rotation bil~
Ein
Verständnis
für diesen Sachverhalt lässt sich erlan∂
H
~ E
~ =
den und das Induktionsgesetz c∇×
∂t ausnutzen.
gen,
wenn
man
erneut in 8 betrachtet, welcher FreWir erhalten
2
~
quenzbereich von dem Term der Supraleitung λc 2 H
s
2
~
~
∂(∇ × js )
∂ ne ~
dominiert wird. Dabei ist es wichtig zu wissen, dass
= (
H)
(5)
die charakteristische Eindringtiefe von der Temperatur
∂t
∂t mc
abhängt. Diese Abhängigkeit ist durch λs ∝ ns1(T ) . UnEin weiterer innovativer Schritt der Brüder London
c2
2
bestand nun darin, die Zeitableitung wegzulassen. ter Berücksichtigung von 9 erkennt man, dass ω λ2s ,
Dies geschieht unter der Begründung, dass konstante somit der Term der Supraleitung unterdrückt wird und
Lösungen unphysikalischer Natur sind. Dies führt zur sich das System für Felder entsprechender Frequenz wie
ein Normalleiter verhält.
zweiten London-Gleichung
2
~
~ × j~s = ne H
∇
mc
0.1
(6)
Eine mikroskopische Theorie der Supraleitung bietet
die 1957 von den Physikern Bardeen, Cooper und
Schrieffer entwickelten BCS-Theorie. Als Startpunkt
für die Entwicklung dieser Theorie dient eine Energielücke im Energiespektrum der Elektronen. Um diese zu erklären postulierte Cooper zunächst die sogenannten Cooper-Paare. Dabei handelt sich um den
Zusammenschluss jeweils zweier Elektronen auf Basis einer attraktiven Wechelwirkung. Diese Wechselwirkung findet über den Austausch von Phononen statt.
Ein Elektronen verzerrt durch seine Bewegung das
Kristallgitter, emittiert also ein Phonon. Ein weiteres Elektron absorbiert dieses Phonon im Anschluss
wieder 3. Die Grössenordnung der Distanz, auf der
diese Wechselwirkung stattfindet, ist ungefähr 100nm.
Durch die Bildung der Cooper-Paare ändert sich die
Erklärung des MOE
Ausgehend von der Maxwell-Gleichung
~ ×H
~ =E
~˙ + 4π jges
~
c∇
(7)
wollen wir nun eine resultierenden Feldgleichung betrachten. Dazu nutzen wir zunächst 1 aus, bilden die
Rotation und verwenden abschliessend noch 4 und 6.
Zusammenfassend erhalten wir
2
~ × (∇
~ × H)
~ +H
~¨ + c H
~ + 4πσ H
~˙ = 0
c2 ∇
λ2s
BCS-Theorie
(8)
für die magnetische Feldstärke mit der Eindringtiefe
mc2
λs = 4πn
2 . Hierbei ist ns die Elektronendichte der
se
2
Literatur
[Bec69] Becker/Sauter: Theorie der Elektrizitaet.
Bd. 3. 1969
[Kit99] Kittel, Ch.: Einfuehrung in die Festkoerperphysik. 1999
[LLC99] https://en.wikipedia.org/wiki/Flux_
pinning
Abbildung 3: Verzerrung des Kristallgitters aufgrund
der Coulomwechelwirkung zwischen Elektronen und
Atomrümpfen
zugrunde liegende Statistik. Ein Gas einzelner Elektronen muss, da Elektronen Fermionen sind, dem PauliPrinzip genügen, wodurch zwei Elektronen nicht den
selben Energiezustand innehaben können. Die CooperPaare widerrum sind Bosonen, also Teilchen ganzzahligen Spins. Für diese gilte die Bose-Einstein-Statistik,
was bewirkt, dass die Teilchen nun auch den selben Energiezustand besetzen können. Die CooperPaare können sich insbesondere auch alle im Grundzustand befinden. Dadurch lässt sich das System als
Ganzes durch eine makroskopische Wellenfunktion beschreiben. Auf diese Weise können lokale Hindernisse, wie Atomrümpfe, überbrückt werden, wodurch sich
die charakteristischen Eigenschaften, wie Supraleitung,
einstellen (Kit99).
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