2. Kinematik x xx ∆=− t s v = vts = ()( x ttvtx+− = t x v ∆ ∆ = t v a ∆ ∆ =

1
2
x(t)
2. Kinematik
v>0
Kurve:
∆x
∆t
Beschreibung der Bewegung von Massenpunkten
v=0
x0
Definition :
t:
Zeit [s]
v<0
x (,y,z) : Position [m]
s:
zurückgelegter Weg [m]
(≙
x2 − x1 = ∆x
)
v:
Geschwindigkeit [m/s]
a:
Beschleunigung [m/s2]
v ist Steigung der Kurve:
Allgemein :
v=
∆x
∆t
v=
dx
dt
t
2.1 Ortskurven
Normalfall: zeitabhängige Geschwindigkeit
x(t)
einfachster Fall: konstante Geschwindigkeit
v>0
s
v=
t
∆x
∆t
∆x
∆t
umgeformt:
s = vt
genauer:
x(t ) = v(t − t0 ) + x0
v<0
(zurückgelegter Weg)
t
Geschwindigkeitskurve:
v(t)
a=
Position als Funktion der Zeit
∆t
∆v
t
∆v
∆t
3
4
Die Beschleunigung a ist die Steigung der Geschwindigkeitskurve.
Konstante Beschleunigung:
Allgemein :
Damit:
a=
∆v
∆t
 v

 = für v(0) = 0 
 t

dv
a=
dt
x(t)
Ein nicht gleichförmig
bewegtes Objekt unterliegt
einer Beschleunigung.
Die Geschwindigkeit ist
eine Funktion der Zeit.
t
v(t)
dv d  dx  d 2 x
a=
=  =
dt dt  dt  dt 2
t
Die Beschleunigung ist die zweite Ableitung des Orts
nach der Zeit (die „Krümmung“ der Ortskurve)
x(t)
Beschreibungen
x(t)
Ein ruhendes Objekt hat
einen konstanten Ort
t
Ein gleichförmig beschleunigtes
Objekt unterliegt einer
konstanten Beschleunigung;
die Steigung der Geschwindigkeitskurve ist konstant.
t
v(t)
x(t)
Ein gleichförmig bewegtes Objekt
hat eine konstante Geschwindigkeit
(überall gleiche Steigung
der Ortskurve)
t
t
5
2.3 Der freie Fall
2.2 Berechnung der Ortskurven
s = vt
zurückgelegter Weg:
6
für v konstant
n
s = ∑ vi ∆ti
i =1
v(t)
für n verschiedene
Geschwindigkeiten
Freier Fall:
Bewegung eines Körpers unter Einfluß
einer konstanten Beschleunigung
(gleichförmig beschleunigte Bewegung)
v4
v3
v1
s1 = s2 =
v ∆t v2 ∆t 2
1
Beispiel:
v2
s3
s4
v5
s5
Beobachtung: in der Nähe des Erdbodens beträgt die auf
alle Körper wirkende Beschleunigung
1
∆t 2 ∆t3
∆t1
∆t 4
∆t 5
Fall eines Körpers im Schwerefeld
der Erde
t
Der zurückgelegte Weg entspricht der Fläche unter der
Geschwindigkeitskurve!
Mathematisch ausgedrückt:
t1
s = ∫ v(t )dt = x(t1 ) − x(t0 )
t0
(Integration ist „Umkehrung“ der Ableitung)
a=
g = 9.81 m/s2
Erdbeschleunigung
Konvention: die Höhe wird mit z bezeichnet, mit positiver
Richtung nach oben. Die Erdbeschleunigung in dieser Richtung
hat ein negatives Vorzeichen: gz = -g
7
Berechnung des freien Falls
Freier Fall mit Anfangsbedingungen
gz(t)
Anfangsbedingungen sind frei wählbare Parameter
für die Beschreibung der Bewegung.
t
Beschleunigung: gz
g z = const.
8
gz t
Hier:
g ist fest, aber Anfangshöhe z0 und Anfangsgeschwindigkeit v0 sind frei wählbar
1. Fall:
z0 ≠ 0 , v0 = 0
-g
v(t)
Geschwindigkeit: vz
t
∫ vdt
t
v z = ∫ g z dt = g z t
t
z (t ) = z0 + ∫ vz (t )dt
0
t
= z0 + ∫ g z tdt
z(t)
Ort: z
t
(setzen
gz = -10 m/s2)
t
1
1
z (t ) = z0 + g z t 2 = z0 − gt 2
2
2
0
t2
= gz
2
Tabelle
z0
0
t
t
z = ∫ v z (t)dt = ∫ g z tdt
0
z(t)
0
t
v z = g zt
z = gz t2/2
0.1 s
-1 m/s
-0.05 m
0.2 s
-2 m/s
-0.2 m
0.4 s
-4 m/s
- 0.8 m
0.6 s
-6 m/s
-1.8 m
0.8 s
-8 m/s
-3.2 m
1s
-10 m/s
-5 m
2. Fall:
v(t)
z0 ≠ 0 , v0 ≠ 0
t
vz (t ) = v0 + ∫ g z dt
v0
Steigung -g !
0
= v0 + g z t
t
9
Damit:
10
Bewegung in z-Richtung ist gleichförmig beschleunigt:
t
anfänglich
positives v !
z(t)
z (t ) = z0 + ∫ vz (t )dt
0
v0 > 0
z0
t
= z0 + ∫ (v0 + g z t )dt
1
z (t ) = z0 + vz 0t + g z t 2
2
0
Die Bahnkurve ist gegeben durch den zeitabhängigen
Ort ( x(t), z(t) ).
t
v0 = 0
1
z (t ) = z0 + v0t + g z t 2
2
v0 < 0
Experiment: Wasserstrahl
Bahnkurve
Anfangsgeschwindigkeit
z
vz
2.4 Zweidimensionale Bewegung:
der „schiefe“ Wurf
z
Anfangsbedingungen:
Ort:
l
beide Achsen
Ortskoordinaten!
α
∆z
z0
x
b
Geschwindigkeit: vx0 , vz0
vx
vx0 = v0 cos α
α
x0 , z0
v0
vz0 = v0 sin α
Messlatte
x0
x
Bewegung in x-Richtung ist gleichförmig (Beschleunigung
wirkt nur in z-Richtung):
x(t ) = x0 + v x t
0
Zeit zum Erreichen der hängenden Messlatte:
t=
b
l cos α
l
=
=
vx0 v0 cos α v0
Unabhängig von α !
11
Bestimmung des Zeitpunkts des Auftreffens auf dem
Boden (z=0):
Höhe zu diesem Zeitpunkt:
1
l 1
z (t ) = vz0t + g z t 2 = v0 sin α + g z t 2
v0 2
2
1
z (t ) = l sin α + g z t 2
2
12
1
vz0t + g z t 2 = 0
2
∆z ist unabhängig
vom Winkel α !
oder
∆z
Ein anfänglich auf einen Punkt gerichteter Wurf verfehlt
diesen in senkrechter Richtung um die Strecke, die ein
frei fallendes Objekt (ohne Anfangsgeschwindigkeit) in
derselben Zeit zurücklegt.
l = vx0t = vx0vz0
2
2
= v02 cos α sin α
g
g
l
vx0vz0 wird maximal für vx0 = vz0
vz
v0
1
z (t ) = vz0t + g z t 2
2
2vz0 2vz0
t=−
=
gz
g
In x-Richtung zurückgelegter Weg zu diesem
Zeitpunkt:
z
vz0 = v0 sin α
Bewegung in z-Richtung:
(am Anfang ist das
Objekt auch bei z=0)
1
vz0 + g z t = 0 (beschreibt die
gesuchte Lösung)
2
Umgeformt:
Frage: welcher Winkel führt bei gegebener Geschwindigkeit
zum weitesten Wurf?
vx0 = v0 cos α
t =0
Lösungen:
d.h. für α = 45 Grad ( π/4 )
α
Beweis:
x
α
Fläche = vx0vz0
vx
1
cos α sin α = sin( 2α )
2
Das erste Maximum liegt bei
2α =
π
2
, also
α=
π
4
13
Für die Geschwindigkeitskomponenten gilt:
2.5 Vektorielle Beschreibung
z
vx2 + vz2 = v0
Im Fall der maximalen Weite (
0
z

x0
r =  y0 
z0
2v = v0
vx =
z0

2
x
umgeformt:
Ortsvektor
Beschreibung eines Orts durch
kartesische Koordinaten
v = v ) also:
0
x
14
v0
= vz
2
y0
x0
x
Zeitabhängige Ortskurve:
Der zurückgelegte Weg ist dann:
l = vx v y
also


x(t)
r =  y(t) 
z(t)
2 v0 v0 2
=
g
2 2g
v02
l=
g
r
Maximal erreichbare
Weite beim schiefen
Wurf (auf einer Ebene)
Geschwindigkeit: 
v =
Zahlenbeispiele:
Weitsprung, v0=10m/s
⇒
l = 10 m
Motorrad, v0=50m/s (180 km/h)
⇒
l = 250 m
d

r(t) = 
dt
d
dt x(t)
d
dt y(t)
d
dt z(t)


vx
 
vy 
=
vz

Beschleunigung:
a =

d

v (t) = 
dt
d
dt vx (t)
d
dt vy (t)
d
dt vz (t)



ax
 
ay 
=
az
y
15
2.7 Kreisbewegung
Berechnung der Ortskurve:
r = r0 + v0 t +




16
r = r0
1 2
at
2




y
ax
x0
vx
x(t)
 y(t)  =  y0  +  vy  t + 1  ay  t2
2
z(t)
z0
vz
az

x0 + vx t + 12 ax t2
x = r0 cos ϕ
r
y = r0 sin ϕ
ϕ
zeitabhängig:
x

ϕ = ϕ (t )


=  y0 + vy t + 12 ay t2 
z0 + vz t + 12 az t2
Beispiel: schiefer Wurf

Anfangsbedingungen:
ϕ = ωt
Damit:

0

0 
a =
gz


x0
r0 =  y0 
z0
Beschleunigung:
gleichförmig:
 x(t )   r0 cos ωt 
r (t ) = 

 = 
 y (t )   r0 sin ωt 
x(t)
Periode τ

vx
, v0 =  0 
vz

τ/2
t
τ
es gilt:
⇒
Bahnkurve:
y(t)





vx t
x0



0 +
y0
+
r(t) =
z0
vz t

0
0 
1
g t2
2 z
ω=
τ/2
τ
ωτ = 2π
2π
τ=
ω
2π
τ
t
Kreisfrequenz
17
f =
„Normale“ Frequenz:
⇒
18
Aber:
1
τ
v = v x2 + v y2
= r02ω 2 sin 2 (ωt ) + r02ω 2 cos 2 (ωt )
ω = 2πf
= r02ω 2 = r0ω
Allgemein:
ω (t ) =
d
ϕ (t )
dt
Der Betrag der Geschwindigkeit bleibt konstant!
(für konstantes ω)
Winkelgeschwindigkeit
Es gilt:
Geschwindigkeit der Kreisbewegung
v (t )
r (t )
v (t) =
=
x(t)
y(t)
=
−r0 ω sin(ωt)
r0 ω cos(ωt)
d
dt r0 cos(ωt)
d
dt r0 sin(ωt)
=
vx (t)
vy (t)
Der Geschwindigkeits-Vektor ändert ständig seine Richtung!
r0ω
0
vx (t )
τ
τ/2
-r0ω
v y (t )
t
1/4
v (t )
τ
3/4 τ
1/2
τ
v = r0ω
19
3. Dynamik
20
Nachrechnen:
v 1m/s
=
= 1 m/s 2
t
1s
F = mt a = 1 kg 1 m/s 2 = 1 N
Die Dynamik befasst sich mit den Ursachen der Bewegung.
3.1 Axiome
a=
3. Reaktionsprinzip (actio gleich reactio) (Newton)
1. Trägheitsprinzip (Galileo, 1564-1642
Newton, 1643- 1727)
Ein sich selbst überlassener Körper bewegt sich geradlinig
gleichförmig
Die Wirkungen (Kräfte) zweier Körper aufeinander sind
stets gleich groß und von entgegengesetzter Richtung
F1
F2
F2 = − F1
(ohne Kraft keine Änderung der Bewegungsrichtung oder
Geschwindigkeit)
2. Aktionsprinzip (Newton)
3.2 Schwere und träge Masse
Ursache einer Änderung des Bewegunszustands eines
Körpers ist eine Kraft F die der Beschleunigung a
proportional ist. Die Proportionalitätskonstante heisst
die träge Masse des Körpers.
also:
F = mt a
Die Einheit der Kraft ist Newton: [N] = [kg m/s2]
Eine Kraft von 1 N beschleunigt 1kg in 1s auf 1m/s.
Die Anziehung durch die Erde bewirkt eine Kaft Fg auf einen
Körper, die proportional zu seiner schweren Masse ist:
Fg = ms g
Gewichtskraft
ms
Fg
21
22
3.3 Vektorielle Addition von Kräften
Dies bewirkt eine Beschleunigung
Fg
m
a=
= sg=g
mt mt
(falls ms = mt)
Kräft haben Richtung und Betrag. Mehrere an einem Punkt
angreifende Kräfte werden vektoriell addiert:
F
F = F1 + F2
Experimente zeigen, dass die schwere Masse tatsächlich
gleich der trägen Masse ist
Hierbei gilt:
F1
F2
F ≤ F1 + F2
⇒ alle fallenden Körper beschleunigen mit g
Experiment: Entkopplung von beschleunigter und
Kraft erzeugender Masse
Die Gesamtkraft ist immer kleiner oder gleich
der addierten Einzelkräfte
Beispiele:
F
spitzer
Winkel:
m2
Kraft
flacher
Winkel:
F1 = m1g
beschleunigt Masse m = m1 + m2
F
F2
F ≈ F1 + F2
F1
F2
F << F1 + F2
Beschleunigung:
Experiment:
F
m1 g
a= =
m m1 + m2
m1
Tabelle:
m1
m2
a
m0
m0
1/2 g
10 m0
m0
10/11 g
m0
10 m0
1/11 g
F1
Rechter Winkel wegen
Pythagoras:
F2
5 = 4 2 + 32
F3
4m0 g
5m0 g
hier:
3m0 g
F =
2 2
F1 + F2
F1
23
3.3 Aufteilung von Kräften
F1
F2
Beispiel: schiefe Ebene
F
l
α
Fg = mg
F
m
h
l
h
a= g
l
Damit:
Gewichtskraft wird aufgeteilt
⊥ und
in anpressende Kraft F
beschleunigende Kraft F
(„Hangabtriebskraft“)
3.5 Kreisbewegung: Beschleunigung
y
Es ist
=
|F | = F = Fg sin α
mg sin α
m
= g sin α
Beschreibung des Orts und der
Geschwindigkeit:
r
ϕ
Beschleunigung:
a=
sin α ≈ tan α =
Bei kleinen Steigungen ist die Beschleunigung gleich
Erdbeschleunigung mal Steigung!
m
⊥
F
Für kleine Winkel α gilt:
=
F = F1 + F2
h
1
s = sin α gt 2
2
zurückgelegter Weg:
Ein Kraftvektor kann immer als Summe von Kraftvektoren
dargestellt werden:
F
24
Beschleunigung:
Entspricht freiem Fall mit verminderter Schwerkraft!
also:
x
 r0 cos ωt 
 − r ω sin ωt 
 d  0


r =  r0 sin ωt  ; v = r =  r0ω cos ωt 
dt




0
 0 


 − r0ω 2 cos ωt 

d 
a = v =  − r0ω 2 sin ωt 
dt


0


a (t ) = −ω 2 r (t )
25
Bei der Kreisbewegung verändert sich die Geschwindigkeit
ständig; es wirkt eine konstante, auf das Kreiszentrum
gerichtete Beschleunigung.
26
Beispiel: Kettenkarussel
ω
a (t ) = a = ω 2 r0
Betrag:
v=
mit Bahngeschwindigkeit
a = ω 2 r0 =
− Fg
2πr0
τ
2πr0
=
= r0ω
2π / ω
Fzp
Momentaufnahme
Fk
Fzp
m
Es gilt:
Fk = (− Fg ) + Fzp
Fg = mg
2
v
r0
negative
Schwerkraft
Ursache der Beschleunigung ist eine Kraft:
v
Die Kraft wird durch
die Kette erzeugt (Richtung
parallel zur Kette)
Kette
Zentripetalkraft
Kraft auf den Körper:
F = Fk + Fg = (− Fg ) + Fzp + Fg = Fzp
Fzp = ma = −mω 2 r
Die Kraft der Kette wirkt der Schwerkraft entgegen (verhindert
Fallen des Körpers) und bewirkt eine Beschleunigung „nach innen“
(verursacht Kreisbewegung).
Zentripetalkraft
v2
Fzp = Fzp = mω 2 r0 = m
r0
Die Kraft hält den Körper auf der Kreisbahn (ohne Kraft
würde er sich geradlinig bewegen!)
Der Winkel der Kette zeigt die Stärke der Kreisbeschleunigung an:
− Fg
α
Fzp
tan α =
Fzp
g=
Fg
=
mazp
mg
a zp
tan α
Je größer der Winkel, desto größer die Kreisbeschleunigung!
27
3.6 Zentripetal- und Zentrifugalkraft
− Fg
Fk
Fzp
Gleiches Bild, aber aufgenommen
im System des Karussells; hier ist
alles in Ruhe
m
Fzf
28
Die Zentrifugalkraft ist eine „Scheinkraft“, da sie nicht auf der
Wechselwirkung zwischen Objekten beruht; sie hat aber die
gleiche Wirkung wie eine „reale“ Kraft.
Merkregel:
Beschreibung der Kraft in einem
rotierenden System
• Beobachter ruht: Zentripetalkraft
Fg = mg
• Beobachter rotiert mit: Zentrifugalkraft
Grund: im rotierenden Bezugssystem wirkt eine weitere Kraft,
die Zentrifugalkraft:
Fzf = − Fzp
3.7 Künstliche Schwerkraft
Kraft im rotierenden System wirkt wie (veränderte) Schwerkraft
Damit ist die Gesamtkraft auf den Körper:
F = Fg − Fg + Fzp + Fzf = 0
und damit:
a=
1 F =0
m
(der Körper bleibt in seinem Zustand der Ruhe)
Im rotierenden Bezugssystem wirkt eine nach außen
(weg von der Rotationsachse) gerichtete Kraft
v2
2
Fzf = mω r = m
r
Zentrifugalkraft (Fliehkraft)
hier:
m
Fges = Fzf + mg = mg '
Fzf
Fg
g ' = g ' = (ω 2 r ) 2 + g 2
Fges
g
g'
Die „künstliche Schwerkraft“ kann viel größer sein als g!
Beispiel: Waschmaschine, Schleudergang
Radius: 0.25 m
1400 Umdrehungen/min:
1400
1
= 23.3
60s
s
1
ω = 2πf = 147
s
f =
29
Zentrifugalbeschleunigung damit:
a = rω 2 = 5373
m
= 548 g
s2
(Menschen überleben kurzzeitig 20 g!)
Beispiel: Erddrehung
ω
Radius:
Frequenz:
Fg
Erde
Fzf
r = 6400 km
1
1
f =
= 11.6 ×10−6
24h
s
1
ω = 2πf = 73×10−6
s
a zf = ω 2 r = 0.03
m
s2
(am Äquator)
Hier ist:
g ' = g − ω 2 r = 0.997 g
(am Äquator wirken Schwere- und Zentrifugalbeschleunigung
in Gegenrichtung, daher wird hier die Differenz genommen).
Die Zentrifugalbeschleunigung aufgrund der Erddrehung ist
aso sehr klein. Aber: hätte ein Erdtag 1.4h, wäre ω2r=g und
g‘=0 !
30
4. Energie, Arbeit, Leistung
31
Beispiel: Beschleunigung
m
Zentrale Größen der Physik:
Annahme: konstante Kraft
F
Beschleunigung:
Energie E, Einheit Joule (1 [J] = [Nm] = [kg m2/s2]
zurückgelegter Weg:
F
m
1 2
s = at
2
a=
Es gibt zwei grundsätzliche Formen von Energie:
v = at
erreichte Geschwindigkeit:
kinetische Energie:
mit Bewegung verbundene
Energie
potentielle Energie:
Geleistete Arbeit:
1
1
W = Fs = am at 2 = m (at ) 2
2
2
mit Wechselwirkungen
verbundene Energie
(„gespeicherte“ Energie)
Arbeit W, Einheit Joule
„Erzeugung von Energie durch Kraftanwendung (Transfer
von Energie zwischen Systemen)
1
W = m v 2 = Ekin
2
Die bei der Beschleunigung geleistete Arbeit wird zu kinetischer
Energie!
Beispiel: Hubarbeit
(Schwerkraft wirkt nach unten: die
aufgebrachte Kraft nach oben)
F = − mg
Es gilt:
Arbeit = Kraft mal Weg
W = F ⋅s
v!
m
h
geleistete Arbeit:
W = Fs = mgh = E pot
Die Arbeit wird zu potentieller Energie
32
Gleiche Arbeit! Die Potentielle Energie hängt nicht davon
ab, wie sie erzeugt wurde!
Beispiel: Spannen einer Feder
x
33
Kraft einer Feder (Hooke‘sches Gesetz)
F = − Dx
l
Allgemein:
Vektorielle Beschreibung
W = F ⋅s
geleistete Arbeit:
l
r
l
1
W = Fdx = ( Dx)dx = D l 2 = E pot
2
0
0
∫
(für geraden Weg
und konstante Kraft)
∫
∫
W = F ( r ) ds
=
r0
i
(für gerade
Teilstücken)
Potentielle Energie einer um l gedehnten (oder gestauchten) Feder.
4.1 Wegunabhängigkeit der pot. Energie
Beispiel: schiefe Ebene
m
Arbeit: direktes Heben
W = mgh = E pot
F
Arbeit: über Rampe
F
l
α
F⊥
h
W = Fs
= mg sin α l
h
= mg sin α
= mgh
sin α
∑
Fi ∆si
Beispiel: Hubarbeit im Schwerefeld (ortsunabhängige Kraft)
W=
n
∑
i =1
F∆si =
 0  ∆xi 

 
y
0
∆
  i 
i =1 


 mg  ∆zi 
n
∑
n
n
i =1
i =1
= ∑ mg∆zi =mg ∑ ∆zi = mgh
Eine Bewegung in x- oder y-Richtung spielt keine Rolle; es zählt
nur die Bewegung in Richtung der Kraft.
34
35
4.2 Energieerhaltung
Definition:
Ein Kraftfeld,
bei dem das Integral
r
∫
Für ein abgeschlossenes System gilt:
F ( r ) ds
Ekin + Epot = konstant
r0
nur von Anfangs- und Endpunkt, aber nicht
vom Weg abhängt, heißt konservativ.
Die Summe der kinetischen und der potentiellen Energie
ist konstant; sie ändert sich nur, wenn Arbeit am System verrichtet
wird.
Aber: potentielle Energie kann in kinetische Energie umgewandelt
werden und umgekehrt
Bemerkung: das Kraftfeld ist der negative Gradient der
potentiellen Energie
Beispiel: freier Fall
F (r ) = −∇E pot
∂

 E pot 
 ∂x

∂
= − E pot 
 ∂y

∂

 E pot 
 ∂z

Ein so gebildetes Kraftfeld ist immer konservativ!
nachher:
vorher:
h
m
h
m
E pot = mgh
E pot = 0
m
Ekin = v 2
2
Ekin = 0
Beispiel: Schwerefeld
F = −∇E pot
 0 


= −∇(mgz ) =  0 
 − mg 


Mit der Energieerhaltung folgt:
und damit:
mgh =
v = 2 gh
m 2
v
2
v
36
nachrechnen:
37
Körper am äußeren Umkehrpunkt:
zeitabhängige Höhe beim Fall
Zeit beim Erreichen von z=0
Geschwindigkeit hier
1
z (t ) = h − gt 2
2
2h
t=
g
1 2
Ekin = mvmin
=0
2
kinetische Energie ist minimal
1 2
1
E pot = Dxmax
= Dx02
2
2
potentielle Energie ist maximal
v = gt = 2 gh
Wegen der Energieerhaltung gilt damit:
Gleiches Ergebnis!
1
1
2
m( x0ω ) 2 = Dx0
2
2
Beispiel: harmonische Schwingung
m
mω 2 = D
x(t ) = x0 cos ωt
ω=
v (t ) = − x0ω sin ωt
D
m
Schwingungsfrequenz
Federpendel
x
Ständiges Umwandeln von potentieller in kinetische Energie
und umgekehrt.
Andere Herleitung:
es ist
Körper in der Mitte:
kinetische Energie ist maximal
potentielle Energie ist minimal
1 2
m
Ekin = mvmax
= ( x0ω ) 2
2
2
1 2
E pot = Dxmin
=0
2
also
Es gilt
das heißt
also
a (t ) = − x0ω 2 cos ωt
a = −ω 2 x (t )
F = ma
− Dx = −mω 2 x
ω=
D
m
38
4.3 Leistung
39
Beispiel: elektrische Birne, P=100 W (Leistung)
Leistung ist Arbeit pro Zeit
Einheit Watt
[W] = [J/s]=[Nm/s]
genauer:
P=
W
t
P=
dW
dt
Geleistete Arbeit ist
brennt 10 h:
W = Pt = 100 W*10 h = 1000 Wh
1000 Wh = 1000 W*3600s
= 3.6 106 Ws
= 3.6 MJ
Die gleiche Arbeit wird benötigt, um 360000 kg um 1m
anzuheben!
4.4 Impuls
W = Pt
„Herleitung“:
es gilt
m1
t
bzw.
W = ∫ Pdt
0
Kräfte:
Beispiel: Hubarbeit
10 kg werden um 10 m angehoben
W = mgh ≈ 1000 J
W 1000 J
geleistet in 5 min (300s):
P= =
= 3.3W
t
300s
1000 J
geleistet in 10 s:
P=
= 100W
10s
Arbeit:
actio = reactio
mit
mit
F = ma
dv
a=
dt
also
m1v1 + m2 v2
F1
F2
m2
F2 = − F1
m2 a2 = − m1a1
dv 2
dv1
m2
= −m1
dt
dt
d
(m1v1 + m2 v2 ) = 0
dt
bleibt konstant!
40
Definition:
41
4.5 Impulserhaltung
p = mv
Impuls:
actio = reactio gilt auch für ein System aus beliebig
vielen Körpern:
m1
Für einen einzelnen Körper gilt:
t
t
F (t )
v (t ) = v0 + ∫ a (t )dt = v0 + ∫
dt
m
0
0
Mutipliziert mit m:
m2
m3
F1
F
3
F2
F6
m4
F5
N
∑ Fi = 0
F4
i =1
m5
m6
t
∫
p (t ) = p0 + F (t ) dt
Für die Summe der Impulse gilt:
0
Bei konstanter Kraft und
N N
N
0 0
p
=
(
p
+
F
t
)
=
p
+
t
∑ i ∑ i i ∑ i ∑ Fi
N
p0 = 0
i =1
p = F ⋅t
Impuls ist
Kraft mal Zeit!
(Erinnerung: Arbeit ist Kraft mal Weg)
i =1
i =1
i =1
0
= Pges
+ t ⋅ 0 = Pges
In einem System, auf das keine äußeren Kräfte wirken,
ist der Gesamtimpuls eine Erhaltungsgröße
42
Energieerhaltung:
4.5 Zentraler Stoß
Impuls- und Energieerhaltung bestimmen, welche Endzustände
eines Systems nach einer Wechselwirkung (Austausch von
Energie und Impuls) erlaubt sind.
Wechselwirkung
1 2 1 2 1 2
m1 v1 = m1 v '1 + m2 v '2
2
2
2
hier: eindimensional (Bewegung auf einer Linie)
m2
v '2
m1
1
1
2
2 1
2
m1v1 = m1v'1 + m2 v'2
2
2
2
v'1 = v1 −
p '1 , p'2 , p '3 ...
E1 , E2 , E3 ...
E '1 , E '2 , E '3 ...
∑ p =∑ p '
∑ E =∑ E '
Es gilt:
i
E ges = E ' ges
Damit lauten die beiden Gleichungen:
nachher
vorher
p1 , p2 , p3 ...
43
i
i
i
Zwei Gleichungen,
zwei Unbekannte
(v‘1, v‘2)
⇒ eindeutige
Lösung!
Einsetzen:
2
 1
1
1 
m
2
2
m1v1 = m1  v1 − 2 v'2  + m2 v'2
2
2 
m1  2
Beispiel: zentraler Stoß zwischen zwei Massen, 2. Masse ruht
m1
v1
Impulserhaltung:
daraus folgt:
m2
v '1
p ges = p ' ges
m1v1 = m1v '1 + m2 v '2
m v '1 = v1 − 2 v '2
m1
m1
m2
v '2
⇔
⇔
⇔
⇔
1
1
m1 2m2
m1 m22 2 1
2
2
2
v'2 + m2 v'2
m1v1 = m1v1 −
v1v'2 +
2
2 m1
2
2
2 m1
2
2
m
1
2
0 = − m2 v1v'2 + 2 v'22 + m2 v'2
2m1
2
2
m + m1m2 2
m2 v1v '2 = 2
v '2
2m1
v '22 =
2m1
v1v '2
m1 + m2
44
Zwei Lösungen:
Lösung 1:
45
3. m1 >> m2
v '2 = 0
hier gilt:
v'1 = v1
v'2 ≈ 2v1
v'1 ≈ v1
(„Triviale“ Lösung: Stoß hat nicht stattgefunden)
Lösung 2:
Der stoßende Körper wird kaum verlangsamt; der
gestoßene Körper erhält die doppelte
Geschwindigkeit des stoßenden Körpers!
2m1
v1
m1 + m2
m
m − m2
v'1 = v1 − 2 v'2 = 1
v1
m1
m1 + m2
v '2 =
Allgemein: dreidimensionaler Stoß
m1
v1
v2
Diskussion dieses Resultats für verschiedene Fälle:
1. m1 = m2
v'2 = v1
hier gilt:
Hier gilt:
v'1 = 0
Der Impuls (und die kinetische Energie) werden
vollständig auf den gestoßenen Körper übertragen.
2. m1 << m2
hier gilt:
2m1
v1
m2
v'1 ≈ −v1
v '2 ≈
( p'2 ≈ 2 p1!)
Der stoßende Körper wird reflektiert; der gestoßene
Körper erhält den doppelten Impuls des stoßenden
Körpers!
m2
m1v1 + m2 v2 = m1v '1 + m2 v '2
Impulserhaltung
1 2 1 2 1 2 1 2
m1 v1 + m2 v2 = m1 v '1 + m2 v '2
2
2
2
2
Energieerhaltung
Dies sind 4 Gleichungen mit 6 Unbekannten (
v '1 , v '2
)
⇒ Lösung bestimmt bis auf zwei freie Parameter!
(z.B. legt die Wahl der Richtung von
fest)
v1 '
alle anderen Werte
46
47
Jetzt: Rakete
4.7 Anwendung der Impulserhaltung: Rakete
vw
m1
v1
Person in Boot in Ruhe wirft eine
Kugel mit Wurfgeschwindigkeit
vw (Geschwindigkeit relativ
zur Person)
v2
m2
m1
m
vD
Vortrieb durch Wurf:
m2
heiße Gase
Dadurch erhält das Boot (und
die Person) einen Impuls bzw.
eine Geschwindigkeit in
Gegenrichtung
Brennkammer und
Düse
v
In der Zeit ∆t wird die
Masse -∆m mit
Geschwindigkeit vD
ausgestoßen.
Treibstoff
Geschwindigkeitszunahme dadurch (∆m <<m):
∆v = −
∆m
vD
m
(m ist die Raketenmasse; die Masse der ausgestoßenen Gase ist -∆m)
Es gilt:
v1 + v2 = vW
Impulserhaltung:
m1v1 = m2 v2
Umformen und Übergang zu infinitesimal kleiner Zeit (∆t→dt):
also
m1v1 = m2 (vW − v1 )
⇒
m2
v1 =
vW
m1 + m2
v2 =
Für m1 << m2 wird dies zu:
v1 ≈ vW
dv
1
= − vD
dm
m
m
Integration über m:
m1
vW
m1 + m2
und
∫
m0
⇒
v2 ≈
Ausstoß von Masse erzeugt Vortrieb!
m1
vW
m2
m
dv
1
dm = −
vD dm
dm
m
m
∫
0
v (m) − v (m0 ) = −vD (ln(m) − ln(m0 )) = vD ln(
m0
)
m
Falls v(m0) = 0 ist (Startgeschwindigkeit Null):
v = vD ln(
m0
)
m
Raketengeschwindigkeit
48
Die von einer Rakete erreichbare Geschwindigkeit
hängt von dem Verhältnis der Start- und Endmasse
und der Düsengasgeschwindigkeit ab.
Typische Werte:
49
Für die Reibungskraft gilt:
Körper bewegt sich („Gleitreibung“):
FR = µF⊥
m0
=6
m
Reibungskoeffizient
vD = 2000 ms
Körper ruht („Haftreibung “):
vEnd ≈ 3600 ms
Damit:
F ' R = µ ' F⊥
4.8 Reibung
Reibung verwandelt Arbeit in Wärmeenergie
⇒Verlust von kinetischer Energie ohne Erzeugung
von potentieller Energie
Es gibt verschiedene Formen der Reibung; diese lassen
sich näherungsweise durch Gesetze beschreiben.
1. Coulomb-Reibung
FR
m
v
F⊥
Die Reibungskraft ist unabhängig von der Geschwindigkeit
und der Auflagefläche!
Typische Werte:
Stahl auf Stahl
(poliert)
Gummi auf Asphalt
Oberflächenreibung:
die Bewegung eines
mit
Anpresskraft F ⊥ auf
die Oberfläche gedrückten
Körpers erzeugt eine
Reibungskraft F
R
µ ' ≈ 0.7
µ ≈ 0.4
µ ' ≈ 1.2
µ ≈ 1.0
µ ' ≈ 0.6
µ ≈ 0.4
trocken
naß
50
Beispiel: maximal mögliches Beschleunigen eines Autos
51
3. Newton-Reibung
Drehende Räder können maximal die Haftreibungskraft auf die
Straße ausüben, blockierende Räder die Gleitreibungskraft.
Die maximal mögliche (positive oder negative!)
Beschleunigung ist damit:
a=
bzw.
FR µF⊥ µ mg
=
=
= µg
m
m
m
F'
a' = R = µ ' g
m
FR
Schneller Körper in leichter Flüssigkeit
oder Gas
v
Hier gilt für die Reibungskraft:
1
F = cW ρ Av 2
2
v
Geschwindigkeit
Ein Fahrzeug mit Gummireifen kann auf Asphalt also
mit maximal 1.2 g beschleunigen!
cW
Widerstandsbeiwert des Körpers
A
Querschnittsfläche des Körpers
(senkrecht zur Geschwindigkeit)
Die Kraft ist proportional zum Quadrat der Geschwindigkeit!
2. Stokes-Reibung
Bei der Bewegung aufgebrachte Leistung:
FR
Kugel in viskoser (zäher)
Flüssigkeit
v
Hier gilt für die Reibungskraft:
F = 6πηrv
v
Geschwindigkeit
P=
η
r
Viskositätskonstante
der Flüssigkeit
Kugelradius
Die Kraft ist proportional zur Geschwindigkeit!
Fs
1
= Fv = cW ρ Av 3
t
2
Beispiel: Auto
A = 2.5 m2
ρ = 1.29 kg/m3 (Luft)
cW = 0.3
v = 100 km/h (27.8 m/s) :
F = 374 N
P = 10393 W ( = 14 PS)
v = 200 km/h (56 m/s) :
F = 1495 N
P = 83146 W ( = 113 PS)
52
4.9 Inelastischer Stoß
53
Die kinetische Energie wird verringert. Es gilt nur die Erhaltung der
Gesamtenergie:
„Reibungseffekte“ (Umwandlung kinetischer Energie in
Wärmeenergie) verändern Stöße.
Ekin + E pot + EW = E 'kin + E ' pot + E 'W
Hier ist
Beispiel: vollinelastischer zentraler Stoß
m1
m2
v1
m1
m2
v '1 = v '2
Kugeln bleiben zusammen
Dämpfer
Es gilt:
Impulserhaltung
⇔
⇔
Pges = P ' ges
m1v1 = m1v '1 + m2 v '2 = (m1 + m2 )v '1
v '1 =
m1 v1
m1 + m2
Für die kinetische Energie gilt:
vorher:
nachher:
1
kin
E ges
= m1v12
2
1
1
1
E 'kin
m1v'12 + m2 v'22 = (m1 + m2 )v '12
ges =
2
2
2
2
1 m1
m1
kin
v12 =
=
E ges
2 m1 + m2
m1 + m2
E pot = E ' pot = 0
Damit gilt für die Wärmeenergie:
E 'W = EW + Ekin − E 'kin
= EW +
m2
Ekin
m1 + m2
Die fehlende kinetische Energie ist in Wärmeenergie umgewandelt
worden.
Merke: bei inelastischen Prozessen gilt Impulserhaltung, aber
nicht die Erhaltung der kinetischen Energie! (sondern
nur die Erhaltung der Gesamtenergie)
54
4.10 Gravitationswechselwirkung
55
Beispiel: Mond
rM = 1738 km
Zwischen zwei Körpern der Masse m1 und m2 im Abstand r
wirkt eine anziehende Kraft:
r
r
mm
F = G 12 2
r
m1
m2
G: Gravitationskonstante
mM = 7.35 1022 kg
m2
gM = G
mM
m 1
=
1
.
6
2
 s 2  ≈ 6 g
rM
Mond (mM)
Die Gravitationsbeschleunigung ist auf der Mondoberfläche etwa
sechsmal kleiner als auf der Erdoberfläche.
G = 6.67 10-11 Nm2/kg2
4.11 Satelliten
Beispiel: Erde
v = rω
r
rE = 6378 km
m2
r
F =G
Erde (mE)
Fg
mE = 5.98 1024 kg
m1
mE m2
m
= G E2 m2
2
rE
rE
m
= 9.805  2  m2 = g m2
s 
m2
Kreisbewegung einer Masse m2
um eine Masse m1, verursacht
durch Gravitationswechselwirkung.
Es gilt:
Zentripetalkraft = Gravitationskraft
(ruhender Beobachter)
Zentrifugalkraft = -Gravitationskraft
Erdbeschleunigung g = 9.81 m/s2 gilt nur auf der Erdoberfläche!
(nimmt quadratisch ab mit dem Abstand zum Erdmittelpunkt)
(mitbewegter Beobachter)
56
Beispiel: Erdmond
in beiden Fällen (falls m1 >> m2 ) :
Bahnradius: r = 3.84 108 m (384000 km)
m1m2
r2
m
ω 2 = G 31
r
m2 rω 2 = G
ω=
Die Umlauffrequenz ist unabhängig von m2 !
Mit
Also:
ω=
2π
τ
57
m1
 2π 
  =G 3
r
τ 
GmE
−6 1
=
⋅
2
.
65
10
s
r3
τ=
2π
ω
= 2.4 ⋅106 s = 27.4 d
v = rω = 1019
Bahngeschwindigkeit:
2
wird dies zu:
4π 2 3
r
τ =
Gm1
2
Bemerkung: das Keplersche Gesetz gilt nicht nur für Kreisbahnen,
sondern auch für elliptische Bahnen; hier ist r die Länge der großen
Halbachse der Bahn
Beispiel: Raumstation ISS
Bahngeschwindigkeit:
Bahnradius: r = 149.6 109 m (150 Mio km)
Sonnenmasse: mS = 1.99 1030 kg
ω=
GmS
−9 1
=
⋅
199
10
s
r3
Bahngeschwindigkeit:
τ=
2π
ω
= 3.15 ⋅107 s = 365.2 d
v = 29700
m
km 
 = 107000 !
s
h 
Weitere Planeten (bzw. Planetoiden):
Flughöhe: 400 km
Bahnradius: r = rE + 400 km = 6800 km
GmE
1
ω=
= 1.1 ⋅10 −3
3
s
r
Beispiel: Erdbewegung um Sonne
3. Keplersches
Gesetz
Die Quadrate der Umlaufzeiten sind proportional der
Kuben der Bahnradien (doppelter Radius → 2.8 fache Umlaufzeit).
m
s
τ=
2π
ω
v = rω = 7660
= 5560 s = 1.5 h
m
km 
 = 27600 !
s
h 
Merkur
r = 57.9 109 m
τ = 88 d
Jupiter
r = 778 109 m
τ = 11.6a
Pluto
r = 5910 109 m
τ = 249a
58
5. Dynamik starrer Körper
59
Beispiel: Hantel
m1
Ausgedehnter Körper
Beschreibung:
besteht aus Punktmassen
mi and den Orten ri
r1
rs
m2 = m1
m1r1 + m2 r2 1 rs =
= (r1 + r2 )
2
m1 + m2
r2
mi
ri
Starrer Körper: die relativen
Abstände der Punktmassen
sind konstant:
rj
Die Bewegung eines Körpers lässt sich aufteilen in:
• Translation (Bewegung des Schwerpunkts)
ri − rj = konst . ∀i, j
mj
(Drehung um den Schwerpunkt)
5.1 Translation
Definition: Schwerpunkt
Die Schwerpunktskoordinate eines Körpers ist gegeben durch:
n
rs =
• Rotation
Bei der Translation verhält sich ein ausgedehnter Körper so, als
wäre seine gesamte Masse im Schwerpunkt konzentriert.
∑ mi ri
i =1
n
∑ mi
1
=
M
n
Beispiel: Hubarbeit
∑ mi ri
n
i =1
M: Gesamtmasse des Körpers
hs
rs =
∫V ρdV
n
Tisch
ρ : Dichte [kg/m3]
ri
W = ∑ mi g (ri '− ri )
n
n i =1
= ∑ mi g ri ' − ∑ mi g ri
i =1
Hocker
∫V r ρdV
ri '
g
i =1
genauer:
Summation über alle Teilelemente
Schwerpunkt
i =1
n
= g (∑ mi ri ' − ∑ mi ri )
i =1
i =1
= g ( Mrs '− Mrs ) = Mghs
Nur die Verlagerung des
Schwerpunkts zählt!
60
Kinetische Energie der Translation:
(alle Teilmassen haben dieselbe Geschwindigkeit)
n
1 2 1 2 n
1 2
E = ∑ mi vi = vs ∑ mi = M vs
2
2
i =1 2
i =1
61
ausgedehnter Körper:
n
n
1 2 1
1
2
E = ∑ mi vi = ω 2 ∑ mi r⊥i = Jω 2
2 i =1
2
i =1 2
Definition: Trägheitsmoment
Impuls der Translation:
n P = ∑ mi vi =Mvs
n
J = ∑ mi r⊥i
i =1
i =1
5.2 Rotation
genauer:
J = ∫ r⊥ ρ dV
2
Einschub: vektorielle Beschreibung einer Kreisbewegung
v = −r × ω = ω × r
ω
r⊥
α
r
v
ω
Beispiel: massiver Zylinder
Zur Berechnung von J wird der Zylinder
in Hohlzylinder mit Radius r⊥, Wanddicke dr⊥
und Länge L aufgeteilt.
v = r ω sin α
Volumen der Hohlzylinder:
= r⊥ω
r⊥
ρ : Dichte
V
: Vektor der Winkelgeschwindigkeit
Beträge:
2
dV = 2πr⊥ Ldr⊥
L
: Abstand zur Rotationsachse
Volumen des gesamten Zylinders:
r0
V = ∫ dV = ∫ 2πr⊥ Ldr⊥ = π r02 L
Kinetische Energie der Rotation:
Punktmasse
1
1
2
E = mv 2 = mr⊥ ω 2
2
2
J
r0
Drehachse
V
0
Masse des gesamten Zylinders:
r0
M = ∫ ρ dV = ∫ ρ 2πr⊥ Ldr⊥ = ρπ r02 L
V
0
62
Damit:
63
Beim ausgedehnten Körper gilt:
r0
J = ∫ ρr⊥2 dV = ∫ ρr⊥2 2πr⊥ Ldr⊥
V
r0
n
n l = ∑ r⊥i × pi = ∑ r⊥i × (ri × pi )
0
1
1
= 2πρL ∫ r⊥3dr⊥ = 2πρL r04 = Mr02
4
2
0
i =1
Mit
i =1
a × (b × c ) = (ac )b − (ab )c
gibt dies:
n
2
l = ∑ mi r⊥i ω = Jω
Das Trägheitsmoment eines massiven Zylinders ist so groß wie
das eines dünnwandigen Hohlszylinders mit gleichem Radius und
halber Masse!
i =1
Wichtig: J hängt von der Richtung von
ω
ab!
Impuls der Rotation:
p = mv = mr × ω
J
p = p = mv = mr⊥ω = ω
r⊥
Punktmasse
 J11

J =  J 21
J
 31
r⊥ p = Jω
also
Definition: Drehimpuls
J12
J 22
J 32
und es gilt:
l = Jω
l = r⊥ p = Jω
vektoriell:
Im allgemeinen Fall ist J eine Matrix (der Trägheitstensor):
l = r × p = Jω
(für gegebene Drehachse)
J13 

J 23 
J 33 
64
65
Gleichförmige Winkelbeschleunigung:
5.3 Drehmoment
T = konst.
l = Jω = T t
Betrachten Balken mit Gewichten
b1
b2
Im Gleichgewicht gilt:
F1b1 = F2 b2
F2
F1
(l0 = 0)
Daraus folgt:
1 J
ω = Tt
(Hebelgesetz: Hebelkraft mal
Hebellänge ist konstant)
bzw.
1 J
ωɺ = ϕɺɺ = T
Winkelbeschleunigung
5.4 Vergleich Translation/Rotation
Genauer:
b1⊥
β
b1
F1
Es zählt die Hebellänge senkrecht
zur Kraft
b2 ⊥
F1b1⊥ = F2 b2 ⊥
α
b2
F1b1 sin β = F2 b2 sin α
Rotation
Orts-Koordinate
Masse
Kraft
Impuls
vektoriell:
F2
Translation
b1 × F1 = b2 × F2
r
m
F
p = mv = mrɺ
t
p = p0 + ∫ Fdt
Winkel
ϕ
Trägheitsmoment
J
Drehmoment
Drehimpuls
T
l = Jω = Jϕɺ
t l = l0 + ∫ Tdt
0
Definition: Drehmoment
T = r ×F
r
in Bezug auf
den Drehpunkt
kin. Energie
Arbeit
Zusammenhang mit Drehimpuls:
l = Tt
Genauer:
t l = l0 + ∫ Tdt
0
M 2
vs
2
W = ∫ Fds
E=
Beschleunigung
F
a=
M
0
kin. Energie
Arbeit
J 2
ω
2
W = ∫ T dϕ
E=
Winkelbeschleunigung
ɺɺ T
ϕ=
J
66
67
Anwendungen
Die Schwingungsfrequenz eines Fadenpendels im Fall kleiner
Auslenkung ist damit:
Beispiel: Fadenpendel
ϕ
T = r ×F g
Das Drehmoment ist
l
also
T = − rFg sin ϕ = −lFg sin ϕ
m
Für kleine ϕ gilt:
Fg
und damit
Die Frequenz hängt nur von der Pendellänge ab, nicht von der
Masse!
sin ϕ ≈ ϕ
T = −lFgϕ
Das Trägheitsmoment ist
Zahlenwerte:
J = ml 2
T − lmg
g
=
ϕ =− ϕ
2
J
ml
l
Kinetische Energie nach Weg
s
∆h
m
Lösungsansatz für diese Differentialgleichung:
g
ϕ0ω (− sin(ωt )) = − ϕ0 sin(ωt )
l
g
g
⇒
ω2 =
ω=
l
l
Einsetzen:
⇒
Unter dieser Bedingung erfüllt das angenommene ϕ(t)
die Differentialgleichung.
Ekin =
α
ϕ (t ) = ϕ0 sin(ωt )
2
Sekundenpendel (f = 1/s)
l = 0.248 m
2-Sekundenpendel (f = 0.5 1/s) l = 0.99 m
Beispiel: Zylinder auf schiefer Ebene
Für die Winkelbeschleunigung gilt damit:
ϕɺɺ =
g
l
ω=
Damit gilt:
⇒
s=
m 2 J 2
v + ω = mg∆h
2
2
v = rω
Es ist
m 2 J 2 mr 2 + J 2
v = mgs sin α
v + ω =
2
2
2r 2
v=
2mr 2
g sin α s
mr 2 + J
Vergleiche mit gleichförmiger Beschleunigung:
1 2 v2
s = at =
2
2a
⇒
∆h
sin α
v = 2as
68
Beschleunigung des Zylinders also:
a=
69
5.5 Steinerscher Satz
2
mr
sin α g
mr 2 + J
Bei Rotation eines Körpers um eine Achse, die nicht durch
den Schwerpunkt führt, gilt für das Trägheitsmoment:
J = J s + Ma 2
Diskussion verschiedener Fälle:
1. gesamte Masse im Schwerpunkt:
⇒
J =0
a = sin α g
Js : Trägheitsmoment um Schwerpunkt
M : Gesamtmasse
(altes Ergebnis für schiefe Ebene!)
2. Hohlzylinder:
⇒
3. Massiver Zylinder:
⇒
J = mr 2
1
a = sin α g
2
1
J = mr 2
2
2
a = sin α g
3
a : Abstand des Schwerpunkts zur Achse
Grund: die Bewegung des Körpers läßt sich zerlegen in die
Rotation des Körpers um seinen Schwerpunkt und der Bewegung
des Schwerpunkts auf einer Kreisbahn.
Beispiel: Stabpendel
Drehpunkt
Trägheitsmoment des Stabs um seinen
Schwerpunkt:
l
ϕ
m/2
l/2
J s = 2 ∫ r dm = 2 ∫ r 2 ρAdr
2
Der Hohlzylinder beschleunigt am langsamsten (hier wird nur die
Hälfte der potentiellen Energie in kinetische Energie umgewandelt)
Schwerpunkt
Fg
0
0
mit Dichte ρ und Querschnittsfläche A
2
M l
1 l3
1 l 
J s = 2 ρA
= ρAl   =  
38
3 2 
3 2
2
70
71
ω
Trägheitsmoment um den Drehpunkt:
2
l 4 l
J = Js + M   = M  
2 3  2
L' = J 'ω ' = L = Jω
r‘
Differentialgleichung:
⇒
l
Mg
−
T
2 ϕ = −3 gϕ
ϕɺɺ = =
J 4  l 2
2l
M 
3 2
ω=
⇒
Zahlenwert:
J ' = 2mr '2
m
2
l = 1m
3g
2l
⇒
ω = 3.9 1/s; f = 0.6 1/s
J
r2
ω' = ω = 2 ω
J'
r'
Eine Verringerung des Trägheitsmoments beschleunigt die Rotation!
Kinetische Energie:
J ' 2 mr '2 r 4 2 r 2 mr 2 2
ω = 2
ω
E' = ω' =
2
2 r '4
r' 2
Die kinetische Energie erhöht sich (die Verringerung des
Trägheitsmoments erfordert Arbeit!).
5.7 Kreisel
5.6 Drehimpulserhaltung
In einem System, auf das kein äußeres Drehmoment wirkt, ist der
Gesamtdrehimpuls eine Erhaltungsgröße.
n l ges = ∑ li = konstant
i =1
Ein Kreisel behält seine Ausrichtung bei, wenn keine Drehmomente
auf ihn wirken (Kreiselkompass!). Wirkt ein Drehmoment auf ihn,
weicht er „senkrecht dazu“ aus.
Beispiel: waagerechter Kreisel mit Zusatz-Gewicht
r
Beispiel: Rotation mit veränderlichem J
ω
m
r
J = 2mr 2
L = Jω
m
Fg
ω
l
Drehmoment:
T = r × Fg
(T ⊥ l )
T = T = rmg
In der Zeit dt erzeugt dies einen
Drehimpuls von:
dl = Tdt
( dl ⊥ l )
72
73
Von oben betrachtet:
der zusätzliche Drehimpuls
erzeugt
eine Rotation von l
dϕ l
l'
Winkel:
dl
dl
T dt
dϕ = arctan = arctan l
l
Für dt→0 wird dies:
T dt mgr
dϕ = =
dt
l
l
Die Winkelgeschwindigkeit ist dann:
ω=
dϕ rF rmg
=
=
dt
l
l
(Präzessionsfrequenz)
Der Kreisel wird durch das Zusatzgewicht nicht aus der Waagerechten
heraus gekippt, sondern präzediert in einer waagerechten Ebene.
Die Präzessionsgeschwindigkeit ist umso größer, je größer das
ausgeübte Drehmoment und je kleiner der Drehimpuls des Kreisels
ist.
Beispiel: schräger Kreisel im Schwerefeld
Masse
m
h
l
Drehmoment:
g
T = r × Fg
T = hmg sin α
Änderung des Drehimpulses in
der Zeit dt:
dl = Tdt
α
Schwerpunkt
( dl ⊥ l )
dϕ
l⊥ '
Winkeländerung:
l⊥
dl
l
dϕ =
T dt
l⊥
=
hmg sin α
dt
l sin α
Winkelgeschwindigkeit:
ω=
dϕ hmg
=
dt
l
Präzessionsgeschwindigkeit
schräger Kreisel
Die Präzessionsgeschwindigkeit hängt nicht von dem Winkel
des Kreisels ab, sondern nur von seiner Masse und seinem
Drehimpuls!
74
6. Mechanik deformierbarer Körper
Materie ist aus Atomen aufgebaut, die durch Bindungen
zusammengehalten werden. Bei höheren Temperaturen führt die
thermische Energie der Atome zum teilweisen oder völligem Bruch
der Bindungen.
75
Genauer: der Aggregatzustand hängt von der Temperatur und
dem Druck ab.
6.1 Flüssigkeiten
Definition:
Aggregatzustände
Fest (niedrige Temp.):
formstabil, elastisch, kann
brechen (spröde); häufig
geordneter Aufbau
Druck ist Kraft pro Fläche
F
Kolben
(Fläche A)
Atome
p=
F
A
Einheit Pascal
Flüssigkeit
(oder Gas)
[Pa] = [N/m2]
(105 Pa = 1 bar)
Bindungen
Flüssigkeiten und Gase geben Druck weiter; in einem Behälter mit
ruhendem Medium wirkt auf alle Flächen derselbe Druck
(Schwerkraft vernachlässigt).
Flüssig (mittlere Temp.): ähnliche Dichte wie fester
Zustand, volumenelastisch,
nicht formstabil;
ungeordneter Aufbau
6.1.1 Hydraulik
Der gleichmässige Druck in einem Behälter läßt sich zur KraftWeitergabe und Kraft–Verstärkung ausnutzen.
Druck im Behälter:
Gasförmig (hohe Temp.): geringe Dichte, sehr
kompressibel;
ungeordnet, keine Bindungen
F1
Fläche
A1
F2
p=
Fläche
A2
F1
A1
Kraft auf zweiten Kolben:
F2 = pA2 =
A2
F1
A1
76
77
6.1.2 Schweredruck
Die Kraft kann also beliebig verstärkt werden!
Im Schwerefeld entsteht Druck aufgrund der Masse einer
Flüssigkeit (bzw. eines Gases)
Frage: läßt sich so Energie gewinnen?
Berechnung der geleisteten Arbeit:
g
Kolben 1 bewege sich um Strecke l1 ; dabei wird ein Volumen
bewegt von
V1 = l1 A1
h
oberer Teil
der Flüssigkeit
wirkt als
„Kolben“
Wenn die Flüssigkeit als inkompressibel angenommen wird,
bewegt sich Kolben 2 damit um:
l2 =
V2 V1
=
A2 A2
W1 = l1F1
Kolben 2:
W2 = l2 F2 =
⇒
F ρVg ρhAg
=
=
A
A
A
p = ρhg
Der Druck nimmt linear mit
der Tiefe zu!
Flüssigkeit mit
Dichte ρ
V1 A2
F1 = l1F1
A2 A1
Die am Kolben 1 und vom Kolben 2 geleistete Arbeit ist
identisch; wie beim Flaschenzug läßt sich nur die Kraft
verstärken; die Arbeit (Kraft mal Weg) bleibt dieselbe!
Allgemein: die Volumenarbeit an Flüssigkeiten oder
Gasen ist gegeben durch
V
W = lF = F = pV
A
p=
Fläche A
Geleistete Arbeit:
Kolben 1:
Druck in der Tiefe h (äußerer
Druck vernachlässigt:
Beispiel: für Wasser ist ρ = 1000 kg/m3; damit ist
N
p = 9810  3  h
m 
Der Druck im Wasser steigt also alle 10 m Wassertiefe um etwa
105 Pa oder 1 bar.
Senkrecht zur Schwerkraft ist der Druck konstant (aufgrund des
gleichmässigen Drucks innerhalb einer Flüssigkeit)
V2
bzw.
W = ∫ p(V )dV
V1
⇒ der Druck in einem beliebigen Gefäß hängt nicht von der
Form des Gefäßes, sondern nur vom senkrechten Abstand zur
Flüssigkeitsoberfläche ab!
78
6.1.3 Auftrieb
79
Damit gilt für die Auftriebskraft eines Körpers in einer Flüssigkeit
im Schwerefeld:
Jeder Körper in einer Flüssigkeit im Schwerefeld erfährt eine
Auftriebskraft.
äußerer
Druck p0
Fläche
A
F2
F1
g
h2
Kraft auf untere Fläche
F1 = ( p1 + p0 ) A = ( ρh1 g + p0 ) A
h1
Kraft auf obere Fläche
F2 = ( p2 + p0 ) A = ( ρh2 g + p0 ) A
F1 − F2 = ρgA(h1 − h2 ) = ρgV
V: Volumen des Quaders
Die Auftriebskraft entspricht der Gewichtskraft der von dem
Körper verdrängten Flüssigkeit!
6.1.4 Oberflächenspannung
Um eine neue Oberfläche zu erzeugen,
müssen Bindungen gebrochen werden.
Die aufzubringende Energie ist proportional
zur erzeugten Fläche:
Es wirkt also eine nach oben gerichtete Kraft, die dem Volumen
des Quaders und der Dichte der Flüssigkeit proportional ist
(die Kräfte auf die Seitenflächen kompensieren sich, da der Druck
auf gleicher Höhe gleich ist).
EOF = σ A
A : Fläche
σ : Oberflächenspannung
Gilt für beliebige Körper:
diese lassen sich in senkrechte Quader
aufteilen; die gesamte Auftriebskraft
ist dann
n
n
i =1
i =1
F = ∑ Fi = ∑ ρgVi = ρgV
Auftriebskraft
ρ: Dichte der Flüssigkeit
V: Volumen des Körpers
Für einen senkrechten Quader gilt:
Quader in Flüssigkeit
Differenz:
FA = ρgV
neue
Oberflächen
gebrochene
Bindungen
Beispiel: Kraft auf einen benetzten Bügel
b
F
∆x
Flüssigkeit
Flüssigkeitsfilm
Eine Verschiebung um ∆x
vergrößert die Oberfläche
des Films:
∆ A = 2b∆x
(der Film hat zwei Oberflächen!)
80
Oberflächenenergie:
81
6.1.5 Strömungen
∆ E = σ∆A = σ 2b∆x
Strömungen haben ortsabhängige Geschwindigkeiten:
Geleistete Arbeit also:
v = v (r )
∆W = F∆x = σ 2b∆x
Damit ist die Kraft:
F = 2σ b
Massenstromdichte:
v
erlaubt Messung der
Oberflächenspannung!
j = ρ ( r )v ( r )
ρ: Massendichte
Einheit der Stromdichte:
Beispiel: Druck in Seifenblase
gesamte Oberfläche des Films:
pa
A = 4πr 2
Massenfluß durch eine Fläche A:
2
r
φ = jA
( = jA
(zwei Grenzflächen!)
pi
dA
= 16πr
dr
Ableitung nach r:
Änderung von A bei Änderung von r um dr:
A1
A2
v1
dE = σdA = σ 16πrdr
Der Massenfluß durch A1 und A2 muss
gleich sein
φ1 = φ2
j1 A1 = j2 A2
v2
Vom Gas in der Blase geleistete Arbeit:
dW = ( pi − pa )dV = ( pi − pa )4πr dr
falls j ⊥ A)
Für eine inkompressible Flüssigkeit ist die Massendichte
ortsunabhängig. Damit gilt bei einer Änderung des Querschnitts
eines durchströmten Rohrs:
dA = 16πrdr
Damit verbundene Änderung der Oberflächenenergie:
 kg 
 m 2s 
ρv1 A1 = ρv2 A2
Flüssigkeit
2
also
Im Gleichgewicht ist dies gleich dE:
dE = dW
⇒
pi − pa =
4σ
r
Druckdifferenz
zwischen innen
und außen
bzw.
v2 =
A1
v1
A2
v1 A1 = v2 A2
„Kontinuitätsgleichung“
Die Strömungsgeschwindigkeit nimmt an
Engstellen zu!
82
6.1.6 Bernoulli-Gleichung
83
allgemein:
1
p + ρv 2 = konstant = p0
2
In einer Strömung einer inkompressiblen Flüssigkeit (oder eines
Gases) sind Druck und Strömungsgeschwindigkeit direkt
miteinander verknüpft.
A1
v1
p1
p2
A2
v2
Rohr mit Verjüngung:
das in einer Zeit ∆t eintretende
Volumen ist gleich dem
austretenden Volumen:
∆V1 = ∆V2 = ∆V
Bernoulli-Gleichung
Der Druck in einer Strömung nimmt mit der Geschwindigkeit ab!
6.1.7 Flüssigkeit mit innerer Reibung
z
v
An der Flüssigkeit wird am Eintritt Arbeit geleistet:
Fläche
A
∆W1 = p1 A1∆x1
Für die Reibungskraft zwischen
zwei Flächen, zwischen denen sich eine
viskose Flüssigkeit befindet, gilt:
F = − Aη
Am Austritt leistet die Flüssigkeit Arbeit:
∆W2 = p2 A2 ∆x2
η: Viskositätskonstante
A: Flächengröße
v: relative Geschwindigkeit
z: Abstand
Flüssigkeit
Der Volumenfluß erzeugt einen Zu- und Abfluß kinetischer Energie:
1
∆E1 = ρ∆V1v12
2
1
∆E2 = ρ∆V2v22
2
Im Gleichgewicht muss die Energiebilanz ausgeglichen sein:
∆E1 + ∆W1 = ∆E2 + ∆W2
also
1
1
ρ∆Vv12 + p1∆V = ρ∆Vv22 + p2 ∆V
2
2
1 2
1
ρv1 + p1 = ρv22 + p2
2
2
v
z
Die Kraft wirkt der Bewegung entgegen, daher das Minuszeichen
(häufig wird nur der Betrag der Kraft angegeben).
Diese Reibungskraft tritt auch zwischen Flüssigkeitsschichten
auf; hier gilt das obige Gesetz in differentieller Form:
F = − Aη
dv
dz
Die innere Reibung bestimmt das Geschwindigkeitsprofil
einer Strömung.
84
Beispiel: rundes Rohr
p1
Betrachten ein Teilvolumen
mit Radius r, welches sich mit der
Geschwindigkeit v der Strömung bei
r bewegt.
Teilvolumen
Auf dieses wirkt die Reibungskraft:
v
Rohr
L
Fp = ( p1 − p2 )πr 2
r0
Also:
strömende
Flüssigkeit
η 2πrL
⇒
dv
= −( p1 − p2 )πr 2
dr
dv
∆p
=−
r
dr
2ηL
Dies gilt für Teilvolumina aller Radien; damit läßt sich das
Geschwindigkeitsprofil im Rohr durch Integrieren berechnen
v(r ) = −
∆p 2
r + v0
4ηL
Da die Geschwindigkeit an der Rohrwand (r = r0) Null sein muss,
gilt
v(r ) =
Der Gesamtfluß durch das Rohr ergibt sich durch Integration des
Strömungsprofils:
ρ∆pπ
(r02 − r 2 )rdr
φ = ∫ ρv(r )2πrdr =
∫
2ηL 0
0
r0
∆p 2 2
(r0 − r )
4ηL
r0
=
dv
dv
FR = ηA = η 2πrL
dr
dr
Diese muss durch die Differenz
der Druckkräfte auf das Teilvolumen
aufgebracht werden:
p2
85
⇒
ρ∆pπ 1 4 1 4 ρ ∆pπ 1 4
( r0 − r0 ) =
r0
4
2ηL 4
2ηL 2
φ=
ρπ∆p 4
r0
8ηL
Hagen-Poisseuille
Der Gesamtfluß durch ein Rohr bei gegebener Druckdifferenz
und Rohrlänge ist proportional zur vierten Potenz des Rohrradius!
86
87
Das Kraftgesetz gilt nur für geringe Verformungen; bei größereren
Spannungen erfolgt der Übergang von elastischer zu plastischer
(permanenter) Verformung.
6.2 Deformierbare feste Körper
6.2.1 Kraftgesetze
Definition: mechanische Spannung
Stab
F
σ=
A
∆l
l
F
N
 m 2 
σ
Beispiel Kupfer
( E = 120 109 Pa)
N
 m 2 
plastisch
108
(negativer Druck)
Fläche A
reisst
elastisch
Für die Längenänderung des Stabs gilt:
∆l σ
1
= =
F
l E EA
bzw.
σ =E
1 10-3
3 10-3
0.1
Hook‘sches
Gesetz
∆l
l
Weitere Verformungen
E: Elastizitätsmodul (Materialkonstante)
Körper unter Druck
Kompression
Die Längenänderung ist proportional zur Kraft!
F
Volumenabnahme
p
∆V
= −κ p
V
Andere Schreibweise: die Gegenkraft ist gegeben durch
F =−
2 10-3
EA
∆l = − D∆l
l
D: Federkonstante
F
F
κ : Kompressibilität
∆l
l
88
Scherung
A
Tangentiale Kraft auf Fläche:
Schubspannung
F
τ=
α
F
A
N
2
 m 
Die Schubspannung erzeugt eine Scherung
um den Winkel α:
α=
1
τ
G
G : Torsionsmodul
Drillung
T
Das Drehmoment erzeugt einen
Verdrillungswinkel α
α=
α
1
2l
T=
T
DR
π GR 4
DR: Richtgröße
Für alle Verformungen gilt: die Verformung ist proportional
zur Kraft für kleine Verformungen! Die potentielle Energie
ist damit proportional zum Quadrat der Verformung.
89
7. Schwingungen und Wellen
Bewegung um Potentialminima führt zu periodischen Vorgängen
(Schwingungen).
Harmonischer Oszillator
Kraft:
F = − Dx
x
D
Potentielle Energie:
E pot =
Es gilt:
( genauer:
d
V (x )
dx
F = −∇V (r ) )
F =−
Differentialgleichung:
ma = F
⇔
⇔
hier:
d
V (x )
dx
1 d
ɺxɺ = −
V ( x)
m dx
mɺxɺ = −
ɺxɺ = −
D
x
m
D 2
x = V ( x)
2
90
mathematischer Einschub:
Additionstheoreme der
trigonometrischen Funktionen
Es gilt:
cos(α + β ) = cos(α ) cos( β ) − sin(α ) sin( β )
cos(α − β ) = cos(α ) cos( β ) + sin(α ) sin( β )
sin(α + β ) = sin(α ) cos( β ) + cos(α ) sin( β )
sin(α − β ) = sin(α ) cos( β ) − cos(α ) sin( β )
Daraus folgt:
α α
α
α
cos(α ) = cos( + ) = cos 2 ( ) − sin 2 ( )
2 2
2
2
α
α
= cos 2 ( ) − (1 − cos 2 ( ))
2
2
α
= 2 cos 2 ( ) − 1
2
α
= 1 − 2 sin 2 ( )
2
Damit:
α 1
cos 2 ( ) = (1 + cos(α ))
2
2
α 1
sin 2 ( ) = (1 − cos(α ))
2
2
91
Lösung der Differentialgleichung:
x (t ) = a sin ωt + b cos ωt
mit ω =
D
m
a,b: Konstanten (bestimmt durch Startbedingungen x0 und v0)
Die Geschwindigkeit ist gegeben durch:
v (t ) = xɺ (t ) = aω cos ωt − bω sin ωt
x(0) = b; v(0) = aω
Für t=0 gilt:
b = x0 ; a = 0
Für x(0) = x0 und v(0) = 0 ist
x (t ) = x0 cos ωt
und damit
x(t)
x0
v0 = 0
harmonische
Schwingung
π
ω
2π
t
ω
-x0
b = 0; a =
Für x(0) = 0 und v(0) = v0 ist
in diesem Fall ist
x (t ) =
v0
ω
sin ωt
v0
ω
92
Beispiel: Kastenpotential
V(x)
Teilchen im Kastenpotential
wird bei x=0 und x=l reflektiert
x
l
0
Ortskurve:
τ=
x(t)
2v
l
Keine Sinus-Funktion!
Anharmonische Schwingung
l
0
Steigung:
Geschwindigkeit v
Beispiel: zwei schiefe Ebenen
V(x)
x
Potential:
V ( x) = c x
Kraft:
F ( x ) = −c
x
x
93
Ortskurve:
x(t)
4mv0
c
τ=
Keine Sinus-Funktion!
Anharmonische Schwingung
t
Parabelstücke
7.1 Fourier-Analyse
Jede periodische Funktion mit Periode τ kann in einer unendliche
Summe von harmonischen Komponenten zerlegt werden:
a
f (t ) = 0 +
2
∞
∑a
n
cos( nω0t ) + bn sin( nω0t )
n =1
mit
ω0 =
2π
τ
an , bn : Fourier-Koeffizienten
Berechnung der Koeffizienten:
an =
2
τ
f (t ) cos( nω t )dt
∫
τ
0
0
bn =
2
τ
τ
∫ f (t ) sin(nω t )dt
0
0
94
Allgemein: auch nichtperiodische Funktionen können in harmonische
Komponenten zerlegt werden; hier tragen sämtliche
Frequenzen (und nicht nur die Vielfachen einer
Grundfrequenz) bei. Daher wird die Summe durch ein
Integrale ersetzt:
f (t ) =
2
∞
a (ω ) cos(ωt ) + b(ω ) sin(ωt )dω
∫
π
0
1
a (ω ) =
2π
mit:
1
b(ω ) =
2π
∞
∫ f (t ) cos(ωt )dt
−∞
∞
∫ f (t ) sin(ωt )dt
−∞
komplexe Schreibweise:
1
f (t ) =
2π
∞
∫
−∞
1
~
f (ω ) =
2π
~
f (ω )
:
~
f (ω )e −iωt dω
∞
∫
f (t )e iωt dt
−∞
Fourier-Transformierte von f(t)
~
f (ω ) = a (ω ) 2 + b(ω ) 2 : Spektrum von f(t)
95
Beispiel: Überlagerung zweier harmonischer Funktionen
f (t ) = cos(ω1t ) + cos(ω 2 t )
Ersetzen:
ω =
ω1 + ω 2
mittlere Frequenz
2
ω − ω1
δ= 2
2
Differenzfrequenz
Damit ist:
f (t ) = cos((ω − δ )t ) + cos((ω + δ )t )
= cos(ω t ) cos(δt ) − sin(ω t ) sin(δt )
+ cos(ω t ) cos(δt ) + sin(ω t ) sin(δt )
Also:
f (t ) = 2 cos(ω t ) cos(δ t )
Signal:
Spektrum:
2π
f (t )
„Schwebung“
~
f (ω )
ω
t
2π
δ
ω
96
7.2 Wellen
Harmonische Funktion in Abhängigkeit von der Zeit:
f(t)
Periode
τ=
f (t ) = sin(ωt )
2π
ω
t
Harmonische Funktion in Abhängigkeit vom Ort:
f(x)
Wellenlänge
λ=
f ( x ) = sin( kx)
2π
k
x
k=
2π
λ
Wellenzahl
(„Ortsfrequenz“)
Welle: harmonische Abhängigkeit von Ort und Zeit:
f ( x, t ) = sin( k ( x − ct )) = sin( kx − ωt )
mit
ω = ck
97
Darstellung für feste Zeiten:
f(x,t)
t0
t1
t2
x
Für feste Orte:
f(x,t)
x0
x1 x2
t
Für Orte gleicher Amplitude gilt:
k ( x − ct ) = konstant = ϕ 0
x=
ϕ0
k
+ ct = x0 + ct
Diese Orte (und damit die Welle) bewegen sich also mit
der Geschwindigkeit:
v=c=
Und damit auch:
v=
ω
k
=
ω
k
2π / τ λ
= = λf
2π / λ τ
Geschwindigkeit = Wellenlänge mal Frequenz !
98
Beispiel: wellenartige Anregung einer Pendelkette
a
Kraft auf n-tes Pendel:
Fn = D (u n +1 − u n ) − D (u n − u n −1 )
D
un-1
un
un+1
Differentialgleichung
m
(ma=F):
muɺɺn = D (u n +1 + u n −1 − 2u n )
Lösung:
u n (t ) = u 0 cos( kx − ωt )
mit
x = na
Die Lösung gleicht einer Welle, mit dem Unterschied, dass
sie nur an diskreten Orten (den Orten der Pendel)
definiert ist.
Jetzt: Betrachtung eines kontiniuierlichen, elastischen Mediums:
un
Aufteilung in Teilstücke
der Länge ∆x
(mit Index n)
∆x
Fläche A
99
Masse der Teilstücke:
∆m = ρA∆x
Kraftgesetz des Mediums:
F = EA
∆l
l
( ρ : Dichte )
( E : Elastizitätsmodul )
Damit ist die Kraft auf das n-te Teilstück bei Verschiebung um un:
Fn = EA
u n +1 − u n
u − u n −1
− EA n
∆x
∆x
Damit lautet die Differentialgleichung:
EA
(u n +1 + u n −1 − 2u n )
∆x
∆muɺɺn =
ρA∆xuɺɺn =
uɺɺn =
EA
(u n +1 + u n −1 − 2u n )
∆x
E (u n +1 + u n −1 − 2u n )
ρ
∆x 2
Einschub: diskrete zweite Ableitung (Definition der zweiten
Ableitung von diskreten Funktionen)
für die erste Ableitung gilt:
xn −1 + xn
f ( xn ) − f ( xn −1 )
)=
2
∆x
x + xn +1
f ( x n +1 ) − f ( xn )
f '( n
)=
2
∆x
f '(
100
Die zweite Ableitung ist dann:
xn + xn +1
x + xn
) − f ' ( n −1
)
2
2
f ' ' ( xn ) =
∆x
f ( xn+1 ) + f ( xn −1 ) − 2 f ( xn )
f ' ' ( xn ) =
∆x 2
f '(
Damit läßt sich die Differentialgleichung schreiben als:
E d2
uɺɺn =
u
2
ρ dx
und mit f statt u:
d2
E d2
f ( x, t ) =
f ( x, t )
2
2
ρ dx
dt
Wellengleichung für ein elastisches Medium
Lösungsansatz:
f ( x, t ) = a0 cos( kx − ωt )
Einsetzen in Differentialgleichung:
− ω 2 a0 cos( kx − ωt ) =
E
ρ
(− k 2 a0 cos( kx − ωt ))
101
⇒
ω2
k2
=
E
ρ
Für die Geschwindigkeit der Welle gilt:
v=
und damit:
v=
ω
k
E
ρ
Wellengeschwindigkeit
im elastischen Medium
E : Elastizitätsmodul
ρ : Dichte
Damit lässt sich eine allgemeine Wellengleichung aufstellen:
2
d2
2 d
f ( x, t ) = c
f ( x, t )
2
2
dt
dx
Dreidimensional:
d2
2 2
f
(
r
,
t
)
=
c
∇
f
(
r
,t)
2
dt
102
7.3 Schallgeschwindigkeit
Schallgeschwindigkeit in Festkörpern:
v =
v⊥ =
E
ρ
G
ρ
Longitudinalwelle
E: Elastizitätsmodul
Transversalwelle
G: Schermodul
Zahlenwerte (Longitudinalwellen):
Blei
1300 m/s
Eisen
5100 m/s
Diamant 17500 m/s
Je geringer die Dichte
und je höher die Härte,
desto größer die
Geschwindigkeit!
Schallgeschwindigkeit in Gasen
Hier ist
mit
E=
κ=
1
κ
1
γp
(Kehrwert der
Kompressibilität)
p: Druck
γ: Adiabatenexponent
(γ=5/3 für Atome;
γ=7/5 für zweiatomige
Moleküle)
103
Damit wird die Schallgeschwindigkeit:
γ k BT
γp
=
ρ
m
vs =
m: Teilchenmasse
Zahlenwerte (20°C):
Luft
Helium
330 m/s
1007 m/s
7.4 Stehende Wellen
Überlagerung einer „nach links“ und einer „nach rechts“
laufenden Welle:
f ( x, t ) = cos(kx − ωt ) + cos(−kx − ωt )
= cos(kx) cos(ωt ) − sin(kx) sin(ωt )
+ cos(kx) cos(ωt ) + sin( kx) sin(ωt )
= 2 cos(kx) cos(ωt )
Ortsfeste Funktion!
f(x,t)
„Knoten“:
Amplitude Null
„Bauch“:
maximale
Amplitude
t
104
Beispiel: „Orgelpfeife“
1. Gasgefülltes Rohr, beidseitig geschlossen
u(x,t)
an den Enden
kann sich das Gas
nicht bewegen:
u=0
u(x,t)
l
Durch Reflektion an den Enden bilden sich stehende Wellen
Auslenkungsprofil in der Grundmode:
u(x,t)
x
l
λ/2
Für die Grundmode gilt also:
λ
2
Frequenz:
=l
λ = 2l
⇒
f0 =
vs
λ
=
vs
2l
( Luft: für l = 1m erhält man f = 165 1/s )
105
1. Oberton
u(x,t)
vs
f1 = = 2 f 0
l
x
l
λ =l
2. Oberton
u(x,t)
f2 =
x
l
3 vs
= 3 f0
2 l
λ = 2l / 3
usw.
Damit: die Frequenzen der Moden eines geschlossenen Rohrs
sind gegeben durch:
f =n
vs
2l
n = 1,2,3,...
Für den Druck in einer Welle gilt:
p ( x, t ) = p 0 −
1 ∂
u ( x, t )
κ ∂x
106
Damit ergibt sich für ein Auslenkungsprofil
u(x,t)
x
l
folgendes Druckprofil:
p(x,t)
p0
l
x
Der Druck hat „Bäuche“ an den Rohrenden!
2. Gasgefülltes Rohr, halboffen
u(x,t)
u(x,t)
l
Druck kann sich nicht
aufbauen:
Druckknoten
Gas kann sich nicht
bewegen:
Druckbauch
Alle erlaubten Moden haben also Druckbäuche (Auslenkungsknoten)
bei x=0 und Druckknoten (Auslenkungsbäuche) bei x=l .
107
Grundton:
p(x,t)
Druck
p0
l
λ/4
x
u(x,t)
Auslenkung
x
l
Frequenz:
f 0=
vs
λ
=
vs
4l
1. Oberton:
p(x,t)
p0
l
u(x,t)
x
3λ / 4
f 1=
x
l
3 vs
= 3 f0
4 l
108
2. Oberton:
p(x,t)
p0
l
u(x,t)
x
5 vs
= 5 f0
f 2=
4 l
5λ / 4
x
l
Die Frequenzen der Moden eines geschlossenen Rohrs
sind also gegeben durch:
f = ( 2n − 1)
vs
4l
n = 1,2,3,...
Nur ungerade Harmonische (Vielfache der Grundfrequenz)
sind erlaubt!
109
7.5 Doppler-Effekt
Bewegt sich die Quelle im wellentragendem Medium, werden
Wellenlänge und Frequenz richtungsabhängig.
λ2
λ1
Quelle
∆x = vτ
Eine Quelle sende Wellen der Frequenz f0 aus. Zwischen dem
Aussenden zweier Wellenberge legt die Quelle eine Strecke ∆x
zurück, wodurch sich der Abstand der Wellenberge verändert.
Wellenlänge in Bewegungsrichtung:
λ1 = λ0 − ∆x = λ0 − vτ = λ0 −
∆x
f0
Wellenlänge entgegen der Bewegungsrichtung:
λ1 = λ0 + ∆x = λ0 + vτ = λ0 +
∆x
f0
Frequenz in Bewegungsrichtung
f1 =
c
λ1
=
c
v
λ0 −
f0
=
c
c
v
−
f0 f0
=
1
v
1−
c
f0
( > f 0 !)
110
Frequenz entgegen der Bewegungsrichtung
f2 =
c
λ2
=
c
v
λ0 +
f0
=
c
c
v
+
f0 f0
=
1
v
1+
c
f0
( < f 0 !)
Zusammengefasst:
v
f = (1 ± ) −1 f 0
c
Doppler-Effekt
7.6 Wellen im dreidimensionalen Raum
Wellen in Räumen verschiedener Dimension
1D
2D
f ( x, t ) = u 0 cos(kx − ωt )
f ( x, y, t ) = u 0 cos(k r − ωt )
 kx 
k =  ;
ky 
3D
 x
r = 
 y
f ( x, y, z , t ) = u 0 cos(k r − ωt )
k 
 x
k =  k y ;
 
 kz 
 x
 
r =  y
 
z
111
genauer:
f ( x, y , z , t ) = u 0 cos(k r − ωt )
ω k
v= k k
y
ebene Welle
λ
x
Wellenberge
1
f ( x, y , z , t ) = u 0 cos(k r − ωt )
r
y
Kugelwelle
λ
ω r
v= k r
x
Wellenberge
Vorfaktor 1/r: Intensität nimmt mit Entfernung zur Quelle ab.
112
7.6.1 Huygens-Prinzip
Die Ausbreitung einer Welle im Raum kann konstruiert werden,
indem jeder Punkt eines Wellenbergs als Quelle einer Kugelwelle
angesehen wird.
λ
Nach der Zeit
τ = λ /v
ist der Radius der Kugelwelle
r= λ; alle Teilwellen überlagern
sich zu einem neuen
Wellenberg
Wellenberg
neuer
Wellenberg
Reflexion an Oberflächen:
neuer Wellenberg
einlaufender
Wellenberg
v
Auftreffpunkt bewegt sich
Von den Auftreffpunkten auslaufende Kugelwellen
113
v
v'
v
v'
α α'
Es gilt α = α '
Einfallswinkel=Ausfallswinkel
Beugung an Wand:
Kugelwellen
Welle dringt in
abgeschatteten
Bereich ein!
(allerdings mit
geringer Intensität)
Beugung an kleinem Loch:
Kugelwellen bilden
Kugelwelle!
Ein von einer ebenen
Welle beleuchtetes
kleines Loch wirkt
wie eine Punktquelle!
114
7.7 Resonanz und Dämpfung
Jede Schwingung unterliegt einer Dämpfung
⇒ freie Schwingungen haben eine endliche Lebensdauer!
7.7.1 gedämpfter harmonischer Oszillator
Differentialgleichung
ma = Fges = FD + FR
D
muɺɺ = − Du − β uɺ
m
Reibungskraft
(Stokes)
Federkraft
Flüssigkeit
⇒
Lösung:
muɺɺ(t ) + β uɺ (t ) + Du (t ) = 0
u (t ) = u 0 e −t / t cos(ω t + ϕ )
L
mit:
tL =
ω=
2m
β
Lebensdauer
D 1
− 2
m tL
Frequenz
115
u0 u(t)
Graph:
Abfall mit
Lebensdauer tL
t
-u0
7.7.2 getriebener gedämpfter
harmonischer Oszillator
Die Schwingungsamplitude bleibt zeitlich konstant, wenn eine
äußere Kraft die Dämpfung kompensiert.
Differentialgleichung:
D
ma = FD + FR + FA
muɺɺ(t ) + β uɺ (t ) + Du (t ) = F0 cos ωt
m
treibende Kraft
FA(t)
116
Lösung:
u (t ) = u 0 cos(ωt + ϕ )
ω : Frequenz (durch äußere Kraft
vorgegeben)
ϕ : Phasenverschiebung der Schwingung
gegenüber treibender Kraft
u0 : Amplitude
mit
Es ist:
F0 / m
u0 =
(
D
4
− ω 2 )2 + 2 ω 2
m
tL
tL =
mit
2m
β
Diskussion:
für
ω→∞
:
u0 → 0
ω→0
:
u0 →
F0
D
quasistatisch!
(F/D ist die normale Auslenkung
einer Feder)
D
ω→
m
:
F0 t L
u0 →
m 2ω
kann sehr groß
werden! (für große tL)
117
Graphen:
u0
Amplitude
ω
D
m
ω
0
Phase
um π/2 versetzt
in Phase
-π
ϕ
in Gegenphase
119
120
8.1 Temperaturskala
8. Wärmelehre
Temperatur T
Wärmeenergie:
Temperatur:
kinetische und potentielle Energie, die ein
System bei Temperaturänderung aufnimmt
oder abgibt
Maß für mittlere kinetische Energie eines
Systems (im Schwerpunktssystem)
Bemerkung: potentielle und kinetische Energie nehmen
mit der Temperatur zu; aber nur die kinetische Energie
ist streng proportional zur Temperatur
Definition:
Einheit Kelvin [K]
0K:
absoluter Nullpunkt
(keinerlei kinetische Energie
mehr im System)
273.16 K: Tripelpunkt des Wassers
(Eis, Wasser und Dampf sind
gleichzeitig vorhanden;
der Druck beträgt 612 Pa)
Damit ist die gesamte Temperaturskala festgelegt!
Bemerkung: Die Kelvin-Skala entspricht der Celsius-Skala,
sie ist nur verschoben.
Gleichverteilungssatz:
Jeder Freiheitsgrad eines Systems ist im zeitlichen Mittel
mit der Energie
1
E = k BT
2
angeregt.
kB: Boltzmann-Konstante
kB = 1.381*10-23 J/K
Die Celsius-Skala ist definiert über
0° C :
Schmelzpunkt des Wassers
bei 1.013 bar (273.15 K)
100° C : Siedepunkt des Wassers bei
1.013 bar (373.15 K)
121
Temperaturmessung:
122
Thermometer
Thermometer
∆x
Kapillare
(Radius r)
Ausnutzung thermischer Effekte:
Flüssigkeit
(Volumen V0)
• Materialausdehnung
• elektrischer Widerstand
• thermoelektrische Spannung
Eine geringe Veränderung des Volumens erzeugt eine
starke Verschiebung in der Kapillare
• Strahlungsleistung
∆V = γ V0 ∆T = π r 2 ∆x
• etc.
⇒
∆x =
Einfach: thermische Ausdehnung
Längenausdehnung:
l = l0 (1 + α T )
α: Ausdehnungskoeffizient
Werte:
Volumenausdehnung:
Eisen
Quartz
α = 12*10-6 1/K
α = 0.51*10-6 1/K
V = V0 (1 + γ T )
γ: Volumenausdehnungskoeffizient
Werte:
Benzol
γ = 10.6*10-4 1/K
Quecksilber γ = 1.8*10-4 1/K
V0
γ ∆T
πr2
Durch Wahl von Volumen und Kapillarradius läßt sich
die Verschiebung ∆x für eine gegebene Temperaturveränderung
beliebig groß machen!
8.2 Freiheitsgrade
Freiheitsgrad: jede verallgemeinerte Orts- und Impulsvariable
eines Systems, die quadratisch in die Gesamtenergie
eingeht (ausgenommen Schwerpunktskoordinaten)
Konkret: jede unabhängig wählbare kinetische Energie und
(bei Vibrationen) potentielle Energie bildet einen Freiheitsgrad
123
1-atomiges ideales Gas
Beispiel:
124
2-atomiges ideales Gas
Beispiel:
m
Atom
v
ω
für ein Atom gilt:
1 E kin = m v 2
2
m
r
1
1
1
2
2
2
= mv x + mv y + mv z
2
2
2
3 unabhängige Energien
⇒ 3 Freiheitsgrade (f=3)
hier ist die kinetische Energie eines Moleküls:
m
1 1 m
D
E kin = M v 2 + Jω 2 + rɺ 2 + r 2
2
2
4
2
3
Freiheitsgrade:
E ges = N At f
1
3
k BT = N At k BT
2
2
1 +
1 = 8
f=5
Die Gesamtenergie des Gases ist damit:
E ges =
Beispiel:
5
N At k BT
2
Festkörper
Energie pro Atom
m
⇒
und damit git für die mittlere (quadratische) Geschwindigkeit:
3
v 2 = k BT
m
+
(die Rotation um die Molekülachse und die Vibration
werden nicht angeregt)
Die mittlere kinetische Energie pro Atom ist also:
1 3
E kin = m v 2 = k BT
2
2
3
Aber: wegen quantenmechanischer Effekte sind Rotationen
mit kleinem Trägheitsmoment und Molekülvibrationen bei
Zimmertemperatur meist nicht angeregt
⇒
Gesamtenergie des Gases (mit NAt Atomen):
+
Gesamtenergie:
1 1 E = mv 2 + Dr 2
2
2
f=3 + 3 = 6
E ges = 3 N At k BT
125
126
8.3 Kinetische Gastheorie: Gasdruck
Definition: Wärmekapazität C
C=
Es ist
dQ
dT
Q: zugeführte Wärmenergie
Fläche
A
Die Wärmekapazität gibt das Verhältnis aus zugeführter Wärme
und Temperaturerhöhung an.
CV =
Bei festem Volumen:
dQ dEges
=
dT
dT
Druck entsteht durch
Impulsübertrag bei
Stößen der Gasteilchen
mit der Wand
Gasgefülltes Volumen
Abschätzung der Zahl der Stöße mit der Wand
Damit werden die Wärmekapazitäten für die gegebenen Beispiele:
1-atomiges Gas
CV = 3/2 N kB
2-atomiges Gas
CV = 5/2 N kB
Festkörper
CV = 3 N kB (Dulong-Petit)
Annahme: alle Teilchen haben die gleiche Geschwindigkeit v
und bewegen sich nur in x-, y- oder z-Richtung
⇒ im Zeitraum ∆t treffen 1/6 der Teilchen im Volumen
v ∆t A auf die Fläche A
Die Zahl der Stöße ist also
Definition: spezifische Wärmekapazität
Festkörper:
1 dQ
cV =
m dT
k
1
1
cV = 3 Nk B =
3 Nk B = 3 B
m
NmAt
mAt
Je größer die Atommasse, desto kleiner die spez. Wärmekapazität!
mAt
3kB/mAt
cV (Exp.)
Blei
207 amu
120 J/K kg
129 J/K kg
Alu
27 amu
918 J/K kg
896 J/K kg
1
z = nv∆tA
6
Der Impulsübertrag dabei ist:
1
∆p = 2 zmv = nmv 2 A∆t
3
Dies erzeugt eine Kraft:
F=
∆p 1
= nmv 2 A
∆t 3
n: Teilchendichte
n=
N At
V
127
8.4 1. Hauptsatz
und damit den Druck:
F 1
2 m
= nmv 2 = n v 2
A 3
3 2
2
2 3
N
= nE kin = n k BT = nk BT = k BT
3
3 2
V
p=
Die Zustandsgleichung des idealen Gases lautet damit:
pV = Nk BT
In molaren Einheiten:
Definition:
Avogadro-Zahl NA (Zahl der Atome pro mol)
1 mol Atome
⇒
128
12C
Es gilt immer Energieerhaltung:
∆U = ∆Q + ∆W
Zugeführte Wärme (∆Q) oder am System geleistete Arbeit (∆W)
erhöht die innere Energie (U) des Systems.
Andere Formulierung: es gibt kein perpetuum mobile, d.h. eine
Maschine, die Arbeit leistet, ohne Energie zu verbrauchen
(also ohne die innere Energie des Systems zu senken oder Wärme
zugeführt zu bekommen).
Beispiel: ein ideales Gas leistet Arbeit bei Erwärmung
haben eine Masse von 12g
F (konstant)
NA = 6.022*1023 1/mol
dx
Damit:
Kolben
pV = Nk BT = N mol N A k BT = N mol RT
R = NAkB = 8.31 J/Kmol
Universelle Gaskonstante
Hier gilt dann:
V = N mol
RT
= 22.4 l
p
Volumen eines idealen Gases mit 1 mol Teilchen
bei Normalbedingungen (p=1.013*105 Pa, T=273.15 K)
1. Hauptsatz
die geleistete Arbeit ist Druckarbeit:
dW = Fdx = pAdx = − pdV
Veränderung innere Energie:
Gas
(T → T + dT)
dU = N At
f
k B dT
2
Damit wird folgende Wärme bei der Temperaturänderung zugeführt:
f
k B dT + pdV
2
f
f +2
= N k B dT + Nk B dT = N
k B dT
2
2
dQ = dU − dW = N
129
Bei Erwärmung dehnt sich das Gas aus und leistet Druckarbeit
gegen die Umgebung; daher muss für die Erwärmung mehr
Energie zugeführt werden als bei einem Gas mit festem Volumen.
130
Bei einer adiabatischen Zustandsänderung gilt:
dU = − pdV
Für ein ideales Gas also:
Die Wärmekapazität bei festem Druck ist damit:
Cp =
f
Nk T
Nk B dT = − B dV
2
V
dV
fV
⇒
=−
dT
2T
dQ
f +2
=N
kB
dT
2
Die Wärmekapazität bei festem Volumen war:
CV =
dQ dU
f
=
= N kB
dT dT
2
Die Lösung für eine Differentialgleichung
d
a
f ( x) = − f ( x)
dx
x
Hieraus ergibt sich das Verhältnis der beiden Wärmekapazitäten:
Cp
CV
=
f +2
=γ
f
Adiabatenkoeffizient
f ( x) = cx −a
V (T ) = cT
Damit erhält man:
8.5 Zustandsänderungen
Änderungen eines Systems können unter verschiedenen
Bedingungen stattfinden:
• isotherm :
• isochor :
• isobar :
• adiabatisch :
lautet
T konstant
V konstant
p konstant
∆Q=0 (kein
Wärmeaustausch)
−
(c frei wählbar)
f
2
Hat das Gas bei Temperatur T0 das Volumen V0, gilt
−
V (T0 ) = cT0
also insgesamt
f
2
= V0
und damit
T 
V = V0  
 T0 
−
f
2
c = V0T0
T 
= V0  
 T0 
1
1−γ
f
2
131
Mit
pV = Nk BT
lässt sich dies erstens umformen in:
1
1−γ
 pV / Nk B 
V = V0 

 p0V0 / Nk B 
1−γ
p V0  V 
=
p0 V  V0 
bzw.
oder zweitens:
bzw.
1
1−γ
 p
= V0  
 p0 
V 
= 
 V0 
V 
 
 V0 
Ein Gas kann Arbeit leisten; wieviel, hängt von der Art der
Zustandsänderung ab.
Isobare Expansion: ein Gas wird bei konstantem Druck erwärmt,
wodurch es sich ausdehnt. Die geleistete Arbeit ist:
−γ
1−γ
T 
= 
 T0 
∆W = p∆V = p (V2 − V1 )
1
1−γ
T 
V = V0  
 T0 
V 
p = p0  
 V0 
1 dV 1
=
V dp γp
8.6 Druckarbeit
Zusammenfassung: für adiabatische Zustandsänderungen
des idealen Gases gilt
−γ
κ =−
−γ
Nk BT / p  T 
=
Nk BT0 / p0  T0 
p T T 
=
p0 T0  T0 
Die adiabatische Kompressibilität ist daher:
1
1−γ
1
1−γ
−1
1−γ
132
Adiabatische Expansion: ein komprimiertes Gas wird ohne
Wärmezufuhr langsam expandiert. Die Arbeit ist dann
∆W = ∆U − ∆Q = ∆U = U (T1 ) − U (T2 )
also die Differenz der inneren Energien. Beim idealen Gas
gilt
γ −1
2/ f
U=N
γ
 T  γ −1

p = p0  
 T0 
also
f
k BT
2
und
T1  V2 
=
T2  V1 
V 
= 2 
 V1 
V 
f
f
∆W = N k B (T1 − T2 ) = N k BT1 (1 −  1 
2
2
 V2 
2/ f
)
133
Isotherme Expansion: das Gas wird bei konstanter Temperatur
expandiert. Der Druck hängt hier vom Volumen ab. Die
Druckarbeit ist:
V
∆W =
Für das ideale Gas gilt:
∆W =
V2
∫
V1
2
∫ pdV
134
8.7 Entropie
Die Entropie eines Systems ist gegeben durch (statistische
Definition):
S = k B ln P
V1
NK BT
V
dV = NK BT ln( 2 )
V
V1
P ist die Wahrscheinlichkeit des „normalen“ Systemzustands
(da ungeordnete Zustände häufig wahrscheinlicher sind als
geordnete, ist die Entropie auch ein Maß für die „Unordnung“)
Die geleistete Arbeit hängt also von der Temperatur ab!
Für reversible Vorgänge gilt (phänomenologische Definition):
Dies erlaubt die Erzeugung von Arbeit durch eine
Wärmekraftmaschine!
∆S =
Möglicher Zyklus:
1. Erwärmung eines Gases von T1 auf T2
2. isotherme Expansion von V1 auf V2 (bei T2)
3. Abkühlung des Gases von T2 auf T1
4. isotherme Kompression von V2 auf V1
T2
Q2
Kontakt mit
Wärmebad 1
Für die geleistete Arbeit gilt:
W
Q1
T1
Kontakt mit
Wärmebad 2
Maschine
W≤
T2 − T1
Q2
T2
∆Q
T
Beispiel: isotherme Expansion eines idealen Gases
V1
p1, T
Druckarbeit:
Entropieänderung
damit:
V2
p2, T
∆W = Nk BT ln
∆S =
V2
= ∆Q
V1
∆Q
V
= Nk B ln 2
T
V1
(∆U = 0)
135
Statistisch: Wahrscheinlichkeit für ein Teilchen in V2, sich in
einem Teilvolumen mit Ausdehnung V1 aufzuhalten:
P=
V1
V2
136
8.8 2. Hauptsatz
Für die Gesamtentropie eines Systems und seiner Umgebung
gilt bei allen Vorgängen:
∆S ≥ 0
Wahrscheinlichkeit für N Teilchen, sich alle in V1 aufzuhalten:
V 
P =  1 
 V2 
Das Gesamtsystem geht nicht von selbst in einen
unwahrscheinlicheren Zustand über!
N
Ordnet man auch dem Zustand „alle Teilchen in V2“ eine
Wahrscheinlichkeit zu, erhält man:
Die Gesamtentropie erlaubt dabei einer Klassifikation der
Vorgänge:
reversibler Vorgang:
N
V 
PV1 =  1  PV2
 V2 
irreversibler Vorgang:
∆S = 0
∆S > 0
Andere Formulierungen des zweiten Hauptsatzes:
Entropieänderung bei Volumenzunahme damit:
∆S = S 2 − S1 = k B ln PV2 − k B ln PV1
PV2
1. Es gibt kein perpetuum mobile zweiter Art (dieses erzeugt
Arbeit bei Abkühlung eines Wärmereservoirs ohne Erwärmung
eines anderen)
N
V
V
= k B ln
= k B ln( 2N ) = Nk B ln 2
PV1
V1
V1
Es ergibt sich das gleiche Ergebnis!
2.
Es gibt keine Wärmekraftmaschine, die einen besseren
Wirkungsgrad hat als die Carnot-Maschine, d.h. besser
als
η=
W T2 − T1
=
Q
T2
137
8.9 Reale Gase
Reale Gase zeigen eine Abweichung vom idealen Verhalten
wegen der Wechselwirkung der Gasteilchen untereinander.
Näherungsweise lassen sie sich beschreiben durch die
Van-der-Waals-Gleichung:
(p+
a
)(V − b) = Nk BT
V2
„Binnendruck“
„Kovolumen“
Der Binnendruck ensteht durch die Anziehung der Teilchen
untereinander (van-der-Waals-Wechselwirkung) und erhöht
die Kompression des Gases. Das Kovolumen beschreibt die
endliche Ausdehnung der Teilchen, aufgrund derer das
Gas nicht beliebig dicht zusammengepresst werden kann.
Aufgelöst nach dem Druck:
p=
Nk BT a
−
V −b V 2
Kritischer Punkt
Flüssigkeit
Phasengemisch
Gas