Übungen zur Vorlesung Klassische Mechanik WS 2003/04 Prof. Dr

Übungen zur Vorlesung Klassische Mechanik
WS 2003/04
Prof. Dr. G. Mahler
Blatt 12
c) Führen Sie die Integration der Bewegungsgleichung auf eine Quadratur zurück,
d. h. berechnen Sie ω = ϕ̇ als Funktion von ϕ.
(2 Punkte)
Hinweis: Schreiben Sie die Bewegungsgleichung so, dass die eine Seite nur von ϕ,
die andere nur von ω und ω̇ abhängt. Integrieren Sie dann über korrespondierende
Grenzen.
Aufgabe 48. Kontrollfragen
d) Wie groß ist die Frequenz kleiner Schwingungen um die Ruhelage ϕ = 0?
(2 Punkte)
a) Was besagt der Steinersche Satz?
b) Wie kommt man vom Drehimpulssatz zur Kreiselgleichung?
e) Berechnen Sie die von der Unterlage auf den Körper (Scheibe und Massenpunkt)
ausgeübte Zwangskraft Z(ϕ, ϕ̇, ϕ̈). Bestimmen Sie dazu die Bewegungsgleichungen
in kartesischen Koordinaten.
(3 Punkte)
c) Was gilt speziell für den kräftefreien Kugelkreisel?
d) Was versteht man unter Nutation bzw. Präzession?
Aufgabe 49. Kreisscheibe mit exzentrischem Massenpunkt
Eine homogene Kreisscheibe mit Radius R und Masse M auf deren Umfang eine
punktförmige Masse m = M2 fest angebracht ist, rollt reibungsfrei ohne zu gleiten
unter dem Einfluss der Schwerkraft auf einer horizontalen Geraden.
y
PSfrag replacements
f ) Bei hinreichend großer Anfangsgeschwindigkeit v = ẊM kann die Kreisscheibe
infolge ihrer (durch den Massenpunkt m bewirkten) Unwucht hochspringen. Welche
Bedingung muss zu Beginn des Hochspringens erfüllt sein?
(1 Punkt)
g) Wie groß muss die Anfangsgeschwindigkeit sein, damit der Abspringvorgang bei
ϕ = (2π)/3 beginnt?
(2 Punkte)
h) In welcher Position springt die Kreisscheibe hoch, wenn v 2 À gR ist, d. h. wenn
gR gegenüber v 2 vernachlässigt werden darf?
(1 Punkt)
g
Aufgabe 50. Gleitende Kugel
YM
ϕ
ym
x
XM
xm
a) Berechnen Sie xm , ym sowie die Schwerpunktskoordinaten xs , ys in Abhängigkeit
vom Winkel ϕ und skizzieren Sie die Bahnkurven. Wie nennt man solche Kurven?
Wählen Sie als Anfangsbedingungen für ϕ = 0:
(1 Punkt)
XM = xm = 0,
YM = R,
ym = 0.
b) Berechnen Sie die gesamte kinetische Energie T bezüglich des Laborsystems K,
sowie die potenzielle Energie als Funktion von ϕ. Stellen Sie die Lagrangefunktion L(ϕ, ϕ̇) und die zugehörige Lagrangegleichung auf.
(2 Punkte)
Hinweis: Die Rotationsenergie der Kreisscheibe beträgt
Erot
1
= Θϕ̇2 ,
2
mit dem Trägheitsmoment
Θ=
1
M R2 .
2
(schriftlich)
a) Berechnen Sie das Trägheitsmoment Θ einer Kugelschale mit gegebenem Außenund Innenradius (Ra und Ri ) bezüglich einer Drehachse durch den Mittelpunkt für
den Fall homogener Massenverteilung innerhalb der Schale. Was ergibt sich für die
(1 Punkt)
Grenzfälle Ri → Ra und Ri = 0?
b) Die Kugelschale wird im homogenen Gravitationsfeld auf eine horizontale Unterlage gesetzt und durch einen Kraftstoß auf die Anfangsgeschwindigkeit v 0 gebracht
ohne zu rotieren. Die Gleitreibungszahl zwischen Kugelmaterial und Untergrund
sei µG . Stellen Sie die Bewegungsgleichungen für die Translations- und Rotationsbewegung auf und lösen Sie diese unter der gegebenen Anfangsbedingung. Nach
welcher Zeit geht die Gleitbewegung in eine Rollbewegung über? Wie groß ist die
Geschwindigkeit der Kugel zu diesem Zeitpunkt (Formel für Θ nicht einsetzen!)?
(2 Punkte)
c) Welcher Bruchteil der Anfangsenergie wurde während der Gleitphase der Bewegung von der Reibung aufgezehrt? Welches Ergebnis erhält man für einen Fuß(1 Punkt)
ball (Ri → Ra ) und eine Billardkugel (Ri = 0)?
d) Gibt es für diese Bewegung trotz vorhandener Reibung einen Erhaltungssatz?
Können Sie daraus die erreichte Geschwindigkeit der Kugel errechnen? (1 Punkt)