Übungen zur Vorlesung Theoretische Physik 1a WS 2006/2007 Prof

Übungen zur Vorlesung Theoretische Physik 1a
WS 2006/2007
Blatt 8
Aufgabe 23. Kreisscheibe mit exzentrischem Massenpunkt
Eine homogene Kreisscheibe mit Radius R und Masse M , auf deren Umfang eine
punktförmige Masse m = M/2 fest angebracht ist, rollt reibungsfrei ohne zu gleiten
unter dem Einfluss der Schwerkraft auf einer horizontalen Geraden.
y
PSfrag replacements
g
(schriftlich)
Hinweis: Schreiben Sie das Linienelement ds in der Form
dy 2 1/2
ds = 1 +
dx.
dx
a) Geodätische Linien: Zeigen Sie mithilfe der Variationsrechnung, dass die kürzeste
Verbindung zwischen zwei Punkten P1 , P2 in der Ebene eine Gerade ist.
(2 Punkte)
Aufgabe 21. Anwendungen der Eulergleichung
Prof. Dr. G. Mahler
YM
ϕ
(1)
ym
b) Brachystochrone: Zu berechnen ist die Kurve, auf der ein Körper unter dem
Einfluss der Schwerkraft von einem gegebenen Punkt P1 = (0, 0) zu einem anderen
Punkt P2 = (x2 , y2 ) in der kürzesten Zeit T reibungsfrei gleitet.
(3 Punkte)
Hinweis: Bestimmen Sie die Geschwindigkeit v = ds/dt. Verwenden Sie den Energiesatz und berücksichtigen Sie Gleichung (1). Wie lautet das zu minimierende Integral für T ?
x
XM
xm
a) Berechnen Sie xm , ym sowie die Schwerpunktskoordinaten xs , ys in Abhängigkeit
vom Winkel ϕ und skizzieren Sie die Bahnkurven. Wie nennt man solche Kurven?
Wählen Sie als Anfangsbedingungen für ϕ = 0:
(1 Punkt)
XM = xm = 0,
YM = R,
ym = 0.
b) Berechnen Sie die gesamte kinetische Energie T bezüglich des Laborsystems K,
sowie die potenzielle Energie als Funktion von ϕ. Stellen Sie die Lagrangefunktion L(ϕ, ϕ̇) und die zugehörige Lagrangegleichung auf.
(2 Punkte)
Aufgabe 22. Teilchen im Paraboloid
Ein Massenpunkt m bewegt sich ohne Reibung an der Innenseite einer axialsymmetrischen Paraboloid-Mantelfläche, gegeben durch
1
z = b(x2 + y 2 ),
2
Hinweis: Die Rotationsenergie der Kreisscheibe beträgt
1
Erot = Θ ϕ̇2 ,
2
mit dem Trägheitsmoment
wobei b eine Konstante ist und z in die vertikale Richtung zeigt:
z
1
Θ = M R2 .
2
c) Führen Sie die Integration der Bewegungsgleichung auf eine Quadratur zurück,
d. h. berechnen Sie ω = ϕ̇ als Funktion von ϕ.
(2 Punkte)
PSfrag replacements
g
Hinweis: Schreiben Sie die Bewegungsgleichung so, dass die eine Seite nur von ϕ,
die andere nur von ω und ω̇ abhängt. Integrieren Sie dann über korrespondierende
Grenzen.
z0
θ r
y
d) Wie groß ist die Frequenz kleiner Schwingungen um die Ruhelage ϕ = 0?
(2 Punkte)
x
Bestimmen Sie die Lagrangefunktion. Der Massenpunkt bewege sich in einer Kreisbahn in der Höhe z = z0 . Bestimmen Sie die Energie und den Drehimpuls in Ab(2 Punkte)
hängigkeit von z0 , b, g und m.
Die Aufgaben werden in der Übung am 21. Dezember 2006 um 11.15 Uhr
im Seminarraum 2.326 besprochen.