Unterrichtliche Realisierung Höherer Kurven

6. Unterrichtliche Realisierung Höherer Kurven
Lernvoraussetzungen:
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Grundlagen der Geometrie, Trigonometrie und Algebra (Sek I)
Diskussion wichtiger Funktionsgraphen
Grundlagen analytischer Geometrie: Charakterisierung von Gerade, Kreis und Ellipse;
Relationsgraphen F(x,y) = 0; Parameter-/Polarform geometrischer Gebilde (z.B. in
Klasse 11, Anwendung auch in der Physik, z.B. Kreisel-/Planetenbewegung)
Hard- / Software: Funktionsplotter, Computer-Algebra-Systeme (z.B. MAPLE, dazu
Buch von Reckziegel et al.: „Elementare Differentialgeometrie mit Maple“)
 sinnvolle Behandlung erst ab Klasse 12
Einbau in Kurvendiskussion:
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Ziel: Zeigen, dass nicht nur Funktionsgraphen sind diskussionswürdig sind!
Kurven in Parameterdarstellung (x(t),y(t)), bei denen explizite Darstellung y = f(x)
nicht möglich ist (=> z.B. Zykloide): Bestimmung von Nullstellen, Extrema,
Periodizität, Tangenten,...
Kurven in Polardarstellung r = f(φ) => Spiralen (s.u.)
Unterrichtseinheiten:
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Herausführen der Kurvendiskussion aus ihrer Erstarrung zu einem bloßen Abarbeiten
eines narrensicheren Algorithmus für die Untersuchung von Funktionsgraphen
praktische Bedeutung aufzeigen (z.B. Zykloidenbogen als einzige „gerechte
Rutschbahn“: „Setzt man einen Massenpunkt in einem beliebigen Punkt A auf diese
Kurve und rutscht dieser – mit Geschwindigkeit 0 startend – längs dieser Kurve unter
dem Einfluss der Schwerkraft (und unter Vernachlässigung von Reibungskräften), so
erreicht er den „Tiefpunkt“ E nach einer Zeitspanne, die von der Lage des Punktes A
unabhängig ist.“)
zwangloses Entstehen von Kurven: Spiralen durch Änderung der Funktion r = f(φ);
Epi-/Hypozykloiden durch Änderung des Verhältnis der Radien (=> Astroide,
Nephroide, Kardioide,...)
7. Spiralen in einer Unterrichtsreihe
Vorkommen:
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Natur: Schneckenhaus, Luft-/Wasserwirbel (Hurricans, Tornados), Galaxien,
Ammoniten, Spinnennetze,
Technik: Korbboden, Bandwicklung, Schallplatte
Kunst und Architektur: z.B. neolithische Keramikzierate, arabische Ornamente,
Hundertwasser
Mystik: Formen und Verzierungen von antiken Kultgegenständen, mittelalterliche
Mandalas, Symbolfiguren moderner Sekten
Definitionen und allgemeine Eigenschaften:
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Polarkoordinatensystem: Jeder Punkt P der Ebene wird
durch das Koordinatenpaar (r, φ) beschrieben, wobei r der
Abstand zum Ursprung O („Pol“) ist, und φ der Winkel
zwischen dem Ortvektor OP und einer festen vom
Ursprung ausgehenden Achse.
Unter einer Spirale versteht man eine Kurve, zu der es eine
Polardarstellung r = f(φ) gibt mit einer stetigen und streng
monotonen Funktion f.
Archimedische Spirale:
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ausführlich beschrieben von Archimedes (287 – 212 v.Chr.) in Über Spiralen
Archimedische Spirale ist die Bahnkurve eines Punktes, der sich auf einem mit
konstanter Winkelgeschwindigkeit drehenden Strahl vom Rotationszentrum aus mit
konstanter Geschwindigkeit fortbewegt: r = a  φ mit φ  R\R-, a  R+
Archimedische Spirale mit a=2, φ[0,8Polarkoordinatenpapier zum Zeichnen.
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Archimedische Spirale wurde im Altertum
zur Winkeldreiteilung herangezogen. Wegen
r ~ φ ist dies folgendermaßen möglich:
 Lege den Pol der Spirale auf den Scheitel Z des Winkels
 Erhalte die Schnittpunkte A und D der Spirale mit den
Schenkeln des Winkels
 Trage mit dem Zirkel a=ZA auf d=ZD ab und erhalte die
Differenz x=d-a
 Teile x mit Zirkel und Lineal in drei gleiche Teile
 Schlage um Z Kreise mit den Radien b=a+1/3x und
c=a+2/3x und erhalte deren Schnittpunkte B und C mit der Spirale
 Zeichne die Verbindungsgeraden von B und C mit Z. Sie teilen den vorgegebenen Winkel in drei gleiche Teile
Logarithmische Spirale:
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r’ nicht mehr konstant, sondern r’ = a  r (a  R+)
Lösung dieser DGL: r = cexp(a  φ) mit φ  R,
a,c  R+
Die auf einer gemeinsamen
Ursprungshalbgeraden liegenden Fahrstrahllängen
bilden eine geometrische Folge, deren Glieder mit
dem Fahrwinkel wachsen bzw. fallen.
Winkel zwischen Fahrstrahl und Tangente ist
konstant (=> Anwendung: Bei Blechscheren hat
oft eine der Klingen die Form einer
logarithmischen Spirale. Nur so ist gewährleistet, dass das Blech stets unter demselben
Winkel und daher mit gleichbleibendem Druck geteilt werden kann.)
Die zentrische Streckung einer logarithmischen Spirale um ihr Zentrum kommt einer
Drehung gleich (=> optische Täuschung bei Drehung einer logarithmischen Spirale,
die je nach Drehrichtung zu wachsen oder zu schrumpfen scheint): Mit r* = k  r (k 
R+) und φ* = φ ergibt sich die Bildfigur r* = k  c  exp(a  φ*). Setzen wir  = ln(k)/a,
so ist k = exp(a  ) und es gilt r* = c  exp(a  (φ* + )).
Wegen dieser und anderer „Selbstbehauptungseigenschaften“ war Jakob Bernoulli
(1654-1705) so sehr von der logarithmischen Spirale angetan, dass er sie „Spira
mirabilis“ nannte und sogar auf seinen Grabstein gravieren lassen wollte. Leider
brachte der Steinmetz statt der logarithmischen eine archimedische Spirale an...
Bastelanleitung für logarithmische Spirale: www.labbe.de
Andere Spiralen:
Lit
uus
(Kr
um
mst
ab):
r=
a/sq
rt(φ
).

Fer
mat
sch
e
Spi
rale: r = a  sqrt(φ), hier sjkdffhkdjskfjdssfhksfhdjksfhksdjfhkjs
a  sqrt(φ)
Quellen:
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Schupp, H./Dabrock, H.: Höhere Kurven (Mannheim u.a.: BI, 1995)
MAPLE 9
Vorlesungsskript Prof. H. Reckziegel: Ebene Kurven
Internet, z.B. www.mathematische-basteleien.de/spirale.htm
zusammen mit r = -