Lineare Funktionen

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Was ist eine Funktion?
Eine Funktion ist eine eindeutige Zuordnung zwischen den Elementen der Definitionsmenge D und einer Menge B (der
Bildmenge). Die Elemente von D heißen
Argumente, die Elemente von B Bilder
oder Funktionswerte. Eindeutig heißt,
dass jedem Argument genau ein (nicht
mehr und nicht weniger) Bild zugeordnet
wird.
Wie kann man Funktionen darstellen?
Funktionen können durch ein Bildungsgesetz
eine Funktionstabelle
oder eine Funktionsgraph in einem Koordinatensystem dargestellt werden.
Wie sieht der Graph einer reellen
Funktion aus?
Im Allgemeinen entsteht eine durchgezogene Kurve, die Punkte liegen also dicht
aneinander. Man sagt, die Funktion ist
stetig. Es gibt aber auch unstetige Funktionen!
Wie findet man Funktionswerte?
Funktionswerte findet man durch Einsetzen des bekannten Arguments in das Bildungsgesetz (die Funktionsgleichung).
Wie findet man die Funktionsgleichung?
Man setzt die bekannten Paare von Argument und Funktionsgleichung in den
allgemeinen Ansatz ein und löst dann das
entstehende Gleichungssystem.
Was ist eine Nullstelle?
Eine Nullstelle ist ein Argument n, für das
f(n) = 0 gilt. Sie ist also die Lösung der
Gleichung 0 = f(x). Graphisch sind die
Nullstellen die Schnittpunkte des Funktionsgraphen mit der x-Achse (der Abszisse).
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Beispiel 1:
Eine reelle Funktion mit D = R und B = R hat die Funktionsgleichung f(x) = ax2 + b. Ermitteln
Sie a und b so, dass f(10) = 225 und f(–3) = – 48 ist. Ermitteln Sie dann f(8).
Zeichnen Sie den Funktionsgraph und ermitteln Sie die Nullstellen.
Wie kann ich mit EXCEL oder DERIVE Funktionen behandeln?
EXCEL:
Grundaufgabe 1: Ausrechnen von Funktionswerten
in eine Zelle (A1) das Argument eintragen
in eine andere Zelle (B1) die Formel = 3*A1^2 – 75
oder gleich eine Tabelle anlegen: in Spalte 1 die Argumente, in Spalte 2
die Funktionswerte ausrechnen lassen
Grundaufgabe 2: Berechnen von Argumenten
in Zelle A1 irgendein Argument eingeben, in Zelle B1 die Formel
für das Bildungsgesetz. Dann die Zielwertsuche starten (Extras >
Zielwertsuche)
Grundaufgabe 3: Darstellung von Funktionsgraphen.
Mit der Tabelle über Einfügen > Diagramm > Punkt xy
den Funktionsgraph darstellen lassen
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DERIVE
Grundaufgabe 1: Ausrechnen von Funktionswerten
Den rechten Teil der Funktionsgleichung über CTRL-A oder Schreiben > Ausdruck eingeben:
dann über SUB (Substitute) die Variable durch das Argument ersetzen und ausrechnen lassen.
oder
über Definieren > Funktion definieren
dann Eingabe von f(3) und ausrechnen lassen.
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Grundaufgabe 2: Berechnen
von Argumenten
einfach die Gleichung a = f(x)
( 7 = 3x2 – 75) algebraisch
lösen lassen
Grundaufgabe 3: Darstellung
von Funktionsgraphen.
über 2D-Grafik > Zeichnen
den Funktionsgraphen plotten
lassen. Eventuell ist eine Anpassung des Maßstabs über die
Zoom-Buttons notwendig.
Beispiel 2:
Ermitteln Sie von der Funktion f(x) = x3 – 3x2 – 28x die Werte f(10) und f(–2). Welches Argument hat den Funktionswert 96? Zeichnen Sie den Funktionsgraphen und ermitteln Sie grafisch
die Nullstellen.
Was ist eine lineare Funktion?
Eine Funktion mit D = B = R und der Funktionsgleichung f(x) = kx + d heißt linear.
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Welche Eigenschaften hat eine lineare
Funktion?
Eine lineare Funktion y = kx + d hat überall
die gleiche Steigung k, d.h. die absolute
Änderung der Funktionswerte bleibt bei
konstanten x-Intervallen immer gleich groß.
Die Steigung ist k = Error!
f(0) = d
Welche Eigenschaften hat der Funktionsgraph einer linearen Funktion?
Der Funktionsgraph ist eine Gerade
Er schneidet die y-Achse (die Ordinate) des
kartesischen Koordinatensystems im Punkt
(0 / d). Deswegen nennt man d auch Achsenabschnitt (engl. interception).
Die Steigung erkennt man im sogenannten
Steigungsdreieck: von jedem Punkt der
Gerade geht man x Einheiten nach rechts
und y = k · x Einheiten in y-Richtung.
Dort liegt dann der nächste Punkt der Geraden.
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Beispiel 3:
Zeichnen Sie den Funktionsgraph der Geraden y = 3 – 0,5 x unter Berücksichtigung des Steigungsdreiecks in ein Koordinatensystem.
Argument kann ausgesucht werden,
z. Bsp. x = 2
Einsetzen liefert den y-Wert f(2) = 3 – 0,5 · 2 = 2 also P(2/2).
Wahl von x = 6  y = –0,5 · 6 = – 3
Beispiel 4:
Zeichnen Sie den Funktionsgraph einer Geraden durch (3/–10) und der Steigung 2 in ein Koordinatensystem (Maßstab: x: 1 : 1 y: 1 : 5) Ermitteln Sie die Gleichung dieser Geraden. Berechnen
Sie die Nullstelle und zeichnen Sie die Nullstelle in den Graphen ein.
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Was ist eine stückweise definierte Funktion?
Stückweise definiert nennt man eine Funktion, wenn sie in verschiedenen Definitionsintervallen verschiedene Gleichungen hat.
Beispiel 5:
f(x) sei definiert durch:
f1(x) = 0,5x für x  [–5/10)
f2(x) = 20 – x in [10 / 20].
Berechnen Sie f(4) und f(15) und f(10). Stellen Sie die Funktion in einem Koordinatensystem dar.
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Wann ist eine stückweise definierte
Funktion stetig?
Eine Funktion heißt stetig, wenn die Punkte
beliebig nahe beisammen liegen, d.h. speziell müssen die Funktionswerte der Übergangspunkte gleich groß sein.
Beispiel 6:
f(x) sei definiert durch
f1(x) = 0,2 x2 in [–5 / 10] und
f2(x) in (10 / 20] sei linear mit f(20) = 5.
Berechnen Sie die Gleichung von f2(x) so, dass f(x) stetig ist.
Stellen Sie die Funktion grafisch dar!
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Anwendungen
1. Kosten, Erlös und Erfolg
Was ist eine Kostenfunktion?
Die Kostenfunktion ist eine Gleichung, die
die Abhängigkeit der Vollkosten K von der
erzeugten Menge x darstellt. Im einfachsten
Fall ist sie linear.
Was ist der Beschäftigungsgrad?
Der Beschäftigungsgrad ist nur ein anderer
Name für die erzeugte Menge. Er kann in
absoluten Einheiten (Stück, Liter, Tonnen,
Mengeneinheiten) oder als Anteil der Kapazität angegeben werden.
Was sind Fixkosten und variable Stückkosten?
Fixkosten sind Kosten, die auch beim Beschäftigungsgrad 0 auftreten, variable
Stückkosten sind die direkt für die Produktion von 1 ME auftretenden Kosten. Fixkosten sind in einer Kostenfunktion immer die
Konstante.
Wie sieht eine lineare Kostenfunktion
aus?
Kosten als Funktion der erzeugten Menge x
(heißt auch Beschäftigungsgrad).
K(x) = k x + F
F .....................Fixkosten
in GE (Geldeinheiten)
k .....................variable Stückkosten
in GE / ME (Geldeinheiten pro Mengeneinheiten
x .....................Menge (Beschäftigungsgrad) in ME (Mengeneinheiten)
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Was sind Stück- oder Durchschnittskosten?
–
Die Durchschnittskosten K; (x) oder Kd(x)
sind die durchschnittlich pro Stück anfallenden Kosten. Im Allgemeinen wird ihre
Größe vom Beschäftigungsgrad abhängen.
Bei linearem Kostenverlauf werden die
Durchschnittskosten mit steigendem Beschäftigungsgrad immer kleiner, allerdings
nie kleiner als die variablen Stückkosten.
–
Durchschnittskosten oder Stückkosten K; (x) = Kd (x) = Error! = k + Error!
Beispiel 7:
Ein Betrieb hat eine Kapazität von 80.000 Stk pro Monat. Er hat Fixkosten von € 500.000,-- pro
Monat.
Die Erzeugung von 100 Stk. kostet den Betrieb jeweils € 3.000,--.
Stellen Sie die Kostenfunktion als Gleichung dar.
Verwenden Sie 1 GE = € 10.000 und 1 ME = 1.000 Stk.
Wie hoch sind die Durchschnittskosten beim Beschäftigungsgrad 70 %?
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Was ist der Erlös?
Der Erlös ist das Produkt
Verkaufspreis * verkaufte Menge,
er ist also auch eine Funktion der Menge x:
E(x) = p x
E Erlös .........................................in GE
p Preis pro Mengeneinheit ..........in GE / ME
x verkaufte Menge .....................in ME
Was ist der Erfolg?
Der Erfolg (Gewinn) ist die
Differenz zwischen Erlös und Kosten.
Der Erfolg (Gewinn) eine Funktion der erzeugten Menge x .
G(x) = E(x) – K(x)
Was ist der Break-even?
Der Break-even – Punkt ist jener Beschäftigungsgrad, bei dem Kosten und Erlös gleich
groß sind. Vor dem Break-even sind die Kosten wegen der Fixkosten höher als der Erlös
und der Erfolg ist negativ.
Der BE heißt auch Gewinnschwelle.
G(x) = 0 oder E(x) = K(x)
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Beispiel 8:
Ein Betrieb hat eine lineare Kostenfunktion und eine Kapazität von 80 ME.
Die Kosten bei 20 % BG sind 98 GE, steigt der BG um 50 Prozentpunkte dann erhöhen sich
die Kosten um 122 %.
Ermitteln Sie die Gleichung der Kostenfunktion, die variablen Stückkosten und die Fixkosten.
Bei welchem BG liegt der BE, wenn der Verkaufspreis 5 GE/ME beträgt?
Grafische Darstellung
2. Tarife
Was ist eine Tariffunktion?
Die Tariffunktion ist der Zusammenhang
zwischen verrechnetem Tarif in GE und
verbrauchter Menge. Eine unter Umständen
verrechnete Grundgebühr G tritt in der Tariffunktion als Konstante auf.
Tarif als Funktion der verbrauchten Menge
x
T(x) = k x + G
G ......Grundpreis
k .......Tarif pro Verbrauchseinheit, Arbeitspreis
x .......verbrauchte Menge
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in GE
in GE / ME
in ME
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Was ist ein Splittarif?
Ein Splittarif ist ein Tarif, der für verschieden Verbrauchsintervalle verschiedene Bedingungen für die Berechnung hat. Bis auf
wenige Ausnahmen sollte ein Splittarif stetig sein, d.h. an den Übergangsstellen sollte
der gleiche Betrag verrechnet werden.
Beispiel 9 :
Splittarif:
Ein Energieversorgungsunternehmen macht folgende Angebote:
Tarif A:
Grundtarif ............................................€ 50,-- pro Monat
Arbeitspreis 1 ......................................€ 0,15 pro kWh bis zu einem Monatsverbrauch von 500
kWh
Arbeitspreis 2 ......................................€ 0,10 pro kWh für jede kWh über 500 kWh.
Tarif B:
Arbeitspeis ...........................................€ 0,20 pro kWh und keine Grundgebühr
Berechnen Sie die Gleichungen für beide Tarife.
Stellen Sie die Tarife grafisch dar.
Wann ist welcher Tarif für den Verbraucher günstiger?
Wieviel kann man sich bei einem Verbrauch von 400 kWh, bzw. 1.000 kWh beim günstigeren
Tarif ersparen?
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3. Angebot und Nachfrage
Was versteht man unter der Angebotsfunktion?
Die angebotene Menge x ist abhängig vom
Marktpreis s (Angebot = supply). Im mathematischen Modell wird die Funktion als
Angebotspreis als Funktion der Menge
beschrieben:
s(x) = a x + b
Was ist die Nachfragefunktion?
Die vom Markt nachgefragte Menge x ist
abhängig vom verlangten Preis d (Nachfrage = demand). Im mathematischen
Modell wird die Funktion als
Nachfragepreis als Funktion der Menge
beschrieben
d(x) = c x + d
Was ist die Sättigungsmenge?
In einem vollkommenen Markt wird auch bei
extremer Verringerung des Preises (d = 0)
keine weitere Nachfrage mehr auftreten. Der
Markt ist gesättigt. Mathematisch ist die Sättigungsmenge daher der Punkt der Nachfragefunktion mit d(SM) = 0, also die Nullstelle
der Nachfragefunktion.
Was ist der Prohibitivpreis?
Wird der Preis für ein Produkt so groß, dass
für diesen Preis nichts mehr nachgefragt wird,
dann nennt man diesen Preis prohibitiv
(= verhindernd). Der Prohibitivpreis ist also
PP = d(0).
In der grafischen Darstellung ist der Prohibitivpreis also der Achsenabschnitt
(Schnittpunkt der Nachfragefunktion mit
der y-Achse (Ordinate))
Was ist der Gleichgewichtspreis?
Der Gleichgewichtspreis ist der Preis bei
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dem Angebotsmenge und Nachfragemenge gleich groß sind. Der Markt ist im Gleichgewicht. In
einem vollkommenen Markt sollte dieser Gleichgewichtspreis früher oder später eintreten (Cobweb-Theorem), es gibt jedoch Ausnahmen (Schweinezyklus).
Mathematisch ist:
s(x) = d(x)
d.h. in der Grafik der Schnittpunkt zwischen Nachfrage- und Angebotsfunktion.
Was ist ein Käufermarkt?
Ist der Preis so hoch, dass das Angebot die
Nachfrage überwiegt, dann nennt man das einen Käufermarkt. Es besteht eine Angebotsüberhang. Der Marktpreis p ist höher als der
Gleichgewichtspreis.
Angebotsüberhang = xs(p) – xd(p)
Was ist ein Verkäufermarkt?
Ist der Preis kleiner als der Gleichgewichtspreis
dann nennt man das einen Verkäufermarkt. Es
besteht eine Nachfrageüberhang.
Nachfrageüberhang = xd(p) – xs(p)
Was ist die Nachfrageelastizität?
Die Elastizität der Nachfrage gibt an um welchen Faktor die relative Absatzänderung (in
Prozent) größer oder kleiner als die relative
Preisänderung ist. Ist die Elastizität größer als
1, dann kann man mit einer kleinen Preisänderung hohe Absatzänderungen hervorrufen. Die
Nachfrage ist dann elastisch.
Elastizität der Nachfrage:
 (x) = – Error! = – Error!
Beispiel 10:
Bei einem Preis von € 70,-- pro Stück werden 250 Stück angeboten, aber 500 Stk. nachgefragt.
Wird der Preis um 20 % gesenkt, dann sinkt das Angebot auf 180 Stk., die Nachfrage steigt jedoch um 28 %.
Berechnen Sie die Angebots- und Nachfragefunktion!
Wie hoch ist der Gleichgewichtspreis?
Wie hoch ist der Nachfrageüberhang bei einem Preis von 50 €/Stk.?
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Wie hoch ist die Elastizität der Nachfrage bei einem Preis von 80 €/Stk.?
Lösungen:
Beispiel 1:
Eine reelle Funktion mit D = R und B = R hat die Funktionsgleichung f(x) = ax2 + b. Ermitteln
Sie a und b so, dass f(10) = 225 und f(–3) = – 48 ist. Ermitteln Sie dann f(8).
Zeichnen Sie den Funktionsgraph und ermitteln Sie die Nullstellen.
225 = 100a + b
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–48 =
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9a + b
273 = 91 a  a = 3 und b = – 75
daher: f(x) = 3x2 – 75
f(2) = 3 · 82 – 75 = 192 – 75 = 117
Beispiel 2:
Ermitteln Sie von der Funktion f(x) = x3 – 3x2 – 28x die Werte f(10) und f(–2). Welches Argument hat den Funktionswert 96? Zeichnen Sie den Funktionsgraphen und ermitteln Sie grafisch
die Nullstellen.
f(10) = 420
f(–2) = 36
f(x) = 100  f(8) = 96
Nullstellen:
(– 4 / 0) (0 / 0) und (7 / 0)
Beispiel 3:
Zeichnen Sie den Funktionsgraph der Geraden y = 3 – 0,5 x unter Berücksichtigung des
Steigungsdreiecks in ein Koordinatensystem.
Argument kann ausgesucht werden,
z. Bsp. x = 2
Einsetzen liefert den y-Wert f(2) = 3 – 0,5 · 2
= 2 also P(2/2).
Wahl von x = 6  y = –0,5 · 6 = – 3
5
4
3
2
1
0
-5
-1
0
5
10
15
-2
-3
Beispiel 4:
10
Zeichnen Sie den Funktionsgraph einer Geraden
durch (3/–10) und der Steigung 2 in ein Koordinatensystem (Maßstab: x: 1 : 1 y: 1 : 5) Ermitteln Sie die Gleichung dieser Geraden. Berechnen Sie die Nullstelle und zeichnen Sie die
Nullstelle in den Graphen ein.
5
0
-5
-5
0
5
10
15
-10
-15
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-20
-25
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–10 = 2 · 3 + d  d = –16
y = 2x – 16
Nullstelle: 0 = 2x – 16  x = 8
Beispiel 5:
f(x) sei definiert durch:
f1(x) = 0,5x für x  [–5/10)
f2(x) = 20 – x in [10 / 20].
Berechnen Sie f(4) und f(15) und f(10). Stellen Sie die Funktion in einem Koordinatensystem dar.
f(4) = f1(4) = 2
f(15) = f2(15) = 5 f(10) = f2(10) = 10. Achtung f1(10) = 5 !!!, aber 10 ist wegen der runden Klammer nicht im Definitionsbereich von f1.
12
10
8
6
4
2
0
-10
-5
0
5
10
15
20
25
-2
-4
Beispiel 6:
f(x) sei definiert durch
f1(x) = 0,2 x2 in [–5 / 10] und
f2(x) in (10 / 20] sei linear mit f(20) = 5.
Berechnen Sie die Gleichung von f2(x) so, dass f(x) stetig ist.
Stellen Sie die Funktion grafisch dar!
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 15 = –10a 
f2(x) = ax + b mit f1(10) = 20 = f2(10) = 10a + b und f2(20) = 5 = 20a + b
a = –1,5 und b= 35 daher f2(x) = 35 – 1,5x
25
20
15
10
5
0
-10
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-5
0
5
10
15
20
25
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Beispiel 7:
Ein Betrieb hat eine Kapazität von 80.000 Stk pro Monat. Er hat Fixkosten von € 500.000,-- pro
Monat.
Die Erzeugung von 100 Stk. kostet den Betrieb jeweils € 3.000,--.
Stellen Sie die Kostenfunktion als Gleichung dar.
Verwenden Sie 1 GE = € 10.000 und 1 ME = 1.000 Stk.
Wie hoch sind die Durchschnittskosten beim Beschäftigungsgrad 70 %?
k kann als Error! = Error! = 30 €/Stk. berechnet werden. K(x) = 30 x + 50.000 mit x  [0
/ 80.000]
Verwendet man die verlangte Skalierung dann ist: k = Error! = Error! = 3 GE/ME berechnet werden. K(x) = 3 x + 50 mit x  [0 / 80]
Darstellung als Funktionsgraph
DERIVE: Eingabe des rechten Teils der
Funktionsgleichung und dann im Grafikfenster plotten.
EXCEL: in Spalte A die x-Werte eintragen – in B die Formel =3*a2+50 eintragen
und hinunterkopieren – Diagramm erstellen mit Diagrammtyp x-y!
Wie hoch sind die Durchschnittskosten beim Beschäftigungsgrad 70 %?
70 % BG heißt 0,7 · 80 ME = 56 ME
K(56) = 3 · 56 + 50 = 218 GE, das sind € 2.180.000,-Stückkosten = Kosten pro Mengeneinheit = Error! = 3,89 GE/ME = 38,9 €/Stk.
30 € /Stk. sind variable Stückkosten, 8,9 €/Stk. ist der Fixkostenanteil.
Je höher der Beschäftigungsgrad wird, desto kleiner wird der Fixkostenanteil.
Beispiel 8:
Ein Betrieb hat eine lineare Kostenfunktion und eine Kapazität von 80 ME.
Die Kosten bei 20 % BG sind 98 GE, steigt der BG um 50 Prozentpunkte dann erhöhen sich
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die Kosten um 122 %.
Ermitteln Sie die Gleichung der Kostenfunktion, die variablen Stückkosten und die Fixkosten.
Bei welchem BG liegt der BE, wenn der Verkaufspreis 5 GE/ME beträgt?
Grafische Darstellung
K(20 %) = K(16) = 98 = k · 16 + F
K(70 %) = K(56) = 2,22 · 98 = 217,56 = k · 56 + F
Elimination liefert
k = 2,989  3 und F = 50,176  50
also K(x) = 3 x + 50 in [0 / 80]
K(x) = E(x)
3x + 50 = 5x  x = 25 , das sind 31,25 % BG.
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Beispiel 9 :
Splittarif:
Ein Energieversorgungsunternehmen macht folgende Angebote:
Tarif A:
Grundtarif ............................................€ 50,-- pro Monat
Arbeitspreis 1 ......................................€ 0,15 pro kWh bis zu einem Monatsverbrauch von 500
kWh
Arbeitspreis 2 ......................................€ 0,10 pro kWh für jede kWh über 500 kWh.
Tarif B:
Arbeitspeis ...........................................€ 0,20 pro kWh und keine Grundgebühr
Berechnen Sie die Gleichungen für beide Tarife.
Stellen Sie die Tarife grafisch dar.
Wann ist welcher Tarif für den Verbraucher günstiger?
Wieviel kann man sich bei einem Verbrauch von 400 kWh, bzw. 1.000 kWh beim günstigeren
Tarif ersparen?
Tarif A:
TA1(x) = 50 + 0,15x für x  [0 / 500]
TA2(x) = ax + b für x  (500 /  )
(linearer Ansatz, Parameter a und b, Buchstaben für die Parameter egal)
man weiß: TA2(500) = TA1(x) = a · 500 + b = 50 + 0,15 · 500
500 a + b = 125
und
TA2(600) = 125 + 0,1 · 100 = 135 = 600 a + b (der Wert 600 ist frei wählbar)
Elimination liefert a = 0,1 (natürlich, das hätte man auch schon vorher wissen können) und b = 75
(das wäre die Grundgebühr für den zweiten Teil des Splittarifs, aber für den Verbrauch 0 kWh ist
TA2 gar nicht definiert)
daher: TA1(x)
= 50 + 0,15x
für x  [0 /
500] und
TA2(x) = 0,1x +
75 für x 
(500 /  )
und
TB(x) =
0,2x für x 
R+
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Schneiden beider Tarife führt auf die Gleichungen:
50 + 0,15x = 0,2 x  x = 1.000 irrelevant, weil 1000 nicht in [0 / 500] liegt.
75 + 0,1x = 0,2x  x = 750 ...........gültige Lösung weil 750 in (500 / ) liegt.
ab einem Verbrauch von 750 kWh/Monat ist der Tarif A günstiger, vorher B.
TA1(400) = 50 + 0,15 · 400 = 110 €
TB(400) = 0,2 · 400 = 80 €
TA2(1.000) = 75 + 0,10 · 1.000 = 175 €
TB(1.000) = 0,2 · 1.000 = 200 €
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Ersparnis 30 €/Monat
Ersparnis 25 €/Monat
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Beispiel 10:
Bei einem Preis von € 70,-- pro Stück werden 250 Stück angeboten, aber 500 Stk. nachgefragt.
Wird der Preis um 20 % gesenkt, dann sinkt das Angebot auf 180 Stk., die Nachfrage steigt jedoch um 28 %.
Berechnen Sie die Angebots- und Nachfragefunktion!
Angebot: s(250) = 70 = 250 a + b und s(180) = 56 = 180 a + b 
a = 0,2 und b = 20 also s(x) = 0,2x + 20
Nachfrage: d(500) = 70 = 500 c + d und d(640) = 56 = 640 c + d 
c = – 0,1 und d = 120 d(x) = 120 – 0,1x
Wie hoch ist der Gleichgewichtspreis?
0,2x + 20 = 120 – 0,1 x
 0,3 x = 100  x = 333,333 p(333,333) = 86,66
Wie hoch ist der Nachfrageüberhang bei einem Preis von 50 €/Stk.?
50 = 0,2xs + 20  xs = 150
Nachfrageüberhang 550 Stk.
50 = 120 – 0,1xd  xd = 700
Wie hoch ist die Elastizität der Nachfrage bei einem Preis von 80 €/Stk.?
d(x) = 80 = 120 – 0,1x  x = 400 Stk.
wird x um x = 40 erhöht,
also um 10 %,
300
dann muss der Preis auf
d(440) = 120 – 0,1 · 440 = 76
250
gesenkt werden,
200
das sind – 5 %.
also  = – Error! = 2
der Absatz ist also elastisch,
weil bei einer Senkung des
Preises um nur 5 % der Absatz
doppelt so schnell (um 10 % )
steigt. Der Erlös wird bei einer
Preissenkung also steigen!
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150
100
50
0
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