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55. Mathematik-Olympiade
3. Stufe (Landesrunde)
Olympiadeklasse 10
Lösungen – 1. Tag
c 2015 Aufgabenausschuss des Mathematik-Olympiaden e.V.
www.mathematik-olympiaden.de. Alle Rechte vorbehalten.
551031 Lösung
6 Punkte
Teil a) Durch Berechnung und Vergleich aller Produkte von zwei verschiedenen Zahlen aus
der Menge {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} erhält man genau 19 verschiedene dieser Produkte, nämlich
6, 8, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 24, 28, 30, 32, 35, 40, 42, 48, 56.
Teil b) Aufgrund der Kommutativität der Multiplikation spielt die Reihenfolge, in welcher
die beiden Zahlen gewählt werden, für das Produkt keine Rolle. Daher gibt es nicht mehr als
7
= 7·6
= 21 Produkte, also weniger als 25.
2
2
Teil c) Die mittlere der sieben Zahlen sei mit m bezeichnet; es gilt m = a + 3 ≥ 3. Wegen
(m − 3) (m − 2) < (m − 3) (m − 1) < (m − 2) (m − 1)
gehen in die Summe S drei verschiedene Produkte ein. Folglich ist
S = (m − 3) (m − 2) + (m − 3) (m − 1) + (m − 2) (m − 1)
und analog gilt
T = (m + 3) (m + 2) + (m + 3) (m + 1) + (m + 2) (m + 1) .
Nach dem Ausmultiplizieren erhält man die Differenz T − S = 24 m. Aus T − S = 2016
folgt m = 84 und a = m − 3 = 81, die gegebenen Zahlen sind also (eindeutigerweise)
81, 82, 83, 84, 85, 86, 87.
Lösungsvariante:
Für die gegebenen Zahlen a, a + 1, . . . , a + 6 gilt
S = a (a + 1) + a (a + 2) + (a + 1) (a + 2) = 3 a2 + 6 a + 2
und
T = (a + 4) (a + 5) + (a + 4) (a + 6) + (a + 5) (a + 6) = 3 a2 + 30 a + 74 .
Aus der Differenz T − S = 24 a + 72 erhält man 24 a + 72 = 2016 und es folgt a = 81; die
gegebenen Zahlen sind also eindeutig bestimmt.
551032 Lösung
7 Punkte
Die Endziffer der Summe zweier Zahlen hängt nur von den Endziffern der beiden Zahlen ab.
Auch die Endziffer der 55-ten Potenz einer Zahl hängt nur von der Endziffer dieser Zahl ab.
Wir werden daher zunächst für eine gegebene Endziffer n die Endziffer von n55 ermitteln.
Zunächst behaupten wir, dass n5 dieselbe Endziffer hat wie n. Dies ist für die Endziffern 0, 1,
5 und 6 unmittelbar ersichtlich. Für die übrigen Endziffern berechnet man 25 = 32, 35 = 243,
45 = 1024, 75 = 16807, 85 = 32768, 95 = 59049.
1
Nun hat also n55 = (n11 )5 dieselbe Endziffer wie n11 = n5 · n5 · n und damit dieselbe Endziffer
wie n3 . Durch explizites Berechnen von n3 erhält man hiermit nun leicht die folgende Tabelle:
Endziffer von n
Endziffer von n55
Anzahl in {1, 2, . . . , 2016}
0
0
201
1
1
202
2
8
202
3
7
202
4
4
202
5
5
202
6
6
202
7
3
201
8
2
201
9
9
201
Nun betrachten wir alle Paare (a, b) mit Werten aus {1, 2, . . . , 2016}, für welche die Endziffer
von a55 + b55 eine 6 ist.
Endziffern von a55 und b55
Endziffern von a und b
Typ
0, 6
0, 6
(1)
1, 5
1, 5
(2)
2, 4
8, 4
(1)
3, 3
7, 7
(3)
4, 2
4, 8
(1)
5, 1
5, 1
(2)
6, 0
6, 0
(1)
7, 9
3, 9
(1)
8, 8
2, 2
(2)
9, 7
9, 3
(1)
Erklärung der letzten Zeile der Tabelle: Bei Typ (1) gibt es jeweils 201 · 202 solcher Paare, bei
Typ (2) jeweils 202 · 202 Paare, und bei Typ (3) jeweils 201 · 201 Paare. Insgesamt gibt es also
6 · 201 · 202 + 3 · 202 · 202 + 1 · 201 · 201 Paare, bei denen die Summe der 55-ten Potenzen der
beiden Zahlen mit der Ziffer 6 endet. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt daher
6 · 201 · 202 + 3 · 202 · 202 + 1 · 201 · 201
406 425
135 475
=
=
.
2
2016
406 4256
135 4752
Wegen ggT(135 4752, 135 475) = ggT(135 4752 − 10 · 135 475, 135 475) = 1 ist dies ein vollständig gekürzter Bruch.
551033 Lösung
7 Punkte
D
H
G
C
E
F
A
B
L 551033
Da G zwischen C und D liegt und |DCB| = 90◦ gilt, ist der Winkel DGB stumpf. Im
gleichschenkligen Dreieck EGH ist also EH die Basis. Weil H zwischen G und D liegt und
der Winkel DGE stumpf ist, muss auch der Winkel DHE stumpf sein. Im gleichschenkligen
Dreieck DEH ist daher DE die Basis.
Die Winkel BF C und CF G ergänzen sich zu 180◦, einer von ihnen ist demnach nicht spitz.
Deshalb ist CG Basis im gleichschenkligen Dreieck CGF oder BC Basis im gleichschenkligen
Dreieck BCF . Folglich liegt der auf BG liegende Punkt F auf der Mittelsenkrechten zu CG
oder auf der Mittelsenkrechten zu BC. In beiden Fällen ist F der Mittelpunkt von BG und
damit der Mittelpunkt des Umkreises des rechtwinkligen Dreiecks BCG. Daher ist CG Basis
im gleichschenkligen Dreieck CGF und BC Basis im gleichschenkligen Dreieck BCF .
2
Die Mittelsenkrechte zu AD verläuft durch den Mittelpunkt F von BG. Weil E zwischen F
und G liegt, muss E auf derselben Seite dieser Mittelsenkrechten liegen wie D. Es gilt also
|DE| < |AE|.
Fall 1: Es gilt |AD| 6= |AE|. Dann ist AE die Basis im gleichschenkligen Dreieck AED. Zudem
gilt |AB| = |AD| 6= |AE|, die Seite BE ist daher keine Basis im Dreieck ABE. Wäre
nun AE die Basis im Dreieck ABE, so wäre ABED eine Raute, die Seiten DE und AB
müssten parallel sein, was nicht der Fall ist. Also muss AB die Basis im Dreieck ABE
sein. Dann folgt:
und weiter
und
|ADE| < 90◦
|EAD| > 45◦
|BAE| < 45◦
|GBA| < 45◦ ,
wegen |AD| = |DE|,
wegen |BAD| = 90◦
weil |AE| = |BE| gilt.
Letztere Ungleichung kann aber nicht gelten, weil G zwischen C und D liegen soll. Dieser
Fall tritt nicht ein.
Fall 2: Es gilt |AD| = |AE| = |AB|. Dann setzen wir |EDH| = x und berechnen einige
Winkel. Es gilt
|HED| = x ,
|EHG| = 2 x
|GEH| = 2 x ,
|BGC| = 4 x
|CBF | = 90◦ − 4 x
|EBA| = 4 x ,
da DE die Basis im gleichschenkligen Dreieck DEH ist,
nach Außenwinkelsatz,
weil EH die Basis im gleichschenkligen Dreieck EGH ist,
nach Außenwinkelsatz,
im rechtwinkligen Dreieck BCG,
da CBA ein rechter Winkel ist,
|BAE| = 180◦ − 8 x , weil BE die Basis im gleichschenkligen Dreieck ABE ist,
|EAD| = 8 x − 90◦ , da BAD ein rechter Winkel ist, und
|ADE| = 135◦ − 4 x , weil ED die Basis im gleichschenkligen Dreieck EDA ist.
Da sich die Winkel ADE und EDH zu 90◦ ergänzen, folgt
x + (135◦ − 4 x) = 90◦
und damit x = 15◦.
Einsetzen in die obigen Beziehungen sowie Winkelsumme im Dreieck liefert
|EDH| = 15◦,
|EHG| = 30◦,
|F GC| = 60◦,
|CBF | = 30◦,
|EBA| = 60◦,
|EAD| = 30◦,
|HED| = 15◦,
|GEH| = 30◦,
|GCF | = 60◦,
|F CB| = 30◦,
|BAE| = 60◦,
|ADE| = 75◦,
3
|DHE| = 150◦,
|HGE| = 120◦,
|CF G| = 60◦,
|BF C| = 120◦,
|AEB| = 60◦,
|DEA| = 75◦.
Punktverteilungsvorschläge
Die nachstehenden Angaben zur Punktverteilung sowohl für die gesamten Aufgaben als auch
für die Teillösungen sind Empfehlungen für die Ausrichter des Wettbewerbs und sollen einer
einheitlichen Bewertung dienen. Dies vereinfacht für die Schülerinnen und Schüler ein Nachvollziehen der Bewertung und ermöglicht für die Organisatoren Vergleiche zum Zweck der
Entscheidung über die Teilnahme an der nächsten Runde.
Bei der Vielfalt der Lösungsvarianten ist es nicht möglich, Vorgaben für jede Variante zu
machen; das Korrekturteam möge aus den Vorschlägen ableiten, welche Vergabe dem in der
Schülerlösung gewählten Ansatz angemessen ist. Dabei können auch Lösungsansätze, die angesichts der Aufgabenstellung sinnvoll erscheinen, aber noch nicht erkennen lassen, ob sie
wirklich zu einer Lösung führen, einige Punkte erhalten.
Abweichungen von den Vorschlägen müssen von den Ausrichtern des Wettbewerbs ausreichend bekannt gemacht werden. Es wird aber empfohlen, zumindest den prozentualen Anteil
der Punkte für Teillösungen beizubehalten.
Aufgabe 551031
Insgesamt: 6 Punkte
Teil a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Punkte
Teil b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Punkt
Teil c) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Punkte
Aufgabe 551032
Insgesamt: 7 Punkte
55
Bestimmung der Endziffer von n in Abhängigkeit von n . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 2 Punkte
Bestimmung der Anzahl der Paare (a, b), für welche die Endziffer von a55 + b55
eine 6 ist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 3 Punkte
Korrekte Angabe der gesuchten Wahrscheinlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Punkte
Aufgabe 551033
Insgesamt: 7 Punkte
Im Dreieck EGH ist EH die Basis, im Dreieck DEH ist DE die Basis . . . . . . . . . . .
F ist Mittelpunkt von BG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Nachweis von |AD| = |AE| . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .
Berechnung der Winkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .
4
1
1
2
3
Punkt
Punkt
Punkte
Punkte