Unterlagen_27.9.11
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2011 Brigitte Wessenberg, Erwin Höferer Tagungsunterlagen 27. September, Klagenfurt Tagungsleitung: Erika Staudecker ORT: WIMO, Fromillerstrasse 15, Klagenfurt Inhalt: 1. Grundlegendes zur schriftlichen Reifeprüfung 1.1 Kriterien und Beurteilungsschema bei den Testaufgaben 1.2 Kompetenzorientierung: Kompetenzlisten der HUM 2. Von der Unterrichtsaufgabe zu Testaufgabe 2.1 Methodik bei Unterrichtsaufgaben 2.2 Testaufgaben-Entwicklung 3. Grundlegendes zur mündlichen RP 3.1 Lehrstoff und Aufbau der Aufgaben 3.2 Umgang mit der Plattform 4. Technologieeinsatz am Beispiel der Matrizenrechnung 4.1 Kurze Einführung zu Matrizen 4.2 Demonstration einiger Beispiele Programm zur Tagung der Landes-Arge angewandte Mathematik, humanberufliche Schulen Klagenfurt 27.9. 2011 Teilnehmer: Mathematik-Lehrer: HUM, BAKIP, HLFS aus Kärnten Leitung: Erika Staudecker, Landes-Arge-Leiterin AM- HUM Referenten: Brigitte Wessenberg und Erwin Höferer Betreuung der Workshops: Höferer, Staudecker und Wessenberg 2 1. Grundlegendes zur schriftlichen RP 1.1. Kriterien der Testaufgaben An den HUM, HLFS und BA ist die schriftliche RDP gleichwertig einer mündlichen RDP, die am Schulstandort zusammengestellt wird. Schülerinnen und Schüler haben die Wahl. Die schriftliche RDP ist zentral mit Aufgaben, die im BIFIE von den Itemwriters erstellt. Das ist eine Gruppe von über 20 Lehrern aus Österreich, je mindestens 2 Lehrer in den folgenden 9 Clusters. Cluster 1: Bautechnik, Holztechnik und Innenraumgestaltung, Kunst und Design (HTL) Cluster 2: Elektrotechnik, Elektronik, Biomedizin und Gesundheitstechnik Cluster 3: Maschineningenieurwesen, Mechatronik, Werkstoffingenieurwesen, Wirtschaftsingenieurwesen, Betriebsmanagement, Waffentechnik Cluster 4: Informationstechnologie, Elektronische Datenverarbeitung und Organisation Cluster 5: Chemie, Chemieingenieurwesen, Lebensmitteltechnologie Cluster 6: Wirtschaftliche Berufe, Tourismus, Mode und Design, Kunst (HUM), Medientechnik und Medienmanagement Cluster 7: Landwirtschaftliche Schulen, Landtechnik, Forstwirtschaft Cluster 8: Kaufmännische Schulen Cluster 9: Bildungsanstalten für Kindergartenpädagogik, Bundesinstitute für Sozialpädagogik Zusätzlich wird dieses Team begleitet von 2 Univ.-Profs und von einem sogenannten Psychometriker, der die Testbarkeit der Aufgaben sicherstellt. Die bereits erstellten Aufgaben werden ab Herbst 2011 einer österreichweiten Feldtestung unterzogen, wobei hier nicht ein Notenergebnis zählt, sondern es wird die Lesbarkeit, die Verständlichkeit und auch die Brauchbarkeit der Inhalte überprüft. https://www.bifie.at/node/81 Es ist vereinbart worden, dass Aufgaben so gestellt werden, dass ein Teil für alle Cluster gemeinsam ist (TeilA) und ein weiterer Teil schulspezifische Inhalte und Kompetenzen abfragt (Teil B), wobei A:B = 1:1. Die Aufgaben sind in unabhängige Unteraufgaben geteilt (bis zu 4 max). Jede Unteraufgabe kann in Teil A bis zu 2 Kompetenzen enthalten und sollte daher mit einem Bewertungsschema 0,1,2 beurteilbar sein, wobei eine genaue Beschreibung vorliegt, wofür diese Punkte vergeben werden. Diese Vereinbarung wird zunächst in den Feldtestungen auf ihre Brauchbarkeit geprüft. Daher ist sie vorläufig noch nicht bindend. 3 Beispiel für eine mögliche Testaufgabe aus Teil A Temperaturanstieg einer Lösung in einem Labor Eine Lösung wird in einem Labor aus dem Kühlschrank (Temperatur T1 = 2°C) genommen und in einen Raum mit der Umgebungstemperatur T2 = 22°C gebracht. Die Lösung erwärmt sich nach der Formel T(t) T2 T2 T1 0.951t (T in °C, t in Minuten). a) Geben Sie an, welche der folgenden Grafen den Temperaturanstieg für diesen Fall richtig wiedergibt. Begründen Sie Ihre Wahl, indem Sie Merkmale der Kurve erläutern, die mit dem Temperaturanstieg vereinbar sind! (3-D) Abb IV 4 Abb IV 3 b) Die Lösung muss bei einer Temperatur von 12°C weiter verarbeitet werden. Berechnen Sie, wie lange es dauert, bis die Lösung nach Entnahme aus dem Kühlschrank auf diese Temperatur kommt. Geben Sie die Zeit in Minuten und Sekunden an. (3-B) Für Teil B gibt es noch keine fixe Vereinbarung. Wahrscheinlich können hier mehrere Punkte pro Unteraufgabe geplant werden (wahrscheinlich bis zu 4!) und es ist daher möglich, innerhalb einer Unteraufgabe voneinander abhängige Aufgabenstellungen zu behandeln. Beispiel Hum-spezifisch Reiseangebot Ein Reiseunternehmen will zwei Reisen aus seinem Angebot wirtschaftsmathematisch überprüfen lassen. a) Der Reiseanbieter stellt fest, dass eine Ausflugsfahrt in die Wachau bei einem Preis von € 199,- pro Person von 80 Gästen gebucht wird. Bei einer Preissteigerung auf € 209,- pro Person sinkt die Nachfrage auf 60 Gäste. Stellen Sie die lineare Funktion p(x) auf, die den Zusammenhang zwischen Preis und Nachfrage beschreibt. (B6_3-A) b) Beschreiben Sie allgemein den Verlauf einer möglichen linearen Preis-Nachfrage-Funktion p(x) anhand einer Skizze. Gehen Sie dabei auf die Schnittpunkte mit den beiden Achsen ein und geben Sie an, welche Größen hier abgelesen werden können und was sie bedeuten. (B6_3-C,D) 4 c) Die Erlösfunktion, die die Einnahmen dieses Reiseanbieters bei einer Ausflugsfahrt zu den Krimmler Wasserfällen beschreibt, lautet: E(x) = - 0.3x² + 297x. Berechnen Sie, bei welcher Gästezahl der größtmögliche Erlös zu erwarten ist und zu welchem Preis pro Person die Reise in diesem Fall angeboten werden kann. (B6_4-B) d) Der Reiseanbieter kalkuliert die Ausflugsfahrt zu den Krimmler Wasserfällen mit € 84,- pro Person. Zusätzlich zu diesen variablen Kosten fallen Fixkosten für Treibstoff, Busfahrer, Reisebegleiter, Eintrittsgelder etc. an. Bestimmen Sie welchen Betrag die Fixkosten annehmen können, damit das Angebot gerade noch kostendeckend ist. Bestimmen Sie auch den zugehörigen Preis, zu dem die Ausflugsfahrt verkauft werden muss, damit genau dieser kostendeckende Fall eintritt. (B6_4-A,B) 1.2 Kompetenzorientierung, die Kompetenzlisten Aufgrund dieser Item-Erstellung (Item nennt sich eine Unteraufgabe) mussten genaue Kompetenzlisten erstellt werden, die verbindlich für die Lehrer im Unterricht anzusehen sind: Liste Teil A: https://www.bifie.at/system/files/dl/srdp_am_grundkompetenzen_2011-02-24.pdf 1.1 Kompetenzliste zu Cluster 6 Wirtschaftliche Berufe, Tourismus, Mode & Design, Kunst (HUM), Medientechnik und Medienmanagement 2. Algebra und Geometrie Inhalt Formulierung des Deskriptors: Inhalt +Handlung Den Begriff des Logarithmus und die logarithmischen Rechengesetze kennen und anwenden lg(ab) = lga+lgb, lg (a /b)=lga - lgb lgan = nlga B6_2.2 Exponentialgleichungen oder Gleichungen, die trigonometrische Funktionen enthalten in Anwendungsbereichen mit Technologieeinsatz lösen und die Lösung(en) interpretieren B6_2.3 Den Lösungsbereich linearer Ungleichungen und linearer Ungleichungssysteme mit 2 Variablen bestimmen und interpretieren B6_2.4 Lineare Optimierung einer Zielfunktion modellieren, mit geeignetem Technologieeinsatz durchführen, den Lösungsweg erklären und begründen, das Ergebnis interpretieren B6_2.5 Addition, Subtraktion und Skalarmultiplikation mit Vektoren und *) Matrizen in wirtschaftlich relevantem Kontext durchführen und Ergebnisse interpretieren *) Nicht 2015! Erst 5 Jahre nach Einführung des neuen Lehrplans A C D x x x x x x x x x x x B6_2.1 5 B x x 3. Funktionale Zusammenhänge Inhalt Formulierung des Deskriptors: Inhalt +Handlung A B C D B6_3.1 Den Begriff der Umkehrfunktion argumentieren B6_3.2 Das Bildungsgesetz von geometrischen Folgen verstehen und anwenden x x B6_3.3 Die Summenformel für endliche geometrische Reihen anwenden x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x A B C D x x x B6_3.4 B6_3.5 B6_3.6 B6_3.7 B6_3.8 Zinseszins auf Grundlage der geometrischen Folgen modellieren und interpretieren, sowie Berechnungen durchführen und die Ergebnisse argumentieren Rentenrechnungen auf der Grundlage geometrischer Reihen modellieren, ausführen und interpretieren können, Sparformen mathematisch modellieren, berechnen, dokumentieren und interpretieren Kredite und Schuldtilgung mathematisch modellieren, berechnen, dokumentieren und interpretieren Kontinuierlich begrenzte, unbegrenzte sowie logistische Zu- und Abnahmeprozesse mit Exponentialfunktionen beschreiben, mit den Gleichungen Berechnungen durchführen und die Ergebnisse dokumentieren und interpretieren x 4. Analysis Inhalt B6_4.1 B6_4.2 B6_4.3 B6_4.4 B6_4.5 B6_4.6 B6_4.7 B6_4.8 Formulierung des Deskriptors: Inhalt +Handlung Differenzen- und Differentialquotient als Änderungsraten verstehen und zur Lösung von Aufgaben einsetzen Potenz-, Polynom- und Exponentialfunktionen differenzieren Mit den Modellen der Kostentheorie umgehen, sie erklären und Berechnungen zu Gesamt- und Durchschnittskosten durchführen sowie die Ergebnisse interpretieren und dokumentieren Mit den Modellen der Preistheorie umgehen, sie erklären und Berechnungen zu Nachfrage und Erlös durchführen sowie die Ergebnisse interpretieren und dokumentieren Mit den Modellen der Preistheorie umgehen, sie erklären und Berechnungen zum Gewinn durchführen sowie die Ergebnisse interpretieren und dokumentieren Relevante Extremwertprobleme modellieren und transferieren, Rechnungen durchführen und Ergebnisse argumentieren. Das bestimmte Integral als orientierten Flächeninhalt deuten und Flächen von Potenz- und Polynomfunktionen berechnen Das bestimmte Integral beliebiger Funktionen mit Technologieeinsatz berechnen 6 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 5. Stochastik Inhalt B6_5.1 B6_5.2 B6_5.3 B6_5.4 B6_5.5 B6_5.6 B6_5.7 B6_5.8 Formulierung des Deskriptors: Inhalt +Handlung A B C D Daten erheben und die beschreibende Statistik auf berufsfeldbezogene Untersuchungen anwenden Datenmanipulierbarkeit argumentieren x x x x Häufigkeitsverteilungen von eindimensionalen Daten grafisch darstellen: Stab, Säule, Balken, Kreis, Torte, Histogramm, Boxplot sie interpretieren und bewerten Mittelwerte und Streuungsmaße berechnen und interpretieren: Arithmetisches Mittel und Standardabweichung, Modus, Median und Spannweite, Quartile und Quartilsabstand Regression von zweidimensionalen Datenmengen anschaulich erklären, mit Technologieeinsatz bestimmen und die Ergebnisse interpretieren Die Binomialverteilungen im Kontext nutzen und interpretieren (Erwartungswert, Varianz, Wahrscheinlichkeits- und Verteilungsfunktion) Die Normalverteilung im Kontext nutzen und interpretieren Die Bedeutung von Erwartungswert µ und Standardabweichung σ in Bezug auf die Normalverteilungskurve erkennen und argumentieren 7 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 1.2 Kompetenzliste zu Cluster 7 Landwirtschaftliche Schulen, Landtechnik, Forstwirtschaft 2. Algebra und Geometrie Inhalt B7_2.1 B7_2.2 B7_2.3 Formulierung des Deskriptors: Inhalt +Handlung Lineare Ungleichungssysteme mit zwei Variablen bestimmen; die optimale Lösung einer Zielfunktion berechnen und interpretieren Bestimmungsstücke im allgemeinen Dreieck berechnen Flächeninhalt von allgemeinen Dreiecken berechnen A B C x x x D x x 3. Funktionale Zusammenhänge Inhalt B7_3.1 B7_3.2 B7_3.3 Formulierung des Deskriptors: Inhalt +Handlung Logistische Wachstumsfunktion und exponentielle Sättigungsfunktion erkennen; die Parameter, die das Verhalten der Funktionen bestimmen, berechnen und interpretieren Rentenrechnung auf der Grundlage von geometrischen Reihen modellieren, berechnen und interpretieren (Zinsperiode = Rentenperiode) Lineare Funktionen und Polynomfunktionen als Modell für Aufgabenstellungen aus der Wirtschaft modellieren, berechnen und interpretieren A B C D x x x x x x x x x x x x A B C D x x x x x x x x x x A B C D x x x x x 4. Analysis Inhalt B7_4.1 B7_4.2 B7_4.3 Formulierung des Deskriptors: Inhalt +Handlung Integrale als multiplikative Größen aus Naturwissenschaft und Technik mit Grundfunktionen interpretieren und numerisch oder mit Technologieeinsatz berechnen Integrale für Aufgabenstellungen aus der Wirtschaft mit Grundfunktionen interpretieren sowie numerisch und mit Technologie berechnen Modelle der Preis- und Kostentheorie erklären, berechnen und interpretieren (Nachfrage, Erlös, Gewinnanalyse, Betriebsoptimum, Kostenkehre) 5. Stochastik Inhalt B7_5.1 B7_5.2 Formulierung des Deskriptors: Inhalt +Handlung Die Normalverteilung kennen und im Kontext nutzen und interpretieren (Mittelwert, Varianz, Wahrscheinlichkeits- und Verteilungsfunktion) Die lineare Regression und Korrelation von zweidimensionalen Datenmengen anschaulich erklären, mit Technologie berechnen und interpretieren 8 x 1.3 Kompetenzliste zu Cluster 9 Bildungsanstalten für Kindergartenpädagogik, Bundesinstitute für Sozialpädagogik 1. Zahlen und Maße Inhalt B9_1.1 Formulierung des Deskriptors: Inhalt +Handlung Verknüpfungen von Mengen (Durchschnitt, Vereinigung und Differenz) ermitteln, grafisch darstellen und interpretieren A B C D x x x x 2. Algebra und Geometrie Inhalt B9_2.1 B9_2.2 B9_2.3 Formulierung des Deskriptors: Inhalt +Handlung A B C D x x x x x x x x x x x x A B C D x x x x x x x x x x x x Probleme aus verschiedenen relevanten Anwendungsbereichen in Form von Gleichungen modellieren und die Ergebnisse in Bezug auf die Problemstellung interpretieren und dokumentieren Definitionen von Vektor und Matrix kennen, zweidimensionale Vektoren im Koordinatensystem darstellen können, Addition, Subtraktion, Multiplikation mit einem Skalar sowie Skalarprodukt von zweidimensionalen Vektoren geometrisch interpretieren und in praktischen Aufgabenstellungen anwenden Mit Sinus- und Kosinussatz einfache Aufgabenstellungen lösen und die Ergebnisse interpretieren 3. Funktionale Zusammenhänge Inhalt B9_3.1 B9_3.2 B9_3.3 B9_3.4 B9_3.5 Formulierung des Deskriptors: Inhalt +Handlung Empirische Funktionen aus berufsfeldbezogenen Untersuchungen grafisch darstellen, interpretieren und argumentieren Lineare Funktionen und Exponentialfunktionen als Modelle für die Beschreibung von Zu- und Abnahmeprozessen vergleichen und sinnvoll einsetzen Den Zusammenhang von linearen Funktionen mit arithmetischen Folgen bei der Beschreibung von Zu- und Abnahmevorgängen argumentieren Den Zusammenhang von Exponentialfunktionen mit geometrischen Folgen bei der Beschreibung von Zu- und Abnahmevorgängen argumentieren Berechnungen von praxisrelevanten Zu- und Abnahmeprozessen durchführen und die Ergebnisse dokumentieren und interpretieren 9 x x x 4. Analysis Inhalt B9_4.1 Formulierung des Deskriptors: Inhalt +Handlung Extremwertprobleme modellieren und transferieren, Rechnungen durchführen und Ergebnisse argumentieren A B C D x x x x 5. Stochastik Inhalt B9_5.1 B9_5.2 B9_5.3 B9_5.4 B9_5.5 B9_5.6 B9_5.7 B9_5.8 B9_5.9 B9_5.10 Formulierung des Deskriptors: Inhalt +Handlung Daten erheben und den Unterschied bei der Bearbeitung von qualitativen und quantitativen Merkmalen kennen Datenmanipulierbarkeit argumentieren Die beschreibende Statistik auf berufsfeldbezogene Untersuchungen anwenden Regression und Korrelation von zweidimensionalen Datenmengen anschaulich erklären, mit Technologieeinsatz bestimmen, interpretieren und argumentieren Bedingte Wahrscheinlichkeiten für einfache Sachverhalte über Baumdiagramme darstellen und berechnen Den Begriff der Zufallsvariablen kennen und anwenden, die Verteilungsfunktion und die Kenngrößen (Erwartungswert und Varianz) einer Zufallsvariablen bestimmen und argumentieren Die Normalverteilung kennen und im Kontext nutzen und interpretieren Die Bedeutung von Erwartungswert µ und Standardabweichung σ in Bezug auf die Normalverteilungskurve kennen und veranschaulichen Situationen erkennen und beschreiben, in denen mit Binomialverteilung bzw. mit Normalverteilung modelliert werden kann Die Wahrscheinlichkeitsrechnung auf berufsbezogene Problemstellungen anwenden 10 A B C x x x x D x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 2. Von der Unterrichtsaufgabe zur Testaufgabe 2.1 Einstieg: Was ist eine kompetenzorientierte Unterrichtsaufgabe? Das Puppenauge Mögliches kompetenzorientiertes Unterrichtsbeispiel für den 4. JG Formulieren Sie zu der gegebenen Graphik drei kompetenzorientierte Aufgabenstellungen, die unterschiedlichen Handlungsebenen aber der Inhaltsdimension 4 angehören. KOM Lösung: Interpretieren Sie die Graphik, indem Sie den inhaltlichen Kontext angeben. Der Graph der Funktion f hat die Funktionsgleichung y = - 0.25x2 + 1 (Einheit: e = 1 cm). Der Radius der Pupille beträgt 0.8 cm. Berechnen Sie das Verhältnis von der Gesamtaugenfläche zur Pupille. Erarbeiten Sie ein analoges, anwendungsrelevantes Beispiel und bereiten Sie eine ansprechende Präsentation vor. Arbeitsform: Gruppenarbeit 11 KOMP 4C 4B 4D 2.2 Unterrichtsaufgaben für den 3. JG erstellen (Für den 2. JG sind Aufgaben bereits im Netz vorhanden…) Grundlage: Lehrplan III. Jahrgang 2Wochenstunden 2 einstündige Schularbeiten Kompetenzbereich "Algebra und Geometrie" - Logarithmen Den dekadischen und den natürlichen Logarithmus und deren Rechengesetze kennen. - Gleichungen Einfache Exponentialgleichungen (vom Typ ax = b; a und b sind positive reelle Zahlen) mit Logarithmen lösen; Exponentialgleichungen oder Gleichungen mit trigonometrischen Termen in anwendungsbezogenen Aufgabenstellungen mit Technologieeinsatz lösen und die Lösungen in Bezug auf den damit verbundenen Kontext interpretieren. Kompetenzbereich "Funktionale Zusammenhänge" - Exponentialfunktion: Charakteristische Eigenschaften der Exponentialfunktionen kennen und im Kontext deuten; die Begriffe „Halbwertszeit“ und „Verdoppelungszeit“ kennen, ermitteln und im Kontext deuten; die Angemessenheit einer Beschreibung mittels Exponentialfunktion bewerten. - Folgen und Reihen Die Definitionen von Folgen und Reihen kennen; das Bildungsgesetz von endlichen geometrischen Folgen und Reihen kennen; die Summenformel für endliche geometrische Reihen kennen und anwenden. Schultypenspezifischer Kompetenzbereich - Finanzmathematik Zinseszins auf Grundlage der geometrischen Folgen modellieren, ausführen und interpretieren; Rentenrechnungen auf der Grundlage geometrischer Reihen modellieren, ausführen und interpretieren; Sparformen, Kredite und Schuldtilgung mathematisch modellieren, berechnen, dokumentieren und interpretieren. - Wachstumsprozesse Kontinuierliche unbegrenzte und begrenzte Zu- und Abnahmeprozesse mit Exponentialfunktionen beschreiben, Berechnungen durchführen und die Ergebnisse dokumentieren und interpretieren. Unterrichtsaufgaben beinhalten die Kriterien des Bildungsstandard Angewandte Mathematik und sollten auch berücksichtigen, dass sie in unterschiedlichen Unterrichtsmethoden (Expertenpuzzle, Lernstufen, Stationenbetrieb etc.) eingesetzt werden sollen. Bei Unterrichtsaufgaben können in den Teilaufgaben Fragen gestellt werden, die Teilaufgaben können Ergebnisse anderer Teilaufgaben übernehmen und zusammenhängen. Man geht davon aus, dass die Aufgaben diskutiert und erklärt werden. Die Schülerinnen und Schüler arbeiten nicht allein. Es gibt Feedback aus der Gruppe und von der Lehrperson. Bildungsstandard und kompetenzorientierte Unterrichtsbeispiele siehe http://www.bildungsstandards.berufsbildendeschulen.at/fileadmin/content/bbs/AGBroschueren/AngewMathe-jan09.pdf Methoden im Unterricht siehe http://home.eduhi.at/teaching/Mam/bundesarge/Methodik.pdf 12 Ein Beispiel von Theresia Klonner, BAKIP St. Pölten Regenwald KOMP Aus vielen Gründen (Gewinnung von Tropenhölzern, Rodung für Weideflächen, …) nimmt der Regenwaldbestand jährlich um ca. 4% ab. a) Argumentieren Sie, ob hier lineare oder exponentielle Abnahme vorliegt. 3-D b) Erstellen Sie ein mathematisches Modell für diesen Abnahmeprozess. 3-A c) Berechnen Sie, wie viele m3 Holz im ersten Jahr geschlägert wurden. 3-B d) Berechnen Sie, wie lange es dauert, bis ein Waldbestand von 110 000 m3 Holz auf 82 660 m3 zurückgeht. 3-B e) Wie lange dauert es (unabhängig vom Anfangswert), bis sich der Holzbestand halbiert? 3-B Erwartung: a) Argumentieren: es handelt sich um eine prozentuelle Abnahme, das bedeutet, dass ein exponentielles Verlauf vorliegt, denn: Bestand heute: B, nächstes Jahr: B – 0,04 B = 0,96 B, Ein Jahr darauf 0,96² B Für n Jahre gilt: 0,96n B b) Transferieren und Modellieren: möglich: Tabelle, Schrumpfungsfaktor, Exponentialgleichung, richtige Formel aus der Formelsammlung: B(t) = B(0) · 0,96 t c) Operieren und Technologieeinsatz: Möglicher Lösungsweg: 1. Jahr: 4% von 110 000 m3 = 4400 m³ d) B(t) = B(0) qt q = 96% = 0,96 82 660 = 110 000 . 0,96t 0,96t = 82 660/110 000 / log t.log 0,96 = log 0,751 454 545 t = log 0,751 454 545/log 0,96 t = 6,999 7 Jahre e) B(0)/2 = B(0) qt 0,5 = 0,96t t . log 0,96 = log 0,5 t = log 0,5/log 0,96 = 16,979 17 Jahre 13 2.2 Testaufgabenentwicklung aus Unterrichtsaufgaben Unterricht Schularbeit/Test Offene Aufgabenstellung, unterschiedliche Ergebnisse sind möglich Geschlossene Aufgabenstellung, klar definiertes Ergebnis Gemeinsames Erarbeiten, Methode! Einzelarbeit Zusammenhängende Teilaufgaben Unabhängige Teilaufgaben! Bewertung in mehreren Punkten/Prozent pro Teil – oder auch keine Bewertung. Bewertung in richtig/fast richtig/falsch 2/1/0-System bzw 1/0 pro Teil Fragen werden gestellt. Keine Fragen. Klare Anweisungen werden gegeben! Fragen nach Zusammenhängen Einzelabfragen von Kompetenzen Mehrere Kompetenzen beteiligt auch Präsentieren/Kommunizieren Mehrere Kompetenzen beteiligt, kein Präsentieren/Kommunizieren Dokumentieren Dokumentieren 2.2.1 Umwandlung einer Buchaufgabe Eine klassische Schulbuchaufgabe: Lineare Gleichungssysteme mit 3 Variablen Der Fremdenverkehrsverein, in dem die Gemeinden A, B und C vertreten sind, veranstaltet ein Preisausschreiben, dessen Kosten im Verhältnis der Einwohnerzahlen der Gemeinden verteilt werden. Neben dem eigentlichen Aufwand von 100000,- Euro sind die Auszahlungen der Gewinne in der Höhe von 2000000,- Euro zu berücksichtigen. Die Gemeinde C investiert um 100000,- Euro mehr als die Gemeinde B und um 350000,- Euro mehr als die Gemeinde A a) Die Kostenverteilung ist zu berechnen. b) Wie groß sind die Einwohnerzahlen der drei Gemeinden, wenn jede Gemeinde 100 Euro pro Einwohner investiert? 1 Formulieren Sie den Text so um, dass er für SchülerInnen verständlich wird. Auf welchen Begriff/Frage soll aus mathematischen und didaktischen Gründen verzichtet werden? Entwickeln Sie aus dem neuen Text drei unabhängige, kompetenzorientierte Aufgabenstellungen für eine Prüfung. Geben Sie die jeweilige Kompetenz an. 1 Steiner, Weilharter; Mathematik und ihre Anwendungen in der Wirtschaft 1, Reniets Verlag 14 Die (neuformulierte) kompetenzorientierte Prüfungsaufgabe: Lineare Gleichungssysteme mit 3 Variablen Der Fremdenverkehrsverband, in dem die Städte A, B und C vertreten sind, veranstaltet einen internationalen Werbeauftritt. Der Aufwand für die Organisation des Werbeauftritts beträgt 100 000 Euro, für die eigentliche Bewerbung (Folder, Werbefilm, WEB-Auftritt, etc.) werden 2 Millionen Euro vorgesehen. Die Gesamtkosten werden nach dem folgenden Schlüssel aufgeteilt: Die Stadt C investiert um 100 000 Euro mehr als die Stadt B und um 350 000 Euro mehr als die Stadt A. Der zuständige Finanzreferent legt das folgende Modell vor: x + y + z = 2,1 Millionen z = y + 100000 z = x + 350000 Punkte KOMP Interpretieren Sie die Bedeutung der Variablen x, y und z Berechnen Sie, um wie viel die Stadt B mehr als die Stadt A zahlt. Argumentieren Sie, welche maximale Grundmenge für das Gleichungssystem möglich ist. Berechnen Sie mit Technologieeinsatz die Kostenanteile der drei Städte. Argumentieren Sie, warum dieser Kostenaufteilungs-schlüssel sinnvoll sein kann. 1P 2C 1P 2B 1P 1D 1P 2B 1P 2D 2.2.2 Oder es liegt bereits ein kompetenzorientiertes Unterrichtsbeispiel2 vor: Vor Ihnen steht eine 1 Liter-Milchpackung. Sie möchten gerne wissen, ob Tetra Pak bei der Herstellung der Verpackung darauf achtet, möglichst wenig Pappe zu verbrauchen. Vorgangsweise zur Lösung: Die leere Packung wird aufgetrennt und auseinandergefaltet. Man entnimmt der Packung die Maße der Seiten und der Höhe (a und h). Man setzt den Materialverbrauch als Funktion mit den variablen Größen a und h an. Es stellt sich die Frage, wie bei der vorgegebenen Form die Abmessungen optimal zu justieren sind, um den Materialverbrauch zu minimieren. Die Nebenbedingung ist das feste Volumen von 1 Liter. Das Minimum wird berechnet. Dies ist eine offene Aufgabenstellung, die sich im Unterricht gut bearbeiten lässt, weil hier alle Kompetenzen wie Modellieren, Präsentieren, Kommunizieren und Diskutieren möglich sind. Für Schularbeiten und Tests ist sie nicht brauchbar, denn für Modellieren, Kommunikation oder Diskussion ist hier leider keine Möglichkeit. 2 Adaptiert aus "Analysis verständlich unterrichten" von Rainer Danckwerts und Dankwart Vogel, Springer-Verlag, Heidelberg, 1. Auflage 2006, S 154 15 Als Testaufgabe würde sie so lauten: KOMP Eine 1 Liter-Milchpackung hat die Form eines Quaders mit quadratischer Grundfläche mit der Höhe h. a) Zeigen Sie, dass man die Oberfläche als Funktion der Höhe mit der folgenden Gleichung darstellen kann: 2 O 1 2 h³ h 3-A b) Stellen Sie die Funktion O = f(h) grafisch dar und interpretieren Sie die Grafik in Bezug auf Nullstellen, Polstellen, Monotonie und Extremwerte. 3,4-B,C c) Berechnen Sie mit Hilfe der Differentialrechnung, bei welchen Abmessungen sich für die Packung ein minimaler Verpackungsaufwand ergibt. 4C Bewertungsschlüssel: a) 2 Punkte 0…Lösung fehlt, ganz oder von Teilen, Lösung ist falsch, mehr als 1 Fehler in der Aufgabe 1..Ein Rechen- oder Umformfehler, Abschreibfehler 2.. alles richtig b) 2 Punkte 0…Lösung fehlt, ganz oder von Teilen, Lösung ist falsch, mehr als 1 Fehler in der Aufgabe 1…einige Fälle : Grafik nicht vollständig, sonst alles richtig Interpretation vorhanden aber nicht vollständig, bzw 1 Fehler, sonst alles richtig 2…alles richtig c) 2 Punkte 0…Lösung fehlt, ganz oder von Teilen, Ansatz ist falsch, mehrere Fehler in der Aufgabe 1… Kleinigkeiten sind falsch oder fehlen 1 Rechen- oder Übertragungsfehler, sonst alles richtig Antwort fehlt, Rechnung richtig 2…alles richtig 16 3. Grundlegendes zur mündlichen RP 3.1 Lehrstoff und Aufbau der Aufgaben Die Bundes-ARGE Mathematik HUM schlägt 8 (später 9) Themenkreise vor, aus denen die Schülerin oder der Schüler blind zwei zieht. Einen Themenkreis davon wählt sie oder er aus. Der Prüfer teilt der Schülerin bzw. dem Schüler dann eine Aufgabenstellung aus dem gewählten Themenkreis zu. Die vorgeschlagenen Themenkreise sind: 1. Gleichungen/lineare Optimierung 2. Funktionen/Zu-und Abnahmeprozesse 3. Winkelfunktionen/Trigonometrie 4. Zinseszins-Renten/Sparen, Kredite 5. Extremwerte/Wirtschaftsmathematik 6. Statistik/Regression 7. Wahrscheinlichkeitsrechnung/Wahrscheinlichkeitsverteilungen 8. Integralrechnung (9.Vektoren/Matrizen - nach Einführung des neuen LP) 3.1.1 Anzahl der Aufgaben: Wir gehen davon aus, dass uU sehr viele SchülerInnen zur mündlichen antreten werden. So haben wir es pro Prüfung mit möglicherweise 30 mal 9 = 270 zu tun, wenn man für jeden Schüler GLEICHE Bedingungen schaffen möchte. Weil ja der Themenbereich blind gezogen wird, und 8 (9) Bereiche verfügbar sind, kann man das auf Grund von Wahrscheinlichkeitsabwägungen aber doch guten Gewissens reduzieren. Der Vorschlag geht dahin, dass wir 10 Aufgaben pro Themengebiet unbedingt verfügbar haben sollten. Das sind immerhin 80 (90) Aufgaben pro Prüfung! Sollten 10 SchülerInnen das gleiche Gebiet ziehen, so ist in diesem nicht sehr wahrscheinlichen Fall eine Themenstellung evt. aus dem Pool nachdruckbar, oder der Themenbereich ist aus der Wahlmöglichkeit herauszunehmen, (was wegen der Berücksichtigung einer Gleichbehandlung aller Kandidatinnen und Kandidaten nicht anzuraten ist!) Die Anzahl der benötigten Aufgaben reduziert sich zusätzlich im Februar, wenn die Anmeldungen vorliegen! Dann kann man sich aus dem Pool die gewünschte Zahl an Aufgaben herunterladen, sie bearbeiten und evt. im Lehrerkollegium auch mit einem eigenen schulinternen Bewertungsschema versehen. 3.1.2 Beurteilung der Prüfung: Wir haben durch das Ziehen und durch eine wahrscheinlich größere Zahl an Prüfungen keine sehr große Möglichkeit, Beurteilungskriterien für jede Aufgabe während der Prüfungszeiten zu überlegen. Das muss unbedingt vorher sein. Das Problem dabei ist, dass dies bei einer großen Zahl an Kandidatinnen und Kandidaten eine recht zeitaufwändige Angelegenheit für den einzelnen Lehrer werden könnte. Aus diesem Grund haben wir uns ein Beurteilungsschema bei der Musteraufgabe überlegt, das man einfach handhaben kann und das schnell und gerecht zur Bewertung führt. Allerdings müsste man das in jede Aufgabenstellung hineinkopieren. Alle Unteraufgaben werden gleich beurteilt, es sollten , 4 Unteraufgaben sein. Weil ja die einzelne HUM-Lehrkraft nur ganz wenige, Aufgaben in den Pool beizusteuern braucht, kann die Erwartung und die Beurteilung bei jeder Aufgabe im Detail vorgedacht werden und als Hilfe angeboten werden. 17 Bitte das vorgeschlagene Bewertungsschema in alle Aufgaben einbauen, auch wenn man beschließt, alles dann letztlich anders zu machen. Das Ganze ist ein Vorschlag, die Arbeit für das Prüfungsgeschehen zu minimieren, soll aber natürlich in keiner Weise bindend sein. Ich denke, wenn schon die Lehrer die Aufgaben selber erstellen müssen, dann sollen sie auch den Vorteil genießen, dass sie jede Aufgabe persönlich für sich (ihre Schule) autonom verändern können und sie so stellen oder bewerten können, wie sie das individuell wollen! Dennoch ist vielleicht der eine oder andere für ein vorgedachtes Schema dankbar. Aufgabe erstellt von ES = Eva Schmetterer als Muster: http://epmp.bmbwk.gv.at/vData/vProjects/361/Team/Dokumente/7482/1-funktionen_ES.doc 3.2 Der Umgang mit der Plattform: Einstieg: User Mathe.HUM Passwort eingeben (geheim halten!) Dann nichts ändern ! und gleich links auf Team klicken Unter „Dokumente“ findet man die Themen (derzeit 40). Das Aufladen geht ganz einfach. Aber bitte in doc (03!). Alle Lehrer der HUM und BAKIP haben mit dem Passwort die Möglichkeit, Dokumente hinaufzuladen. Löschen kann man nicht mehr. Im Falle, man wünscht ein Löschen, bitte sich an die Projetverwalterinnen wenden: Brigitte Wessenberg oder Katrin Willenshofer BM:UKK. Unter „Adresse“ werden Sie gebeten, sich als Lehrer mit den wichtigsten Daten einzutragen, dass man Sie bei Nachfragen erreichen kann. Bei Fragen oder Problemen steht die Projektverwaltung jederzeit zur Verfügung [email protected] 18 4. Technologieeinsatz am Beispiel der Matrizenrechnung 4.1 Kurze Einführung zu den Matrizen Für die HUM und auch HLFS sind die Matrizen in der Anwendung in wirtschaftlicher Hinsicht wichtig. Die BA benötigt diese Anwendung nicht, hier genügen Aufgabenstellungen wie in der AHS üblich. Welche Rechenarten mit Matrizen sollte man beherrschen: 4.1.1 Addition und Subtraktion: Ein Betrieb stellt 3 Güter her G1, G2, G3. Er liefert sie an 4 Filialen F1, F2, F3, F4. Die Übersicht über die in 2 Monaten an die Filialen gelieferten Mengen wird in Matrizenform GxF angegeben. Die Schreibweise GxF oder kurz GF bedeutet, dass die Güter in den Zeilen zu lesen sind, die Filialen in den Spalten. Die Gesamtlieferung in diesen 2 Monaten: Matrizen können addiert, bzw. subtrahiert werden, wenn sie vom gleichen Typ (n x m) sind. Man addiert bzw. subtrahiert die entsprechenden Elemente. Das Ergebnis ist wieder eine Matrix vom Typ (n x m). 4.1.2 Multiplikation und Division mit einer Zahl: Der Betrieb möchte im 3. Monat das Ergebnis des 1. Monats verdreifachen. Man stellt sich vor, dass man an alle Filialen die dreifache Menge der Güter G1, G2 und G3 sendet. Die neue Liefermenge: 3 GF Matrizen werden mit einer Zahl multipliziert (dividiert), indem man jedes Element mit dieser Zahl multipliziert (dividiert). TI82stat: Mit Matrix/ Edit die Matrix erzeugen. Im Hauptfenster [A]*Zahl eingeben. TI89: Matrix erzeugen, mit Zahl multiplizieren 19 4.1.3 Multiplikation von 2 Matrizen Ein Unternehmen stellt die Produkte P1, P2 und P3 aus den Ausgangsstoffen A1 und A2 her. Es möchte 7 Mengeneinheiten (ME) von P1, 5 ME von P2 und 8 ME von P3 erzeugen. Man benötigt die folgenden Mengen der Ausgangsstoffe: 1. Frage: Wie viel vom Ausgangsstoff A1 wird für die gewünschte Produktion benötigt? Die Antwort ist einfach: 5 7 + 3 5 + 5 8 = 90 Das entspricht dem Skalarprodukt zweier Vektoren! Die erste Zeile versteht sich als Zeilenvektor. 2. Frage: Wie viel vom Ausgangsstoff A2 wird für die gewünschte Produktion benötigt? Das entspricht wieder der Skalarmultiplikation des Zeilenvektors (2. Zeile) mal Spaltenvektor Beide Fragen können in einem Schritt durch die Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor geklärt werden: 2x3 mal 3x1 2x1 Multiplikation einer Matrix mit einem Spaltenvektor: Man multipliziert eine Matrix mit einem Spaltenvektor, indem man jede Zeile der Matrix mit dem Spaltenvektor skalar multipliziert. ZEILE mal SPALTE. Bedingung: Anzahl der Spalten in der Matrix = Anzahl der Zeilen des Vektors. Darstellung in einem Gozintograf: Der Ausdruck Gozinto stammt von „goes into“ und meint einen gerichteten Graphen, der beschreibt, aus welchen Teilen sich ein oder mehrere Produkte zusammensetzen. Der Produktionsprozess kann einstufig oder mehrstufig sein, wobei Rohstoffe, Zwischenstoffe und Fertigteile beteiligt sein können. Der Gozintograf zeigt, wie diese Teile mengenmäßig miteinander verbunden sind. TI82stats: Matrix und Spaltenvektor mit MATRIX/EDIT erzeugen und [A]*[B] im Hauptfenster eingeben TI89: Matrix und Spaltenvektor und mit * verbinden 20 Stellen wir uns vor, dass die Produkte P im vorherigen Beispiel mit einer Zwischenstufe A aus Rohstoffen R hergestellt sind: 1 Stück A1 benötigt 3 ME R1 und 4 ME R2 1 Stück A2 benötigt 6 ME R1 und 2 ME R2 Der Gozintograf veranschaulicht die Situation: Die Berechnung des gesamten Rohstoffbedarfs erhält man durch die Multiplikation der „Rohstoffmatrix“ mit der „Ausgangsstoffmatrix“. Multiplikation von 2 Matrizen: Damit man Matrizen miteinander multiplizieren kann, muss die Anzahl der Spalten der 1. Matrix der Anzahl der Zeilen in der 2. Matrix entsprechen Die Reihenfolge der Multiplikation darf man nicht vertauschen! TI82stats: Die beiden Matrizen editieren: Matrix /Edit und [A] * [B] im Hauptfenster eingeben TI 89: Beide Matrizen eingeben und stornieren, dann a1*b1. Wenn man die Matrizen nur einmal braucht, dann kann man auch die Klammerausdrücke gleich multiplizieren. Tipp: Um aus einem Text die Matrizen richtig zu übersetzen und die Reihenfolge festlegen zu können, empfiehlt es sich, den Vorgang gleich zu Beginn in Matrizenkurzschreibweise darzustellen. z.B. in diesem Beispiel: R x A A x P R x P: Zeilen von R multipliziert mit Spalten von A oder auch in der folgenden Schreibweise:. Am,n . Bn,p = Cm,p 21 4.2 Demonstration an drei Beispielen 4.2.1 Einführungsbeispiel Mousse au chocolat Für die Herstellung von dunklem Mousse au chocolat werden die folgenden Zutaten benötigt: 400 ml Rahm, 80 g Butter, 360 g zartbittere Kuvertüre, 4 Eier und 2 cl Likör. Liebt man hingegen weißes Mousse au chocolat, so benötigt man die folgenden Zutaten: 240 ml Rahm, 48 g Butter, 320 g weiße Kuvertüre, 6 Eier und 2 cl Likör. Die Rezepte gelten jeweils für 4 Personen. Im Hotel B&E nimmt man aus Erfahrung an, dass sich bei einem Abendbuffet 20 Personen für dunkles Mousse au chocolat und 12 Personen sich für weißes Mousse entscheiden werden. a) Stellen Sie die beiden Rezepte übersichtlich in Tabellenform dar. b) Welche Mengen an Zutaten müssen in der Hotelküche vorhanden sein, damit die angenommenen Mousseportionen zubereitet werden können? c) Haben Sie auch noch genug Zutaten, wenn Sie erkennen, dass die angenommene Personenanzahl irrtümlich vertauscht worden war? Lösung: 22 2.2.2 Rohstoffbedarf * In einem Betrieb werden aus den Rohstoffen R1, R2, R3 und R4 die Bauteile B1, B2 und B3 und aus diesen die Endprodukte E1, E2 und E3 laut folgender Tabellen hergestellt . Die Angaben für die Rohstoffe sind in Mengenienheiten ME und die der Bauteile sowie der Endprodukte in Stück zu verstehen. a) Berechnen Sie x,y, und z über die Angaben in der Tabelle und geben Sie die Matrix B an, die angibt, wie viele Bauteile zur Herstellung von je einem Endprodukt notwendig sind. Vervollständigen Sie die Tabelle. Interpretieren Sie die Lösung in Bezug auf das Endprodukt E1. b) Berechnen Sie, wie viele Bauteile man benötigt, wenn 10 Stück von E1 und 12 Stück von E2 erzeugt werden sollen. c) Berechnen Sie, wie viele Mengeneinheiten Rohstoffe nachbestellt werden müssen, wenn sich im Lager noch 100 ME R1 , 80 ME R2 und je 50 Bauteile B1 und B2 befinden. Lösung a) Modellieren und Operieren: Zunächst gilt es x,y, und z zu berechnen. Rohstoff (Bauteil) [A] eingeben = 16 = 26 = 22 Das Gleichungssystem mit 3 Variablen ist mit TR zu lösen: Matrix C / Edit/ 3x4/ Koeffizienten eingeben/Quit Matrix/ Math/reff/Matrix C/ enter x = 3, y = 1, z = 2 *Die Zahlen sind einer Aufgabe zur Zentralmatura in Baden –Würtemberg 2009, Andreas Schwarz entnommen. 23 Matrix B editieren im TR. [D] = [A][B] bilden, das ergibt die Rohstoffe, die für je ein Endprodukt benötigt werden: D = AB = Die Werte der Matrix sind in die Tabelle einzutragen. Interpretieren: Ein Endprodukt E1 benötigt 18 ME R1 , 17 ME R2¸ 26 ME R3 und 13 ME R4. b) Modellieren und Operieren: Produktionsmatrix der Endprodukte: Bauteile neu F: = BP gibt die benötigten Bauteile für diese Produktion Eingabe: [B]* [[10] [12] [0]] (P direkt eingeben!) STO F Man benötigt 58 B1 für 10 E1, 44 B2 für 12 E2. c) Bauteile-Lagerbestand – Benötigte Bauteile: [[50] [50] [0]] – [F] Interpretieren: Es fehlen 8 B1 und 20 B3. Von B2 keine. Die zur Herstellung dieser Bauteile erforderliche Rohstoffmenge erhält man mit Eingabe von [A] * [[8] [0] [20]]: STOG Lagerbestand – benötigte Rohstoffe: [[100] [80] [0] [0]] – [G] Interpretieren: Es müssen 28 ME R2, 176 ME R3 und 100 ME R4 nachbestellt werden. 24 4.2.3 Leontief-Modell in wirtschaftlicher Anwendung* mit TI 82-stats und WIRIS Drei Abteilungen R, S und T sind nach dem Modell von Leontief miteinander verflochten. Es ist die Leontief-Inverse der Waren in Geldeinheiten GE bekannt: (E-A)-1 = a) Bestimmen Sie die Inputmatrix A und erklären Sie, was A über den Eigenverbrauch der 3 Abteilungen aussagt. b) Erstellen Sie eine Grafik zu dieser Inputmatrix. c) Im vergangenen Quartal produzierte R Waren im Wert von 800 GE, S im Wert von 1000 GE und T im Wert von 500 GE. Erstellen Sie die zugehörige Tabelle, die sowohl die Lieferungen der Abteilungen untereinander, als auch die Lieferungen in den externen Konsum wiedergibt. Lösung mit einem TI82stats und wiris a) Matrix/Edit/enter3x3 eingeben dann Quit Matrix aufrufen Taste X-1 verwenden (nicht ^-1!), ergibt die inverse Matirx E-A = Mit wiris: http://wiris.schule.at/de_en/index.html aufmachen und eingeben. Sehr angenehmes Rechnen! A= Tipp: E findet man unter Matrix/ Math 5 (identity). Mit Eingabe von 3 erhält man E. Eingabe daher Matrix Math 5/3 – 2nd ANS, Stornieren Sie die Matrix zu auf B STOMatrix [B] Bei wiris ebenfalls identy mit Eingabe der Dimension Den Eigenverbrauch liest man in der Hauptdiagonale ab: R benötigt 55 % der Produktion selber, S 80% und T 55 %. __________________________________ *Diese Aufgabe wurde nach der Vorlage einer Aufgabe aus dem Buch „Mathematik, Berufliches Gymnasium 2011, Verlag Stark, Baden – Württemberg“ für unsere Zwecke verändert. 25 b) Grafik der Inputmatrix c) Es gilt der folgende Zusammenhang: Produktion = Nachfrage + interner Verbrauch X = N + AX X - AX = N (E – A) X = N E ist die Einheitsmatrix. Produktion X = (E –A)-1 N und Nachfrage N = (E – A) X bekannt ist: X= Die Nachfrage erhält man mit der folgenden Eingabe: X wird in [C] editiert: Matrix/ Edit [C] 3x1 eingeben und QUIT (Matrix/Math Identity (3) – [B])* [C] eingeben Die einzelnen Waren mit den Geldwerten (= Leontief-Matrix) erhält man, wenn man die Zeilenelemente der Inputmatrix jeweils mit den Spaltenelementen der Produktion multipliziert: R S T R S T 26 Man kann das mittels Matrizenrechnung so ausführen: Zusammenfassung in der Leontief-Tabelle: Input in den Spalten für R S T Nachfrage Produktion von R 440 250 100 S 160 800 0 T 80 100 275 Output in den Zeilen Gozintograf der Güterströme: 10 40 45 800 1000 500 Aussage: R produziert Waren im Wert von 800 GE R braucht selber R-Waren im Wert von 440 GE R gibt an S Waren im Wert von 250 GE = 25% der S-Produktion R gibt an T Waren im Wert von 100 GE = 20 Prozent der T-Produktion und gibt in den Konsum den Warenwert 800-440-250-100 = 10 GE S produziert Waren im Wert von 1000GE S benötigt selber S-Waren im Wert von 800 GE = 80 Prozent der S-Produktion S gibt an R Waren im Wert von 160 GE = 20 % der R-Produktion S gibt von T nichts S gibt in den Konsum den Warenwert von 1000 – 800 - 160 = 40 GE T produziert Waren im Wert von 500 GE T benötigt davon selber Waren im Wert von 275 GE = 55% der T-Produktion T gibt an R Waren im Wert von 80 GE = 10% der R-Produktion T gibt an S Waren im Wert von 100 GE = 10% der S-Produktion T gibt in den Konsum den Warenwert von 500 – 275 – 80 - 100 = 45 GE 27
