Theoretische Informatik Probeklausur SS 99

Eidgenossische
¨
Technische Hochschule
Zurich
¨
Ecole polytechnique federale
´ ´
de Zurich
Politecnico federale di Zurigo
Swiss Federal Institute of Technology Zurich
Institut für Theoretische Informatik
Dr. Bernd Gärtner
Juli 1999
Theoretische Informatik
Probeklausur
SS 99
In der Klausur werden weniger Aufgaben gestellt werden. Die Musterlösung
wird am 1. September ins Netz gehängt.
Viel Spass.
Aufgabe 1
Zeige:
prim ist keine reguläre Sprache.
Aufgabe 2
Welche der folgenden Funktionen sind in
begründe.
für ein
IN? Gib, falls möglich, das kleinstmögliche
an und
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
Aufgabe 3
In einem ungerichteten Graphen
nennt man eine k-elementige Teilmenge
von , bei der für jede
Kante
wenigstens einer der Knoten oder in
liegt, ein Vertex Cover der Grösse von . Ein
Vertex Cover der Grösse von heisst minimal, wenn es kein Vertex Cover der Grösse
gibt.
Das Entscheidungsproblem
(gibt es in
ein Vertex Cover mit höchstens
vollständig. Gib drei Gründe an, wieso der folgende Beweis dafür falsch ist.
Wir reduzieren
auf
Knoten) ist NP-
. D.h. wir definieren eine Funktion f so dass gilt:
Die Funktion übersetzt
in eine SAT- Formel in KNF. Für jede Kante
Klausel
ein. Zudem führen wir für jede Teilmenge der Knoten der Grösse
verhindert, dass alle diese Variablen wahr gesetzt werden.
führen wir eine
eine Klausel ein die
Wir müssen noch zeigen, dass die obige Gleichung stimmt:
erfüllende Belegung finden, indem wir
wieder genau die
in
: Falls
ein Vertex Cover der Grösse
wahr setzen genau wenn
.
ist, so können wir eine
: Falls wir eine erfüllende Belegung für SAT haben, so können wir
aufnehmen, für die
wahr gilt.
Aufgabe 4
Sei
. Zeige dass folgende Sprachen durch endlich viele Anwendungen von Vereinigung, Konkatenation
und Komplement (bezüglich
) aus ,
und
erzeugt werden können. (d.h. ohne *-Operator)
(a)
(b)
Hinweis: Achte auf Wörter, die nicht in
vorkommen dürfen.
Aufgabe 5
Sei eine unendliche reguläre Sprache gegeben durch einen erkennenden DEA
Aussagen.
(a) Jede endliche Teilsprache von
. Beweise die folgenden drei
ist regulär.
(b) Es gibt eine unendliche, echte Teilsprache von , die regulär ist.
(c) Es gibt unendlich viele verschiedene, unendliche, reguläre Teilsprachen von .
Aufgabe 6
In Serie , Aufgabe haben wir eine Nicht-Links-Turingmaschine definiert, und bewiesen, dass Nicht-LinksTuringmaschinen genau die regulären Sprachen erkennen. Nun erweitern wir dieses Modell um einen weiteren
Schreib-Lese-Kopf. Die Maschine
hat also zwei Schreib-Lese-Köpfe, die sie entweder nach rechts bewegen
oder stehen lassen, aber nicht nach links bewegen kann.
SL - Kopf
a
a
a
a
a
b
b
b
b
b
b
b
SL - Kopf
(a) Kann
alle regulären Sprachen erkennen? Begründe Deine Antwort!
(b) Gibt es nichtreguläre, kontextfreie Sprachen, die
(Hinweis: Betrachte
.)
(c) Die Sprache
(d) Zeichne die Sprachklasse von
erkennt?
ist nicht kontextfrei. Kann
in das folgende Diagramm ein.
Menge aller Sprachen
Turing--erkennbare Sprachen
kontextfreie Sprachen
sie erkennen?
Aufgabe 7
(a) Zeichne einen DEA, der die Sprache aller Wörter, die das Teilwort
nicht enthalten, erkennt.
(b) Gib eine reguläre Grammatik für diese Sprache an.
Aufgabe 8
Gib einen äquivalenten DEA für den folgenden NEA an.
1
0
a
b
0
0
1