Martin Friesen, Seminarvortrag

Martin Friesen, [email protected]
Seminarvortrag: Rahmencobordismus und Pontyagin Konstruktion
Im Folgenden sei M stets eine geschlossene m-dimensionale Untermannigfaltigkeit des Rk , N, N 0
n−dimensionale geschlossene Untermannigfaltigkeiten von M und f : M −→ S p mit p ≥ 1 eine
glatte Abbildung.
Definition 0.1.
Wir sagen N ist kobordant zu N 0 (N ∼ N 0 ), wenn es ein ε ∈ (0, 1) gibt, sodass
N × [0, ε) ∪ N 0 × (1 − ε, 1] ⊂ M × [0, 1]
sich zu einer kompakten Mannigfaltigkeit X ⊂ M × [0, 1] fortsetzen lässt, welche die Folgenden
Eigenschaften erfüllt:
∂X = N × {0} ∪ N 0 × {1}
∂X = X ∩ (M × {0, 1}).
Bemerkung 0.2.
1. Die Definition ist nicht abhängig von der Wahl des Intervalles [0, 1] ⊂ R. Denn ist J ⊂ R
ein beliebiges Intervall und f : [0, 1] −→ J ein Diffeomorphismus, so ist entsprechend
idM ×f : M ×[0, 1] −→ M ×J ein Diffeomorphismus, welcher die verschiedenen Konstruktionen übersetzt. Erfüllt nämlich X mit [0, 1] die obige Definition, so erfüllt idM × f (X)
die Definition mit dem Intervall J und umgekehrt.
2. Die oben definierte Relation ist eine Äquivalenzrelation.
Die Reflexivität ergibt sich mit X = N × [0, 1] direkt. Für die Symmetrie betrachte man
die Abbildung f (t) = 1 − t wie in der vorhergehenden Bemerkung. Bei der Transitivität
seien X1 und X2 die beiden aus der Definition gegebenen kompakten Mannigfaltigkeiten,
welche N1 mit N2 bzw. N2 mit N3 ”verbinden”. Jetzt erfüllt X = X1 ∪ X2 mit J = [0, 2]
das gewünschte.
Definition 0.3.
Ein Rahmen für eine Untermannigfaltigkeit N ⊂ M ist eine glatte Abbildung
ν : N −→ T M × · · · × T M, x 7−→ (ν 1 (x), . . . ν m−n (x))
welche jedem x ∈ N eine Basis ν(x) in (Tx N )⊥ zuordnet. Ein Paar (N, ν) heißt dann Rahmenuntermannigfaltigkeit von M . Zwei Rahmenuntermannigfaltigkeiten (N, ν) und (N 0 , σ) heißen
Rahmen Kobordant, wenn es einen Kobordismus X ⊂ M × [0, 1] und einen Rahmen ϑ von X
gibt, sodass gilt
ϑi (x, t) = (ν i (x), 0), (x, t) ∈ N × [0, ε)
ϑi (x, t) = (σ i (x), 0), (x, t) ∈ N 0 × (1 − ε, 1].
Bemerkung 0.4.
1. Im allgemeinen wird ϑ auf X nicht die Produktform besitzen, denn X kann ausserhalb
der an den Rändern vorgegebenen Form sehr wild aussehen.
2. Auch Rahmen Kobordant definiert eine Äquivalenzrelation. Der Beweis hierzu verläuft
analog zu dem vorherigen Beweis. Im Folgenden werden wir an den Äquivalenzklassen
interessiert sein, genauer werden wir diese mit den Homotopieklassen von Abbildungen
f : M −→ S p indentifizieren können.
1
3. Die Zahl m − n heißt Kodimension von N in M und ist genau die Dimension des Normalenraumes (Tx N )⊥ , wo Tx M = Tx N ⊕ (Tx N )⊥ ist.
Ist jetzt f : M −→ S p wie zuvor eine glatte Abbildung und y ∈ S p ein regulärer Wert, so ist
durch f −1 (y) ⊂ M eine glatte Untermannigfaltigkeit mit
Tx f −1 (y) = ker(dfx : Tx M −→ Ty S p ), x ∈ f −1 (y)
gegeben. Entsprechend bildet das Differential dfx das orthogonale Komplement (Tx N )⊥ isomorph auf Ty S p ab. Ist ν = (ν 1 , . . . , ν p ) eine positiv orientierte Basis in Ty S p so definieren
wir
f ∗ ν(x) = ((dfx )−1 (ν 1 ), . . . , (dfx )−1 (ν p )).
Damit ist f ∗ ν ein durch f induzierter Rahmen auf f −1 (y) und wir bezeichnen mit (f −1 (y), f ∗ ν)
als die zu f assoziierte Pontryagin Mannigfaltigkeit. Unser Ziel ist es zu zeigen, dass diese als
Äquivalenzklasse unabhängig von der Wahl von y und ν ist.
Als nächstes wollen wir das Folgendende Theorem beweisen.
Satz 0.5.
Die Pontryagin Mannigfaltigkeit zu einer Abbildung f ist als Äquivalenzklasse unabhängig von
der Wahl des regulären Wertes y und der positiv orientierten Basis ν.
Den Beweis unterteilen wir in 3 Teilschritte, welche wir als Lemma formulieren. Im ersten
Schritt zeigen wir die Unabhängigkeit von der Wahl des Rahmens ν. Im zweiten Schritt zeigen
wir, dass lokal die Pontryagin Mannigfaltigkeit auch unabhängig von y ist. Und im letzten
schritt zeigen wir, dass wir eine Art Homotopieinvarianz besitzen.
Lemma 0.6.
Sind ν und σ zwei positiv orientierte Basen in Ty S p , wo y ∈ S p ein regulärer Wert von f :
M −→ S p ist. So ist (f −1 (y), f ∗ ν) Rahmen Kobordant zu (f −1 (y), f ∗ σ).
Beweis.
Wir können Ty S p mit Rp indentifizieren (dieser Isomorphismus ist jedoch nicht kanonisch
gegeben). Entsprechend lässt sich eine Basis (v 1 , . . . , v p ) in Ty S p als ein Tupel linear unabhängiger Vektoren im Rp auffassen. Die entsprechende Matrix A = (v 1 , . . . v p ) ist invertierbar und hat positive Determinante, falls (v 1 , . . . , v p ) positiv orientiert ist. Also haben wir eine
Indentifikation
{ pos. orientierte Basen in Ty S p } ' GL+ (p, R) = {A ∈ Rp×p : det(A) > 0}.
Der Raum GL+ (p, R) ist jedoch wegzusammenhängend wie man mithilfe der Jordannormalform
zeigen kann. Sei also γt ein Weg, welche die beiden Basen ν und σ verbindet. Es gilt also γ0 = ν
und γ1 = σ und da f −1 (y) zu sich selbst kobordant ist (X = f −1 (y) × [0, 1]) müssen wir einen
Rahmen ϑ für X angeben. Dieser sei definiert durch
ϑi (x, t) = (f ∗ γti (x), 0), (x, t) ∈ X.
Denn es gilt ϑi (x, 0) = f ∗ γ0i (x) = f ∗ ν i (x) und ϑi (x, 1) = f ∗ γ1i (x) = f ∗ σ i (x) und die Abbildung
ϑ ist glatt als Komposition glatter Abbildungen. Um konform mit der Definition zu sein müssen
wir γt so wählen, dass γt |[0,ε) und γt |(1−ε,1] jeweils konstant ν bzw. σ ist. Dieses ist jedoch keine
Einschränkung, wie man sich schnell überlegt.
Mit diesem Ergebniss können wir die Abhängigkeit von der Wahl der positiv orientierten
Basis ν fallen lassen und schreiben jetzt nur noch f −1 (y). Im nächsten Schritt wollen wir zeigen,
dass für alle hinreichend nahe gelegenen Punkte die Äquivalenzklasse unabhängig von y ist.
2
Lemma 0.7.
Sei y ∈ S p ein regulärer Wert von f : M −→ S p und z hinreichend nahe bei y (dh. |y−z| << 1),
dann ist f −1 (y) Rahmen Kobordant zu f −1 (z).
Beweis.
Da M kompakt ist ist die Menge der kritischen Werte C in M ebenfalls kompakt als abgeschlossene
Menge. Damit ist auch f (C) kompakt und wir können ein ε > 0 wählen, sodass jedes z ∈ S p
mit |y − z| < ε ebenfalls ein regulrärer Wert von f ist. Jetzt sei rt : S p −→ S p eine Familie von
Diffeomorphismen mit r1 (y) = z und
rt = idS p , ∀0 ≤ t < ε0
rt = r1 ,
∀1 − ε0 < t ≤ 1
|rt−1 (z) − y| < ε,
∀t ∈ [0, 1], also regulärer Wert.
Für die Existenz sei Bε = {w ∈ S p : |w − y| < ε} und ϕ : U −→ Rp eine Karte (U, ϕ) mit
ϕ(Bε ) = {w ∈ Rp : |w| < 1} = B1 , ϕ(y) = 0
Diese Karte ist einfach eine modifizierte Stereographische Projektion. Der Existenzssatz für
globale Flüsse bzw. Lösungen von gewöhnlichen Differentialgleichungen impliziert die Existenz
von Diffeomorphismen Ft : Rp −→ Rp mit
Ft |Rp \B1 = idRp , ∀t ∈ R
F1 (0) = ϕ(z).
Dann können wir rt definieren als
(
ϕ−1 (Ft (ϕ(w))) , w ∈ U
r̃t (w) =
.
w
, w 6∈ U
Diese Funktion erfüllt alle Eigenschaften bis auf die Skalierung in t. Um dieses zu erreichen
wählen wir eine passende glatte Funktion λ und definieren rt = r̃λ(t) . Eine Homotopie F :
M ×[0, 1] −→ S p ist damit gegeben durch F (x, t) = rt (f (x)). Wegen der dritten Eigenschaft von
rt ist für jedes t z ein regulärer Wert von rt ◦ f und somit von F selbst, denn mit rt (x) = r(x, t)
haben wir für (x, t) ∈ F −1 (z)
dF(x,t) = (dr)(f (x),t) ◦ d(f × idR )(x,t) = (dr)(f (x),t) ◦ (dfx × idR ).
Also ist F −1 (z) ⊂ M ×[0, 1] eine Untermannigfaltigkeit mit Rahmen, welche einen Cobordismus
zwischen f −1 (z) und (r1 ◦ f )−1 (z) = f −1 (r1−1 (z)) = f −1 (y) darstellt. Damit ist das Lemma 2
auch bewiesen.
Damit wissen wir, dass die Äquivalenzklassen zumindest lokal nicht von dem regulären Wert
abhängen. Zum Schluss zeigen wir jetzt, dass diese Konstruktion eine Homotopieinvarianz
aufweist mit welcher wir den ersten Satz beweisen.
Lemma 0.8.
Sind f, g : M −→ S p glatt homotop und y ein regulärer Wert von f und g, so ist f −1 (y) Rahmen
Cobordant zu g −1 (y).
Beweis.
Sei F : M × [0, 1] −→ M eine glatte Homotopie von f und g mit
F (x, t) = f (x), 0 ≤ t < ε
F (x, t) = g(x), 1 − ε < t ≤ 1
3
und z ∈ S p ein regulärer Wert von F , welcher so nahe bei y liegt, dass wir Lemma 2 anwenden
können. Dieses ist möglich, weil die Vereinigung der kritischen Werte aller 3 beteiligten Abbildungen kompakt ist. Die kompakte Untermannigfaltigkeit F −1 (z) stellt jetzt einen Cobordismus von f −1 (z) und g −1 (z) dar. Nach Lemma 2 ist somit f −1 (z) ∼ f −1 (y) und g −1 (z) ∼ g −1 (y),
welches die Behauptung zeigt.
Beweis. Satz1
Sind jetzt y, z ∈ S p beliebige reguläre Werte von f : M −→ S p , so wählen wir wie im Beweis
von Lemma 2 eine Familie von Diffeomorphismen rt : S p −→ S p mit r0 = idS p und r1 (y) = z.
Diese liefern eine Homotopie von f und r1 ◦ f auf welche sich das letzte Lemma anwenden lässt.
Damit ist f −1 (z) Rahmen Cobordant zu
(r1 ◦ f )−1 (z) = f −1 (r1−1 (z)) = f −1 (y)
welches zu zeigen war.
Jetzt wissen wir, dass die Pontryagin Mannigfaltigkeiten Äquivalenzklassen von Untermannigfaltigkeiten mit Rahmen ergeben, welche nur von der jeweiligen Abbildung f abhängen. In
der Tat hängen diese sogar nur vom Homotopietyp der Abbildung f ab. Zuvor wollen wir jedoch
zeigen, dass jede Untermannigfaltigkeit mit Rahmen (N, ν) auf Niveau von Äquivalenzklassen
einen Repräsentanten als eine Pontryagin Mannigfaltigkeit besitzt. Der Kern des dieser Aussage
steckt hierbei im nachfolgenden Satz.
Satz 0.9. P roduktumgebungen
Zu M und N wie früher gibt es eine offene Umgebung N ⊂ U ⊂ M und einen Diffeomorphismus
g : N × Rp −→ U mit den Eigenschaften
g(x, 0) = x, x ∈ N
(dg)(x,0) (ej+n ) = ν j (x)
Das heißt dieser Isomorphismus überführt die Standardbasis des Rp (e1+n , . . . , ep+n ) in die Basis
ν.
Beweis.
Die Idee ist es bei N eine Tubenumgebung zu betrachten. Um jedoch gleichzeitig einen Diffeomorphismus mit den geforderten Eigenschaften zu bekommen werden wir ausgehend von N die
Tubenumgebung durch aufdicken in Normalenrichtung konstruieren. Der einfach halber führen
wir für den Fall M = Rn+p die Konstruktion explizit durch. Im allgemeinen Fall benutzen wir
die lokale Existenz von Geodäten.
Sei also zuerst M = Rn+p . Die Funktion g : N × Rp −→ M gegeben durch
g(x, t1 , . . . , tp ) = x +
p
X
tj ν j (x),
j=1
wobei ν(x) = (ν 1 (x), . . . , ν p (x)) mit x ∈ N der Rahmen von N ist, liefert uns gerade die
gewünschte Aufdickung. Diese Funktion erfüllt jedoch nicht alle Eigenschaften, sodass wir ein
wenig nachhelfen müssen. Das Differential dg(x,0,...,0) hat für w = (w1 , . . . , wn+p ) ∈ Rn+p die
Form
n+p
n
X
X
j j
(dg)(x,0,...,0) (w) =
we +
wj ν j−n (x)
j=1
j=n+1
und ist somit nicht singulär. Also haben wir zu x ∈ N Diffeomorphismen
g|Vx ×Ux : Vx × Ux −→ Mx = g(Vx × Ux ) ⊂ M
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für Vx ⊂ N offene Umgebung von x ∈ N , Ux ⊂ Rp eine offene Umgebung von 0 ∈ Rp und
Mx ⊂ M eine weitere offene Umgebung. Insbesondere ist g sogar auf N × Uε , wo Uε ein
ε−Ball um 0 ∈ Rp ist, für hinreichend kleines ε > 0 injektiv. Wäre dieses nämlich falsch,
so gäbe es Folgen (xn , un ), (x0n , u0n ) ∈ N × Rp mit (xn , un ) 6= (x0n , u0n ), |un |, |u0n | < n1 und
g(xn , un ) = g(x0n , u0n ). Da N kompakt ist gibt es gegen x0 bzw. x00 konvergente Teilfolgen von
(xn )n∈N und (x0n )n∈N , wieder bezeichnet mit xn bzw x0n . Es ergibt sich also
(xn , un ) → (x0 , 0), (x0n , u0n ) → (x00 , 0) ⇐ g(xn , un ) → g(x0 , 0), g(x0n , u0n ) → g(x00 , 0).
Mit g(xn , un ) = g(x0n , u0n ) ist aber auch x0 = g(x0 , 0) = g(x00 , 0) = x. Da jedoch g auf Umgebungen der Form Vx0 × Ux0 injektiv ist haben wir einen Wiederspruch. Damit ist die Existenz
einer bijektiven glatten Abbildung
g : N × Uε −→ g(N × Uε ) =: U
gezeigt. Diese ist sogar offen und damit ein Homöomorphismus. Denn ist y ∈ U beliebig, so
haben wir y = g(x, t) für geeignete (x, t) ∈ N × Uε . Auf der Menge (x, t) ∈ Ux × Uε ⊂ N × Uε
ist jedoch g ein Diffeomorphismus und somit ist g(Ux × Uε ) eine Umgebung von y. Mit dem
gleichen Argument sehen wir, dass g −1 glatt ist und somit g ein Diffeomorphismus. Um auf
den Definitionsbereich Rp zu kommen sei
h : Uε −→ Rp , t 7−→
t
1−
|t|2
ε2
.
Der gewünschte Diffeomorphismus ist dann gegeben durch G(x, t) = g(x, h−1 (t)). Die erste
Bedingung folgt aus h(0) = 0, also G(x, 0) = g(x, 0) = x und für die zweite bestimmen wir das
Differential
(dG)(x,0,··· ,0) = dg(x,0) ◦ d(idN × h−1 )(x,0) = dg(x,0) ◦ idRn+p = dg(x,0) .
Hierbei haben wir dh0 = idRp und (didN )x = idTx N benutzt. Für dg gilt aber die bereits
bestimmte Wirkung, also
(dg)(x,0) (ej+n ) =
n
X
0ek +
k=1
n+p
X
k−n
ej+n
(x) = ν j (x).
k ν
k=n+1
Der Spezialfall M = Rn+p ist hiermit vollständig bewiesen.
Für den allgemeinen Fall müssen wir die Geraden in g durch Geodäten ersetzen.
Genauer
P
p
j
definieren wir g(x, t1 , . . . , tp ) als den Endpunkt der Geodäte mit der Länge tj ν (x) mit
j=1
p
P
Startpunkt x und Anfangsvektor bzw. Anfangsrichtung
tj ν j (x)
j=1
.
P
p
j
tj ν (x)
j=1
p
P
Im Grunde also lediglich
tj ν j (x). Der Existenzsatz für
eine Aufdickung in Normalenrichtung von N mit dem Vektor
j=1
lokale Flüsse bzw. gewöhnliche Differentialgleichungen liefert die Existenz und die Glattheit der
so gewonnenen Abbildung g : N × Uε −→ M . Für die Existenz eines hinreichend kleinen ε > 0
benutzen wir dabei die Kompaktheit von N , welche es uns gestattet endlich viele Umgebungen
in N und entsprechend endlich viele ε zu betrachten. Mit denselben Beweisschritten wie zuvor
bekommen wir damit einen Beweis für diesen Fall.
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Satz 0.10.
Sei (N, ν) eine kompakte Untermannigfaltigkeit mit Rahmen und Kodimension p ≥ 1. Dann
gibt es eine Abbildung f : M −→ S p , sodass die Pontryagin Mannigfaltigkeit f −1 (y) Rahmen
Kobordant zu (N, ν) ist.
Beweis.
Sei jetzt N ⊂ M eine geschlossene Untermannigfaltigkeit mit Rahmen und Kodimension p.
Nach vorherigem Satz wähle eine Umgebung V ⊂ M von N und einen Diffeomorphismus
g : N × Rp −→ V ⊂ M.
Sei jetzt π : V −→ Rp gegeben durch π(y) = pr ◦ g −1 (y), also definiert durch π(g(x, t)) = t, wo
pr : N ×Rp −→ Rp , (x, t) 7−→ t ist. Dann ist π als Verkettung glatter Funktionen glatt und 0 ist
ein regulärer Wert von π. Denn das Differential ist für g(y, 0) = y ∈ π −1 (0) = g(N × {0}) = N
gegeben durch
−1
dπy = pr ◦ dg(y,0)
.
Für dieses gilt insbesondere auch dπy−1 (ej ) = dg(y,0) ◦ pr−1 (ej ) = ν j (y) und wir haben eine
Untermannigfaltigkeit mit dem richtigen Rahmen konstruiert. Leider muss diese auf ganz M
definiert sein und nach S p abbilden. Dazu sei φ : Rp −→ S p eine Abbildung mit
φ(x) = s0 , |x| ≥ 1, φ|B1 (0) ' S p \{s0 }
für einen festen Punkt s0 ∈ S p . Ist zum Beispiel h die Stereographische Projektion mit Aufpunkt s0 und λ eine glatte streng monoton fallende Funktion mit
λ(t) > 0, t < 1
λ(t) = 0, t ≥ 1
−1
so setze einfach φ(x) = h
durch
x
λ(|x|2 )
. Die gesuchte Abbildung f : M −→ S p ist dann gegeben
(
φ(π(x)) , x ∈ V
f (x) =
.
s0
, x 6∈ V
Damit ist f glatt und φ(0) ein ein regulärer Wert von f . Damit erfüllt f −1 (φ(0)) = π −1 (0) = N
das gewünschte nach Konstruktion.
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