Bewegung auf ebenen Bahnen der Form r(j)

Bewegung auf ebenen Bahnen der Form ()
Wir betrachten im folgenden die Bewegung auf nicht kreisförmigen,
ebenen Bahnen, die sich durch den funktionalen Zusammenhang ()
beschreiben lassen.
Es seien folgende Bahnen ausgewählt:
Logarithmische Spirale: ()  0 exp( k)
Archimedische Spirale: ()  0 (  0 )
() 
Ellipse:
p
1   cos 
Im Falle der Ellipse befindet sich der Koordinatenursprung im rechten
Brennpunkt. Insbesondere gelten folgende Zusammenhänge zwischen
dem Parameter p, der Exzentrizität , der großen Halbachse a und der
kleinen Halbachse b:
b2
p
a
;
a 2  b2

a
;
 ( 0)   0 
p
1 
Die Kurven können in einem kartesischen Koordinatensystem mittels
der Umrechnung
x   cos 
und
y   sin 
dargestellt werden.
Im folgenden ist der Verlauf y(x) für die drei Kurven dargestellt. Es
wurden folgende Parameter gewählt:
Für alle drei Kurven ist 0 = 30 m . Außerdem schneiden sich alle
drei Kurven bei   145° ( (145°)  105 m ). Damit sind auch die
folgenden Parameter festgelegt:
k= 0,5 , 0 = -1 , p  50 und   2/3.
Vergleich verschiedener Funktionen  ( )
100
50
0
-150
-100
-50
0
50
-50
y
-200
-100
-150
-200
x
Archimedische Spirale
Logarithmische Spirale
Ellipse
Wir betrachten ein Fahrzeug, das sich auf einer der oben dargestellten
Bahnen bewegt und interessieren uns für die Frage, mit welcher
maximalen Geschwindigkeit man eine derartige Kurve durchfahren
kann. Das Fahrzeug werde seitlich durch die Haftreibung gehalten.
Die der Haftreibung entsprechende Beschleunigung a = µg
kompensiere die Zentrifugalbeschleunigung v2/R.
R ist der
Krümmungsradius der Bahnkurve am Punkt (y,x) resp. (,). Ist die
Kurve in Polarkoordinaten gegeben, so errechnet sich der
Krümmungsradius mittels der Beziehung

 '2 
R 2
  2'2 ' '
2
3/ 2
d 2
d
Hierin bedeuten '  d und ' '  2 .
d
Für einen Kreis erhält man natürlich wegen () = R , ’ = 0 und
’’=0 den Kreisradius. Für obige Funktionen gilt:
Krümmungsradius der logarithmischen Spirale:
R  () 1  k 2
Krümmungsradius der Archimedischen Spirale:
R  0


3/ 2
1
2  2
2
Krümmungsradius der Ellipse:
3/ 2

()2a  () 
R
ab
Die Krümmungsradien der drei Funktionen sind in folgender Grafik
dargestellt (Hinweis: Nur bei einer Kreisbahn ist R mit  identisch!):
Vergleich der Krümmungsradien
300
Krümmungsradius / m
250
200
150
100
50
0
0
50
100
150
200
Winkel / grad
log. Spirale
Archim. Spirale
Ellipse
250
Mit vmax  gR erhält man die maximale Tangentialgeschwindigkeit,
mit der die Bahn durchlaufen werden kann, wenn Gleichgewicht
zwischen konstanter Haftreibungskraft und Zentrifugalkraft besteht. In
der folgenden Grafik wurde vmax für µ = 0,6 berechnet:
Vergleich der maximalen Geschwindigkeiten
maximale Geschwindigkeit / (km/h)
160
140
120
100
80
60
40
0
50
100
150
200
250
Winkel / grad
logarithm. Spirale
archim. Spirale
Ellipse
Will man mit einem Fahrzeug die Kurven von  = 0° bis   145°
durchfahren, so kann man dies mit zunehmender Geschwindigkeit tun,
im Falle der Ellipse jedoch nur bis etwa 135°. Insgesamt gesehen ist
man auf der archimedischen Spirale am langsamsten und auf der
elliptischen Bahn am schnellsten, kann diese also in der kürzesten Zeit
durchfahren (wenn man sich auf den betrachteten Winkelbereich
beschränkt). Wir interessieren uns für die momentane
Tangentialbeschleunigung, um ständig nahe vmax fahren zu können.
Mit
a || 
dv||
dt

dv
v max
dv
 v|| ||  v max
ds v
ds||
s
Hierin bedeutet vmax die Änderung der maximalen Geschwindigkeit
auf dem Kurvenstück der Länge s. Mittels numerischer Rechnungen
unter Verwendung obiger Formel gelangt man zu folgendem Resultat:
Vergleich der Tangentialbeschleunigungen
maximale Beschleunigung / (ms-2)
4
3
2
1
0
0
50
100
150
200
250
-1
-2
-3
Winkel / grad
archimed. Spirale
logarithm. Spirale
Ellipse
Aus der Grafik wird folgendes ersichtlich:
 Die logarithmische Spirale kann mit konstanter Beschleunigung
durchfahren werden. Wird die Spirale mit zunehmender
Krümmung (in sich verengender Richtung) durchfahren, so ist
auch die Bremsbeschleunigung konstant.
 Die archimedische Spirale muß mit abnehmender
Beschleunigung durchfahren werden. Fährt man die Kurve in
umgekehrter Richtung, so muss die Bremskraft stetig zunehmen
(„Hundekurve“)
 Die Ellipse kann zunächst mit zunehmender Beschleunigung
durchfahren werden, nahe   100° nimmt die maximal
mögliche Beschleunigung jedoch wieder ab, da der
Krümmungsradius einen Wendepunkt hat. Ab   135° nimmt
die Krümmung der Kurve wieder zu und es muss sogar
abgebremst werden.