Leontieff-Modell, lineare Unabhängigkeit, Eigenwerte, Eigenvektoren

1 Albert Ludwigs Universität Freiburg Abteilung Empirische Forschung und Ökonometrie Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler Dr. Sevtap Kestel Winter 2008 26. Januar.2009 Kapitel 16 Leontieff‐Modell, Lineare Unabhängigkeit, Eigenwerte, Eigenvektoren und Diagonaliseirung Beispiel 6: 1 0
2 1
0 1 1
a. Gegeben sei 1
0
0
und 0
0
1
0
1 . Für welche Werte von hat 0
eine inverse? b. Bestimmen Sie eine Matrix , so dass 1 für eine eindeutige Lösung für die drei Variablen Lösung: a. |
|
1
0
1 . Wenn
1 dann existiert. b. Multiplizieren mit A von rechts 1
1 0 1
0 1 1
2 1 1
0
0
2
0
0
1
1
1
0
16.8 Cramer’sche Regel Für das Allgemeine lineare Gleichungssystem mit n‐linearen Gleichungen und n Unbekannten … … … … … … .
Das Gleichungssystem hat genau dann einige eindeutige Lösung, wenn die Koeffizientenmatrix nichtsingulär ist. Die Lösung dann | |
,
1, . . , wobei 2 Beispiel 7: a. Für welche Werte von a hat das Gleichungssystem 4
2 2
2 3
eine, keine oder unendlich viele Lösungen? b. Ersetzen Sie die Zahlen 2,2 und a auf der rechten Seiten durch , , . Bestimmen Sie eine notwendige und hinreichende Bedingung dafür, dass das neue System unendlich viele Lösungen hat. Lösung: a.
1
1
0
2
1
4
3
1,
Wenn 1
1
0
2
1
c.
2
1
1
1
0
3
2
2 2
1
1
0
2
1
2
1
3
1
0
0
3
2
| |
1
0
1
0
1
1
0
2
3
2
ö
2
2
2. 6
2
1,
4
3
3
2 3
Keine Lösung. Für einige Lösung, soll 4
4
4
1
Wenn 1,
Wenn 1,
0
Wenn 2,
0 unendlich Lösungen. Treppen‐ Stuffe –Form 2
2
0 Homogene Gleichungssysteme: mit Gleichungen und Wenn im allgemeinen linearen Gleichungssystem Unbekannten die rechte Seite 0 … ,0
ist, heißt das System Homogen, d.h. Das homogene Gleichungssystem hat immer die triviale Lösung Die nichttriviale Lösung wenn Koeffizientenmatrix singulär ist. ..
0. 3 Beispiel 8: Beweisen Sie, dass das homogene Gleichungssystem 0 0 0 Genau dann eine nichttriviale Lösung hat, wenn 3
0 ist. Lösung: 3
0 nicht trriviale Lösung. Das Leontief‐Modell ,
Mit den Outputgrößen Endnachfragegrößen ,
,..,
, den Input‐Koeffizienten , . . ,
und den ,..,
ist das Leontief‐Modell gegeben durch: … … … … … … .
Äquivalent sind das System 1
1
… … … … … … 1
.
. In Matrixschreibweise gilt: Mit dem Stückpreis des Gutes i gilt Stück Kosten für Gut Stück Gewinn für Gut . ,..,
Mit und
,..,
ist Beispiel 9: (S/H, Kap. 15.1. Aufgabe 5, Seite 631) Bestimmen Sie die Lösung des Systems: 100 2
80 0 4 Lösung: Das Gleichungssystem ist äquivalent 100 2
80 /
100
80
0
1
2
/
3
/
/
/
/
160 , 240,
/
/
/
= 160. /
Beispiel 10 (S/H 16.9, Aufgabe 4, Seite 713) Betrachten Sie ein Input‐Output‐Modell mit 3 Sektoren. Sektor 1 ist die Schwerindustrie,
Sektor 2 ist die Leichtindustrie und Sektor 3 ist die Landwirtschaft. Nehmen Sie an, dass
die Inputforderungen durch die folgende Tabelle gegeben sind:
S1
Einheiten S1 0.1
Einheiten S2 0.3
Einheiten S3 0.2
S2
0.2
0.2
0.2
S3
0.1
0.2
0.1
Nehmen Sie an, dass die Endnachfragen für die drei Güter 85, 95, bzw. 20 Einheiten sind.
Es seien , , die Anzahl der Einheiten, die in den drei Sektoren produziert werden
müssen. Schreiben Sie das Leontief‐System für dieses Problem auf. Überprüfen Sie dass,
150,
100 Lösungen sind.
200,
Lösung: 0.9
0.3
0.2
.
.
150,
0,2
0.8
0.2
0.1
0.2
0.9
.
.
0.9(150)‐0.2(200‐0.1(100)=85 200,
|
|
,
.
0.527 100 5 Lineare Unabhängigkeit (Literatür: Scherfner/Volland Lineare Algebra für das Erste Semester) Die Vektoren , . . , im heißen linear abhängig, wenn es Zahlen , . . ,
nicht alle ‚Null‘ sind , so dass 0. gibt, die 0, so heißen die Vektoren linear Falls die Gleichung nur gilt, wenn unabhängig. Der Vektor , . . , . heißt eine Linearkombination der Vektoren Allgemeines lineares System mit Gleichungen und Unbekannten ,
..
..
,..,
: …….. ..
..
Dabei sind , . . , die Spaltenvektoren der Koeffizientenmatrix und ist der Vektor der rechten Seiten. Es gilt , . . , ). Anmerkungen: (i)
(ii)
(iii)
(iv)
Wenn das Gleichungssystem mehr als eine Lösung hat, sind die Vektoren , . . , linear abhängig. Wenn die Vektoren , . . , linear unabhängig sind, hat das System höchstens eine Lösung. Matrix , . . , ) sind genau dann linear Die Spaltenvektor der unabhängig, wenn | | 0. Falls die Vektoren , . . , im (
paarweise orthogonal sind, d.h. .
0, für alle
, so sind sie linear unabhängig. Beispiel 11: Beweisen Sie dass das folgende Gleichungssystem linear unabhängig sind. 2
2
4
6
Lösung: 2
4 ,
0
2
0 ,
6
3 2
3
1
2 ,
3
als Linearkombination: Die Lösung des Systems ist: 8 12 3
8 12
,
,
3,
1/2
1/2
3
linear abhängig. 6 Beispiel 12: Beweisen Sie, ob die Vektoren (i)
(ii)
3
und 1
3
und 1
6
2
1
linear unabhängig sind. 2
Lösung: Regel:
(i)
(ii)
0
0
linear unabhängig!! 3
6
und 2
2
1
2
die Vektoren linear abhängig sind.
3
1
und 1
2
2
0
0
3
2
dann,
0
0
3
wobei
0
0
1
sind linear unabhängig.
und
Der Rang einer Matrix :
0,
1
0, dann
0
0
1
.
2
ist die Maximalzahl linear unabhängiger Spaltenvektoren in A. Es ist gleich der Ordnung des größten Minors von , der verschieden von 0 ist. Wenn eine quadratische Matrix der Ordnung ist, so ist die größte Minor von gleich | |, | | 0 . so dass gilt Anmerkungen: (i)
Der Rang einer Matrix wird durch die folgenden elementaren Umformungen nicht verändert a. Vertauschung zweier Zeilen (Spalten) b. Multiplikation jedes Elements einer Zeile (Spalte) mit einem Skalar 0. c. Addition des α‐fachen der ‐ten Zeile (Spalte) zur ‐ten Zeile (Spalte), wobei ist. Regeln: Falls ,
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
und Matrizen, es gilt min
,
, falls
und
regulär sind. 7 Beispiel 13: Beschreiben Sie alle Minors von Matrix A und finden Sie der Rang. 1
0
0
0
2
2
2
4
2
1
2 (3 Zeilen, 4 Spalten) 1
Lösung: Für Matrix , gibt es Minors der Ordnungen 1, 2 und 3. Ordnung 1: 12 Elementen.
sind die Minors der Ordnung 1. Ordnung 2: 18 Elementen. 1
0
0 1
,
2 0
2 1
,
4 0
1
4 2
,…..
2
2 1
Ordnung 3: 4 Elementen ,
,
,
, . Spur einer Matrix: Definition: Für eine ∑
Regeln: Falls ,
Matrix ist die Spur von definiert durch und Matrizen, es gilt (i)
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
(vi)
(vii)
(viii)
tr
tr
tr
Beispiel 14: Finden Sie die Spur von folgende Matritzen ⎛1 2 ⎞
(i) A = ⎜
⎟ , (ii) ⎝ 3 −1⎠
2
2
0
0
4
1
1
0 und (iii) 3
2 8
3 2
5 4
Lösung: i
0,
5,
1
1
0 3
8 Beispiel 15: Kundenwanderung Auf einem Markt mit 42000 Kunden wird ein Produkt von 3 Herstellern A, B, C angeboten. Ihre Marktenteile betragen zu beginn der 1. Periode: 15% für A, 45% für B und 40% für C. Die Matrix der Kundenwanderung von einer zur nächsten Periode sei gegeben durch ⎛ 0.6 0.2 0.2 ⎞
W = ⎜⎜ 0.2 0.4 0.4 ⎟⎟ . Bestimmen Sie Marktanteile nach Ablauf der ersten und zweiten ⎜ 0.3 0.2 0.5 ⎟
⎝
⎠
Periode (absolut, in % und als Kundenzahl) Lösung: Marktanteile aT = (0.15 0.45 0.40) Marktanteile nach der ersten Periode: aT 1 = ( a1,1 a1, 2 a1,3 ) 0.6 0.2
0.2 0.4
0.2 0.4
0.3
0.4
0.5
0.30
0.29 0.41
0.15
0.45
0.40
30% für A, 0.30x42000=12600 Kunden für A 29% für B, 0.29x 42000= 12180 Kunden für B 41% für C , 0,41x42000= 17220 Kunden für C 100% 42000 Kunden Marktanteile nach der ersten Periode: a T 2 = ( a2,1 a2 , 2 a2,3 )
0.6
0.2
0.2
0.2 0.3
0.4 0.4
0.4 0.5
0.30
0.29
0.41
0.361
0.258 0.381
36.1% für A, 0.361x42000=15162 Kunden für A 25.8 % für B, 0.258x 42000= 10836 Kunden für B 38.1 % für C , 0.381x42000= 16002 Kunden für C 100% 42000 Kunden Dann, 0.6
0.2
0.2
0.2 0.3
0.4 0.4
0.4 0.5
0.15
0.45
0.40
0.30
0.29
0.41
wobei λ T = ( 2
0.64 1.025 ) 9 Eigenwerte, Eigenvektoren und Diagonalisierbarkeit (Literatür: Scherfner/Volland Lineare Algebra für das Erste Semester) Neben der Determinante sind Eigenwerte und Eigenvektoren die wichtigsten Charakteristika von linearen Abbildungen. Auf Eigenvektoren wirken lineare Abbildungen besonders einfach, nämlich lediglich als Streckung oder Stauchung. Dies macht uns möglich, eine lineare Abbildung durch die Bestimmung ihrer Eigenwerte und Eigenvektoren sehr einfach zu veranschaulichen. Definition: Sei V ein R‐Vektorraum, L: V→V linear und λ Eigenwert von L. Dann heißt Vλ = {v ∈V Lv = λv} ⊂ V Eigenraum von L zum Eigenwert λ.
Berechnung der Eigenwerte Gegeben die lineare Abbildung durch eine Matrix A, die Eigenwertgleichung ist Av = λv und ist ein lineares Gleichung System.
Frage: Für welche λ hat die Eigenwertgleichung Lösungen haben?
( A − λ I )v = 0 ⇒ P( λ ) = det( A − λ I ) = 0 . P(λ ) ist charakteristisches Polynom genannt. Diel Nullstellen des charakteristischen Polynom liefern also die Eigenwerte von A. Anmerkung: | |
….
und …
Beispiel 16: Bestimmen Sie von ⎛ 1 −2 1 ⎞
⎛1 0 3 ⎞
⎛1 2 ⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
(i) A = ⎜
, (ii) B = ⎜ 0 −3 0 ⎟ und (iii) C = ⎜ 0 2 0 ⎟ ⎟
⎝ 3 −1⎠
⎜ 1 0 −1⎟
⎜ 2 −1 2 ⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
die Eigenwerte. Lösung: ⎛ 1 2 ⎞ ⎛ λ 0 ⎞ ⎛1 − λ
(i) A − λ I = ⎜
⎟−⎜
⎟=⎜
⎝ 3 −1⎠ ⎝ 0 λ ⎠ ⎝ 3
2 ⎞
, −1 − λ ⎟⎠
det( A − λ I ) = −(1 − λ )(1 + λ ) − 6 ⇒ λ1 = −7, λ2 = 7 ⎛ 1 −2 1 ⎞ ⎛ λ 0 0 ⎞ ⎛1 − λ
⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
(ii) B − λ I = ⎜ 0 −3 0 ⎟ − ⎜ 0 λ 0 ⎟ = ⎜ 0
⎜ 2 −1 2 ⎟ ⎜ 0 0 λ ⎟ ⎜ 2
⎝
⎠ ⎝
⎠ ⎝
−2
−3 − λ
−1
1 ⎞
0 ⎟⎟ 2 − λ ⎟⎠
10 ( det( B − λ I ) = (3 + λ )(λ(λ − 3)) = 0 ⇒ λ1 = −3, λ2 = 0, λ3 = 3 0
⎛ 1 0 3 ⎞ ⎛ λ 0 0 ⎞ ⎛1 − λ
⎟
⎜
⎜
⎟
⎜
2−λ
(iii) C − λ I = ⎜ 0 2 0 ⎟ − ⎜ 0 λ 0 ⎟ = ⎜ 0
⎜ 1 0 −1⎟ ⎜ 0 0 λ ⎟ ⎜ 1
0
⎝
⎠ ⎝
⎠ ⎝
⎞
⎟
⎟ −1 − λ ⎟⎠
3
0
det(C − λ I ) = ( 2 − λ )( λ 2 − 4) = 0 ⇒ λ1, 2 = 2, λ3 = −2 Berechnung der Eigenvektoren: Ein Eigenwert λ determiniert die zuhörigen Eigenvektoren über ( A − λ I )v = 0 Beispiel 17: (Scherfner/Volland ) ⎛0 1⎞
⎟ die Eigenvektoren. ⎝1 0⎠
Bestimmen Sie von A = ⎜
Lösung: det( A − λ I ) = λ 2 − 1 ⇒ λ = ±1 ⎛ −1 1 ⎞
Wenn λ1 = 1 ⇒ A − I = ⎜
⎟ ⎝ 1 −1 ⎠
⎛ −1 1 0 ⎞
⎛ −1 1 0 ⎞
⎛ x⎞
⎛1⎞
⎛ 1⎞
⇒
x
=
y
⇒
v
=
=
x
⇒
v
=
→
⎟
⎜
⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
⎜
1
⎜ x⎟
⎜1⎟
⎜ 1⎟ Gaussian Elimination
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝ 1 −1 0 ⎠
⎝ 0 0 0⎠
⎛1 1⎞
Wenn λ1 = −1 ⇒ A − ( −1) I = ⎜
⎟ ⎝1 1⎠
⎛1 1 0 ⎞
⎛1 1 0⎞
⎛ x ⎞
⎛1⎞
⎛1⎞
→⎜
⎜
⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
⎟ ⇒ x = − y ⇒ v = ⎜ ⎟ = x ⎜ ⎟ ⇒ v2 = ⎜ ⎟ Gaussian Elimination
⎝ −x ⎠
⎝ −1⎠
⎝ −1⎠
⎝1 1 0 ⎠
⎝0 0 0⎠
k‐Nullzeilen gibt k‐lineare unabhängige Eigenvektoren, zum Eigenwert λ . ⎛ 0 1⎞
⎟ die Eigenwerte. ⎝ −1 0 ⎠
Beispiel 18: Bestimmen Sie von A = ⎜
det( A − λ I ) = λ 2 + 1 ⇒ ( λ + i )( λ − i ) = 0 ⇒ λ1, 2 = ±i Matrix A hat die komplexen Eigenwerte. 11 Diagonalisierbarkeit: Definition: Eine Matrix heißt diagonalisierbar, falls ein invertierbares existiert, so dass eine diagonal Matrix ist. Offenbar ist dann umkehrt . die Matrix Beispiel 18: (Scherfner/Volland ) 1
2
Gegeben Matrix 2
, diagonalisieren Sie Matrix falls möglich. 1
Lösung: Eigenwerte: das charakteristische Polynom von ist 1
det
2
1
2
2
3
1,
3 1 0
als Diagonal Matrix. 0 3
Dann, schreiben wir Eigenvektoren: 2
2
2 0
2 0
2
0
Wenn 2
2
2 2
2 2
1, Wenn 2 0
0 0
1
1
3, 2
2
2 0
2 0
2 2 0
0 0 0
2
2
1
1
Koordinatentransformation: Die beide Eigenvektoren, als Spaltenvektoren geschrieben, die Transformationsmatrix, 1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
. 3