Protokoll zu Versuch M1: Pendel 1. Einleitung Die

Gruppe 8m
Björn Baumeier
Jan Auffenberg
Protokoll zu Versuch M1: Pendel
1. Einleitung
Die Eigenschaften und Bewegungen der in diesem Versuch untersuchten Fadenund Federpendel, werden durch eine besonders einfache harmonische Schwingung
beschrieben. Diese harmonische Schwingung ist eine elementare Form der Bewegung in der Physik.
2. Theorie
2.1 Mathematisches Pendel
Um eine Pendelbewegung einfach beschreiben zu können, wendet man folgende
Abstraktionen a:
-
Die Gesamtmasse m ist im Schwerpunkt konzentriert;
-
der Massepunkt ist durch einen masselosen Faden reibungsfrei aufgehängt;
Auf dem Massepunkt wirkt die Gewichtskraft, maßgeblich für die Pendelbewegung ist
aber nur der tangentiale Anteil. Betrachtet man weiterhin nur kleine Auslenkungen,
so daß man sin ϕ ≈ ϕ annehmen kann und berücksichtigt, daß sich die Beschleuni••
gung des Massepunktes zu a = l ϕ ergibt, erhält man die Newtonsche Bewegungsgleichung:
••
g
ϕ+ ϕ = 0
l
Diese homogene Differentialgleichung beschreibt eine harmonische Schwingung. Ein
Lösung dieser Gleichung ist:
 g 
ϕ = C sin
t  + D
 l 
C,D aus Randbedingungen
Die Schwingungsdauer T eines mathematischen Pendels ist:
T = 2π
l
g
1
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2.2 Federpendel
Die Beschreibung der Bewegung eines Federpendels erfolgt grundsätzlich analog
zum Fadenpendel. Jedoch betrachtet man hier Längenauslenkungen x anstatt Winkeln ϕ und die für die Bewegung maßgebliche rückstellende Kraft wird durch die Federkonstante D der Feder bestimmt.
Man erhält so für die Newtonsche Bewegungsgleichung:
••
x+
D
x=0
m
Die Schwingungsdauer T ist:
T = 2π
m
D
Hierbei ist die Eigenmasse der Feder m‘ noch unberücksichtigt geblieben. Will man
diese Eigenmasse in die Formel für die Schwingungsdauer einbeziehen, so erhält
man aus energetischen Überlegungen:
T = 2π
m'
3
D
m+
2.3 Parallelschaltung zweier Federn
Schaltet man zwei Federn parallel, so werden beide Federn um die gleiche Strecke
ausgelenkt, d.h. F = −( D1 + D2 ) x = − D ges x
⇒ D ges = D1 + D2
2.4 Reihenschaltung zweier Federn
Schaltet man zwei Federn in Reihe, so wirkt auf beide Federn die gleiche Kraft F, es
 1
1 
1
 F = −
ist also: x = −
+
F
D ges
 D1 D2 
⇒
1
1
1
=
+
D ges D1 D2
2
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3. Beschreibung der Apparatur
3.1 Zubehör
-
1 Fadenpendel mit Halterung
-
1 Federpendel mit Bügel, Gewichtsstücken und 2 Federn
-
1 Stroboskop
-
1 Visiereinrichtung mit Strickmarkierung
-
1 Balkenwaage mit Gewichtssatz
-
1 Meßlatte
-
1 Schieblehre
-
1 Stoppuhr
3.2 Aufbau des Versuchs
Die folgenden Abbildungen zeigen die verschiedenen im Versuch untersuchten Pendel:
3
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4. Durchführung des Versuchs
4.1 Bestimmung der Schwingungsdauer des Fadenpendels
Im folgenden werden die Ergebnisse Messung der Schwingungsdauer T des Fadenpendels bei verschiedenen Längen tabellarisch dargestellt. Um die Schwingungsdauer besser zu bestimmen wurde die Dauer t von 100 Schwingungen gemessen.
Bei der Abschätzung der Unsicherheit der Bestimmung der Schwingungsdauer benutzt man die vorgegebene Beschränkung
∆T
∆l
= 0,2 .
T
l
∆l
l
∆t
t
90 cm
± 1 cm
190 s
± 1s
80 cm
± 1 cm
180 s
± 1s
70 cm
± 1 cm
168 s
± 1s
60 cm
± 1 cm
156 s
± 1s
50 cm
± 1 cm
141 s
± 1s
96 cm
± 1 cm
196 s
± 1s
Die blau markierten Werte zeigen eine spezielle Messung bei vorgegebener Länge
l = 96 cm zur Bestimmung der Erdbeschleunigung.
4.2 Bestimmung der Schwingungsdauer des Fadenpendels mit Stroboskop
Im folgenden werden die Ergebnisse Messung der Schwingungsdauer T des Fadenpendels mit Hilfe des Strboskops tabellarisch dargestellt. Um die Schwingungsdauer
zu bestimmen wurde die Zahl der Lichtblitze gemessen, die zwischen zwei Koinzidenzen zwischen dem Faden und der vorher justierten Markierung vom Stroboskop
ausgesandt werden. Um den Fehler gering zu halten ist es erforderlich, die Zahl der
Lichtblitze zwischen mehreren aufeinander folgenden Koinzidenzen zu messen.
∆l
l
k
n
96 cm
± 1 cm
1
54
96 cm
± 1 cm
1
47
96 cm
± 1 cm
1
56
96 cm
± 1 cm
2
98
96 cm
± 1 cm
3
144
k: Zahl der Koinzidenzen
n: Zahl der Lichtblitze
4
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4.3 Bestimmung der Federkonstanten
4.3.1 Statische Bestimmungen
Um die Federkonstante statisch zu bestimmen, misst man die Auslenkungen der Feder in Abhängigkeit von der angehängten Masse. Es wurde gemessen:
a) Große Feder
∆m
m
∆x
x
38 g
± 1g
1,6 cm
± 0,1 cm
58 g
± 1g
3,1 cm
± 0,1 cm
88 g
± 1g
4,4 cm
± 0,1 cm
118 g
± 1g
5,6 cm
± 0,1 cm
218 g
± 1g
9,8 cm
± 0,1 cm
b) Kleine Feder
∆m
m
∆x
x
108 g
± 1g
1,2 cm
± 0,1 cm
168 g
± 1g
1,5 cm
± 0,1 cm
218 g
± 1g
2,1 cm
± 0,1 cm
318 g
± 1g
3,1 cm
± 0,1 cm
418 g
± 1g
4,0 cm
± 0,1 cm
c) Beide Federn parallel
∆m
m
∆x
x
157 g
± 2g
0,9 cm
± 0,1 cm
207 g
± 2g
1,4 cm
± 0,1 cm
257 g
± 2g
1,7 cm
± 0,1 cm
307 g
± 2g
2,1 cm
± 0,1 cm
357 g
± 2g
2,5 cm
± 0,1 cm
5
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Jan Auffenberg
d) Beide Federn in Reihe
∆m
m
∆x
x
68 g
± 1g
2,5 cm
± 0,1 cm
118 g
± 1g
5,0 cm
± 0,1 cm
218 g
± 1g
10,1 cm
± 0,1 cm
318 g
± 1g
15,0 cm
± 0,1 cm
418 g
± 1g
20,1 cm
± 0,1 cm
4.3.2 Dynamische Bestimmung
Bei der dynamischen Bestimmung wird ausgenutzt, daß die Schwingungsdauer eines
Federpendels abhängig von der Federkonstanten ist. Man schließt also von der
Schwingungsdauer des Federpendels auf dessen Federkonstante. Zur genaueren
Messung wird zunächst die Zeit t für 50 Perioden gemessen.
a) Große Feder
∆m
m
∆m '
m'
∆t
t
118 g
± 1g
58 g
± 1g
24 s
± 1s
218 g
± 1g
58 g
± 1g
31 s
± 1s
b) Kleine Feder
∆m
m
∆m '
m'
∆t
t
218 g
± 1g
37 g
± 1g
16 s
± 1s
418 g
± 1g
37 g
± 1g
20 s
± 1s
c) Beide Federn parallel
∆m
m
∆m '
m'
∆t
t
457 g
± 2g
95 g
± 1g
21 s
± 1s
357 g
± 2g
95 g
± 1g
18 s
± 1s
6
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Björn Baumeier
Jan Auffenberg
d) Beide Federn in Reihe
∆m
m
∆m '
m'
∆t
t
218 g
± 1g
95 g
± 1g
35 s
± 1s
118 g
± 1g
95 g
± 1g
27 s
± 1s
7
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Jan Auffenberg
5 Auswertung
5.1 Graphische Bestimmung der Erdbeschleunigung
Im folgenden werden die unter 4.1 aufgeführten Meßwerte der Schwingungsdauer T
gegen die Wurzel aus der Pendellänge l graphisch dargestellt:
Diagramm 1: Fadenpendel - Schwingungsdauer T gegen l
2,5
T = 2,04 s/ m l - 0,05 s
Schwingungsdauer T in s
2
1,5
1
0,5
0
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
l in m
Wie in Diagramm 1 zu sehen ist, besteht ein linearer Zusammenhang zwischen den
in dem Diagramm dargestellten Größen. Die Steigung der eingezeichneten linearen
Ausgleichsgeraden beträgt:
T
s
= 2,04
.
l
m
Wie in 2.1 gezeigt errechnet sich die Schwingungsdauer eines Fadenpendels zu:
T = 2π
l
g
8
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Formt man dies um, so erhält man:
T
2π
=
=c
l
g
wobei c: Steigung der Geraden
Stellt man dies weiter um, so berechnet sich die Erdbeschleunigung g mit Hilfe von:
g=
4π ²
c²
Setzt man die ermittelte Steigung in diese Formel ein und bestimmt graphisch aus
dem Diagramm die Unsicherheit dieser Steigung, so erhält man als Endergebnis:
g = (9,48 ± 2,74)
m
s²
(±28,9%)
Diese hohe Unsicherheit, mit der die Erdbeschleunigung bestimmt ist, liegt vor allem
an dem einen in dem Diagramm zu erkennenden Meßwert, der um einiges neben
den anderen liegt. Daher ist es gerechtfertigt, diesen Wert diesen Wert bei der Auswertung nicht zu berücksichtigen. Dieses wurde in Diagramm 2 getan:
Diagramm 2: Fadenpendel - Schwingungsdauer T gegen l
2,5
T = 2,00 s/ m l + 0,01s
Schwingungsdauer T in s
2
1,5
1
0,5
0
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
l in m
9
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Jan Auffenberg
Wertet man dies wie oben aus, so erhält man:
g = (9,87 ± 0,94)
m
s²
(±9,5%)
5.2 Berechnung der Erdbeschleunigung aus Schwingungsdauer des Pendels bei einer Pendellänge von 96 cm
Aus der unter 4.1 gekennzeichneten, gesonderten Messung der Schwingungsdauer
T des Fadenpendels bei einer vorgegebenen Pendellänge von 96 cm läßt sich die
Erdbeschleunigung entsprechend
g=
4π ²l
T²
berechnen.
Der zugehörige Fehler errechnet sich nach dem Fehlerfortpflanzungsgesetz wie folgt:
∆g
 ∆l   ∆T ² 
=   +

g
 l   T² 
2
2
∂T ²
⋅ ∆T = 2T∆T
∂T
Für ∆T ² gilt:
∆T ² =
und somit:
∆T ²
∆T
=2
T²
T
Damit folgt:
∆g
 ∆l   ∆T 
=   + 2

g
 l   T 
2
2
Berücksichtigt man weiterhin die Abschätzung:
∆T
∆l
= 0,2
T
l
10
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Jan Auffenberg
so ergibt sich endgültig für die relative Unsicherheit von g:
∆g
 ∆l 
= 1,16 
g
 l 
2
Setzt man die gemessenen Werte in diese Formel ein, ergibt sich als Endergebnis:
g = (9,87 ± 0,11)
m
s²
(±1,1%)
5.3 Bestimmung der Erdbeschleunigung aus der mit dem Stroboskop bestimmten
Schwingungsdauer
Aus den fünf in 4.2 aufgelisteten Messungen der Stroboskopblitze zwischen zwei
Koinzidenzen des Fadenpendels mit der vorgegebenen Markierung, werden folgende
Schwingungsdauern und Erdbeschleunigungen errechnet:
TS =
nTn
k
T=
2
TS
n +1
(54 ± 1,9%) s
(1,96 ± 1,9%)
( 47 ± 2,1%) s
(1,96 ± 2,1%)
(56 ± 1,8%) s
(1,96 ± 1,8%)
( 49 ± 1,0%) s
(1,96 ± 1,0%)
( 48 ± 0,7%) s
(1,96 ± 0,7%)
g=
4π ²l
T²
(9,87 ± 3,9%)
m
s²
(9,87 ± 4,3%)
m
s²
(9,87 ± 3,7%)
m
s²
(9,87 ± 2,3%)
m
s²
(9,87 ± 1,7%)
m
s²
11
Gruppe 8m
Björn Baumeier
Jan Auffenberg
5.4 Bestimmung der Federkonstanten mit statischer Methode
In den folgenden Diagrammen werden die in 4.3 aufgeführten Meßwerte der Auslenkungen der jeweiligen Federn in Abhängigkeit von der angehängten Masse graphisch dargestellt.
Die Steigung der jeweils eingezeichneten linearen Ausgleichsgeraden entspricht gerade der Federkonstante.
a) Große Feder
Diagramm 3: Statische Bestimmung der Federkonstante der großen Feder
2,5
F= 22,58 N/m x - 0,11 N
2
Kraft F in N
1,5
1
0,5
0
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
Auslenkung x in m
Nach der graphischen Bestimmung der Unsicherheit der Proportionalitätskonstante
ergibt sich für die Federkonstante:
D groß = ( 22,58 ± 3,32)
N
m
(±14,7%)
12
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Björn Baumeier
Jan Auffenberg
b) Kleine Feder
Diagramm 4: Statische Bestimmung der Federkonstanten der kleinen Feder
4,5
4
3,5
F = 103,74 N/m x - 0,06 N
Kraft F in N
3
2,5
2
1,5
1
0,5
0
0
0,005
0,01
0,015
0,02
0,025
0,03
0,035
0,04
0,045
Auslenkung x in m
Nach der graphischen Bestimmung der Unsicherheit der Proportionalitätskonstante
ergibt sich für die Federkonstante:
Dklein = (103,74 ± 12,56)
N
m
(±12,1%)
13
Gruppe 8m
Björn Baumeier
Jan Auffenberg
c) Parallelschaltung
Diagramm 5: Statische Bestimmung der Federkonstante bei Parallelschaltung
4
F = 125,19 N/m x + 0,36 N
3,5
3
Kraft F in N
2,5
2
1,5
1
0,5
0
0
0,005
0,01
0,015
0,02
0,025
0,03
Auslenkung x in m
Nach der graphischen Bestimmung der Unsicherheit der Proportionalitätskonstante
ergibt sich für die Federkonstante:
D parallel = (125,19 ± 12,91)
N
m
(±11,1%)
Addiert man die zuvor bestimmten Einzelkonstanten entsprechend der Theorie für
Parallelschaltungen und Federpendeln, so hätte man
D ' parallel = (126,32 ± 15,88)
N
m
Man kann also behaupten, daß der theoretische Zusammenhang durch die Messung
bestätigt wird.
14
Gruppe 8m
Björn Baumeier
Jan Auffenberg
d) Reihenschaltung
Diagramm 6: Statische Bestimmung der Federkonstanten bei Reihenschaltung
4,5
4
F = 19,53 N/m x + 0,17 N
3,5
Kraft F in N
3
2,5
2
1,5
1
0,5
0
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
Auslenkung x in m
Nach der graphischen Bestimmung der Unsicherheit der Proportionalitätskonstante
ergibt sich für die Federkonstante:
Dreihe = (19,53 ± 1,51)
N
m
(±7,2%)
Addiert man die Kehrwerte der in a) und b) bestimmten Einzelwerte entsprechend
der theoretischen Überlegungen für Reihenschaltungen von Federpendeln, so erhält
man:
15
Gruppe 8m
Björn Baumeier
Jan Auffenberg
1
m
= (0,054 ± 0,014)
D ' reihe
N
Daraus folgt:
D ' reihe = (18,52 ± 4,96)
N
m
Auch hier läßt sich sagen, daß innerhalb der Fehlergrenzen die theoretischen Zusammenhänge durch den Versuch bestätigt werden.
5.5 Bestimmung der Federkonstanten mit dynamischer Methode
In den folgenden Diagrammen wird die Schwingungsdauer T gegen
m+
m'
aufge3
tragen.
Wie oben beschrieben, berechnet sich die Schwingungsdauer des Federpendels zu:
T = 2π
m'
2
D
m+
Die Steigung der eingezeichneten Ausgleichsgeraden ist
T
m'
m+
3
=c.
Somit läßt sich die Federkonstante D berechnen mit der Formel:
D=
4π ²
c²
16
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Björn Baumeier
Jan Auffenberg
a) große Feder
Diagramm 7: Dynamische Bestimmung der Federkonstanten der großen Feder
0,7
T = 0,04 s/ g m+m'/3 + 0,04 s
0,6
Schwingungsdauer T in s
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
m+m'/3 in g
Die Steigung der Geraden beträgt:
T
m+
m'
3
= (0,04 ± 0,01)
s
g
Damit folgt für die Federkonstante:
D = ( 24,67 ± 12,36)
N
m
17
Gruppe 8m
Björn Baumeier
Jan Auffenberg
b) Kleine Feder
Diagramm 8: Dynamische Bestimmung der Federkonstanten der kleinen Feder
0,45
T = 0,02 s/ g m+m'/3 + 0,04 s
0,4
Schwingungsdauer T in s
0,35
0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0
0
5
10
15
20
25
m+m'/3 in g
Die Steigung der Geraden beträgt:
T
m+
m'
3
= (0,021 ± 0,001)
s
g
Damit folgt für die Federkonstante:
D = (89,52 ± 8,95)
N
m
18
Gruppe 8m
Björn Baumeier
Jan Auffenberg
c) Parallelschaltung
Diagramm 9: Dynamische Bestimmung der Federkonstante Parallelschaltung
0,5
0,45
T = 0,03 s/ g m+m'/3 - 0,13 s
0,4
Schwingungsdauer T in s
0,35
0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0
19,5
20
20,5
21
21,5
22
22,5
m+m'/3 in g
Die Steigung der Geraden beträgt:
T
m+
m'
3
= (0,03 ± 0,01)
s
g
Damit folgt für die Federkonstante:
D parallel = ( 43,86 ± 27,90)
N
m
Der sich aus der Theorie für Parallelschaltungen ergebende Wert beträgt:
D ' parallel = (114,19 ± 21,31)
N
m
19
Gruppe 8m
Björn Baumeier
Jan Auffenberg
Hier liegt doch eine arge Abweichung vom gemessenen Wert vor. Da eine solche
Abweichung bei der statischen Messung nicht verzeichnet wurde, muß gesagt werden, daß die Messung fehlerhaft war.
d) Reihenschaltung
Diagramm 10: Dynamische Bestimmung der Federkonstanten bei Reihenschaltung
0,8
T = 0,06 s/ g m+m'/3 - 0,18 s
0,7
Schwingungsdauer T in s
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
0
2
4
6
8
m+m'/3
10
12
14
16
18
in g
Die Steigung der Geraden beträgt:
T
m+
m'
3
= (0,063 ± 0,006)
s
g
Damit folgt für die Federkonstante:
Dreihe = (10,97 ± 4,36)
N
m
20
Gruppe 8m
Björn Baumeier
Jan Auffenberg
Aus der Theorie für die Reihenschaltung ergibt sich hier ein Wert von:
D ' reihe = (19,34 ± 5,80)
N
m
Hier ist zwar eine Übereinstimmung innerhalb der Fehlerbereiche gegeben, jedoch
auch nur, weil diese sehr groß sind. Allein auf die dynamischen Methoden zur Bestimmung der Federkonstanten und zur anschließenden Beurteilung der Richtigkeit
von theoretischen Überlegungen zu vertrauen, erscheint nach dieser Auswertung
nicht angebracht.
21
Gruppe 8m
Björn Baumeier
Jan Auffenberg
6. Diskussion
Bei der Diskussion im Laufe des Versuchs erreichten Ergebnisse muß man zwischen
den beiden Versuchsteilen unterscheiden.
Dabei ist zur Bestimmung der Erdbeschleunigung aus der Schwingungsdauer des
Fadenpendels zu sagen, daß der exakte Wert von 9,81
m
sehr gut mit unseren Ers²
gebnissen (natürlich innerhalb der jeweiligen Fehlergrenzen) übereinstimmt.
Die einzelnen Methoden (Längenvariation, Stroboskop) lassen sich schwer beurteilen, da sie alle das gleiche Ergebnis liefern. Allerdings ist die Unsicherheit bei der
Messung mit den Stroboskop generell niedriger als bei der „konventionellen“ Stoppuhr-Methode. Das verwundert aber auch nicht wirklich, bedenkt man alleine menschliche Reaktionszeiten bei Zeitmessungen und die ungenaue Längenbestimmung mit
der Meßlatte.
Anders sieht es bei der Bestimmung der Federkonstanten aus. Allerdings muß man
hier zwischen statischer und dynamischer Methode unterscheiden. Eine wirkliche
Einschätzung ist schwierig aufgrund der Tatsache, daß uns die „wahren“ Werte für
die Federkonstanten nicht vorliegen.
Unserer Meinung nach liefert aber die statische Methode die „zuverlässigeren“ Werte
– allerdings auch nur insofern die Federkonstante nicht zu hoch ist und man keine
allzu großen Massen benötigt, um überhaupt eine meßbare Auslenkung zu registrieren.
Die Ergebnisse aus statischer und dynamischer Methode weichen doch teilweise um
einiges voneinander ab.
Generell muß man sagen, daß die dynamische Methode – zumindest unter den Bedingungen, die während des Versuchs vorlagen – nicht sonderlich zu empfehlen ist.
Es fiel auf, daß die Schwingungen der Federn teilweise kaum zu erkennen sind, d.h.
22
Gruppe 8m
Björn Baumeier
Jan Auffenberg
die Schwingungsdauern sind so kurz, daß ein „vernünftiges“ Zählen nicht gerade begünstigt wird.
Weiterhin bleibt festzuhalten, daß eine graphische Auswertung von nur zwei Meßwerten nicht unbedingt den meisten Sinn macht. So muß es einen nicht wundern,
wenn man graphisch Unsicherheiten von teilweise bis zu 50% erhält.
23