Modellierung – WS 2014/2015 Hausaufgaben

Paderborn, 19. Dezember 2014
Universität Paderborn
Institut für Informatik
H. Kleine Büning,
J. Blömer
Modellierung – WS 2014/2015
Hausaufgaben
Bonuszettel
Abgabe: 5. Januar 2015, 13:00h
Organisatorisches: Die Lösungen der Hausaufgaben sind in die Kästen im D3-Flur einzuwerfen. Bilden
Sie bitte innerhalb ihrer Übungsgruppe Gruppen von 2-3 Personen zur Lösung der Aufgaben. Die Lösung
muss die Namen und Matrikelnummern derjenigen enthalten, die die Aufgaben gelöst haben sowie die
Übungsgruppennummer. Nicht getackerte Abgaben werden nicht korrigiert.
Dies ist ein Bonusblatt. Es sind also insgesamt mehr als 100% der
Punkte erreichbar.
Aufgabe 1 (9 Punkte): Relationen, Beweisen
Sei M eine Menge. Eine Teilmenge P von P ow(M ) heißt Partition von M , falls gilt:
•
S
A∈P
A = M und
• für alle A, B ∈ P mit A 6= B gilt A ∩ B = ∅
Sei für eine Partition P die Relation R ⊆ M × M wie folgt definiert:
(x, y) ∈ R ⇔ ∃ A ∈ P mit {x, y} ⊆ A
(1)
(a) Zeigen Sie, dass R eine Äquivalenzrelation ist:
(a1) Zeigen Sie: R ist reflexiv.
(a2) Zeigen Sie: R ist symmetrisch.
(a3) Zeigen Sie: R ist transitiv.
(b) Sei nun R ⊆ M × M nun eine Äquivalenzrelation. Zeigen Sie, dass es für R genau eine Partition P
von M mit ∅ 6∈ P gibt, so dass (1) erfüllt ist.
Hinweis: Machen Sie sich den Zusammenhang zunächst an einem kleinen Beispiel klar.
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Aufgabe 2 (5 Punkte): Formalisieren
Gegeben seien die folgenden Prädikate:
• männlich(x) bedeutet, dass das mit x bezeichnete Objekt männlich ist.
• weiblich(x) bedeutet, dass das mit x bezeichnete Objekt weiblich ist.
• vegetarier(x) bedeutet, dass das mit x bezeichnete Objekt Vegetarier ist.
• metzger(x) bedeutet, dass das mit x bezeichnete Objekt Metzger ist.
• liebt(x,y) bedeutet, dass das mit x bezeichnete Objekt das Objekt y liebt.
Formalisieren Sie die folgenden umgangssprachlichen Aussagen mit Hilfe prädikatenlogischer Formeln.
Nutzen Sie dazu die oben aufgeführten Prädikate.
(a) Kein Mann ist sowohl Metzger als auch ein Vegetarier.
(b) Alle Männer außer Metzgern lieben alle Vegetarier.
(c) Die einzigen vegetarischen Metzger sind Frauen.
(d) Kein Mann liebt eine Frau, die ein Vegetarier ist.
(e) Keine Frau liebt einen Mann, der nicht alle Vegetarier liebt.
Aufgabe 3 (6 Punkte): Prädikatenlogik
Zeigen Sie mit Hilfe von Resolution, dass α β gilt mit:
α = ∀w∃z∀v(P (v, z) ∨ S(z) ∨ ¬Q(v, w, z))
β = ¬(∀v∀w¬(Q(v, w, v) ∧ ¬S(v) → P (v, w)))
Aufgabe 4 (8 Punkte): Modellierung, Begriffe
Herzlich willkommen im Büro des Verkehrsbeauftragten von Neustadt. Ihre Aufgabe wird es sein, das dichte, und meistens vollkommen überlastete Straßennetz unseres kleinen Ortes zu verwalten und neue Formen
der Verkehrsführung zu planen. Das Straßennetz von Neustadt sei gegeben durch folgenden gerichteten
Graphen:
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K
U
Sc
T
B
G
Tr
R
I
P
N
Si
Hinweis: Zur Vereinfachung wurden im Graph die fettgedruckten Buchstaben als Abkürzungen verwenden: Kathedrale, Gewerbegebiet, Industriegebiet, Universität, Technologiepark, Rathausplatz, Schlossplatz,
Triumphbogen, Neustädter Tor, Burgplatz, Pariser Platz, Siedlung Stadtbach. Diese Abkürzungen dürfen
Sie auch in ihrer Lösung verwenden. Die Notation a ↔ b bedeutet, dass es eine Kante von a nach b und
eine Kante von b nach a gibt.
(a) Eine Reisegruppe besucht Neustadt. Da Neustadt eine reizvolle Architektur besitzt, ist es nahe liegend, dass eine Stadtrundfahrt mit dem Bus unternommen wird. Da Sie der Reisegruppe verständlicherweise nur die Schokoladenseite Neustadts präsentieren möchten - dies umfasst die Kathedrale,
den Rathausplatz, den Schlossplatz, den Triumphbogen, das Neustädter Tor, den Burgplatz und den
Pariser Platz - sollen Sie eine Route festlegen, welche nur die erwähnten kulturellen Highlights umfasst und sonst keine weiteren. Es versteht sich von selbst, dass alle Punkte der Rundfahrt nur genau
einmal befahren werden.
(a1) Geben Sie den durch die erwähnten Punkte induzierten Teilgraph an.
(a2) Um welches graphentheoretisches Problem handelt es sich bei der vorgegebenen Routenbildung?
(a3) Kann es die beschriebene Route geben? Geben Sie eine entsprechende Route an oder begründen
Sie, wieso es diese Route nicht geben kann.
(a4) Eine Delegation der Partnerstadt Paderborn besucht Neustadt. Da diese Besuchergruppe auch
zahlreiche Professoren der Universität umfasst, interessiert sie sich auch für die Universität, den
Technologiepark und das Gewerbegebiet. Kann es diese erweiterte Route geben? Geben Sie eine
entsprechende Route an oder begründen Sie, wieso es diese Route nicht geben kann.
(b) Peter hat ein neues Fahrrad bekommen und fährt nun somit viel in der Gegend herum. Eines Tages
wettet ein Freund von ihm, dass er es nicht schafft, in der Siedlung Stadtbach loszufahren und wieder
anzukommen, wobei er jede Straße, die Neustadt besitzt, genau einmal befahren muss.
Hinweis: Neustadt ist eine fahrradfreundliche Stadt, in der alle Einbahnstraßen von Fahrradfahren in
beiden Richtungen benutzt werden dürfen.
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(b1) Welches graphentheoretische Problem liegt hier vor?
(b2) Sollte Peter die Wette annehmen?
(c) Es ist Winter in Neustadt und so kommt es wie es kommen muss: Durch plötzliche Eisglätte und beeinträchtige Sicht kommt es während des Feierabendverkehrs zu einem Massenunfall - zum Glück nur
Blechschaden - vor dem Triumphbogen, so dass sämtliche Verbindungen von und zum Triumphbogen
blockiert sind. Herr Schmidt arbeitet in der Universität und möchte nach getaner Arbeit nach Hause,
welches sich in der Siedlung Stadtbach befindet, fahren. Da er von der Sperrung des Triumphbogens
im Radio gehört hat, versucht er mit seinem neuen Navigationssystem eine Route nach Hause zu berechnen, allerdings meldet das System immer „Keine Route vorhanden“. Entnervt ruft Herr Schmidt
bei Ihnen an und möchte wissen, wieso das neue, in der Zeitung angepriesene Navigationssystem
nicht funktioniert.
(c1) Wieso arbeitet das System von Herrn Schmidt richtig?
(c2) Die Polizei regelt in den Einbahnstraßen den Verkehr, so dass diese nun vorübergehend in beiden
Richtungen befahrbar sind. Kann Herr Schmidt nun nach Hause fahren?
Aufgabe 5 (9 Punkte): Graphen,Beweisen
Eine Orientierung eines ungerichteten Graphen G = (V, E) ist ein gerichteter Graph G0 = (V, A) mit
|A| = |E|, so dass G der zugrunde liegende ungerichtete Graph von G0 ist.
Wenn es eine stark zusammenhängende Orientierung eines ungerichteten Graphen G gibt, dann heißt G
orientierbar.
Eine Kante eines Graphen G heißt Brückenkante, wenn ein Entfernen aus G zu einem Graphen führt, der
mehr Zusammenhangskomponenten als G besitzt.
(a) Zeigen Sie, dass ein orientierbarer Graph keine Brückenkante besitzt.
(b) Zeigen Sie, dass ein zusammenhängender Graph G ohne Brückenkante orientierbar ist. Gehen Sie
dazu schrittweise vor:
(b1) Zeigen Sie, dass es für zwei benachbarte Knoten v1 , v2 ∈ V einen Kreis in G gibt, der v1 und
v2 enthält.
(b2) Sei G1 eine Orientierung von G und H1 = (V1 , A1 ) ein stark zusammenhängender Teilgraph
von G1 , der nicht alle Knoten aus V enthält. Sei v2 6∈ V1 . Zeigen Sie, dass dann eine Orientierung G2 von G mit einem stark zusammenhängenden Teilgraphen H2 = (V2 , A2 ) existiert, so
dass V1 ∪ {v2 } ⊆ V2 . Verwenden sie (b1) um die Orientierung von Kanten aus G1 , die nicht in
H1 liegen geeignet zu modifizieren.
(b3) Wie folgt nun die obige Behauptung?
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