7.¨Ubungsblatt zur Vorlesung ” Automatentheorie“

Prof. Dr. D. Kuske, M.Sc. M. Huschenbett
Fachgebiet Automaten und Logik, TU Ilmenau
7. Übungsblatt zur Vorlesung Automatentheorie“
”
Besprechung am 2. und 3. Juli 2014
Aufgabe 1
Es seien Σ und Γ zwei Alphabete und π : Σ → Γ eine Abbildung. Für u = σ0 σ1 σ2 . . . ∈ Σω ist
π(u) ∈ Γω definiert durch
π(u) = π(σ0 )π(σ1 )π(σ2 ) . . . .
Zeigen Sie:
(a) Wenn L ⊆ Σω regulär ist, dann auch
π(L) = { π(u) | u ∈ L } ⊆ Γω .
(b) Wenn K ⊆ Γω regulär ist, dann auch
π −1 (K) = { u ∈ Σω | π(u) ∈ K } ⊆ Σω .
Die MSO-Theorie von (N, ≤)
In den restlichen Aufgaben des Übungsblattes sollen Sie zeigen, dass die MSO-Theorie der linearen Ordnung (N, ≤) der natürlichen Zahlen entscheidbar ist. Dazu seien V1 und V2 endliche und
disjunkte Mengen von Individual- und Mengenvariablen. Die Logik MSO≤ ist aus den Atomformeln x = y, x ≤ y und x ∈ X (x, y ∈ V1 , X ∈ V2 ), den booleschen Operatoren ∧ und ¬
sowie den Existenzquantoren ∃x und ∃X für beide Variablentypen (x ∈ V1 , X ∈ V2 ) aufgebaut.
Für einen Satz ϕ ∈ MSO≤ bedeute N |= ϕ, dass die lineare Ordnung (N, ≤) den Satz ϕ erfüllt.
Die MSO-Theorie von (N, ≤) ist die Menge aller Sätze ϕ ∈ MSO≤ mit N |= ϕ. Die folgenden
Aufgaben werden zeigen, dass diese Menge entscheidbar ist.
Aufgabe 2
Es seien ϕ ∈ MSO≤ , α : V1 → N und β : V2 → 2N .
(a) Die Relation N, α, β |= ϕ bedeute, dass die lineare Ordnung (N, ≤) die Formel ϕ unter der
Variablenbelegung (α, β) erfüllt. Definieren Sie dies formal.
(b) Zeigen Sie: Wenn ϕ ein Satz ist, dann ist der Wahrheitsgehalt von N, α, β |= ϕ unabhängig
von (α, β). (Deswegen schreibt man einfach N |= ϕ.)
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7. Übungsblatt zur Vorlesung Automatentheorie“
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Aufgabe 3
Es sei Σ = 2V1 ∪V2 . Für α : V1 → N und β : V2 → 2N ist das Wort [α, β] = σ0 σ1 σ2 . . . ∈ Σω durch
x ∈ σi ⇐⇒ i = α(x)
und
X ∈ σi ⇐⇒ i ∈ β(X)
für alle i ∈ N, x ∈ V1 und X ∈ V2 definiert.
(a) Zeigen Sie, dass die Menge
VB =
n
o
[α, β] α : V1 → N, β : V2 → 2N ⊆ Σω
aller (Kodierungen von) Variablenbelegungen regulär ist.
(b) Zeigen Sie, dass für jede Formel ϕ ∈ MSO≤ die Menge
L(ϕ) = { [α, β] ∈ VB | N, α, β |= ϕ } ⊆ Σω
aller (Kodierungen von) erfüllenden Variablenbelegungen ebenfalls regulär ist.
Aufgabe 4
Entwerfen Sie ein Verfahren, das folgendes Entscheidungsproblem löst:
Eingabe: Ein Satz ϕ ∈ MSO≤ .
Frage: Gilt N |= ϕ?
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