Pinar Özyesilpinar

Pinar Özyesilpinar
Matr.: 620893
Seminar: Geschichte der Mathematik
im 19. Jahrhundert
Dozent: Prof. Dr. Scholz
Funktionsbegriff
Einleitung: Heute erfahren wir näheres über das Thema „Funktionsbegriff“. Ein
umfangreiches Thema, dass im 17. Jahrhundert seinen lauf nahm und bis heute für die
Mathematik von großer Bedeutung ist. Seine Entwicklung zur heute gebräuchlichen Form
hat Jahrhunderte gedauert. Die Namen bekannter Mathematiker sind mit diesem Prozess
eng verbunden. Leibniz verwendete 1673 erstmals das Wort „Funktion“, von Johann
Bernoulli stammt die erste Definition und auch Euler trug zur Präzisierung bei. Unter
einer Funktion f versteht man eindeutige Zuordnung (Abbildung), die jedem Element x
aus einer Menge D eindeutig ein Element y aus einer Menge W zuordnet.
D = Definitionsbereich
W = Wertebereich
x Element D ein Argument, das zugeordnete Element
y Element W den Funktionswert von x bei der Funktion f
Kurze schreibweise der Funktionsgleichung  y = f(x)
Ich werde im Hauptteil zuerst den Begriff „Funktion“ näher schildern bzw. beschreiben.
Daher gehe ich mehr auf die Mathematiker, wie Leibniz, Bernoulli, Euler, Newton,
Fourier, Dirichlet und Hausdorff ein.
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Wie hat sich der Funktionsbegriff im 17. Jahrhundert definiert?
Wo taucht zu erst der Begriff „Funktion“ auf?
Wie entwickelte es sich weiter nach 17. Jahrhundert?
Wie ging es im 18. Jahrhundert weiter?
Wurde dort der „Funktionsbegriff“ endgültig gelöst?
Hauptteil: Im 17. Jahrhundert war das Objekt, der Untersuchungsbestandteil war die
Kurve. Sie enthielt Verhältnisse zwischen Variablen geometrischen Größen, wie etwa
Punkte auf der Kurve, die nach Möglichkeit in Gleichungen ausgedrückt wurden. Der
Begriff „Funktion“ wurde nicht so aufgefasst, wie der Begriff heute eigentlich aufgefasst
wird. Gleichungen und Variablen wurden nicht als Funktionen verstanden und eine
Beziehung von „x“ zu “y“ wurde nicht als eine Abhängigkeit voneinander und zueinander
betrachtet. Insbesondere ging es im 17. Jahrhundert um Kalküle, welches Isaac Newton
und Gottfried Wilhelm Leibniz erfunden haben.
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Beide haben unabhängig von einander die Berechnung von Flächen durch Umkehrung
des Verfahrens zur Tangentenberechnung und die Entwicklung eines Algorithmus
entwickelt. Leibniz wollte das Problem der Tangentenberechnung aufheben.
Leibniz entwickelte immer neue Methoden mit dem er an das Problem des Infinitesimal
herangehen konnte.
Der Funktionsbegriff entstand erst später. Newton und Leibniz redeten vielmehr von
„Größen“ statt „Funktionen“ und bezogen diese Größen auf geometrische Objekte
(Kurven). Kurven waren bis ins 17. Jahrhundert hinein Objekte der Geometrie. Das Wort
„Funktion“ taucht zuerst bei Leibniz im Jahre 1673 in einem Manuskript mit dem Titel
„Methodus tangentium inversa, seu de Functionibus“ auf. Leibniz gebrauchte den Begriff
Funktion im umgangssprachlichen Sinne für Variable Größen, wie Koordinaten strecken
unter Tangenten, Normale, Subtangenten, Subnormale.
Isaac Newton jedoch sprach im 18. Jahrhundert über die abhängige Größen, die er als
„erzeugte Größe“ bezeichnete, er betrachtete sie als „unbestimmt und veränderlich“,
gleichsam durch eine beständige Bewegung oder beständiges Fließen fortwährend
Wachsend oder abnehmend. Als Physiker hat er seine Formulierung passend gewählt, in
der reinen Mathematik ist sie allerdings nicht exakt genug.
Johann Bernoulli versuchte als erstes im Jahre 1718 den Begriff „Funktion“ zu definieren.
Seine Definition: « On appelle fonction d`une grandeur variable une quantite composee
quelques maniere que ce soit de cette grandeur variable et de constantes « .
Seine Definition besagt: „ Eine Funktion einer veränderlichen Größe ist ein Ausdruck, der
auf irgendeine Weise aus der Veränderlichen Größe und Kostanten zusammengesetzt ist.“
Späte spielt das Wort „quantite“ eine große Rolle für den Leonhard Euler, welches er aus
Bernoullis Definition übernahm, um seine Funktion in folgender maßen zu definieren:
„Functio quantitatis variablis est expressio analytica quomodocunque composita ex illa
quantitate variabili ex numeris sen quantitatibus constantibus. « Damit besagt Euler auf
Deutsch: Eine Funktion ist nun ein beliebig aus veränderlichen und konstanten
Zahlengrößen zusammengesetzter Ausdruck.“
Er stellte Funktionen in seinem « Introductio » und dabei unterscheidete er Funktionen
folgendermaßen:
Funktion
algebraisch
transzendent
rational
irrational
ganze
gebrochen
Ferner unterscheidet er mehrdeutige, inverse, gerade, ungerade und ähnliche Funktionen.
Funktionen stellte Euler durch unendliche Reihen dar. Dabei begründete er diese
Vorgehensweise damit, dass Eigenschaften von Funktionen, vor allem die von
transzendenter Funktion durch die Reihenentwicklung verdeutlicht werden. Für Euler war
also eine Funktion nicht mehr als eine Berechnungsvorschrift für die y- Koordinate eines
Graphen in Abhängigkeit von seinen x- Koordinaten.
Gleitend gehen wir langsam auf die Geschichte im 19. Jahrhundert zu.
Die Frage: Wie ging es im 18. Jahrhundert weiter? Wurde da die Funktion endgültig
gelöst? Nein!!!
Nach 25 Jahre später stieß Fourier dazu, er definierte den Funktionsbegriff sehr viel
allgemeiner. Fourier zitierte 1822 in seinem Hauptwerk: „Allgemein repräsentiert die
Funktion f(x) eine Folge von Werten oder Ordinaten, von denen jeder beliebig ist. Da die
Abszissen x unendlich viele Werte annehmen dürfen, so gibt es auch unendlich viele
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Ordinaten f(x). Alle haben bestimmte Zahlenwerte, die positiv, negativ oder Null sein
können. Es wird keineswegs angenommen, dass diese Ordinaten einem gemeinsamen
Gesetz unterworfen sind; sie folgen einander auf irgendeine Weise und jede Ordinate ist
so gegeben, als wäre sie allein gegeben.“
Er ist der Meinung, dass die Funktionen nicht durch analytische Ausdrücke gegeben sein
müssen. Er spricht auch nicht von veränderlichen Größen.
Auch Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet war ein deutscher Mathematiker.
Dirichlet lehrte in Berlin und Göttingen und arbeitete hauptsächlich auf den Gebieten
der Analysis und der Zahlentheorie. Er schloss sich dem Mathematiker Fourier an und
beschäftigte sich auch mit dem Begriff der Funktionen. Hauptsächlich arbeitete er mit
Fouriers Funktionsbegriff „Über die Darstellung ganz willkürlicher Functionen durch
Sinus und Cosinusreihen.“ Dirichlet verallgemeinerte (1805-59) den Funktionsbegriff
radikal und konkretisierte seinen Funktionsbegriff: „ Es ist nicht erforderlich, dass y in
Bezug auf x im ganzen Intervall derselben Regel unterworfen sei, ja es braucht nicht
einmal möglich zu sein, die Beziehung durch mathematische Operationen auszudrücken.
Geometrisch dargestellt, d.h. x und y als Abszisse und Ordinate gedacht, erscheint eine
stetige Funktion als eine zusammenhängende Kurve, von der jeder zwischen a und b
enthaltenen Abszisse nur ein Punkt entspricht. Diese Definition schreibt den einzelnen
Teilen der Kurve kein gemeinsames Gesetz vor; man kann dieselbe aus den
verschiedenartigsten Teilen oder ganz gesetzlos gezeichnet denken. So lange man über
eine Funktion nur für einen Teil des Intervalls bestimmt hat, bleibt die Art ihrer
Fortsetzung für das übrige Intervall ganz der Willkür überlassen.“
Fourier und Dirichlet sagen, dass Funktionen eindeutige Zuordnungen sind, eine Funktion
muss weder stetig, noch differenzierbar sein.
Mit Fourier und Dirichlet wurde das ganze abstrahiert, zu mindest wurde die Stetigkeit
und Differenzierbarkeit endgültig von der Funktionsbegriff getrennt. Der
Funktionsbegriff hat sich im 19. Jahrhundert erweitert, es wurde immer abstrakter. Durch
Funktionsbegriff stießen einige Mathematiker auf Mengenlehre zu.
Einer von denen war Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (deutscher Mathematiker).
Cantor lieferte wichtige Beiträge zur modernen Mathematik. Insbesondere ist er der
Begründer der Mengenlehre. Auch Felix Hausdorff war ein deutscher Mathematiker. Er
gilt als Mitbegründer der allgemeinen Topologie und lieferte wesentliche Beiträge zur
allgemeinen und deskriptiven Mengenlehre,
zur Maßtheorie, Funktionalanalysis und Algebra.
Er richtete sich nach Dirichlets Definition. Hausdorff schlug die allgemeine Definition
vor. Er stützte sich nicht auf die „analytische Ausdrücke“, auf „Gesetze“, „ideale
Tabellen“, oder umgangssprachlich festgelegte „Relationen“, sondern er ging
ausschließlich auf den Mengenbegriff zu. Funktionen sind Mengen von geordneten
Paaren, wobei auch geordnete Paare ausschließlich unter Verwendung des
Mengenbegriffs definiert sind. Jede Teilmenge C des Cartesischen Produktes A x B fasst
Hausdorff als mehrdeutige Abbildung aus A in B auf. Insbesondere ist eine Teilmenge F
des Cartesischen Produktes der Mengen A und B eine Funktion von A in B, falls für jedes
a Element A genau ein Paar (a,b) Element F existiert.
Man schreibt heute: A = Def(F) = Dom(F) = {a; Ǝb: (a,b) ɛ F}
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Vokabeln:
Was sind geordnete Paare? Die Mathematiker im 19.Jahrhundert haben den Begriff
„geordneten Paares“ nie wirklich definieren können. Das geordnete Paar wurde als Objekte
verstanden, das der menschliche Geist aus der intellektuellen Anschauung irgendwie
erschaffen hat.
Ein geordnetes Paar besteht aus zwei Angaben nicht notwendig voneinander verschiedener
Objekte, wobei eine der Angaben ausgezeichnet ist. Das ausgezeichnete Objekt wird
oftvordere Komponente, das andere hintere Komponente des geordneten Paars genannt. Auch
spricht man von linker bzw. rechter oder erster bzw. zweiter Komponente.
Zur expliziten Niederschrift eines geordneten Paars bedient man sich, je nach Kontext, runder,
spitzer, eckiger oder anderer Klammern, jedoch nicht geschweifter (Mengenklammern):
Was ist ein Cartesisches Produkt? In der Mathematik bezeichnet man als kartesisches
Produkt zweier Mengen A und B die Menge aller geordneten Paare (a,b),
wobei a aus A und b aus B ist. (Kombination: „Jedes mit jedem“.) Geschrieben wird es
als
, gelesen als A kreuz B:
.
Abszisse (von lat.: abscissa) = die abgeschnittene Linie, Rechtachse
Ordinatenachse (von lateinisch (linea) ordinata) = vertikale Achse, geordnete Linie oder
Hochachse.
Rationale Zahl = ist eine Zahl, die als Verhältnis (lateinisch ratio) zweier ganzer
Zahlen dargestellt werden kann. Die Menge aller rationalen Zahlen wird mit dem
Formelzeichen
(von „Quotient“) dargestellt.
Irrationale Zahl = wenn sie nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen dargestellt werden
kann, das heißt nicht als mit
und
. Im Gegensatz zu rationalen Zahlen,
die als endliche oder periodische Dezimalzahlen dargestellt werden können, sind
irrationale Zahlen solche, deren Dezimaldarstellung nicht abbricht und nicht periodisch
ist.
Ganze Zahl = sind eine Erweiterung der natürlichen Zahlen.
umfassen alle Zahlen ( …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …)
Gebrochene Zahl =
/3 = 0,3
= 0,33333…
= [0,01]2
/7 = 1,285714 = 1,285714 285714… = [1,010]2
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Transzendent = Gegenteil von algebraischer Zahl: Eine Zahl, die nicht Nullstelle
eines Polynoms mit rationalen Koeffizienten ist, das heißt, sie lässt sich nicht durch eine
Polynomgleichung beschreiben. Zu dieser Zahlengruppe gehören zum Beispiel
die eulersche Zahl e und die Kreiszahl π (pi).
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