Gymnasium Hilpoltstein – Grundwissen 9. Jahrgangsstufe ( ) 3

Gymnasium Hilpoltstein – Grundwissen 9. Jahrgangsstufe
Wissen / Können
Aufgaben und Beispiele
1. Rechnen mit Wurzeln
Quadratwurzel
a „Wurzel aus a“ ist diejenige Zahl
größer oder gleich Null, die mit sich selbst
multipliziert a ergibt. Dabei muss a ≥ 0
sein.
25 = 5 ;
− 16 ist nicht definiert;
(− 3)2
( x − 8 )2
= 3;
Allgemein:
= x −8 ;
⎧a für a ≥ 0
a2 = a = ⎨
⎩ − a für a < 0
Reelle Zahlen
Jeder unendliche, nicht periodische
Dezimalbruch beschreibt eine irrationale
Zahl.
Die Menge der rationalen und die Menge
der irrationalen Zahlen bilden zusammen
die Menge der reellen Zahlen R.
Rechenregeln für Wurzeln
π;
− 3;
2;
1,010010001...
N⊂Z⊂Q⊂R
Produktregel
a ⋅ b = a ⋅b ;
2 ⋅ 3 = 2⋅3 = 6 ;
a
2
=
a
;
b
a : b = a:b ;
Quotientenregel
b
VORSICHT!!!
a ± b ≠ a±b;
3
=
2
;
3
2 : 3 = 2:3
9 + 16 = 3 + 4 = 7
9 + 16 = 25 = 5
ANWENDUNGEN:
•
Teilweises Radizieren
•
Rationalmachen des Nenners
•
Summen/Differenzen von Wurzeln
45 = 9 ⋅ 5 = 9 ⋅ 5 = 3 5
6
2
=
6⋅ 2
2⋅ 2
=
6⋅ 2
=3 2
2
5 3 − 3 = (5 − 1) ⋅ 3 = 4 3
n-te Wurzeln
n
a „n-te Wurzel aus a“ ist diejenige
nicht negative Zahl, deren n-te Potenz a
ergibt. Dabei muss a ≥ 0 sein, n ∈ N
und n ≥ 2.
( a)
n
n
=a
3
8 = 2 denn 2 3 = 8
3
− 8 existiert nicht!
Potenzen mit rationalen Exponenten
a −n =
1
an
1
n
a =n a
a
m
n
= n am
7 −3 =
1
1
=
3
343
7
1
3
8 3 = 3 8 = 3 2 3 = 2 16 4 = 4 16 3 = 4 212 = 2 3 = 8
9
−
1
2
=
1
9
Potenzgesetze
für Potenzen mit gleicher Basis
1
2
1
=
=
9
1
= 3 −1
3
Sind r, s ∈Q und a, b ∈R+, so gilt :
1
1
43 ⋅ 46 = 43
a r : a s = a r −s
43 : 46 = 43
1
für Potenzen mit gleichem Exponenten
1 1
+
6
a r ⋅ a s = a r+s
a r ⋅ b r = (a ⋅ b )
1 1
−
6
=4
−
1
2
=
1
4
=
1
2
38 ⋅ 2 8 = (3 ⋅ 2) = 6 8
r
a r : b r = (a : b )
1
1
= 42 = 4 = 2
8
6 −8 : 2 −8 = (6 : 2 ) = 3 −8
−8
r
für Potenzen von Potenzen
2
(a )
r s
1 2
1
− ⋅
−
⎛ − 12 ⎞ 3
1
⎜8 ⎟ = 8 2 3 = 8 3 =
⎜
⎟
2
⎝
⎠
= a r ⋅s
2. Binomische Formeln
PLUSFORMEL
(a + b )2
= a 2 + 2ab + b 2
MINUSFORMEL
(a − b )2
= a 2 − 2ab + b 2
PLUSMINUSFORMEL
(a + b )(a − b ) = a 2 − b 2
ANWENDUNGEN
•
Ausmultiplizieren
(2
2+ 3
) = (2 2 )
2
2
+ 2⋅2 2 ⋅ 3 +
( 3)
2
=
= 8 + 4 6 + 3 = 11 + 4 6
•
Faktorisieren
•
Rationalmachen des Nenners
4 x 2 − 1 = (2 x ) − 12 = (2 x + 1)(2 x − 1)
2
5
2−
( 2 + 3) =
3 ( 2 − 3 )( 2 + 3 ) ( 2 ) − ( 3 )
5 ⋅ ( 2 + 3) 5 ⋅ ( 2 + 3)
=
=
= −5 ⋅ ( 2 + 3 )
−1
2−3
=
5⋅
(
2+ 3
)
=
5⋅
2
2
3. Quadratische Gleichungen
Für eine quadratische Gleichung
ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) gilt:
Lösen quadratischer Gleichungen
•
Ist die Diskriminante D = b − 4ac < 0 ,
so gibt es keine Lösung:
2
Durch Isolieren von x
5 x 2 − 15 = 0
5 x 2 = 15
Ist D = 0 , so gibt es genau eine Lösung.
x2 = 3
Ist D > 0 , so gibt es die beiden Lösungen:
x1, 2 =
− b ± b − 4ac
2a
•
x1, 2 = ± 3
2
(„Mittternachtsformel“)
•
Durch Faktorisieren
2 x 2 − 3x = 0
x ⋅ (2 x − 3) = 0
x = 0 oder 2 x − 3 = 0
3
x1 = 0; x 2 =
2
Mit der „Mitternachtsformel“
3x 2 − 5 x − 2 = 0
x1, 2 =
5±
(− 5)2 − 4 ⋅ 3 ⋅ (− 2)
5 ± 25 + 24 5 ± 7
=
2⋅3
6
6
1
x1 = 2; x 2 = −
3
=
4. Quadratische Funktionen - Parabeln
Normalform
f ( x ) = ax 2 + bx + c (a ≠ 0)
Beispiel: f ( x ) = 0,5 x 2 − 2 x − 2,5 (Normalform)
Der Graph einer quadratischen Funktion ist Umformen der Normalform in die Scheitelform durch quadratische
eine Parabel.
Ergänzung.
a bestimmt die Gestalt der Parabel:
Für a > 0 gilt: nach oben geöffnet und
für a< 0 gilt: nach unten geöffnet.
Der tiefste bzw. höchste Punkt ist der
Scheitel der Parabel.
f ( x ) = 0,5 x 2 − 2 x − 2,5 =
(
= 0,5(x
)
= 0,5 x 2 − 4 x + 2 2 − 2 2 − 2,5 =
2
)
− 4 x + 2 2 − 0,5 ⋅ 2 2 − 2,5 =
= 0,5(x − 2) − 4,5
2
Scheitel S(2|-4,5)
Scheitelform
f ( x ) = a ( x − xS ) + y S
2
mit Scheitel S(xS|yS)
Faktorisierte Form (Nullstellenform)
f ( x ) = a( x − x1 ) ⋅ ( x − x 2 )
mit den Nullstellen x1 und x2
f ( x ) = 0,5 ⋅ ( x + 1) ⋅ ( x − 5)
Nullstellen bei x1 = -1 und x2 = 5
5. Mehrstufige Zufallsexperimente
Beispiel:
Pfadregeln
Aus einer Urne mit drei schwarzen und zwei weißen Kugeln werden
nacheinander zwei Kugeln ohne Zurücklegen gezogen.
Ω = {ss; sw; ws; ww}
1.) Die Wahrscheinlichkeit eines
Ergebnisses ist gleich dem Produkt der
Wahrscheinlichkeiten längs des
zugehörigen Pfades.
2.) Die Wahrscheinlichkeit eines
Ereignisses ist gleich der Summe der
Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse, die
zu diesem Ereignis gehören.
P(ss ) = 53 ⋅ 12 = 103
P(verschiedene Kugeln) = P (sw) + P (ws ) = 53 ⋅ 12 + 52 ⋅ 34 =
6. Satzgruppe des Pythagoras
Satz des Pythagoras:
Wenn ein Dreieck ABC in C rechtwinklig
ist, dann sind die Flächen der Quadrate
über den beiden Katheten a und b
zusammen flächengleich zum Quadrat über
seiner Hypotenuse c :
+
=
Satz des Pythagoras:
Auch die Umkehrung dieses Satzes ist
richtig:
Gilt in einem Dreieck ABC (mit den
Seitenlängen a, b und c ) die Gleichung
+
=
, dann ist es rechtwinklig
im Punkt C .
Kathetensatz:
Kathetensatz:
Im rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat
über einer Kathete flächengleich zum
Rechteck aus der Hypotenuse und dem
anliegenden Hypotenusenabschnitt:
= c · p ;
= c
q
3
5
Höhensatz:
Höhensatz:
Im rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat
über der Höhe (auf der Hypotenuse)
flächengleich zum Rechteck aus den
beiden Hypothenusenabschnitten:
= p· q
Nützliche Folgerungen:
¾ Diagonale im Quadrat :
¾ Raumdiagonale Würfel:
¾ Höhe gleichseitiges :
7. Trigonometrie
Im rechtwinkligen Dreieck mit Winkel α
gilt:
Hypottenuse
Gegenkathete
(zu α)
α
Anka
k thete (zu α)
Am Einheitskreis gilt für alle Winkel
α mit
:
y
1
tan α
und 1
sin α
LE
•
•
•
(folgt aus dem Strahlensatz,
vgl. Abbildung)
.
α
cos α
.
x
1
8. Raumgeometrie
Prisma:
Umfang von G
Mantelfläche:
Volumen:
G
G
Oberfläche:
I
II
h
II
I
G
Zylinder:
Oberfläche:
Volumen:
Pyramide:
Oberfläche:
Volumen:
G
Kegel:
Winkel des Mantelsektors:
Oberfläche:
Volumen:
G