Mathematik Deutsche Internationale Abiturprüfung Schuljahr 2017/18 Prüfungsregion 12

Die Deutschen Schulen in der Prüfungsregion 12
Schriftliche Reifeprüfung/ Deutsche Internationale
Abiturprüfung
Schuljahr 2017/18
Prüfungsfach:
Mathematik
Aufgabe B (Lehrer)
Allgemeine Arbeitshinweise
Die Prüfungszeit beträgt 240 Minuten.
Die Prüfungsarbeit besteht aus 15 Seiten.
Erlaubte Hilfsmittel:
GTR/ WTR, eingeführte Formelsammlung, Wörterbuch der deutschen Rechtschreibung
Prüfungsregion 12
Aufgabe B
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2017/2018
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Aufgabe B1
a)
Der Graph einer ganzrationalen Funktion 3. Grades schneidet die x-Achse in N(2/0),
die y-Achse im Punkt S (0/2) und hat den Tiefpunkt T(-1/0).
Bestimmen Sie die Gleichung der Funktion.
Nur zum Weiterrechnen: f ( x )  
7 BE
1
2
  x  1  2 x  4  .
2
b)
Untersuchen Sie den Graphen auf weitere Extrempunkte und auf Wendepunkte. 5 BE
c)
Der Graph der Funktion f, die Strecke SN und die x-Achse schließen eine Fläche ein.
Berechnen Sie den Inhalt dieser Fläche.
d)
4 BE
Die Tangente an den Graphen im Punkt N sei tN. Eine Tangente tP, die parallel zu tN
verläuft, berührt den Graphen in einem weiteren Punkt P. Berechnen Sie die
Koordinaten des Punktes P.
Die beiden Parallelen tN und tP sowie die x-Achse und ihre Parallele durch P begrenzen
ein Parallelogramm. Bestimmen Sie rechnerisch den Flächeninhalt des
Parallelogramms.
e)
Begründen Sie ohne Rechnung, dass die Gleichung 
5 BE
1
2
  x  1  2 x  4   1 nur eine
2
Lösung hat. Für welche Werte von a hat die Gleichung f ( x)  a genau drei Lösungen?
Begründen Sie ohne Rechnung.
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Aufgabe B
3 BE
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Aufgabe B2
Auf einer Teststrecke werden zwei Hochgeschwindigkeitsmotorräder - Modell A und Modell Bgetestet.
Die Motorräder starten auf dieser Teststrecke zum Zeitpunkt t = 0 von der Startlinie aus.
Die Geschwindigkeit von Modell A kann
für die ersten 60 Sekunden
näherungsweise durch die Funktion
v1 (t )  2t 2  e 0,1t (siehe Abbildung)
beschrieben werden (Zeit t in Sekunden,
v1 (t ) in Meter pro Sekunde).
a)
Berechnen Sie v1 (40) . Geben Sie die Bedeutung von v1 (40) im Sachzusammenhang
an. Bestätigen Sie, dass für v´1 (t ) gilt: v1´(t )   0,2  e 0,1t  (t 2  20t ) .
Zeigen Sie, dass Modell A nach 20 Sekunden seine größte Geschwindigkeit innerhalb
der ersten 60 Sekunden erreicht. Berechnen Sie diese größte Geschwindigkeit.
b)
7 BE
Bestimmen Sie rechnerisch den Zeitpunkt, an dem die Geschwindigkeit am stärksten
abnimmt. Begründen Sie, wann die Beschleunigung von Modell A am größten ist.
Berechnen Sie diese größte Beschleunigung.
c)
Gegeben ist die Funktion v(t )  a  t  e
2
 k t
9 BE
. Bestimmen Sie a und k so, dass das
Motorrad A seine höchste Geschwindigkeit von 108,3 ms nicht erst nach 20 Sekunden,
sondern schon nach 10 Sekunden erreicht.
4 BE
Nun wechselt der Fahrer das Motorrad. Die Geschwindigkeit von Modell B bei seiner Testfahrt
kann für die ersten 60 Sekunden beschrieben werden durch v2 (t )  80  80  e
0,1t
(Zeit t in
Sekunden, v2 (t ) in Meter pro Sekunde).
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Aufgabe B
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d)
Beweisen Sie, dass die Geschwindigkeit von Modell B innerhalb der ersten 60
Sekunden nur steigt.
Berechnen Sie den Weg, den das Motorrad B in diesen 60 Sekunden zurücklegt und
seine mittlere Geschwindigkeit in diesen 60 Sekunden.
e)
6 BE
Herstellerangaben versprechen, dass das Motorrad B innerhalb von 2,9 Sekunden von
0 ms auf 28 ms  100 km
h beschleunigt.
Berechnen Sie die Zeit, innerhalb der Modell B bei dieser Testfahrt auf die
Geschwindigkeit von 28 m / s beschleunigt hat. Wurde die Herstellerangabe bei dieser
Testfahrt erfüllt?
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Aufgabe B
4 BE
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Aufgabe B3
In einem kartesischen Koordinatensystem sind
die Ebenen Ep durch Ep : (21 - 7p) x + (5 - 5p) y - 35z = - 35p
die Gerade g durch g:
(pIR),
(sIR) sowie
die Punkte A (15/ - 3,5/ 7), B (15/ 7/ 7) und S (2/ - 1/ - 4) gegeben.
a)
Weisen Sie nach, dass E1 die Ebenengleichung E1: 2x - 5z = - 5 besitzt.
Prüfen Sie, ob der Punkt A in der Ebene E1 liegt.
3 BE
b)
Berechnen Sie den Abstand der Punkte A und B.
2 BE
c)
Ermitteln Sie rechnerisch den Wert p, für den der Punkt B in der Ebene Ep liegt.
2 BE
d)
Die Gerade g schneidet die Ebene E1 im Punkt C. Berechnen Sie die Koordinaten
des Punktes C. Nur zum Weiterrechnen: C (5/ -14/ 3)
e)
3 BE
Die Punkte A, B und C sind die Eckpunkte eines in der Ebene E 1 liegenden
Dreiecks. Dieses Dreieck ist die Grundfläche der Pyramide ABCS.
Berechnen Sie für die Pyramide ABCS:
die Größe der Grundfläche,
die Höhe der Pyramide
und das Volumen der Pyramide.
f)
Ermitteln Sie den Wert p, für den die Ebene Ep orthogonal zur Ebene E1 ist.
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Aufgabe B
12 BE
3 BE
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Aufgabe B4
Ahmed und seine Freunde üben für einen
Torwandwettbewerb. Sie schießen mit dem
Fußball auf eine Torwand mit zwei Löchern
(siehe Abbildung).
Beim Schießen auf das untere Loch trifft
Ahmed mit einer Wahrscheinlichkeit von
0,7 und beim Schießen auf das obere Loch
mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,4.
(Quelle: Mathematik 10, Gymnasium
Thüringen S. 146, Duden)
a)
Ahmed schießt genau fünfmal auf das untere Loch.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse:
Ereignis A: Ahmed trifft genau dreimal.
Ereignis B: Ahmed trifft höchstens zweimal.
Ereignis C: Ahmed trifft nur beim zweiten und dritten Schuss.
Ereignis D: Bei zwei unmittelbar aufeinanderfolgenden Schüssen treten stets
unterschiedliche Ergebnisse auf.
b)
6 BE
In der folgenden Woche nimmt Ahmed an einem Wettbewerb teil. Bei diesem
Wettbewerb wird nur auf das obere Loch geschossen. Für einen Treffer werden fünf
Pluspunkte vergeben und für einen Fehlschuss erhält man zwei Minuspunkte.
Wie viele Punkte kann Ahmed bei vier Versuchen durchschnittlich erwarten?
c)
9 BE
Im Training schießt Ahmed insgesamt zehnmal. Zunächst fünfmal auf das untere und
danach fünfmal auf das obere Loch.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:
Ereignis E: Ahmed erzielt bei diesen 10 Schüssen mindestens einen Treffer.
Ereignis F: Ahmed erzielt bei diesen 10 Schüssen mindestens zwei Treffer.
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Aufgabe B
6 BE
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Erwartungshorizont
Nr.
AB
I
AB
II
AB
III
B1a)
f ( x)  ax 3  bx 2  cx  d und f ´(x)  3ax 2  2bx  c
aus N(2/0) folgt: f (2)  8a  4b  2c  d  0
aus S(0/2) folgt: d  2
aus T(-1/0) folgt: f (1)  a  b  c  2  0 und f ´(1)  3a  2b  c  0
1
1
1
Lösung des LGSs ergibt: a = -1, b = 0 , c = 3
f ( x)  x 3  3x  2
Untersuchung auf weitere Extrempunkte:
1
3
B1b)
f ´(x)  3x 2  3 Aus 0  3x 2  3 folgt x1  1 und x2  1 bekannt T(-1/0)
f ´´(1)  6  0  H (1 / 4)
2
1
Untersuchung auf Wendepunkte:
f ´´(x)  6 x
B1c)
0  6 x  x  0
f ´´´(0)  6  0  W (0 / 2)  S
Zerlegen der Gesamtfläche: A  A1  A2
1
A1  ADreieck   2  2  2
2
0
A2 
 f ( x)dx
2
1
1
1
0
B1d)
 x4 3 2

 1 3
 3
A2  
 x  2 x  0      2  
 4 2
 4
 4 2
 1
3
A  2   2 34
4
Bestimmen der Koordinaten von P
tN :
1
1
mt  f ´( 2)  9
N
f ´(x)  9  3x 2  3  9  x1  2 und x 2  2
Da x1  2 die x-Koordinate von N ist, folgt x 2  2 ist die x-Koordinate
von P und damit P(-2/4).
1
1
Alternative Lösung: Da eine Parabel 3. Grades punktsymmetrisch
zum Wendepunkt ist, muss von N(2/0) der punktsymmetrische Punkt
bezüglich W(0/2) bestimmt werden.
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Aufgabe B
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Flächeninhalt des Parallelogramms
Bestimmen von g :
Bestimmen der Nullstelle der Tangente tP
tP: verläuft durch P(-2/4) und hat die Steigung (- 9) d.h. y  9 x  14
0  9 x  14  x  
1
14
 1 95
9
g  2   1 95  3 95
1
Mit hg  f (2)  4 erhält
man A  g  hg 
B1e)
BE
32
128
 4 cm 2 
cm 2  14 ,2 cm 2
9
9
1
Der Graph von f besitzt 2 Extrempunkte, weitere Extrempunkte kann
eine Funktion dritten Grades nicht haben.
Die Gleichung hat nur eine Lösung, weil der Graph der Funktion f nur
einmal von dem Graphen der Funktion y  1 geschnitten wird.
Die Gleichung f ( x)  a hat für 0  a  4 genau drei Lösungen, denn
der Graph hat für diese a genau 3 Schnittpunkte mit dem Graphen
der Funktion y  a .
Summe: 24
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Aufgabe B
1
1
1
8
13
3
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Nr.
B2a)
AB
I
AB
II
AB
III
Funktionswert
3200
 58 ,6
e
Die Geschwindigkeit von Motorrad A beträgt nach 40 Sekunden
ungefähr 58,6 m/s.
v1 ( 40 ) 
1
1
Höchstgeschwindigkeit
1
v1´ (t )  0,2  e 0,1t  (t 2  20t )
v1´ (20)  0 , da 20 2  20  20  0
v1´´(t )  0,02  e 0,1t  (t 2  40t  200)
4
v1´´( 20 )   2  0 d.h. t = 20 ist lokale Maximumstelle
e
800
v1 ( 20 )  2  108 ,3
e
Nach 20 Sekunden wird mit ungefähr 108,3 m/s die höchste
Geschwindigkeit innerhalb der ersten 60 Sekunden angenommen.
1
1
1
1
Stärkste Geschwindigkeitsabnahme
B2b)
Aus v1´´(t )  0 folgt mit
0,02  e 0,1t  0 für alle t  IR und t 2  40t  200  0
1
t1  20  200  34,14 und t 2  20  200  5,86
1
v1´´´(t )  0,002  e 0,1t  (t 2  60t  600)
1
v1´´´( 34,14)  0,0186  0 d.h. an der Stelle t1  34,14 besitzt v1 ´ ein
Minimum
1
v1´( 34,14)  3,2  0 bzw. Graph ist für 20  t  80 streng monoton
fallend 0 => Minimum ist negativ
Die Geschwindigkeit nimmt nach ungefähr 34 Sekunden am stärksten
ab.
1
1
Größte Beschleunigung
wird zu der Zeit erreicht, wenn v1´(t ) positives Maximum besitzt
v1´´(20  200 )  0 und v1´´´(20  200 )  0,314  0 d.h. an der Stelle
t 2  5,86 besitzt v1 ´ ein Maximum
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Aufgabe B
1
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Da v1´(20  200 )  9,2  0 bzw. Graph für 0  t  20 streng monoton
steigend ist => Maximum ist positiv
Die Beschleunigung ist nach ungefähr 6 Sekunden am größten. Sie
beträgt dann ungefähr 9,2 m/s2.
B2c)
1
1
Bestimmung von a und k
Es muss gelten: I. v`(10)  0 und II. v(10)  108,3
I.

v`(t )  a  e kt  2t  kt 2

1
und v`(10)  a  e 10k  20  100k 
1
0  a  e 10k  20  100k  Da a  e 10k  0 gilt: 20  100k   0  k  0,2
1
II. 100a  e 2  108,3  a  8
Man erhält: v(t )  8t 2  e 0, 2t
B2d)
1
Nachweis: Geschwindigkeit steigt für 0s ≤ t ≤ 60s
Zu zeigen: v2 ´(t )  8  e 0,1t  0
1
da e 0,1t  0 für alle t  IR , gilt: v2 ´(t )  8  e 0,1t  0 für alle t  IR ,
1
Berechnung des Weges
60
s(t )   v 2 (t ) dt
1
0

s(t )  80t  800e 0,1t

60
0
1
s(t )  4800  800  e 6  800  4002
Motorrad B legt in 60 Sekunden einen Weg von ungefähr 4002
Metern zurück.
1
Berechnung der Durchschnittsgeschwindigkeit
s 4002 m
m

 66,7
t
60 s
s
Die Durchschnittsgeschwindigkeit innerhalb der ersten 60 Sekunden
m
beträgt ungefähr 66 ,7 .
s
v
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Aufgabe B
1
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B2e)
Berechnen der Zeit bis v = 28m/s
Ansatz: 80  80  e 0,1t  28
1
52
80
1
 52 
 t  ln  
10
 80 
 52 
t  10  ln    4,3
 80 
e 0,1t 
1
1
Das Motorrad erreicht die Geschwindigkeit von 28 m/s erst nach
ungefähr 4,3 Sekunden, die Herstellerangabe ist nicht erfüllt.
BE
Summe: 30
Prüfungsregion 12
Aufgabe B
1
4
17
9
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Nr.
B3a)
Ep: (21 - 7p) x + (5 - 5p) y - 35z = - 35p
AB
AB
AB
I
II
III
(pIR),
Mit p = 1 folgt:
(21 - 7) x + (5 - 5) y - 35z = - 35  14x – 35z = -35
1
Ebene E1: 2x - 5z = - 5
Einsetzen von A (15/ - 3,5/ 7) liefert: - 5 = - 5 w. A.
1
 A E1
1
B3b)
Abstand der Punkte A und B:
=
1
d = 10,5 2 = 10,5
B3c)
1
B (15/ 7/ 7)
1
(42 - 14p) 15 + (10 - 10p) 7 - 70 7 = - 70p
(21 - 7p) 15 + (5 - 5p) 7 – 35 7 = - 35p
 -105p +105 = 0 also p = 1
1
B3d)
g:
sIR)
2
g E1: 2(8 + s) - 5(12 + 3s) = - 5  s = - 3
Aus der Gleichung von g folgt mit s = - 3:
1
C (5/ -14/ 3).
B3e)
Flächeninhalt der Grundfläche ABC:
Lösungsvariante:
 0    10 
  42 
 
 1 

1 
 10,5     10,5    0 
2 
 
 2  105 
 0   4 


1
Die Größe der Grundfläche beträgt rund 56,5 FE
1
AG =
=
1
AG =
Höhe Pyramide:
Aufstellen einer Geradengleichung l
mit Sl und l  E1.
Normalenvektor
benutzen
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Aufgabe B
1
von E1 kann man als Richtungsvektor von l
1
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1
l:
tIR)
Der Lotfußpunkt L des Lotes vom Punkt S auf die Ebene E 1 ist der
Schnittpunkt der Geraden l mit der Ebene E1.
l
1
E1: 2(2 + 2t) - 5 (- 4 - 5t) = - 5
1
 t = -1 also L (0/ - 1/ 1)
Die Höhe der Pyramide ist gleich dem Abstand der Punkte L und S.
1
h = d(L,S)
=
d(L,S) =
1
29  5,4
1
Die Höhe der Pyramide beträgt ungefähr 5,4 LE.
Volumen der Pyramide: V =
B3f)
1 21
  29  29 VE = 101,5VE
3 2
1
Die Normalvektoren beider Ebenen müssen senkrecht aufeinander
stehen.
1
0=
= 2(21 – 7p) – 5 (-35)
0=
1
1
p = 15,5
BE
Summe: 25
Nr.
B4a)
6
16
3
AB
AB
AB
I
II
III
X ... Anzahl der Treffer bei 5 Versuchen
X ist binomialverteilt mit n = 5 und p = 0,7
1
 0,3087
P(A) = P(X = 3) =
P(B) = P(X  2 )  0,1631
P(C) =
2
 0,0132
P(D) =
=
 0,0441
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Aufgabe B
1
2
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B4b)
Anzahl der Treffer
0
1
Punkte
2
3
4
6
13
20
1
1
Y... Anzahl der Punkte bei 4 Versuchen
yi
P(Y = yi)
= 0,1296
= 0,3456
6
= 0,3456
13
5
0,6 = 0,1536
20
= 0,0256
E(Y) = (- 8 0,1296) + (-1 0,3456) + (6 0,3456) +
1
(13 0,1536) + (20 0,0256) = 3,2
Er kann 3,2 Punkte erwarten.
1
P(E) = 1 – P (kein Treffer)
1
B4c)
P(E) = 1 -
= 1 - 1,8896
1
=0,9998
1
P(F) = 1 – (P( E )+ P( F1 ) + P( F2 ))
F1 ist das Ereignis: Ahmed trifft nur einmal ins untere Loch.
P( F1 ) =
= 0,0022
1
F2 ist das Ereignis: Ahmed trifft nur einmal ins obere Loch.
P( F2 ) =
1
= 6,298
P(F) = 0,9970
1
BE
Summe: 21
1
16
4
BE
Summe aller Aufgaben: 100
19
62
19
Leistungsbewertung
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Aufgabe B
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Insgesamt können: 24 BE +30 BE +25 BE +21 BE = 100 BE erreicht werden.
Noten- 15
punkte
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
90
85
80
75
70
65
60
55
50
45
40
34
27
20
0
BE
ab
95
Quellenangaben
- https://de.wikipedia.org/wiki/Big_Red_(Motorrad)
- https://de.wikipedia.org/wiki/BMW_K_1300_S
- http://www.motorradonline.de/vergleichstest/grundlagen-die-sprintstaerkstenbikes.311394.html
- eigene Aufgaben
Prüfungsregion 12
Aufgabe B
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