Unterlagen_27.9.11

2011
Brigitte Wessenberg, Erwin Höferer
Tagungsunterlagen 27. September, Klagenfurt
Tagungsleitung: Erika Staudecker
ORT: WIMO, Fromillerstrasse 15, Klagenfurt
Inhalt:
1. Grundlegendes zur schriftlichen Reifeprüfung
1.1 Kriterien und Beurteilungsschema bei den Testaufgaben
1.2 Kompetenzorientierung: Kompetenzlisten der HUM
2. Von der Unterrichtsaufgabe zu Testaufgabe
2.1 Methodik bei Unterrichtsaufgaben
2.2 Testaufgaben-Entwicklung
3. Grundlegendes zur mündlichen RP
3.1 Lehrstoff und Aufbau der Aufgaben
3.2 Umgang mit der Plattform
4. Technologieeinsatz am Beispiel der Matrizenrechnung
4.1 Kurze Einführung zu Matrizen
4.2 Demonstration einiger Beispiele
Programm zur Tagung der Landes-Arge angewandte Mathematik, humanberufliche Schulen
Klagenfurt 27.9. 2011
Teilnehmer: Mathematik-Lehrer: HUM, BAKIP, HLFS aus Kärnten
Leitung:
Erika Staudecker, Landes-Arge-Leiterin AM- HUM
Referenten: Brigitte Wessenberg und Erwin Höferer
Betreuung der Workshops: Höferer, Staudecker und Wessenberg
2
1. Grundlegendes zur schriftlichen RP
1.1. Kriterien der Testaufgaben
An den HUM, HLFS und BA ist die schriftliche RDP gleichwertig einer mündlichen RDP, die am
Schulstandort zusammengestellt wird. Schülerinnen und Schüler haben die Wahl.
Die schriftliche RDP ist zentral mit Aufgaben, die im BIFIE von den Itemwriters erstellt. Das ist eine
Gruppe von über 20 Lehrern aus Österreich, je mindestens 2 Lehrer in den folgenden 9 Clusters.
Cluster 1: Bautechnik, Holztechnik und Innenraumgestaltung, Kunst und Design (HTL)
Cluster 2: Elektrotechnik, Elektronik, Biomedizin und Gesundheitstechnik
Cluster 3: Maschineningenieurwesen, Mechatronik, Werkstoffingenieurwesen,
Wirtschaftsingenieurwesen, Betriebsmanagement, Waffentechnik
Cluster 4: Informationstechnologie, Elektronische Datenverarbeitung und Organisation
Cluster 5: Chemie, Chemieingenieurwesen, Lebensmitteltechnologie
Cluster 6: Wirtschaftliche Berufe, Tourismus, Mode und Design, Kunst (HUM), Medientechnik und
Medienmanagement
Cluster 7: Landwirtschaftliche Schulen, Landtechnik, Forstwirtschaft
Cluster 8: Kaufmännische Schulen
Cluster 9: Bildungsanstalten für Kindergartenpädagogik, Bundesinstitute für Sozialpädagogik
Zusätzlich wird dieses Team begleitet von 2 Univ.-Profs und von einem sogenannten Psychometriker,
der die Testbarkeit der Aufgaben sicherstellt.
Die bereits erstellten Aufgaben werden ab Herbst 2011 einer österreichweiten Feldtestung
unterzogen, wobei hier nicht ein Notenergebnis zählt, sondern es wird die Lesbarkeit, die
Verständlichkeit und auch die Brauchbarkeit der Inhalte überprüft.
https://www.bifie.at/node/81
Es ist vereinbart worden, dass Aufgaben so gestellt werden, dass ein Teil für alle Cluster gemeinsam
ist (TeilA) und ein weiterer Teil schulspezifische Inhalte und Kompetenzen abfragt (Teil B),
wobei A:B = 1:1.
Die Aufgaben sind in unabhängige Unteraufgaben geteilt (bis zu 4 max). Jede Unteraufgabe kann in
Teil A bis zu 2 Kompetenzen enthalten und sollte daher mit einem Bewertungsschema 0,1,2
beurteilbar sein, wobei eine genaue Beschreibung vorliegt, wofür diese Punkte vergeben werden.
Diese Vereinbarung wird zunächst in den Feldtestungen auf ihre Brauchbarkeit geprüft. Daher ist sie
vorläufig noch nicht bindend.
3
Beispiel für eine mögliche Testaufgabe aus Teil A
Temperaturanstieg einer Lösung in einem Labor
Eine Lösung wird in einem Labor aus dem Kühlschrank (Temperatur T1 = 2°C) genommen und in einen
Raum mit der Umgebungstemperatur T2 = 22°C gebracht. Die Lösung erwärmt sich nach der Formel
T(t)  T2   T2  T1   0.951t (T in °C, t in Minuten).
a) Geben Sie an, welche der folgenden Grafen den Temperaturanstieg für diesen Fall richtig
wiedergibt. Begründen Sie Ihre Wahl, indem Sie Merkmale der Kurve erläutern, die mit dem
Temperaturanstieg vereinbar sind!
(3-D)
Abb IV 4
Abb IV 3
b) Die Lösung muss bei einer Temperatur von 12°C weiter verarbeitet werden. Berechnen Sie, wie
lange es dauert, bis die Lösung nach Entnahme aus dem Kühlschrank auf diese Temperatur kommt.
Geben Sie die Zeit in Minuten und Sekunden an.
(3-B)
Für Teil B gibt es noch keine fixe Vereinbarung. Wahrscheinlich können hier mehrere Punkte pro
Unteraufgabe geplant werden (wahrscheinlich bis zu 4!) und es ist daher möglich, innerhalb einer
Unteraufgabe voneinander abhängige Aufgabenstellungen zu behandeln.
Beispiel Hum-spezifisch
Reiseangebot
Ein Reiseunternehmen will zwei Reisen aus seinem Angebot wirtschaftsmathematisch überprüfen
lassen.
a) Der Reiseanbieter stellt fest, dass eine Ausflugsfahrt in die Wachau bei einem Preis von
€ 199,- pro Person von 80 Gästen gebucht wird. Bei einer Preissteigerung auf
€ 209,- pro Person sinkt die Nachfrage auf 60 Gäste. Stellen Sie die lineare Funktion p(x) auf, die
den Zusammenhang zwischen Preis und Nachfrage beschreibt.
(B6_3-A)
b) Beschreiben Sie allgemein den Verlauf einer möglichen linearen Preis-Nachfrage-Funktion p(x)
anhand einer Skizze.
Gehen Sie dabei auf die Schnittpunkte mit den beiden Achsen ein und geben Sie an, welche
Größen hier abgelesen werden können und was sie bedeuten.
(B6_3-C,D)
4
c) Die Erlösfunktion, die die Einnahmen dieses Reiseanbieters bei einer Ausflugsfahrt zu den
Krimmler Wasserfällen beschreibt, lautet:
E(x) = - 0.3x² + 297x.
Berechnen Sie, bei welcher Gästezahl der größtmögliche Erlös zu erwarten ist und zu welchem
Preis pro Person die Reise in diesem Fall angeboten werden kann.
(B6_4-B)
d) Der Reiseanbieter kalkuliert die Ausflugsfahrt zu den Krimmler Wasserfällen mit € 84,- pro
Person. Zusätzlich zu diesen variablen Kosten fallen Fixkosten für Treibstoff, Busfahrer,
Reisebegleiter, Eintrittsgelder etc. an. Bestimmen Sie welchen Betrag die Fixkosten annehmen
können, damit das Angebot gerade noch kostendeckend ist. Bestimmen Sie auch den
zugehörigen Preis, zu dem die Ausflugsfahrt verkauft werden muss, damit genau dieser
kostendeckende Fall eintritt.
(B6_4-A,B)
1.2 Kompetenzorientierung, die Kompetenzlisten
Aufgrund dieser Item-Erstellung (Item nennt sich eine Unteraufgabe) mussten genaue
Kompetenzlisten erstellt werden, die verbindlich für die Lehrer im Unterricht anzusehen sind:
Liste Teil A: https://www.bifie.at/system/files/dl/srdp_am_grundkompetenzen_2011-02-24.pdf
1.1 Kompetenzliste zu Cluster 6
Wirtschaftliche Berufe, Tourismus, Mode & Design, Kunst (HUM), Medientechnik und Medienmanagement
2. Algebra und Geometrie
Inhalt
Formulierung des Deskriptors: Inhalt +Handlung
Den Begriff des Logarithmus und die logarithmischen Rechengesetze
kennen und anwenden
lg(ab) = lga+lgb, lg (a /b)=lga - lgb lgan = nlga
B6_2.2
Exponentialgleichungen oder Gleichungen, die trigonometrische
Funktionen enthalten in Anwendungsbereichen mit Technologieeinsatz
lösen und die Lösung(en) interpretieren
B6_2.3
Den Lösungsbereich linearer Ungleichungen und linearer
Ungleichungssysteme mit 2 Variablen bestimmen und interpretieren
B6_2.4
Lineare Optimierung einer Zielfunktion modellieren, mit geeignetem
Technologieeinsatz durchführen, den Lösungsweg erklären und
begründen, das Ergebnis interpretieren
B6_2.5
Addition, Subtraktion und Skalarmultiplikation mit Vektoren und
*)
Matrizen in wirtschaftlich relevantem Kontext durchführen und
Ergebnisse interpretieren
*) Nicht 2015! Erst 5 Jahre nach Einführung des neuen Lehrplans
A
C
D
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
B6_2.1
5
B
x
x
3. Funktionale Zusammenhänge
Inhalt
Formulierung des Deskriptors: Inhalt +Handlung
A
B
C
D
B6_3.1
Den Begriff der Umkehrfunktion argumentieren
B6_3.2
Das Bildungsgesetz von geometrischen Folgen verstehen und anwenden
x
x
B6_3.3
Die Summenformel für endliche geometrische Reihen anwenden
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
A
B
C
D
x
x
x
B6_3.4
B6_3.5
B6_3.6
B6_3.7
B6_3.8
Zinseszins auf Grundlage der geometrischen Folgen modellieren und
interpretieren, sowie Berechnungen durchführen und die Ergebnisse
argumentieren
Rentenrechnungen auf der Grundlage geometrischer Reihen
modellieren, ausführen und interpretieren können,
Sparformen mathematisch modellieren, berechnen, dokumentieren
und interpretieren
Kredite und Schuldtilgung mathematisch modellieren, berechnen,
dokumentieren und interpretieren
Kontinuierlich begrenzte, unbegrenzte sowie logistische Zu- und
Abnahmeprozesse mit Exponentialfunktionen beschreiben, mit den
Gleichungen Berechnungen durchführen und die Ergebnisse
dokumentieren und interpretieren
x
4. Analysis
Inhalt
B6_4.1
B6_4.2
B6_4.3
B6_4.4
B6_4.5
B6_4.6
B6_4.7
B6_4.8
Formulierung des Deskriptors: Inhalt +Handlung
Differenzen- und Differentialquotient als Änderungsraten verstehen
und zur Lösung von Aufgaben einsetzen
Potenz-, Polynom- und Exponentialfunktionen differenzieren
Mit den Modellen der Kostentheorie umgehen, sie erklären und
Berechnungen zu Gesamt- und Durchschnittskosten durchführen sowie
die Ergebnisse interpretieren und dokumentieren
Mit den Modellen der Preistheorie umgehen, sie erklären und
Berechnungen zu Nachfrage und Erlös durchführen sowie die
Ergebnisse interpretieren und dokumentieren
Mit den Modellen der Preistheorie umgehen, sie erklären und
Berechnungen zum Gewinn durchführen sowie die Ergebnisse
interpretieren und dokumentieren
Relevante Extremwertprobleme modellieren und transferieren,
Rechnungen durchführen und Ergebnisse argumentieren.
Das bestimmte Integral als orientierten Flächeninhalt deuten und
Flächen von Potenz- und Polynomfunktionen berechnen
Das bestimmte Integral beliebiger Funktionen mit Technologieeinsatz
berechnen
6
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
5. Stochastik
Inhalt
B6_5.1
B6_5.2
B6_5.3
B6_5.4
B6_5.5
B6_5.6
B6_5.7
B6_5.8
Formulierung des Deskriptors: Inhalt +Handlung
A
B
C
D
Daten erheben und die beschreibende Statistik auf berufsfeldbezogene
Untersuchungen anwenden
Datenmanipulierbarkeit argumentieren
x
x
x
x
Häufigkeitsverteilungen von eindimensionalen Daten grafisch
darstellen: Stab, Säule, Balken, Kreis, Torte, Histogramm, Boxplot
sie interpretieren und bewerten
Mittelwerte und Streuungsmaße berechnen und interpretieren:
Arithmetisches Mittel und Standardabweichung, Modus, Median und
Spannweite, Quartile und Quartilsabstand
Regression von zweidimensionalen Datenmengen anschaulich erklären,
mit Technologieeinsatz bestimmen und die Ergebnisse interpretieren
Die Binomialverteilungen im Kontext nutzen und interpretieren
(Erwartungswert, Varianz, Wahrscheinlichkeits- und
Verteilungsfunktion)
Die Normalverteilung im Kontext nutzen und interpretieren
Die Bedeutung von Erwartungswert µ und Standardabweichung σ in
Bezug auf die Normalverteilungskurve erkennen und argumentieren
7
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
1.2 Kompetenzliste zu Cluster 7
Landwirtschaftliche Schulen, Landtechnik, Forstwirtschaft
2. Algebra und Geometrie
Inhalt
B7_2.1
B7_2.2
B7_2.3
Formulierung des Deskriptors: Inhalt +Handlung
Lineare Ungleichungssysteme mit zwei Variablen bestimmen; die
optimale Lösung einer Zielfunktion berechnen und interpretieren
Bestimmungsstücke im allgemeinen Dreieck berechnen
Flächeninhalt von allgemeinen Dreiecken berechnen
A
B
C
x
x
x
D
x
x
3. Funktionale Zusammenhänge
Inhalt
B7_3.1
B7_3.2
B7_3.3
Formulierung des Deskriptors: Inhalt +Handlung
Logistische Wachstumsfunktion und exponentielle Sättigungsfunktion
erkennen; die Parameter, die das Verhalten der Funktionen bestimmen,
berechnen und interpretieren
Rentenrechnung auf der Grundlage von geometrischen Reihen
modellieren, berechnen und interpretieren (Zinsperiode =
Rentenperiode)
Lineare Funktionen und Polynomfunktionen als Modell für
Aufgabenstellungen aus der Wirtschaft modellieren, berechnen und
interpretieren
A
B
C
D
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
A
B
C
D
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
A
B
C
D
x
x
x
x
x
4. Analysis
Inhalt
B7_4.1
B7_4.2
B7_4.3
Formulierung des Deskriptors: Inhalt +Handlung
Integrale als multiplikative Größen aus Naturwissenschaft und Technik
mit Grundfunktionen interpretieren und numerisch oder mit
Technologieeinsatz berechnen
Integrale für Aufgabenstellungen aus der Wirtschaft mit
Grundfunktionen interpretieren sowie numerisch und mit Technologie
berechnen
Modelle der Preis- und Kostentheorie erklären, berechnen und
interpretieren (Nachfrage, Erlös, Gewinnanalyse, Betriebsoptimum,
Kostenkehre)
5. Stochastik
Inhalt
B7_5.1
B7_5.2
Formulierung des Deskriptors: Inhalt +Handlung
Die Normalverteilung kennen und im Kontext nutzen und interpretieren
(Mittelwert, Varianz, Wahrscheinlichkeits- und Verteilungsfunktion)
Die lineare Regression und Korrelation von zweidimensionalen
Datenmengen anschaulich erklären, mit Technologie berechnen und
interpretieren
8
x
1.3 Kompetenzliste zu Cluster 9
Bildungsanstalten für Kindergartenpädagogik, Bundesinstitute für Sozialpädagogik
1. Zahlen und Maße
Inhalt
B9_1.1
Formulierung des Deskriptors: Inhalt +Handlung
Verknüpfungen von Mengen (Durchschnitt, Vereinigung und
Differenz) ermitteln, grafisch darstellen und interpretieren
A
B
C
D
x
x
x
x
2. Algebra und Geometrie
Inhalt
B9_2.1
B9_2.2
B9_2.3
Formulierung des Deskriptors: Inhalt +Handlung
A
B
C
D
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
A
B
C
D
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Probleme aus verschiedenen relevanten Anwendungsbereichen in
Form von Gleichungen modellieren und die Ergebnisse in Bezug auf die
Problemstellung interpretieren und dokumentieren
Definitionen von Vektor und Matrix kennen, zweidimensionale
Vektoren im Koordinatensystem darstellen können, Addition,
Subtraktion, Multiplikation mit einem Skalar sowie Skalarprodukt von
zweidimensionalen Vektoren geometrisch interpretieren und in
praktischen Aufgabenstellungen anwenden
Mit Sinus- und Kosinussatz einfache Aufgabenstellungen lösen und die
Ergebnisse interpretieren
3. Funktionale Zusammenhänge
Inhalt
B9_3.1
B9_3.2
B9_3.3
B9_3.4
B9_3.5
Formulierung des Deskriptors: Inhalt +Handlung
Empirische Funktionen aus berufsfeldbezogenen Untersuchungen
grafisch darstellen, interpretieren und argumentieren
Lineare Funktionen und Exponentialfunktionen als Modelle für die
Beschreibung von Zu- und Abnahmeprozessen vergleichen und
sinnvoll einsetzen
Den Zusammenhang von linearen Funktionen mit arithmetischen
Folgen bei der Beschreibung von Zu- und Abnahmevorgängen
argumentieren
Den Zusammenhang von Exponentialfunktionen mit geometrischen
Folgen bei der Beschreibung von Zu- und Abnahmevorgängen
argumentieren
Berechnungen von praxisrelevanten Zu- und Abnahmeprozessen
durchführen und die Ergebnisse dokumentieren und interpretieren
9
x
x
x
4. Analysis
Inhalt
B9_4.1
Formulierung des Deskriptors: Inhalt +Handlung
Extremwertprobleme modellieren und transferieren, Rechnungen
durchführen und Ergebnisse argumentieren
A
B
C
D
x
x
x
x
5. Stochastik
Inhalt
B9_5.1
B9_5.2
B9_5.3
B9_5.4
B9_5.5
B9_5.6
B9_5.7
B9_5.8
B9_5.9
B9_5.10
Formulierung des Deskriptors: Inhalt +Handlung
Daten erheben und den Unterschied bei der Bearbeitung von
qualitativen und quantitativen Merkmalen kennen
Datenmanipulierbarkeit argumentieren
Die beschreibende Statistik auf berufsfeldbezogene Untersuchungen
anwenden
Regression und Korrelation von zweidimensionalen Datenmengen
anschaulich erklären, mit Technologieeinsatz bestimmen, interpretieren
und argumentieren
Bedingte Wahrscheinlichkeiten für einfache Sachverhalte über
Baumdiagramme darstellen und berechnen
Den Begriff der Zufallsvariablen kennen und anwenden, die
Verteilungsfunktion und die Kenngrößen (Erwartungswert und Varianz)
einer Zufallsvariablen bestimmen und argumentieren
Die Normalverteilung kennen und im Kontext nutzen und interpretieren
Die Bedeutung von Erwartungswert µ und Standardabweichung σ in
Bezug auf die Normalverteilungskurve kennen und veranschaulichen
Situationen erkennen und beschreiben, in denen mit Binomialverteilung
bzw. mit Normalverteilung modelliert werden kann
Die Wahrscheinlichkeitsrechnung auf berufsbezogene
Problemstellungen anwenden
10
A
B
C
x
x
x
x
D
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
2. Von der Unterrichtsaufgabe zur Testaufgabe
2.1 Einstieg: Was ist eine kompetenzorientierte Unterrichtsaufgabe?
Das Puppenauge
Mögliches kompetenzorientiertes Unterrichtsbeispiel für den 4. JG
Formulieren Sie zu der gegebenen Graphik drei kompetenzorientierte Aufgabenstellungen, die
unterschiedlichen Handlungsebenen aber der Inhaltsdimension 4 angehören.
KOM
Lösung:
Interpretieren Sie die Graphik, indem Sie den inhaltlichen Kontext angeben.
Der Graph der Funktion f hat die Funktionsgleichung y = - 0.25x2 + 1 (Einheit: e = 1
cm). Der Radius der Pupille beträgt 0.8 cm. Berechnen Sie das Verhältnis von der
Gesamtaugenfläche zur Pupille.
Erarbeiten Sie ein analoges, anwendungsrelevantes Beispiel und bereiten Sie eine
ansprechende Präsentation vor.
Arbeitsform: Gruppenarbeit
11
KOMP
4C
4B
4D
2.2 Unterrichtsaufgaben für den 3. JG erstellen
(Für den 2. JG sind Aufgaben bereits im Netz vorhanden…)
Grundlage: Lehrplan
III. Jahrgang
2Wochenstunden
2 einstündige Schularbeiten
Kompetenzbereich "Algebra und Geometrie"
- Logarithmen
Den dekadischen und den natürlichen Logarithmus und deren Rechengesetze kennen.
- Gleichungen
Einfache Exponentialgleichungen (vom Typ ax = b; a und b sind positive reelle Zahlen) mit Logarithmen
lösen;
Exponentialgleichungen oder Gleichungen mit trigonometrischen Termen in anwendungsbezogenen
Aufgabenstellungen mit Technologieeinsatz lösen und die Lösungen in Bezug auf den damit verbundenen
Kontext interpretieren.
Kompetenzbereich "Funktionale Zusammenhänge"
- Exponentialfunktion:
Charakteristische Eigenschaften der Exponentialfunktionen kennen und im Kontext deuten;
die Begriffe „Halbwertszeit“ und „Verdoppelungszeit“ kennen, ermitteln und im Kontext deuten;
die Angemessenheit einer Beschreibung mittels Exponentialfunktion bewerten.
- Folgen und Reihen
Die Definitionen von Folgen und Reihen kennen;
das Bildungsgesetz von endlichen geometrischen Folgen und Reihen kennen;
die Summenformel für endliche geometrische Reihen kennen und anwenden.
Schultypenspezifischer Kompetenzbereich
- Finanzmathematik
Zinseszins auf Grundlage der geometrischen Folgen modellieren, ausführen und interpretieren;
Rentenrechnungen auf der Grundlage geometrischer Reihen modellieren, ausführen und interpretieren;
Sparformen, Kredite und Schuldtilgung mathematisch modellieren, berechnen, dokumentieren und
interpretieren.
- Wachstumsprozesse
Kontinuierliche unbegrenzte und begrenzte Zu- und Abnahmeprozesse mit Exponentialfunktionen
beschreiben, Berechnungen durchführen und die Ergebnisse dokumentieren und interpretieren.
Unterrichtsaufgaben beinhalten die Kriterien des Bildungsstandard Angewandte Mathematik und sollten auch
berücksichtigen, dass sie in unterschiedlichen Unterrichtsmethoden (Expertenpuzzle, Lernstufen,
Stationenbetrieb etc.) eingesetzt werden sollen.
Bei Unterrichtsaufgaben können in den Teilaufgaben Fragen gestellt werden, die Teilaufgaben können
Ergebnisse anderer Teilaufgaben übernehmen und zusammenhängen. Man geht davon aus, dass die Aufgaben
diskutiert und erklärt werden. Die Schülerinnen und Schüler arbeiten nicht allein. Es gibt Feedback aus der
Gruppe und von der Lehrperson.
Bildungsstandard und kompetenzorientierte Unterrichtsbeispiele siehe
http://www.bildungsstandards.berufsbildendeschulen.at/fileadmin/content/bbs/AGBroschueren/AngewMathe-jan09.pdf
Methoden im Unterricht siehe http://home.eduhi.at/teaching/Mam/bundesarge/Methodik.pdf
12
Ein Beispiel von Theresia Klonner, BAKIP St. Pölten
Regenwald
KOMP
Aus vielen Gründen (Gewinnung von Tropenhölzern, Rodung für Weideflächen, …)
nimmt der Regenwaldbestand jährlich um ca. 4% ab.
a) Argumentieren Sie, ob hier lineare oder exponentielle Abnahme vorliegt.
3-D
b) Erstellen Sie ein mathematisches Modell für diesen Abnahmeprozess.
3-A
c) Berechnen Sie, wie viele m3 Holz im ersten Jahr geschlägert wurden.
3-B
d) Berechnen Sie, wie lange es dauert, bis ein Waldbestand von 110 000 m3 Holz
auf 82 660 m3 zurückgeht.
3-B
e) Wie lange dauert es (unabhängig vom Anfangswert), bis sich der Holzbestand
halbiert?
3-B
Erwartung:
a) Argumentieren:
es handelt sich um eine prozentuelle Abnahme, das bedeutet, dass ein exponentielles
Verlauf vorliegt, denn:
Bestand heute: B, nächstes Jahr: B – 0,04 B = 0,96 B, Ein Jahr darauf 0,96² B
Für n Jahre gilt: 0,96n  B
b) Transferieren und Modellieren:
möglich: Tabelle, Schrumpfungsfaktor, Exponentialgleichung, richtige Formel aus der
Formelsammlung:
B(t) = B(0) · 0,96 t
c) Operieren und Technologieeinsatz:
Möglicher Lösungsweg:
1. Jahr: 4% von 110 000 m3 = 4400 m³
d) B(t) = B(0)  qt
q = 96% = 0,96
82 660 = 110 000 . 0,96t
0,96t = 82 660/110 000 / log
t.log 0,96 = log 0,751 454 545
t = log 0,751 454 545/log 0,96
t = 6,999  7 Jahre
e) B(0)/2 = B(0)  qt
0,5 = 0,96t
t . log 0,96 = log 0,5
t = log 0,5/log 0,96 = 16,979  17 Jahre
13
2.2 Testaufgabenentwicklung aus Unterrichtsaufgaben
Unterricht
Schularbeit/Test
Offene Aufgabenstellung,
unterschiedliche Ergebnisse sind möglich
Geschlossene Aufgabenstellung,
klar definiertes Ergebnis
Gemeinsames Erarbeiten, Methode!
Einzelarbeit
Zusammenhängende Teilaufgaben
Unabhängige Teilaufgaben!
Bewertung in mehreren Punkten/Prozent
pro Teil – oder auch keine Bewertung.
Bewertung in richtig/fast richtig/falsch
2/1/0-System bzw 1/0 pro Teil
Fragen werden gestellt.
Keine Fragen.
Klare Anweisungen werden gegeben!
Fragen nach Zusammenhängen
Einzelabfragen von Kompetenzen
Mehrere Kompetenzen beteiligt
auch Präsentieren/Kommunizieren
Mehrere Kompetenzen beteiligt,
kein Präsentieren/Kommunizieren
Dokumentieren
Dokumentieren
2.2.1 Umwandlung einer Buchaufgabe
Eine klassische Schulbuchaufgabe: Lineare Gleichungssysteme mit 3 Variablen
Der Fremdenverkehrsverein, in dem die Gemeinden A, B und C vertreten sind, veranstaltet ein
Preisausschreiben, dessen Kosten im Verhältnis der Einwohnerzahlen der Gemeinden verteilt werden.
Neben dem eigentlichen Aufwand von 100000,- Euro sind die Auszahlungen der Gewinne in der Höhe
von 2000000,- Euro zu berücksichtigen. Die Gemeinde C investiert um 100000,- Euro mehr als die
Gemeinde B und um 350000,- Euro mehr als die Gemeinde A
a) Die Kostenverteilung ist zu berechnen.
b) Wie groß sind die Einwohnerzahlen der drei Gemeinden, wenn jede Gemeinde 100 Euro pro
Einwohner investiert? 1
Formulieren Sie den Text so um, dass er für SchülerInnen verständlich wird. Auf welchen
Begriff/Frage soll aus mathematischen und didaktischen Gründen verzichtet werden?
Entwickeln Sie aus dem neuen Text drei unabhängige, kompetenzorientierte Aufgabenstellungen für
eine Prüfung. Geben Sie die jeweilige Kompetenz an.
1
Steiner, Weilharter; Mathematik und ihre Anwendungen in der Wirtschaft 1, Reniets Verlag
14
Die (neuformulierte) kompetenzorientierte Prüfungsaufgabe:
Lineare Gleichungssysteme mit 3 Variablen
Der Fremdenverkehrsverband, in dem die Städte A, B und C vertreten sind, veranstaltet einen
internationalen Werbeauftritt. Der Aufwand für die Organisation des Werbeauftritts beträgt
100 000 Euro, für die eigentliche Bewerbung (Folder, Werbefilm, WEB-Auftritt, etc.) werden 2
Millionen Euro vorgesehen.
Die Gesamtkosten werden nach dem folgenden Schlüssel aufgeteilt:
Die Stadt C investiert um 100 000 Euro mehr als die Stadt B und um 350 000 Euro mehr als die Stadt
A.
Der zuständige Finanzreferent legt das folgende Modell vor:
x + y + z = 2,1 Millionen
z = y + 100000
z = x + 350000
Punkte KOMP
Interpretieren Sie die Bedeutung der Variablen x, y und z
Berechnen Sie, um wie viel die Stadt B mehr als die Stadt A zahlt.
Argumentieren Sie, welche maximale Grundmenge für das Gleichungssystem
möglich ist.
Berechnen Sie mit Technologieeinsatz die Kostenanteile der drei Städte.
Argumentieren Sie, warum dieser Kostenaufteilungs-schlüssel sinnvoll sein
kann.
1P
2C
1P
2B
1P
1D
1P
2B
1P
2D
2.2.2 Oder es liegt bereits ein kompetenzorientiertes Unterrichtsbeispiel2 vor:
Vor Ihnen steht eine 1 Liter-Milchpackung. Sie möchten gerne wissen, ob Tetra Pak
bei der Herstellung der Verpackung darauf achtet, möglichst wenig Pappe zu
verbrauchen.
Vorgangsweise zur Lösung:
 Die leere Packung wird aufgetrennt und auseinandergefaltet. Man entnimmt der Packung die
Maße der Seiten und der Höhe (a und h).
 Man setzt den Materialverbrauch als Funktion mit den variablen Größen a und h an. Es stellt
sich die Frage, wie bei der vorgegebenen Form die Abmessungen optimal zu justieren sind,
um den Materialverbrauch zu minimieren.
 Die Nebenbedingung ist das feste Volumen von 1 Liter.
 Das Minimum wird berechnet.
Dies ist eine offene Aufgabenstellung, die sich im Unterricht gut bearbeiten lässt, weil hier alle
Kompetenzen wie Modellieren, Präsentieren, Kommunizieren und Diskutieren möglich sind. Für
Schularbeiten und Tests ist sie nicht brauchbar, denn für Modellieren, Kommunikation oder
Diskussion ist hier leider keine Möglichkeit.
2
Adaptiert aus "Analysis verständlich unterrichten" von Rainer Danckwerts und Dankwart Vogel, Springer-Verlag, Heidelberg, 1. Auflage
2006, S 154
15
Als Testaufgabe würde sie so lauten:
KOMP
Eine 1 Liter-Milchpackung hat die Form eines Quaders mit quadratischer Grundfläche
mit der Höhe h.
a) Zeigen Sie, dass man die Oberfläche als Funktion der Höhe mit der folgenden
Gleichung darstellen kann:

2
O   1  2  h³
h
3-A

b) Stellen Sie die Funktion O = f(h) grafisch dar und interpretieren Sie die Grafik in
Bezug auf Nullstellen, Polstellen, Monotonie und Extremwerte.
3,4-B,C
c) Berechnen Sie mit Hilfe der Differentialrechnung, bei welchen Abmessungen sich
für die Packung ein minimaler Verpackungsaufwand ergibt.
4C
Bewertungsschlüssel:
a) 2 Punkte
0…Lösung fehlt, ganz oder von Teilen, Lösung ist falsch, mehr als 1 Fehler in der Aufgabe
1..Ein Rechen- oder Umformfehler, Abschreibfehler
2.. alles richtig
b) 2 Punkte
0…Lösung fehlt, ganz oder von Teilen, Lösung ist falsch, mehr als 1 Fehler in der Aufgabe
1…einige Fälle :
 Grafik nicht vollständig, sonst alles richtig
 Interpretation vorhanden aber nicht vollständig, bzw 1 Fehler, sonst alles richtig
2…alles richtig
c) 2 Punkte
0…Lösung fehlt, ganz oder von Teilen, Ansatz ist falsch, mehrere Fehler in der Aufgabe
1… Kleinigkeiten sind falsch oder fehlen
 1 Rechen- oder Übertragungsfehler, sonst alles richtig
 Antwort fehlt, Rechnung richtig
2…alles richtig
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3. Grundlegendes zur mündlichen RP
3.1 Lehrstoff und Aufbau der Aufgaben
Die Bundes-ARGE Mathematik HUM schlägt 8 (später 9) Themenkreise vor, aus denen die Schülerin
oder der Schüler blind zwei zieht. Einen Themenkreis davon wählt sie oder er aus. Der Prüfer teilt
der Schülerin bzw. dem Schüler dann eine Aufgabenstellung aus dem gewählten Themenkreis zu.
Die vorgeschlagenen Themenkreise sind:
1. Gleichungen/lineare Optimierung
2. Funktionen/Zu-und Abnahmeprozesse
3. Winkelfunktionen/Trigonometrie
4. Zinseszins-Renten/Sparen, Kredite
5. Extremwerte/Wirtschaftsmathematik
6. Statistik/Regression
7. Wahrscheinlichkeitsrechnung/Wahrscheinlichkeitsverteilungen
8. Integralrechnung
(9.Vektoren/Matrizen - nach Einführung des neuen LP)
3.1.1 Anzahl der Aufgaben: Wir gehen davon aus, dass uU sehr viele SchülerInnen zur mündlichen
antreten werden. So haben wir es pro Prüfung mit möglicherweise 30 mal 9 = 270 zu tun, wenn man
für jeden Schüler GLEICHE Bedingungen schaffen möchte. Weil ja der Themenbereich blind gezogen
wird, und 8 (9) Bereiche verfügbar sind, kann man das auf Grund von Wahrscheinlichkeitsabwägungen aber doch guten Gewissens reduzieren. Der Vorschlag geht dahin, dass wir 10
Aufgaben pro Themengebiet unbedingt verfügbar haben sollten. Das sind immerhin 80 (90)
Aufgaben pro Prüfung! Sollten 10 SchülerInnen das gleiche Gebiet ziehen, so ist in diesem nicht sehr
wahrscheinlichen Fall eine Themenstellung evt. aus dem Pool nachdruckbar, oder der
Themenbereich ist aus der Wahlmöglichkeit herauszunehmen, (was wegen der Berücksichtigung
einer Gleichbehandlung aller Kandidatinnen und Kandidaten nicht anzuraten ist!)
Die Anzahl der benötigten Aufgaben reduziert sich zusätzlich im Februar, wenn die Anmeldungen
vorliegen! Dann kann man sich aus dem Pool die gewünschte Zahl an Aufgaben herunterladen, sie
bearbeiten und evt. im Lehrerkollegium auch mit einem eigenen schulinternen Bewertungsschema
versehen.
3.1.2 Beurteilung der Prüfung: Wir haben durch das Ziehen und durch eine wahrscheinlich größere
Zahl an Prüfungen keine sehr große Möglichkeit, Beurteilungskriterien für jede Aufgabe während der
Prüfungszeiten zu überlegen.
Das muss unbedingt vorher sein. Das Problem dabei ist, dass dies bei einer großen Zahl an
Kandidatinnen und Kandidaten eine recht zeitaufwändige Angelegenheit für den einzelnen Lehrer
werden könnte.
Aus diesem Grund haben wir uns ein Beurteilungsschema bei der Musteraufgabe überlegt, das man
einfach handhaben kann und das schnell und gerecht zur Bewertung führt. Allerdings müsste man
das in jede Aufgabenstellung hineinkopieren. Alle Unteraufgaben werden gleich beurteilt, es sollten ,
4 Unteraufgaben sein. Weil ja die einzelne HUM-Lehrkraft nur ganz wenige, Aufgaben in den Pool
beizusteuern braucht, kann die Erwartung und die Beurteilung bei jeder Aufgabe im Detail
vorgedacht werden und als Hilfe angeboten werden.
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Bitte das vorgeschlagene Bewertungsschema in alle Aufgaben einbauen, auch wenn man
beschließt, alles dann letztlich anders zu machen. Das Ganze ist ein Vorschlag, die Arbeit für das
Prüfungsgeschehen zu minimieren, soll aber natürlich in keiner Weise bindend sein. Ich denke,
wenn schon die Lehrer die Aufgaben selber erstellen müssen, dann sollen sie auch den Vorteil
genießen, dass sie jede Aufgabe persönlich für sich (ihre Schule) autonom verändern können und
sie so stellen oder bewerten können, wie sie das individuell wollen! Dennoch ist vielleicht der eine
oder andere für ein vorgedachtes Schema dankbar.
Aufgabe erstellt von ES = Eva Schmetterer als Muster:
http://epmp.bmbwk.gv.at/vData/vProjects/361/Team/Dokumente/7482/1-funktionen_ES.doc
3.2 Der Umgang mit der Plattform:
Einstieg:
User Mathe.HUM
Passwort eingeben (geheim halten!)
Dann nichts ändern ! und gleich links auf
Team klicken
Unter „Dokumente“ findet man die Themen (derzeit 40). Das Aufladen geht ganz einfach. Aber bitte
in doc (03!). Alle Lehrer der HUM und BAKIP haben mit dem Passwort die Möglichkeit, Dokumente
hinaufzuladen. Löschen kann man nicht mehr. Im Falle, man wünscht ein Löschen, bitte sich an die
Projetverwalterinnen wenden:
Brigitte Wessenberg oder Katrin Willenshofer BM:UKK.
Unter „Adresse“ werden Sie gebeten, sich als Lehrer mit den wichtigsten Daten einzutragen, dass
man Sie bei Nachfragen erreichen kann.
Bei Fragen oder Problemen steht die Projektverwaltung jederzeit zur Verfügung
[email protected]
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4. Technologieeinsatz am Beispiel der Matrizenrechnung
4.1 Kurze Einführung zu den Matrizen
Für die HUM und auch HLFS sind die Matrizen in der Anwendung in wirtschaftlicher Hinsicht wichtig.
Die BA benötigt diese Anwendung nicht, hier genügen Aufgabenstellungen wie in der AHS üblich.
Welche Rechenarten mit Matrizen sollte man beherrschen:
4.1.1 Addition und Subtraktion:
Ein Betrieb stellt 3 Güter her G1, G2, G3. Er liefert sie an 4 Filialen F1, F2, F3, F4.
Die Übersicht über die in 2 Monaten an die Filialen gelieferten Mengen wird in Matrizenform GxF
angegeben.
Die Schreibweise GxF oder kurz GF bedeutet, dass die Güter in den Zeilen zu lesen sind, die Filialen in
den Spalten.
Die Gesamtlieferung in diesen 2 Monaten:
Matrizen können addiert, bzw. subtrahiert werden, wenn sie vom gleichen Typ (n x m) sind.
Man addiert bzw. subtrahiert die entsprechenden Elemente. Das Ergebnis ist wieder eine Matrix
vom Typ (n x m).
4.1.2 Multiplikation und Division mit einer Zahl:
Der Betrieb möchte im 3. Monat das Ergebnis des 1. Monats verdreifachen. Man stellt sich vor, dass
man an alle Filialen die dreifache Menge der Güter G1, G2 und G3 sendet.
Die neue Liefermenge: 3  GF
Matrizen werden mit einer Zahl multipliziert (dividiert), indem man jedes Element mit dieser Zahl
multipliziert (dividiert).
TI82stat:
Mit Matrix/ Edit die Matrix erzeugen. Im Hauptfenster [A]*Zahl eingeben.
TI89: Matrix erzeugen, mit Zahl multiplizieren
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4.1.3 Multiplikation von 2 Matrizen
Ein Unternehmen stellt die Produkte P1, P2 und P3 aus den Ausgangsstoffen A1 und A2 her.
Es möchte 7 Mengeneinheiten (ME) von P1, 5 ME von P2 und 8 ME von P3 erzeugen.
Man benötigt die folgenden Mengen der Ausgangsstoffe:
1. Frage: Wie viel vom Ausgangsstoff A1 wird für die gewünschte Produktion benötigt?
Die Antwort ist einfach: 5  7 + 3  5 + 5  8 = 90
Das entspricht dem Skalarprodukt zweier Vektoren! Die erste Zeile versteht sich als Zeilenvektor.
2. Frage: Wie viel vom Ausgangsstoff A2 wird für die gewünschte Produktion benötigt? Das entspricht
wieder der Skalarmultiplikation des Zeilenvektors (2. Zeile) mal Spaltenvektor
Beide Fragen können in einem Schritt durch die Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor
geklärt werden:
2x3 mal 3x1  2x1
Multiplikation einer Matrix mit einem Spaltenvektor:
Man multipliziert eine Matrix mit einem Spaltenvektor, indem man jede Zeile der Matrix
mit dem Spaltenvektor skalar multipliziert. ZEILE mal SPALTE.
Bedingung: Anzahl der Spalten in der Matrix = Anzahl der Zeilen des Vektors.
Darstellung in einem Gozintograf:
Der Ausdruck Gozinto stammt von „goes into“ und meint einen gerichteten Graphen, der beschreibt,
aus welchen Teilen sich ein oder mehrere Produkte zusammensetzen.
Der Produktionsprozess kann einstufig oder mehrstufig sein, wobei Rohstoffe, Zwischenstoffe und
Fertigteile beteiligt sein können. Der Gozintograf zeigt, wie diese Teile mengenmäßig miteinander
verbunden sind.
TI82stats:
Matrix und Spaltenvektor mit MATRIX/EDIT erzeugen und [A]*[B] im Hauptfenster eingeben
TI89: Matrix und Spaltenvektor und mit * verbinden
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Stellen wir uns vor, dass die Produkte P im vorherigen Beispiel mit einer Zwischenstufe A aus
Rohstoffen R hergestellt sind:
1 Stück A1 benötigt 3 ME R1 und 4 ME R2
1 Stück A2 benötigt 6 ME R1 und 2 ME R2
Der Gozintograf veranschaulicht die Situation:
Die Berechnung des gesamten Rohstoffbedarfs erhält man durch die Multiplikation der
„Rohstoffmatrix“ mit der „Ausgangsstoffmatrix“.
Multiplikation von 2 Matrizen:
Damit man Matrizen miteinander multiplizieren kann, muss die Anzahl der Spalten der 1. Matrix
der Anzahl der Zeilen in der 2. Matrix entsprechen
Die Reihenfolge der Multiplikation darf man nicht vertauschen!
TI82stats: Die beiden Matrizen editieren: Matrix /Edit und [A] * [B] im Hauptfenster eingeben
TI 89: Beide Matrizen eingeben und stornieren, dann a1*b1. Wenn man die Matrizen nur einmal
braucht, dann kann man auch die Klammerausdrücke gleich multiplizieren.
Tipp:
Um aus einem Text die Matrizen richtig zu übersetzen und die Reihenfolge festlegen zu können,
empfiehlt es sich, den Vorgang gleich zu Beginn in Matrizenkurzschreibweise darzustellen.
z.B. in diesem Beispiel: R x A  A x P  R x P: Zeilen von R multipliziert mit Spalten von A oder auch in
der folgenden Schreibweise:.
Am,n . Bn,p = Cm,p
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4.2 Demonstration an drei Beispielen
4.2.1 Einführungsbeispiel
Mousse au chocolat
Für die Herstellung von dunklem Mousse au chocolat werden die folgenden Zutaten
benötigt: 400 ml Rahm, 80 g Butter, 360 g zartbittere Kuvertüre, 4 Eier und 2 cl Likör.
Liebt man hingegen weißes Mousse au chocolat, so benötigt man die folgenden Zutaten: 240
ml Rahm, 48 g Butter, 320 g weiße Kuvertüre, 6 Eier und 2 cl Likör. Die Rezepte gelten jeweils
für 4 Personen.
Im Hotel B&E nimmt man aus Erfahrung an, dass sich bei einem Abendbuffet 20 Personen
für dunkles Mousse au chocolat und 12 Personen sich für weißes Mousse entscheiden
werden.
a) Stellen Sie die beiden Rezepte übersichtlich in Tabellenform dar.
b) Welche Mengen an Zutaten müssen in der Hotelküche vorhanden sein, damit die
angenommenen Mousseportionen zubereitet werden können?
c) Haben Sie auch noch genug Zutaten, wenn Sie erkennen, dass die angenommene
Personenanzahl irrtümlich vertauscht worden war?
Lösung:
22
2.2.2 Rohstoffbedarf *
In einem Betrieb werden aus den Rohstoffen R1, R2, R3 und R4 die Bauteile B1, B2 und B3 und aus
diesen die Endprodukte E1, E2 und E3 laut folgender Tabellen hergestellt .
Die Angaben für die Rohstoffe sind in Mengenienheiten ME und die der Bauteile sowie der
Endprodukte in Stück zu verstehen.
a) Berechnen Sie x,y, und z über die Angaben in der Tabelle und geben Sie die Matrix B an, die angibt,
wie viele Bauteile zur Herstellung von je einem Endprodukt notwendig sind. Vervollständigen Sie
die Tabelle. Interpretieren Sie die Lösung in Bezug auf das Endprodukt E1.
b) Berechnen Sie, wie viele Bauteile man benötigt, wenn 10 Stück von E1 und 12 Stück von E2 erzeugt
werden sollen.
c) Berechnen Sie, wie viele Mengeneinheiten Rohstoffe nachbestellt werden müssen, wenn sich im
Lager noch 100 ME R1 , 80 ME R2 und je 50 Bauteile B1 und B2 befinden.
Lösung
a) Modellieren und Operieren: Zunächst gilt es x,y, und z zu berechnen.
Rohstoff (Bauteil) [A] eingeben
= 16
= 26
= 22
Das Gleichungssystem mit 3 Variablen ist mit TR zu lösen:
Matrix C / Edit/ 3x4/ Koeffizienten eingeben/Quit
Matrix/ Math/reff/Matrix C/ enter
x = 3, y = 1, z = 2
*Die Zahlen sind einer Aufgabe zur Zentralmatura in Baden –Würtemberg 2009, Andreas Schwarz entnommen.
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Matrix B editieren im TR.
[D] = [A][B] bilden, das ergibt die Rohstoffe, die für je ein Endprodukt benötigt werden:
D = AB =
Die Werte der Matrix sind in die Tabelle einzutragen.
Interpretieren: Ein Endprodukt E1 benötigt 18 ME R1 , 17 ME R2¸ 26 ME R3 und 13 ME R4.
b) Modellieren und Operieren:
Produktionsmatrix der Endprodukte:
Bauteile neu F: = BP gibt die benötigten Bauteile für diese Produktion
Eingabe: [B]* [[10] [12] [0]] (P direkt eingeben!)
STO F
Man benötigt 58 B1 für 10 E1, 44 B2 für 12 E2.
c) Bauteile-Lagerbestand – Benötigte Bauteile: [[50] [50] [0]] – [F]
Interpretieren: Es fehlen 8 B1 und 20 B3. Von B2 keine.
Die zur Herstellung dieser Bauteile erforderliche Rohstoffmenge erhält man mit Eingabe von
[A] * [[8] [0] [20]]:
STOG
Lagerbestand – benötigte Rohstoffe: [[100] [80] [0] [0]] – [G]
Interpretieren: Es müssen 28 ME R2, 176 ME R3 und 100 ME R4 nachbestellt werden.
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4.2.3 Leontief-Modell in wirtschaftlicher Anwendung* mit TI 82-stats und WIRIS
Drei Abteilungen R, S und T sind nach dem Modell von Leontief miteinander verflochten.
Es ist die Leontief-Inverse der Waren in Geldeinheiten GE bekannt:
(E-A)-1 =
a) Bestimmen Sie die Inputmatrix A und erklären Sie, was A über den Eigenverbrauch der 3
Abteilungen aussagt.
b) Erstellen Sie eine Grafik zu dieser Inputmatrix.
c) Im vergangenen Quartal produzierte R Waren im Wert von 800 GE, S im Wert von 1000 GE und T
im Wert von 500 GE.
Erstellen Sie die zugehörige Tabelle, die sowohl die Lieferungen der Abteilungen untereinander, als
auch die Lieferungen in den externen Konsum wiedergibt.
Lösung mit einem TI82stats und wiris
a) Matrix/Edit/enter3x3 eingeben dann Quit
Matrix aufrufen Taste X-1 verwenden (nicht ^-1!), ergibt die inverse Matirx
E-A =
Mit wiris: http://wiris.schule.at/de_en/index.html aufmachen und eingeben. Sehr angenehmes
Rechnen!
A=
Tipp: E findet man unter Matrix/ Math 5 (identity). Mit Eingabe von 3 erhält man E.
Eingabe daher Matrix Math 5/3 – 2nd ANS, Stornieren Sie die Matrix zu auf B
STOMatrix [B]
Bei wiris ebenfalls identy mit Eingabe der Dimension
Den Eigenverbrauch liest man in der Hauptdiagonale ab:
R benötigt 55 % der Produktion selber, S 80% und T 55 %.
__________________________________
*Diese Aufgabe wurde nach der Vorlage einer Aufgabe aus dem Buch „Mathematik, Berufliches Gymnasium 2011, Verlag Stark, Baden –
Württemberg“ für unsere Zwecke verändert.
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b) Grafik der Inputmatrix
c)
Es gilt der folgende Zusammenhang: Produktion = Nachfrage + interner Verbrauch
X = N + AX
X - AX = N
(E – A) X = N
E ist die Einheitsmatrix.
Produktion X = (E –A)-1  N und Nachfrage N = (E – A)  X
bekannt ist:
X=
Die Nachfrage erhält man mit der folgenden Eingabe:
X wird in [C] editiert: Matrix/ Edit [C] 3x1 eingeben und QUIT
(Matrix/Math Identity (3) – [B])* [C] eingeben
Die einzelnen Waren mit den Geldwerten (= Leontief-Matrix) erhält man, wenn man die
Zeilenelemente der Inputmatrix jeweils mit den Spaltenelementen der Produktion multipliziert:
R
S
T
R
S
T
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Man kann das mittels Matrizenrechnung so ausführen:
Zusammenfassung in der Leontief-Tabelle:
Input in den Spalten
für
R
S
T Nachfrage Produktion
von
R
440 250 100
S
160 800 0
T
80 100 275
Output in den Zeilen
Gozintograf der Güterströme:
10
40
45
800
1000
500
Aussage:
R produziert Waren im Wert von 800 GE
R braucht selber R-Waren im Wert von 440 GE
R gibt an S Waren im Wert von 250 GE = 25% der S-Produktion
R gibt an T Waren im Wert von 100 GE = 20 Prozent der T-Produktion
und gibt in den Konsum den Warenwert 800-440-250-100 = 10 GE
S produziert Waren im Wert von 1000GE
S benötigt selber S-Waren im Wert von 800 GE = 80 Prozent der S-Produktion
S gibt an R Waren im Wert von 160 GE = 20 % der R-Produktion
S gibt von T nichts
S gibt in den Konsum den Warenwert von 1000 – 800 - 160 = 40 GE
T produziert Waren im Wert von 500 GE
T benötigt davon selber Waren im Wert von 275 GE = 55% der T-Produktion
T gibt an R Waren im Wert von 80 GE = 10% der R-Produktion
T gibt an S Waren im Wert von 100 GE = 10% der S-Produktion
T gibt in den Konsum den Warenwert von 500 – 275 – 80 - 100 = 45 GE
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