Mathematik - Schulbuchzentrum Online

Dr. Claus-Günter Frank, Prof. Dr. Ludwig Paditz
unter Mitarbeit von Hans-Christian Ahlmann und Johannes Schornstein
Mathematik
Jahrgangsstufe 12
Berufliche Gymnasien in Sachsen
Technische Fachrichtungen
1. Auflage
Bestellnummer 21525
www.bildungsverlag1.de
Bildungsverlag EINS
Sieglarer Straße 2, 53842 Troisdorf
ISBN 978-3-427-21525-7
© Copyright 2007: Bildungsverlag EINS GmbH, Troisdorf
Das Werk und seine Teile sind urheberrechtlich geschützt. Jede Nutzung in anderen als den gesetzlich zugelassenen Fällen bedarf der vorherigen schriftlichen Einwilligung des Verlages.
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und in ein Netzwerk eingestellt werden. Dies gilt auch für Intranets von Schulen und sonstigen Bildungseinrichtungen.
3
Vorwort
Vorwort
Die beruflichen Gymnasien in Sachsen bauen auf einem mittleren Schulabschluss auf
und führen nach zentralen Prüfungen zur allgemeinen Hochschulreife. Im Mathematikunterricht der zwölften Jahrgangsstufe steht die Differenzialrechnung im Mittelpunkt, daneben wird aber auch Stoff aus der linearen Algebra bzw. analytischen
Geometrie vermittelt. Das vorliegende Buch enthält diese und alle weiteren Inhalte
des neuen Lehrplans für berufliche Gymnasien technischer Richtung in Sachsen. Die
parallele Verwendung mehrerer Lehrbücher erübrigt sich daher.
Neben grafikfähigen Taschenrechnern (GTR) werden im Mathematik-Unterricht
der Oberstufe Computer-Algebra-Systeme (CAS) zunehmend an Bedeutung gewinnen. Wir geben diesen Rechnern in dem Buch vier Aufgabenbereiche:
• Als Kontrolleur bei Aufgaben, die die Schülerinnen und Schüler von Hand (händisch) lösen sollen. Sie können nun sehr oft selbstständig beurteilen, ob ihre Lösung richtig ist oder nicht.
• Als Rechner, der manche umfangreiche und schwierige Rechenarbeit übernimmt
und so die Bearbeitung weiterer interessanter Aufgaben ermöglicht.
• Als Visualisierer, da er Abbildungen, die bisher vorgegeben werden mussten,
erstellen und verändern kann.
• Als Ideengeber, da die Schülerinnen und Schüler experimentieren können, bis
ihnen die richtige Idee kommt.
Neben dem grafikfähigen Taschenrechner Casio CFX-9850 verwenden wir vor allem in den Wahlpflichtbereichen das CAS ClassPad 300 plus, um einen Einblick in
seine Anwendungsmöglichkeiten zu geben. Allerdings haben wir bewusst darauf
verzichtet, die Bedienung des Rechners in den Vordergrund zu stellen. Deshalb können alle Aufgaben und Beispiele auch mit anderen Modellen bearbeitet werden.
Unser Ziel ist es, den Schülerinnen und Schülern zu vermitteln, das Werkzeug GTR/
CAS vernünftig einzusetzen: Wann sollte etwas von Hand gerechnet und wann dem
Rechner überlassen werden, wann können sie den Rechenergebnissen vertrauen und
wann nicht.
Wir empfehlen dringend, sich mit der Programmierung des GTR/CAS zu beschäftigen. Sein Nutzen wird dadurch stark erhöht. Einige Beispiele und Anregungen finden sich im Buch.
Mit * gekennzeichnete Aufgaben stellen erhöhte Anforderungen an den Bearbeiter.
Eine Vielzahl von Aufgaben verlangt eigenverantwortliches Arbeiten. Aufgaben, die
die Verwendung des GTR/CAS erfordern, erkennt man häufig an der Formulierung
„bestimmen Sie näherungsweise“ oder „bestimmen Sie mit dem GTR/CAS“.
Neben dem früher dominierenden Begriff der Tangente wurde die Änderungsrate
als zweiter zentraler Begriff gleichberechtigt gestellt. Das ermöglicht die Aufnahme
realitätsnaher Probleme und führt zu einem umfassenderen Verständnis des Ableitungsbegriffes.
Für Anregungen und Korrekturen sind wir dankbar und werden sie gerne in der
nächsten Auflage berücksichtigen (Rückmeldungen bitte unter [email protected]).
Sommer 2007
Die Verfasser
4
Mathematische Zeichen und Abkürzungen
Mathematische Zeichen und Abkürzungen
Zeichen und Begriffe der Mengenlehre
A ⫽ {0; 1; 2; 3}
A ⫽ {x | x 僆 ⺞ ∧ x ⬍ 4}
2僆A
4僆A
{}
D
W
L
⺞ ⫽ {0; 1; 2; …}
⺪ ⫽ {…; ⫺2; ⫺1; 0; 1; 2; …}
⺡
⺢
⺞*, ⺪*, ⺡*, ⺢*
⺪⫹, ⺡⫹ , ⺢⫹
⺪*⫹, ⺡*⫹, ⺢*⫹
⺪*⫺, ⺡*⫺, ⺢*⫺
Aufzählende Form einer endlichen Menge: Menge A wird
gebildet aus den Elementen 0, 1, 2, 3.
Beschreibende Form einer endlichen Menge: A ist die Menge
aller x, für die gilt: x ist eine natürliche Zahl und x ist kleiner
als 4.
2 ist Element von A.
4 ist kein Element von A.
Leere Menge; sie enthält kein Element.
Definitionsbereich, Definitionsmenge
Wertebereich, Wertemenge
Lösungsmenge
Menge der natürlichen Zahlen (einschließlich der Null)
Menge der ganzen Zahlen
Menge der rationalen Zahlen
Menge der reellen Zahlen
Mengen ⺞, ⺪, ⺡, ⺢ ohne die Null
positive Zahlen der Mengen ⺪, ⺡, ⺢ (einschließlich der Null)
positive Zahlen der Mengen ⺪, ⺡, ⺢ (ohne die Null)
negative Zahlen der Mengen ⺪, ⺡, ⺢ (ohne die Null)
Logische Zeichen
a∧b
a∨b
¬ a (oder ā)
a und b (Konjunktion)
a oder b (Disjunktion)
nicht a (Negation)
a⇒b
a⇔b
wenn a, dann b (Implikation)
a äquivalent (gleichwertig) b (Äquivalenz)
Sonstige Zeichen
|a|
f: x 哫 f (x)
f (x)
Betrag von a. | a | ist diejenige der beiden reellen Zahlen a und
⫺a, die nicht negativ ist.
Funktion: x abgebildet auf f von x
(abgekürzte Sprechweise: x Pfeil f von x)
Funktionsterm, Funktionswert von x
Zeichen aus der Differenzial- und Integralrechnung
lim
f⬘(x)
f ⬙ (x), f ⵮ (x), f (4) (x), …, f (n) (x)
f (x0 ⫹ h) ⫺ f (x0)
)
h
h씮0
Vorschrift der Ableitungsfunktion (kurz: Ableitung); wertgleich dem Differenzialquotienten
höhere Ableitungen
Limes: Grenzwert (z. B. lim
Zeichen aus der Vektorrechnung
aជ, bជ, cជ, …
oជ
A, B, C, …
E
AT
A⫺1
Vektoren
Nullvektor
Matrizen (sg. Matrix)
Einheitsmatrix
transponierte Matrix
inverse Matrix zu A
Inhaltsverzeichnis
1
Lineare Gleichungssysteme
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
1.9.1
1.9.2
Beispiele und Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lineare Gleichungssyteme mit zwei Variablen . . . . . . .
Aufstellen von Parabelgleichungen . . . . . . . . . . . . . . .
Lineare Gleichungssysteme in Stufenform . . . . . . . . . .
Der Gauß’sche Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lineare Gleichungssysteme, Matrizen und der GTR . .
Lineare Gleichungssysteme mit Parametern . . . . . . . . .
Homogene und inhomogene lineare Gleichungssysteme
Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Addition und skalare Multiplikation . . . . . . . . . . . . . .
Matrizenmultiplikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
Folgen, Reihen, Grenzwerte, Regression
2.1
2.1.1
2.1.2
2.1.3
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.7.1
2.7.2
2.8
Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Geometrische Folge und Reihe . . . . . . . . .
Arithmetische Folge und Reihe . . . . . . . . .
Schranken und Monotonie . . . . . . . . . . . .
Nullfolgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Konvergente Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . .
Grenzwert einer Funktion für |x| 씮 ⬁ . . .
Näherungskurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Grenzwert einer Funktion an einer Stelle x0
Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Stetigkeit an einer Stelle x0 . . . . . . . . . . . .
Stetigkeit in Intervallen . . . . . . . . . . . . . . .
Regression und Korrelationskoeffizient . . .
3
Differenzialrechnung
3.1
3.1.1
3.1.2
3.2
3.3
3.3.1
3.3.2
3.4
3.5
3.5.1
3.5.2
3.6
3.6.1
3.6.2
3.6.3
3.7
Differenzen- und Differenzialqoutient . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tangentenproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Änderungsrate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Differenzieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ableitungsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ableitung der Potenzfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ableitung der ganzrationalen Funktion . . . . . . . . . . . . . . . .
Differenzierbarkeit (Johannes Schornstein) . . . . . . . . . . . . .
Stammfunktionen und höhere Ableitungsfunktionen . . . . . .
Stammfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Höhere Ableitungsfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ableitungsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Produktregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Quotientenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kettenregel (Johannes Schornstein) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ableitung der Exponentialfunktionen (Johannes Schornstein)
..............................
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9
. 13
. 15
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. 25
. 33
. 38
. 43
. 43
. 49
..................
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. 62
. 63
. 67
. 70
. 76
. 83
. 86
. 96
. 96
. 100
. 102
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112
118
124
127
127
136
144
150
150
152
157
157
159
163
168
6
Inhaltsverzeichnis
3.7.1
3.7.2
3.7.3
3.8
3.8.1
3.8.2
3.8.3
3.9
Exponentialfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ableitungsfunktion der Exponentialfunktion zur Basis e . . . .
Ableitungs- und Stammfunktion der Exponentialfunktion zur
allgemeinen Basis a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ableitung der Winkelfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Einheitskreis und Bogenmaß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Winkelfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ableitungsfunktion von Sinus- und Kosinusfunktion . . . . . . .
Newton’sches Näherungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 168
. . . . . . . . . . 169
4
Kurvendiskussion
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.5.1
4.5.2
4.6
4.7
4.7.1
4.7.2
4.7.3
4.8
4.9
4.10
Monotonie und Ableitungsfunktion .
Extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kriterien für relative Extrema . . . . . .
Wendestellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Funktionenscharen . . . . . . . . . . . . . .
Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Gemeinsame Punkte von Scharen . . .
Ortskurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vollständige Kurvendiskussion . . . . .
Ganzrationale Funktionen . . . . . . . . .
Exponentialfunktionen . . . . . . . . . . .
Winkelfunktionen . . . . . . . . . . . . . . .
Bestimmen von Funktionsvorschriften
Extremwertprobleme . . . . . . . . . . . .
Modellierung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
Vektoren
5.1
5.1.1
5.1.2
5.1.3
5.2
5.2.1
5.2.2
5.3
Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Anschauungsraum und Koordinatensystem
Parallelverschiebung und Vektoren . . . . . .
Rechnen mit Vektoren . . . . . . . . . . . . . . .
Skalarpodukt zweier Vektoren . . . . . . . . . .
Länge eines Vektors . . . . . . . . . . . . . . . . .
Skalarprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vektorprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
Vollständige Induktion
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
7
Differenzialgleichungen
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
7.1
7.2
7.3
7.4
Einfache Differenzialgleichungen
Exponentielles Wachstum . . . . .
Beschränktes Wachstum . . . . . .
Logistisches Wachstum . . . . . . .
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178
180
183
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241
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246
255
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272
273
275
281
291
291
292
297
308
311
312
314
7
Inhaltsverzeichnis
8
Reelle Vektorräume
8.1
8.2
8.3
8.4
Verknüpfungen . . . . . . . . . . . .
Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vektorräume . . . . . . . . . . . . . .
Rechenregeln in Vektorräumen
9
Fraktale
9.1
9.1.1
9.1.2
9.1.3
9.1.4
9.2
9.2.1
9.2.2
9.2.3
9.3
9.4
9.5
9.6
9.7
9.8
9.9
Unendliche Strecken mit Anfang und Ende . . . . . . . . . . . . . . . .
Koch’sche Kurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kurven von Gosper, Peano und Drachenkurve . . . . . . . . . . . . .
Koch’sche Schneeflocke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Cantor-Staub und Cantor-Menge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Sierpińsksi-Figuren und Menger-Schwamm . . . . . . . . . . . . . . . .
Sierpińsksi-Teppich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Menger-Schwamm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Sierpińsksi-Dreieck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Fraktale Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ein Fraktal mit ganzzahliger Ähnlichkeitsdimension . . . . . . . . .
Anwendung der Ähnlichkeitsdimension auf euklidische Elemente
Box-Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Mandelbrot-Menge und Apfelmännchen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Julia-Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ausblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
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322
323
327
333
(Hans-Christian Ahlmann) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338
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340
340
343
344
344
345
346
346
347
349
350
352
352
353
359
360
Verzeichnis der Definitionen und Sätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361
Sachwortverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364
Bildquellenverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368
291
Skalarprodukt zweier Vektoren
5
5.2
Skalarprodukt zweier Vektoren
5.2.1
Länge eines Vektors
Impuls
Welchen Abstand hat der Punkt P(⫺6/4/0) vom Ursprung?
z
–6
P
1
1
1
2
3
4
y
x
>
Dieselbe Länge hat der Ortsvektor OP, wenn man definiert:
Definition 5.5
Unter der Länge bzw. dem Betrag eines Vektors versteht man die Länge von
einem der gleich langen Pfeile, die den Vektor darstellen. Die Länge bzw. der
Betrag von aជ wird mit |aជ | bezeichnet.
beispiel
Um die Länge des Vektors
冢 冣
⫺3
6 zu berechnen, wenden wir zweimal den Satz des
2
Pythagoras an. Die Länge d eines Pfeils des Vektors entspricht der Länge der
Raumdiagonalen in nachstehendem Quader. Diese können wir berechnen, wenn
wir die Länge k der Flächendiagonalen auf dem Boden des Quaders kennen.
Flächendiagonale: k2 ⫽ 32 ⫹ 62 ⫽ (⫺3)2 ⫹ 62
z
Raumdiagonale: d2 ⫽ k2 ⫹ 22
⫽ (⫺3)2 ⫹ 62 ⫹ 22 ⫽ 49
7
2
Demnach hat der Vektor die Länge
2
–3
2
2
冪3 + 6
d ⫽ 冪49 ⫽ 7.
1
3
Es ist offensichtlich, dass sich obige Überle6
1
gungen auf jeden Vektor übertragen lassen:
1 2 3 4 5 6 y
|aជ | ⫽
冨冢 冣冨
a1
a2
a3
x
⫽
冪a21
⫹
a22
⫹
a23.
>
Kennen wir die Länge des Vektors PQ, können wir den Abstand der beiden
>
Punkte P und Q bestimmen. Er entspricht natürlich der Länge des Vektors PQ.
beispiel
Die beiden Punkte P(⫺4/2/9) und Q(5/⫺1/3) haben den Abstand
>
d ⫽ |PQ| ⫽
冨冢 冣冨
9
⫺3
⫺6
⫽ 冪81 ⫹ 9 ⫹ 36 ⫽ 冪126 艐 11,2.
292
5
Vektoren
aufgaben
01
Berechnen Sie die Länge.
冢冣
1
a) aជ ⫽ 1
1
02
03
冢冣
1
b) bជ ⫽ 0
0
c) cជ ⫽
冢 冣
3r
4r
12 r
d) dជ ⫽ r ⭈
冢冣
12
8
9
Wie weit sind die Punkte A und B voneinander entfernt?
a) A (1/2/3) und B (7/10/27)
b) A (⫺2/1/11) und B (3/⫺2/⫺8)
c) A (4/6/15) und B (⫺3/⫺4/⫺12)
d) A (3/4/12) und B (⫺3/⫺4/⫺12)
Gegeben sind die Vektoren:
3
8
4
5
2
3
冢冣 冢 冣 冢 冣 冢冣 冢冣
3
4
7
3,2 , cជ ⫽ ⫺3 , dជ ⫽
aជ ⫽ 4 , bជ ⫽
3
⫺1,9
0
1
, eជ ⫽ 0
0
a) Berechnen Sie die Länge der Vektoren.
b) Geben Sie jeweils einen Vektor an, der die gleiche Richtung hat, aber dessen Länge
1 Einheit (3 Einheiten) beträgt.
04
Eine Kugel im Raum hat den Mittelpunkt
a) O(0/0/0) und den Kugelpunkt P(3/⫺2/5);
b) M(3/5/1) und den Kugelpunkt P(2/1/4);
c) M(2/3/1) und den Kugelpunkt P(4/1/2).
Bestimmen Sie ihren Radius und drei weitere Kugelpunkte.
05
Beweisen Sie: Für jeden Vektor aជ und jede Zahl r gilt |r ⋅ aជ | ⫽ |r| ⋅ |aជ |.
5.2.2
Skalarprodukt
In der Physik versteht man unter „Arbeit“ das Produkt aus Kraft und Weg. Kraft
und Weg sind Vektoren, weil zu diesen Größen Richtungen gehören, während
Arbeit ein Skalar (Größe ohne Richtung) ist. Da dieses Produkt zweier Vektoren
einen Skalar ergibt, heißt es Skalarprodukt.
Um ein Skalarprodukt von einem Produkt im üblichen Sinn zu unterscheiden,
verwenden wir statt des Malpunktes ein Sternchen *.
Hinweis
1 Newton (N) ist die Einheit der Kraft. Auf der Erde wirkt auf einen Körper mit
1 kg Masse etwa die Gewichtskraft 10 N.
1 Joule (J) ist die Einheit der Arbeit und der Energie: 1 J ⫽ 1 N ⋅ 1 m.
5
293
Skalarprodukt zweier Vektoren
beispiele
1. Welche Arbeit muss ein Kran verrichten, um eine 2000 N
schwere Palette mit Ziegeln 20 m hoch ins achte Geschoss
eines im Bau befindlichen Hauses zu heben?
Hier zieht der Kran nach oben und die Palette bewegt sich
nach oben. Haben der Kraftvektor Fជ und der Wegvektor ជs
dieselbe Richtung, ist die Arbeit W das Produkt der Beträge von Fជ und ជs :
W ⫽ Fជ * ជs ⫽ |Fជ | ⋅ |sជ | ⫽ F ⋅ s ⫽ 2000 N ⋅ 20 m ⫽ 40000 J.
2. In der Eissporthalle von Jonsdorf wird das Musical „Räuber Hotzenplotz“ aufgeführt. Im zweiten Akt stiehlt der
Räuber eine 200 N schwere Truhe. Da an der Truhe Kufen
angebracht sind, ist die Reibung minimal. Ein ganz
leichter Stoß genügt, sie 10 m weit
über die Eisfläche gleiten zu lassen.
Die Arbeit zur Beförderung der
Truhe ist 0 J.
Im dritten Akt trägt Hotzenplotz
dieselbe Truhe, muss also ständig die
Kraft 200 N nach oben ausüben, um
sie zu halten. Sein Komplize gibt
dem auf Schlittschuhen stehenden
Räuber einen ganz leichten Stoß,
woraufhin er zusammen mit der Truhe ebenfalls 10 m weit über die Eisfläche
gleitet. Das Ergebnis ist dasselbe wie oben. Obwohl Hotzenplotz ständig eine
Kraft von 200 N ausübt, während er 10 m weit über die Eisfläche gleitet, verrichtet
er keine Arbeit.
Eine Kraft, die senkrecht zum Weg ist, verrichtet keine Arbeit. Das Produkt Fជ * ជs
ist null.
3. Sind der Kraftvektor Fជ und der Wegvektor ជs weder parallel noch senkrecht zueinander, dann spielt bei der Berechnung der Arbeit W der Winkel a zwischen den
beiden Vektoren eine Rolle. Das Ergebnis muss aber auch in diesem Fall eine reelle
Zahl sein.
Erna zieht mit der Kraft 100 N einen Schlitten 50 m weit. Dabei schließen der
Kraftvektor Fជ und der Wegvektor ជs einen Winkel a ⫽ 30° ein.
FN
F
30°
Fs
Um die Arbeit zu berechnen, >kann man den Kraftvektor in zwei Komponenten
zerlegen, eine Komponente FN , die senkrecht zum Wegvektor ជs wirkt, und eine
>
Komponente Fs , parallel zu ជs.
294
5
Vektoren
Da die Kraftkomponente, die senkrecht zum Weg wirkt, keine Arbeit verrichtet,
berechnet sich die Arbeit nach der Formel:
>
>
>
>
W ⫽ F * ជs ⫽ Fs * ជs ⫽ |Fs | ⋅ |sជ | ⫽ | F | ⋅ |sជ | ⋅ cos(a).
Allgemein definiert man:
Definition 5.6
Unter dem Skalarprodukt aជ * bជ zweier Vektoren aជ und bជ , die den Winkel a
(0° ⱕ a ⱕ 180°) einschließen, versteht man die Zahl |aជ | ⋅ |bជ | ⋅ cos(a):
aជ * bជ ⫽ |aជ | ⋅ |bជ | ⋅ cos(a).
In dieser Gleichung lässt sich |bជ | ⋅ |cos(a)| als die Länge d der Projektion von bជ
auf aជ deuten. Entsprechend ist |aជ | ⋅ |cos(a)| die Länge der Projektion von aជ auf bជ .
Stellen Sie sich vor, dass Lichtstrahlen senkrecht auf aជ fallen. Die Länge des Schattens, den bជ auf aជ (oder seine Verlängerung) wirft, entspricht der Länge der Projektion von bជ auf aជ .
0° ⱕ a ⱕ 90° (d. h. cos (a) ⱖ 0)
90° ⬍ a ⱕ 180° (d. h. cos (a) ⬍ 0)
Licht
Licht
b
b
␣
Schatten
a
|bជ | ⋅ cos (a) ⫽ |bជ | ⋅ |cos(a)|
180° – ␣
␣
a
Schatten
|bជ | ⋅ cos (180° ⫺ a) ⫽ |bជ | ⋅ (⫺cos(a)) ⫽ |bជ | ⋅ |cos(a)|
冢冣 冢 冣
2
1
Es ist nicht einfach, den Winkel etwa zwischen den Vektoren 3 und ⫺2 anzu3
2
geben, um so das Skalarprodukt auszurechnen. Allerdings gibt es einen einfacheren
Weg, das Skalarprodukt zu bestimmen und, wenn es bekannt ist, umgekehrt den
Winkel zwischen den Vektoren zu bestimmen.
Satz 5.7
Im Anschauungsraum gilt für das Skalarprodukt aជ * bជ der beiden Vektoren
冢冣
冢冣
a1
b1
aជ ⫽ a2 und bជ ⫽ b2 :
a3
b3
aជ * bជ ⫽ a1 ⋅ b1 ⫹ a2 ⋅ b2 ⫹ a3 ⋅ b3.
Beweis
Nach dem Kosinussatz gilt in nebenstehendem Dreieck
|cជ | 2 ⫽ |aជ | 2 ⫹ |bជ | 2 ⫺ 2 ⋅ |aជ | ⋅ |bជ | ⋅ cos(a).
Da der Vektor aជ die Summe von bជ und cជ ist, ist weiterhin
cជ ⫽ aជ ⫺ bជ
und somit
␣
b
a
c
5
295
Skalarprodukt zweier Vektoren
|aជ ⫺ bជ | 2 ⫽ |aជ | 2 ⫹ |bជ | 2 ⫺ 2 ⋅ |aជ | ⋅ |bជ | ⋅ cos(a)
oder umgeformt
1
|aជ | ⋅ |bជ | ⋅ cos(a) ⫽ 2 ⋅ (|aជ | 2 ⫹ |bជ | 2 ⫺ |aជ ⫺ bជ | 2).
Da nach der Definition des Skalarprodukts aជ * bជ ⫽ |aជ | ⋅ |bជ | ⋅ cos(a) gilt und die
Länge eines Vektors die Wurzel aus der Summe seiner Koordinatenquadrate ist,
erhält man
1
aជ * bជ ⫽ ⋅ (a21 ⫹ a22 ⫹ a23 ⫹ b21 ⫹ b22 ⫹ b23 ⫺ ((a1 ⫺ b1)2 ⫹ (a2 ⫺ b2)2 ⫹ (a3 ⫺ b3)2)).
2
Löst man die Binome auf, ergibt sich die Behauptung:
1
aជ * bជ ⫽ 2 ⋅ (2 a1 ⋅ b1 ⫹ 2 a2 ⋅ b2 ⫹ 2 a3 ⋅ b3) ⫽ a1 ⋅ b1 ⫹ a2 ⋅ b2 ⫹ a3 ⋅ b3.
beispiele
冢冣 冢 冣
冢 冣
1
⫺3
1. Ist aជ ⫽ 2 und bជ ⫽
2 , dann ist aជ * bជ ⫽ 1 ⋅ (⫺3) ⫹ 2 ⋅ 2 ⫹ 4 ⋅ (⫺1) ⫽ ⫺3.
4
⫺1
2. Ist aជ ⫽
5
3 , dann ist aជ * aជ ⫽ 52 ⫹ 32 ⫹ (⫺2)2 ⫽ 38 ⫽ |aជ | 2.
⫺2
冢冣
冢 冣
2
1
3. Für den Winkel a zwischen den Vektoren aជ ⫽ 3 und bជ ⫽ ⫺2 gilt
3
2
aជ * bជ
2
2 ⋅ 1 ⫹ 3 ⋅ (⫺2) ⫹ 3 ⋅ 2
cos(a) ⫽
⫽
艐 0,142.
⫽
|aជ | ⋅ |bជ | 冪22 ⫹ 32 ⫹ 32 ⋅ 冪12 ⫹ (⫺2)2 ⫹ 22 冪22 ⋅ 冪9
Somit ist a 艐 81,8°.
Einen Sonderfall stellen orthogonale1 Vektoren dar, d. h. Vektoren die senkrecht
aufeinander stehen. Da cos(90°) ⫽ 0 ist, folgt unmittelbar aus der Definition des
Skalarprodukts:
Satz 5.8
Sind zwei Vektoren orthogonal, dann ist ihr Skalarprodukt null.
Ist das Skalarprodukt zweier Vektoren null und keiner der beiden Vektoren der
Nullvektor, dann sind die Vektoren orthogonal.
beispiele
冢冣 冢冣 冢冣
1
0
0
Die drei Einheitsvektoren 0 , 1 , 0 stehen paarweise senkrecht aufeinander,
0
0
1
das Skalarprodukt von jeweils zwei dieser drei Vektoren ist null.
冢 冣 冢 冣
⫺2
8
Das Skalarprodukt der beiden Vektoren ⫺6 und ⫺3 ist null, deshalb schlie1
⫺2
ßen die beiden Vektoren den Winkel 90° ein.
1 orthogonios (gr.) von orthos ⫺ recht und gonia ⫺ Winkel.
296
5
Vektoren
beispiel
冢冣 冢 冣
2
⫺4
Gibt es einen Vektor nជ , der auf den beiden Vektoren 3 und
4 senkrecht steht?
1
2
冢冣
冢 冣冢冣
n1
Das Skalarprodukt des gesuchten Vektors nជ ⫽ n2 mit den beiden Vektoren muss
n3
null sein:
冢冣 冢 冣
2
n1
3 * n2 ⫽ 0 und
1
n3
⫺4
n1
4 * n2 ⫽ 0.
2
n3
Das führt zu dem homogenen linearen Gleichungssystem
2 n1 ⫹ 3 n 2 ⫹ n 3 ⫽ 0
⫺4 n1 ⫹ 4 n2 ⫹ 2 n3 ⫽ 0
2 ⭈ (1) ⫹ (2)
Seine Lösung ist:
n1 ⫽ 0,1 k;
n2 ⫽ ⫺0,4 k;
n3 ⫽ k.
2 n1 ⫹ 3 n 2 ⫹ n 3 ⫽ 0
10 n2 ⫹ 4 n3 ⫽ 0
Da das LGS nicht eindeutig lösbar ist, gibt es mehrere Vektoren, die auf beiden
冢 冣
0,1
gegebenen Vektoren senkrecht stehen. Sie haben die Form k ⋅ ⫺0,4 und unter1
scheiden sich nur in ihrer Länge. Oft wählt man k so, dass der Vektor nជ aus ganzen
冢 冣
1
Zahlen besteht. Für k ⫽ 10 erhält man nជ ⫽ ⫺4 .
10
aufgaben
01
a)
Bestimmen Sie das Skalarprodukt der Vektoren aជ und bជ (1 Kästchenlänge Ⳏ 1 cm).
b)
c)
a
a
b
a
b
b
d)
e)
f)
a
a
b
b
b
a
5
02
297
Vektorprodukt
Gegeben sind die Vektoren
冢 冣 冢 冣 冢 冣 冢冣 冢冣
3
5
3
1
1
aជ ⫽ ⫺1 , bជ ⫽ ⫺3 , cជ ⫽
1 , dជ ⫽ 1 , eជ ⫽ 0 .
0
2
⫺4
1
0
Bilden Sie das Skalarprodukt der Vektoren. Welchen Winkel schließen Sie ein?
a) aជ und bជ
b) bជ und eជ
c) dជ und cជ
d) aជ und cជ
e) bជ und cជ
冢 冣
⫺2
4 mit den Koordinatenachsen ein?
3
03
Welche Winkel schließt der Vektor aជ ⫽
04
Berechnen Sie die Seitenlängen und Innenwinkel des Dreiecks mit den Eckpunkten:
a) A (3/⫺2), B (6/⫺2) und C (3/2).
05
b) A (3/4/1), B (6/7/2) und C (5/6/6)
Für welchen Wert von t sind die Vektoren aជ und bជ orthogonal?
冢冣 冢冣
冢 冣 冢冣
1
a) aជ ⫽ t ,
1
4
bជ ⫽ 2
1
冢 冣 冢冣
1
b) aជ ⫽ ⫺t
t
t
bជ ⫽ 2 ,
t
c) aជ ⫽
t2
t
d) aជ ⫽ ⫺2t , bជ ⫽ ⫺t
3
2t
冢 冣 冢冣
t
4
2t , bជ ⫽ t
⫺2
3
冢 冣冢 冣
06
a
a2
Diskutieren Sie den Graphen der Funktion f mit f (a) ⫽ a ⫹ 1 * ⫺8
a⫹2
1
5.3
Vektorprodukt
冢冣
冢冣
a1
b1
Neben dem Skalarprodukt aជ * bជ zweier Vektoren aជ ⫽ a2 und bជ ⫽ b2 gibt es
a3
b3
ជ
noch das Vektorprodukt aជ ⫻ b. Wegen des verwendeten Multiplikationszeichens
wird es auch Kreuzprodukt genannt. Die Namen beider Produkte beziehen sich
auf das Ergebnis der Multiplikation. Beim Skalarprodukt ist es eine Zahl (Skalar),
beim Vektorprodukt ein Vektor. Im Gegensatz zum Skalarprodukt, das für Vektoren mit beliebig vielen Komponenten definiert ist, ist das Vektorprodukt nur für
Vektoren mit drei Komponenten erklärt.
Beim Vektorprodukt ist der Produktvektor cជ ⫽ aជ ⫻ bជ so festgelegt, dass cជ senkrecht zu den beiden Vektoren aជ und bជ ist. Man sagt auch, ជc steht senkrecht auf der
von aជ und bជ aufgespannten Ebene. Es gilt also
aជ * cជ ⫽ 0 und bជ * cជ ⫽ 0.
298
5
Vektoren
冢冣
c1
cជ ⫽ c2 ist daher Lösung des mehrdeutig lösbaren linearen Gleichungssystems
c3
a1 ⋅ c1 ⫹ a2 ⋅ c2 ⫹ a3 ⋅ c3 ⫽ 0
(1)
b1 ⋅ c1 ⫹ b2 ⋅ c2 ⫹ b3 ⋅ c3 ⫽ 0
(2)
Wir lösen es und nehmen dazu an, dass die erforderlichen Divisionen möglich
sind. Zuerst addieren wir die mit ⫺
b1
multiplizierte Gleichung (1) zur Gleichung
a1
(2). Die neue zweite Gleichung lautet dann
b1
b1
⫺ ⋅ a2 ⋅ c2 ⫹ b2 ⋅ c2 ⫺ ⋅ a3 ⋅ c3 ⫹ b3 ⋅ c3 ⫽ 0.
a1
a1
Nach multiplizieren mit a1 und ausklammern ergibt sich daraus
(a1 ⋅ b2 ⫺ a2 ⋅ b1) ⋅ c2 ⫹ (a1 ⋅ b3 ⫺ a3 ⋅ b1) ⋅ c3 ⫽ 0.
Wir wählen c3 als freie Variable: c3 ⫽ k mit k 僆 ⺢.
Dann berechnen wir c2 aus der umgeformten Gleichung (2) und c1 aus der Gleichung (1).
Die Lösungen dieses LGS sind
a2 ⋅ b3 ⫺ a3 ⋅ b2
a1 ⋅ b2 ⫺ a2 ⋅ b1
cជ ⫽ k ⋅
冢
a3 ⋅ b1 ⫺ a1 ⋅ b3
a1 ⋅ b2 ⫺ a2 ⋅ b1
1
冣
mit k 僆 ⺢.
Ein einfacher Lösungsvektor ergibt sich für k ⫽ a1 ⋅ b2 – a2 ⋅ b1 :
a2 ⋅ b3 ⫺ a3 ⋅ b2
cជ ⫽ a3 ⋅ b1 ⫺ a1 ⋅ b3 .
a1 ⋅ b2 ⫺ a2 ⋅ b1
冢
冣
Impuls
Zeigen Sie, dass obiger Vektor cជ auch dann senkrecht zu aជ und bជ ist, wenn gilt
a1 ⫽ 0 oder a1 ⋅ b2 ⫺ a2 ⋅ b1 ⫽ 0.
Definition 5.9 (Vektorprodukt)
a1
b1
a2 ⋅ b3 ⫺ a3 ⋅ b2
Für Vektoren aជ ⫽ a2 und bជ b2 heißt aជ ⫻ bជ ⫽ a3 ⋅ b1 ⫺ a1 ⋅ b3
a3
b3
a1 ⋅ b2 ⫺ a2 ⋅ b1
(gelesen „aជ Kreuz bជ “) das Vektorprodukt von aជ und bជ .
冢冣 冢冣
冢
冣
beispiel
冢冣 冢 冣 冢
冣 冢 冣
⫺4
3⋅5⫺7⋅6
⫺27
2
6 ⫽ 7 ⋅ (⫺4) ⫺ 2 ⋅5 ⫽ ⫺38
3 ⫻
5
2 ⋅ 6 ⫺ 3 ⋅ (⫺4)
24
7
Die Formel, wie das Vektorprodukt zu berechnen ist, ist schwer zu behalten. Es
gibt aber eine einfache Faustregel: Man schreibt beide Vektoren jeweils untereinander und streicht die erste und die letzte Zeile.
5
299
Vektorprodukt
⫺4
6
5
⫺4
6
5
2
3
7
2
3
7
3⋅5 ⫺7⋅6
7 ⋅ (⫺4) ⫺ 2 ⋅ 5
2 ⋅ 6 ⫺ 3 ⋅ (⫺4)
Dann multipliziert man die beiden Zahlen an den Enden der grünen Linien und
subtrahiert davon das Produkt der beiden Zahlen an den Enden der roten Linien.
Eigenschaften des Vektorprodukts
• Sind aជ und bជ linear abhängig, d. h. gilt aជ ⫽ r ⋅ bជ mit r 僆 ⺢, dann ist das Vektorprodukt der Nullvektor:
rb2 ⋅ b3 ⫺ rb3 ⋅ b2
0
aជ ⫻ bជ ⫽ (r ⋅ bជ ) ⫻ bជ ⫽ rb3 ⋅ b1 ⫺ rb1 ⋅ b3 ⫽ 0 ⫽ oជ .
rb1 ⋅ b2 ⫺ rb2 ⋅ b1
0
ជ
Sind aជ und b linear unabhängig, dann steht der Produktvektor aជ ⫻ bជ senkrecht
auf aជ und senkrecht auf bជ .
• Die Vektoren aជ , bជ , aជ ⫻ bជ bilden in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem.
冢
冣 冢冣
a⫻b
b
b
a
a
a⫻b
a
a⫻b
b
b
a
a⫻b
Ob drei Vektoren ein Rechtssystem bilden, lässt sich einfach feststellen, wenn man
den Daumen der rechten Hand in Richtung des ersten Vektors und den Zeigefinger in Richtung des zweiten Vektors hält. Zeigt der abgespreizte Mittelfinger in
Richtung des dritten Vektors, bilden die drei Vektoren ein Rechtssystem.
Der Nachweis, dass aជ , bជ , aជ ⫻ bជ ein Rechtssystem bilden, ist einfach zu führen:
Wir legen dazu das Koordinatensystem so, dass die x-Achse die Richtung von aជ
hat und die x-y-Ebene mit der von aជ und bជ aufgespannten Ebene zusammenfällt.
In diesem Fall gilt
aជ ⫽
冢冣
冢冣
a1
b1
0 mit a1 ⬎ 0, bជ ⫽ b2
0
0
und aជ ⫻ bជ ⫽
冢 冣
0
0
.
a1 ⋅ b2
300
Vektoren
5
Liegt der Vektor bជ rechts von der
x-Achse, ist b2 ⬎ 0 und der Vektor
aជ ⫻ bជ zeigt in Richtung der z-Achse.
Liegt der Vektor bជ links von der
x-Achse, ist b2 ⬍ 0 und der Vektor
aជ ⫻ bជ hat die Gegenrichtung der
z-Achse.
z
z
a⫻b
b
b
y
a
y
a
x
x
a⫻b
• Kennt man von einem Parallelogramm die Längen der Seiten und den Winkel,
den zwei Seiten einschließen, kann man aus diesen Angaben die Fläche des Parallelogramms berechnen:
b
h
h
a
a
l
a
a
180° – a
A ⫽ a ⋅ h ⫽ a ⋅ b ⋅ sin(a)
A ⫽ a ⋅ h ⫽ a ⋅ b ⋅ sin(180° – a) ⫽ a ⋅ b ⋅ sin(a)
Die beiden Vektoren aជ und bជ legen ein Parallelogramm fest oder spannen es auf.
Für dieses Parallelogramm gilt folgender Satz:
Satz 5.10 (Flächeninhalt eines Parallelogramms)
Der Betrag von aជ ⫻ bជ ist gleich dem Flächeninhalt des von aជ und bជ aufgespannten Parallelogramms:
|aជ ⫻ bជ | ⫽ |aជ | ⋅ |bជ | ⋅ sin(a).
Beweis
|aជ ⫻ bជ |2 ⫽ (aជ ⫻ bជ )2
Definition Betrag eines Vektors
⫽ (a2 ⋅ b3 ⫺ a3 ⋅ b2) ⫹ (a3 ⋅ b1 ⫺ a1 ⋅ b3) ⫹ (a1 ⋅ b2 ⫺ a2 ⋅ b1)2
2
2
Definition Vektorprodukt
⫽ a22 ⋅ b23 ⫹ a23 ⋅ b22 ⫹ a23 ⋅ b21 ⫹ a21 ⋅ b23 ⫹ a21 ⋅ b22 ⫹ a22 ⋅ b21 ⫺ 2 ⋅ (a2 ⋅ a3 ⋅ b2 ⋅ b3 ⫹ a1 ⋅ a3 ⋅ b1 ⋅ b3 ⫹ a1 ⋅ a2 ⋅ b1 ⋅ b2)
2. binomisches Gesetz und sortieren
⫽ (a21 ⫹ a22 ⫹ a23) ⋅ (b21 ⫹ b22 ⫹ b23) ⫺ (a1 ⋅ b1 ⫹ a2 ⋅ b2 ⫹ a3 ⋅ b3)2
Überprüfen durch Ausmultiplizieren
Satz 5.7
⫽ |aជ |2 ⋅ |bជ |2 ⫺ (aជ * bជ )2
Definition des Skalarprodukts
⫽ |aជ |2 ⋅ |bជ |2 ⫺ |aជ |2 ⋅ |bជ |2 ⋅ cos2(a)
⫽ |aជ |2 ⋅ |bជ |2 ⋅ (1 ⫺ cos2(a))
ausklammern
⫽ |aជ |2 ⋅ |bជ |2 ⋅ sin2(a)
trigonometrischer Pythagoras
Für den Winkel a zwischen den beiden Vektoren aជ und bជ gilt: 0° ⱕ a ⱕ 180°. In diesem
Bereich ist sin(a) ⱖ 0 und somit |aជ ⫻ bជ | ⫽ |aជ | ⋅ |bជ | ⋅ sin(a).
301
Vektorprodukt
5
beispiel
Die Punkte A(3/7/2), B(6/4/8) und C(⫺2/9/6) sind Eckpunkte eines Parallelogramms. Verwendet man die übliche Bezeichnung der Ecken, gilt für den vierten
Eckpunkt D des Parallelogramms
3
⫺2
6
⫺5
>
>
>
>
>
>
9 ⫺ 4 ⫽ 12 .
OD ⫽ OA ⫹ BC ⫽ OA ⫹ OC ⫺ OB ⫽ 7 ⫹
2
6
8
0
Der Flächeninhalt des Parallelogramms beträgt
冢冣 冢 冣 冢冣 冢 冣
冨
>
>
冨
AD ⫻ AB ⫽
冨冢 冣 冢 冣冨 冨冢 冣冨
⫺8
3
5 ⫻ ⫺3
⫺2
6
⫽
24
42
9
⫽ 冪242 ⫹ 422 ⫹ 92 艐 49,20 (FE).
aufgaben
Bestimmen Sie das Vektorprodukt.
01
a)
d)
g)
冢冣 冢 冣
冢 冣 冢冣
冢冣 冢 冣
1
2
2 ⫻ ⫺1
3
⫺2
b)
⫺1
2
⫺1 ⫻ 1
⫺1
0
e)
0
0
0 ⫻
3
1
⫺2
h)
冢 冣 冢 冣
冢冣 冢冣
冢 冣 冢 冣
冢 冣 冢冣
冤冢 冣 冢 冣冥 冢 冣 冢 冣 冤冢 冣 冢 冣冥
⫺3
8
0 ⫻
6
1
⫺5
c)
1
0
0 ⫻ 1
0
0
11
⫺1
⫺3 ⫻ ⫺4
2
⫺8
f)
0
0
3 ⫻ 0
⫺2
1
i)
2
1 ⫻
7
2
⫺1
1 ⫻
1
7
2
2
⫻ 1
0
⫺1
2
1 ⫻ 1
2
0
02
Bestimmen Sie das Vektorprodukt der Vektoren von Aufgabe 01 auf Seite 296.
03
Bestimmen Sie mithilfe des Vektorprodukts den Winkel, den die beiden Vektoren
einschließen.
a)
冢冣 冢 冣
3
1 ,
4
1
4
⫺3
b)
冢 冣 冢 冣
⫺1
1 ,
0
3
⫺2
4
c)
冢冣 冢冣
1
0 ,
0
0
1
0
04
Bestimmen Sie den fehlenden Eckpunkt des Parallelogramms und berechnen Sie
seine Fläche.
a) A(3/1/2), B(4/2/7), C(7/3/9)
b) A(0/0/1), B(2/1/0), C(6/0/2)
05
Untersuchen Sie, ob für das Vektorprodukt das folgende Gesetz gilt:
a) Kommutativgesetz aជ ⫻ bជ ⫽ bជ ⫻ aជ
b) Assoziativgesetz aជ ⫻ (bជ ⫻ cជ) ⫽ (aជ ⫻ bជ ) ⫻ cជ
c) Distributivgesetz aជ ⫻ (bជ ⫹ cជ) ⫽ aជ ⫻ bជ ⫹ aជ ⫻ cជ