Übungsblatt 9

Übungsblatt 9
zur Vorlesung
"Theorie III - Quantenmechanik"
im Sommersemester 2015
Dozent: Univ.-Prof. Dr. Hartmut H. Wittig
Oberassistent: Felix Erben
Abgabe: Freitag, 26.06.2015, 10:00,
im Foyer des Instituts für Kernphysik.
Bitte auch die benötigte Bearbeitungszeit auf dem Abgabezettel vermerken!
1. Kommutatoren
Berechne die folgenden Kommutatoren:
(a) (1 Punkt) [Li , xj ]
(b) (1 Punkt) [Li , pj ]
(c) (1 Punkt) [Li , r], wobei r2 = ~x2
~ 2 , Li ]
(d) (1 Punkt) [L
(e) (1 Punkt) [L± , sin θ cos φ]
2. Kugelflächenfunktionen
Für Zentralpotentiale V (~r) = V (r) sind die Kugelfächenfunktionen Y`m (θ, φ)
Lösungen des winkelabhängigen Teils der Schrödingergleichung. Die Kugelfächenfunktionen sind wie folgt definiert:
1
(2` + 1)(` − m)! 2 m
Y`m (θ, φ) =
P` (cos θ)eimφ ,
4π(` + m)!
`+m
m d
(−1)m
mit P`m (x) = ` (1 − x2 ) 2 `+m (x2 − 1)` .
2 `!
dx
(a) (2 Punkte) Zeige, dass für die Parität der Kugelflächenfunktionen gilt:
ΠY`m (θ, φ) = (−1)` Y`m (θ, φ) ,
wobei die Wirkung des Paritätsoperators gegeben ist durch
ΠY`m (θ, φ) = Y`m (π − θ, φ + π) .
(b) (2 Punkte) Für Zustände mit m = 0 lassen sich die Kugelflächenfunktionen
durch die Legendre-Polynome P` (cos θ) ≡ P`0 (cos θ) ausdrücken:
r
(2` + 1)
Y`0 (θ, φ) =
P` (cos θ) .
4π
Berechne Y`0 für 0 ≤ ` ≤ 2.
(c) (4 Punkte) Die Kugelflächenfunktionen mit 0 < m ≤ ` können dann mithilfe des Aufsteigeoperators L+ erzeugt werden:
∂
∂
iφ
L+ = Lx + iLy = ~e
+ i cot θ
.
∂θ
∂φ
Berechne mit Hilfe der Beziehung
p
L+ Y`m (θ, φ) = ~ `(` − 1) − m(m + 1)Y`m+1
und der Symmetrierelation
∗
Y`,−m (θ, φ) = (−1)m Y`m
(θ, φ)
die Kugelflächenfunktionen mit 0 < |m| ≤ ` für 0 < ` ≤ 2.
(d) (2 Punkte) Skizziere den Realteil der in dieser Aufgabe berechneten Kugelflächenfunktionen als Funktion von θ und φ in Polardarstellung. Wähle
als Projektionsebene die x − z-Ebene und die x − y-Ebene.
3. Spinoperatoren
Die beiden Spinzustände |↑i und |↓i (’spin up’ und ’spin down’) seien orthonormierte Eingenzustände eines Systems mit Spin 21 .
(a) (3 Punkte) Zeige, dass
[Si , Sj ] = iijk ~Sk ,
~2
[Si , Sj ]+ = δij I ,
2
wobei
~
(|↑i h↓| + |↓i h↑|) ,
2
~
Sy = i (− |↑i h↓| + |↓i h↑|) ,
2
~
Sz = (|↑i h↑| − |↓i h↓|) .
2
Sx =
Hinweis: Die Zustände sind orthonormiert, h↑ | ↑i = h↓ | ↓i = I; h↑ | ↓i =
h↓ | ↑i = 0. Weiterhin gilt für den Einheitsoperator I = (|↑i h↑| + |↓i h↓|)
(Vollständigkeitsrelation)
(b) (2 Punkte) Wie sehen dieOperatoren
Sx ,Syund Sz in der Matrix-Darstellung
1
0
der ’ket’-Zustände |↑i =
und |↓i =
aus?
0
1
2