Repetitorium AFS, SS05 ¨Ubungsblatt 2 Aufgabe 1

TU Ilmenau, Fakultät IA
Institut TTI, FG Komplexitätstheorie und Effiziente Algorithmen
Prof. Dr. (USA) M. Dietzfelbinger, Dr. E. Hübel
K
Repetitorium AFS, SS05
Übungsblatt 2
zum 11.05.2005
Aufgabe 1 (Definitionen)
Geben Sie die Definition der folgenden Begriffe und Konzepte an.
1. L ist Sprache über Σ.
2. L∗ für L ⊆ Σ∗ .
3. L ist regulär.
4. Der DFA M = (Q, Σ, q0 , F, δ) akzeptiert das Wort w.
5. Der NFA M = (Q, Σ, q0 , F, δ) akzeptiert das Wort w.
6. LM für einen NFA M = (Q, Σ, q0 , F, δ).
7. Induktive Definition der Klammerausdrücke (Sprache über Σ = {0, 1}).
Aufgabe 2 (Potenzmengenkonstruktion)
Sei Σ = {a, b, c} und L = {wa(abc)k | w ∈ Σ∗ , k ≥ 1}.
(a) Konstruieren Sie einen NFA M = (Q, Σ, q0 , F, δ) mit LM = L.
(b) Konstruieren Sie aus M mittels der Potenzmengenkonstruktion einen
äquivalenten DFA M 0 = (Q0 , Σ, q00 , F 0 , δ 0 ).
(c) Stellen sie den DFA M 0 graphisch dar.
Aufgabe 3 (Definitionen)
Geben Sie (informal) induktive Definitionen für die folgenden Mengen
an:
(a) {1i | i ∈
N}
(b) {1}{0, 1}∗
(= {1}∗ ).
(= {bin(n) | n ∈
N, n ≥ 1}
(c) Die Menge aA der vollständig geklammerten arithmetischen Ausdrücke
über {+, −, ·, /} aufgebaut aus rationalen Zahlen.
(d) Die Menge aAV der vollständig geklammerten arithmetischen Ausdrücke über {+, −, ·, /} aufgebaut aus rationalen Zahlen und Variablen x0 , x1 , . . ..
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Repetitorium AFS, SS05
Übungsblatt 2
Aufgabe 4 (Ein paar Fragen)
Sind die folgenden Aussagen korrekt?
(a) Für jeden NFA M = (Q, Σ, q0 , F, δ) gilt: Jede Berechnung von M auf
jeder Eingabe x ∈ LM ist endlich.
(b) Für jeden NFA M = (Q, Σ, q0 , F, δ) gilt: Gilt x ∈ LM , so existiert eine
Berechnung von M auf x, die in einem akzeptierenden Zustand endet.
(c) Um zu zeigen, dass eine Sprache L ⊆ Σ∗ regulär ist, genügt es einen
NFA M zu konstruieren mit L = LM .
(d) Um zu zeigen, dass eine Sprache L ⊆ Σ∗ regulär ist, genügt es zu
zeigen, dass L unendlich ist.
(e) Sind L1 und L2 regulär, so auch L2 ∩ L1 , L1 ∪ L2 , L∗1 ∪ L2 , L∗2 ∩ L1 und
L1 \L2 .
(f) L ist regulär, so ist auch P(L) regulär.
(g) Die Sprache L = {w ∈ {0, 1}∗ | |w|0 = |w|1 } ist regulär.
(h) Die Sprache L = {w ∈ {0, 1}∗ | |w|0 = 5} ist regulär.
(i) Die Sprache L = {w ∈ {0, 1}∗ | w enthält das Teilwort 10010101} ist
regulär.
Aufgabe 5 (Reguläre Sprache)
Beweisen Sie, dass für jedes beliebige, aber fest gewählte k ∈
che
Lk := {w ∈ {0, 1}∗ | |w|0 ≤ k und |w|1 ≤ k}
N die Spra-
regulär ist.
Aufgabe 6 (kKA)
Beweisen Sie durch Induktion über den Aufbau der korrekten Klammerausdrücke (kKA) die folgende Aussage:
Für alle w ∈ kKA gilt: Ist u Präfix von w, so gilt |u|0 ≥ |u|1 .
Anschauliche Interpretation: Beim Lesen von korrekten Klammerausdrücken (von links nach rechts) hat man zu jedem Zeitpunkt mindestens
so viele öffnende wie schließende Klammern gesehen.
Folgern Sie: 000110101111001 ist kein korrekter Klammerausdruck.