8.¨Ubungsblatt zur Vorlesung ” Automatentheorie“

Prof. Dr. D. Kuske, M.Sc. M. Huschenbett
Fachgebiet Theoretische Informatik, TU Ilmenau
8. Übungsblatt zur Vorlesung Automatentheorie“
”
Besprechung am 31. Januar 2013
Aufgabe 1
Es seien Σ ein beliebiges Alphabet und K, L ⊆ Σω reguläre Sprachen.
(a) Zeigen Sie, dass der Schnitt K ∩ L regulär ist.
(b) Beweisen Sie, dass der Shuffle
K
L = { u0v0u1v1u2v2 . . . | ui, vi ∈ Σ∗, u0u1u2 . . . ∈ K, v0v1v2 . . . ∈ L } ⊆ Σω
von K und L ebenfalls regulär ist.
Aufgabe 2
Es seien Σ und Γ zwei Alphabete und π : Σ → Γ eine Abbildung. Für u = σ0 σ1 σ2 . . . ∈ Σω ist
π(U ) ∈ Γω definiert durch
π(u) = π(σ0 )π(σ1 )π(σ2 ) . . . .
Zeigen Sie:
(a) Wenn L ⊆ Σω regulär ist, dann auch
π(L) = { π(u) | u ∈ L } ⊆ Γω .
(b) Wenn K ⊆ Γω regulär ist, dann auch
π −1 (K) = { u ∈ Σω | π(u) ∈ K } ⊆ Σω .
Die MSO-Theorie von (N, <)
In den restlichen Aufgaben des Übungsblattes sollen Sie zeigen, dass die MSO-Theorie der linearen Ordnung (N, <) der natürlichen Zahlen entscheidbar ist. Dazu seien V1 und V2 endliche und
disjunkte Mengen von Individual- und Mengenvariablen. Die Logik MSO< ist aus den Atomformeln x = y, x < y und x ∈ X (x, y ∈ V1 , X ∈ V2 ), den booleschen Operatoren ∧ und ¬
sowie den Existenzquantoren ∃x und ∃X für beide Variablentypen (x ∈ V1 , X ∈ V2 ) aufgebaut.
Für einen Satz ϕ ∈ MSO< bedeute N |= ϕ, dass die lineare Ordnung (N, <) den Satz ϕ erfüllt.
Die MSO-Theorie von (N, <) ist die Menge aller Sätze ϕ ∈ MSO< mit N |= ϕ. Die folgenden
Aufgaben werden zeigen, dass diese Menge entscheidbar ist.
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Aufgabe 3
Es seien ϕ ∈ MSOω , α : V1 → N und β : V2 → 2N .
(a) Die Relation N, α, β |= ϕ bedeute, dass die lineare Ordnung (N, <) die Formel ϕ unter der
Variablenbelegung (α, β) erfüllt. Definieren Sie dies formal.
(b) Zeigen Sie: Wenn ϕ ein Satz ist, dann ist der Wahrheitsgehalt von N, α, β |= ϕ unabhängig
von (α, β). (Deswegen schreibt man einfach N |= ϕ.)
Aufgabe 4
Es sei Σ = 2V1 ∪V2 . Für α : V1 → N und β : V2 → 2N ist das Wort [α, β] = σ0 σ1 σ2 . . . ∈ Σω durch
x ∈ σi ⇐⇒ i = α(x)
und
X ∈ σi ⇐⇒ i ∈ β(X)
für alle i ∈ N, x ∈ V1 und X ∈ V2 definiert.
(a) Zeigen Sie, dass die Menge
VB =
n
o
[α, β] α : V1 → N, β : V2 → 2N ⊆ Σω
aller (Kodierungen von) Variablenbelegungen regulär ist.
(b) Zeigen Sie, dass für jede Formel ϕ ∈ MSO< die Menge
L(ϕ) = { [α, β] ∈ VB | N, α, β |= ϕ } ⊆ Σω
aller (Kodierungen von) erfüllenden Variablenbelegungen ebenfalls regulär ist.
Aufgabe 5
Entwerfen Sie ein Verfahren, das folgendes Entscheidungsproblem löst:
Eingabe: Ein Satz ϕ ∈ MSO< .
Frage: Gilt N |= ϕ?
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