Prof

Prof. Dr. Rainer Marggraf
WS 2007/08
Vorlesung
Volkswirtschaftslehre
Übungsfragen
3.
Präferenzen
3.1
Karli mag sowohl Äpfel als auch Bananen. Er konsumiert sonst nichts. Wir wollen das
Konsumbündel, bei dem Karli xA Zentner Äpfel pro Jahr und xB Zentner Bananen pro
Jahr konsumiert, als (xA, xB) anschreiben. Voriges Jahr konsumierte Karli 20 Zentner
Äpfel und 5 Zentner Bananen. Es stellt sich heraus, daß jene Konsumbündel (xA, xB), bei
denen Karli zwischen diesen (xA, xB) und (20, 5) gerade indifferent ist, Konsumbündel
sind, für die xB = 100/xA gilt. Und solche Konsumbündel (xA, xB), bei denen Karli
zwischen diesen (xA, xB) und (10,15) gerade indifferent ist, sind Konsumbündel, für die
xB = 150/xA gilt.
a) Markieren Sie in einer Grafik einige Punkte, welche auf der Indifferenzkurve liegen,
die durch den Punkt (20, 5) verläuft, und zeichnen Sie diese Kurve. Machen Sie
dasselbe für die Indifferenzkurve durch den Punkt (10, 15).
b) Schreiben Sie für jede der folgenden Aussagen über Karlis Präferenzen „richtig“
oder „falsch“:
ba) (30, 5) ~ (10, 15)
bb) (10, 15) > (20, 5)
bc) (20, 5)  (10, 10)
bd) (24, 4)  (11, 9,1)
be) (11, 14) > (2, 49)
3.2
Ambrosius konsumiert nur Nüsse und Beeren. Glücklicherweise mag er beide Güter.
Das Konsumbündel, bei dem Ambrosius x1 Einheiten Nüsse und x2 Einheiten Beeren
pro Woche konsumiert, wird als (x1, x2) geschrieben. Die Menge an Konsumgütern
(x1, x2), für die Ambrosius zwischen (x1, x2) und (36, 0) indifferent ist, ist jene
Bündelmenge, für welche x1  0, x2  0 und x2 = 24 – 4 x1 gilt.
a) Zeichnen Sie in eine Grafik einige Punkte ein, welche auf der Indifferenzkurve
liegen.
b) Wie groß ist die Steigung von Ambrosius’ Indifferenzkurve im Punkt (9, 12)?
c) Wie groß ist die Steigung seiner Indifferenzkurve im Punkt (4, 12)?
d) Weist die für Ambrosius gezeichnete Indifferenzkurve eine abnehmende Grenzrate
der Substitution auf?
3.3
Johanna ißt gerne Schokoladenkuchen und Eis, aber nach 10 Stück Kuchen reicht es ihr
und jedes zusätzliche gegessene Stück macht sie unglücklicher. Sie bevorzugt jedoch
stets mehr Eis gegenüber weniger. Johannas Eltern erlauben ihr, alles übrig zu lassen
was ihr nicht mehr schmeckt.
Zeichnen Sie einige Ihrer Indifferenzkurven zwischen Tellern mit verschiedenen
Mengen von Kuchen und Eis.
3.4
Trainer Anabol wünscht sich seine Spieler schwer, schnell und gehorsam. Wenn der
Spieler A in zwei dieser drei Merkmale besser ist als der Spieler B, dann bevorzugt
Trainer Anabol den Spieler A gegenüber dem Spieler B; wenn jedoch B in zwei dieser
drei Charakteristiken besser ist als A, dann bevorzugt Anabol B gegenüber A. Ansonsten
ist Anabol zwischen beiden indifferent. Willibald Westinghouse wiegt 140 Kilogramm,
läuft sehr langsam und ist einigermaßen gehorsam. Harald Heißsporn wiegt 110
Kilogramm, läuft sehr schnell und ist sehr ungehorsam. Gerald Garuzzi wiegt 70
Kilogramm, ist ein durchschnittlicher Läufer und ist äußerst gehorsam.
a) Bevorzugt Anabol Westinghouse gegenüber Heißsporn oder umgekehrt?
b) Bevorzugt Anabol Heißsporn gegenüber Garuzzi oder umgekehrt?
c) Bevorzugt Anabol Westinghouse gegenüber Garuzzi oder umgekehrt?
d) Hat Anabol transitive Präferenzen?
e) Nach einigen verlustreichen Saisonen entscheidet sich Anabol, seine Art der
Beurteilung der Spieler zu ändern. Nach seinen neuen Präferenzen zieht er den
Spieler A dem Spieler B vor, wenn A in allen drei Kategorien besser ist; er bevorzugt
daher auch B gegenüber A, wenn B in allen drei Eigenschaften besser ist. Er ist
zwischen A und B indifferent, wenn beide gleich schwer sind, sie gleich schnell und
gleich gehorsam sind. In allen anderen Fällen sagt Trainer Anabol einfach: „A und B
sind nicht vergleichbar.“
f) Sind Anabols neue Präferenzen vollständig?
g) Sind Anabols neue Präferenzen transitiv?
3.5
Familie Bär versucht zu entscheiden, was sie zu Abend essen soll. Baby Bär gibt seine
Reihung an mit: Honig, Raupen, Goldköpfchen. Die Reihung für die Bärenmutter ist:
Raupen, Goldköpfchen, Honig; Bärenvaters Reihung ist Goldköpfchen, Honig, Raupen.
Sie kommen überein, jedes Alternativenpaar zu nehmen und die Familienreihung mittels
Mehrheitsabstimmung zu ermitteln.
a) Der Vater schlägt vor, zuerst Honig gegenüber Raupen abzustimmen und dann den
Gewinner gegenüber Goldköpfchen. Welche Alternative wird letztlich gewählt?
b) Die Mutter schlägt vor, zuerst Honig gegenüber Goldköpfchen abzustimmen und
dann den Gewinner gegenüber Raupen. Welche Alternative wird jetzt gewählt?
c) Welche Reihenfolge der Abstimmung sollte Baby Bär vorschlagen, damit er sein
Lieblingsessen bekommt?
d) Sind die durch Abstimmung festgelegten „kollektiven Präferenzen“ der Familie Bär
transitiv?
4.
Nutzen
4.1
Erinnern Sie sich noch an Karli aus dem 3. Kapitel? Karli verzehrt Äpfel und Bananen.
Wir betrachteten zwei seiner Indifferenzkurven. In dieser Aufgabe gibt es jetzt genug
Information, um zu versuchen, die Gesamtheit von Karlis Indifferenzkurven zu finden.
Dazu sagen wir Ihnen Karlis Nutzenfunktion, welche U(xA, xB) = xA xB lautet.
a) Karli besitzt 40 Äpfel und 5 Bananen. Sein Nutzen für das Bündel (40, 5)
= ................................
Die Indifferenzkurve durch (40, 5) beinhaltet alle Güterbündel (xA, xB), so daß xA xB
= ................................
Daher hat die Indifferenzkurve durch (40, 5) die Gleichung xB = ................................
b) Donna bietet Karli 15 Bananen an, wenn er ihr 25 Äpfel gibt. Würde Karli nach
diesem Geschäft ein Bündel haben, das er gegenüber (40, 5) bevorzugt?
Wie hoch ist die maximale Zahl an Äpfeln, welche Donna von Karli als Tausch für
15 Bananen verlangen kann, damit er bereit ist, zu tauschen oder zumindest
hinsichtlich des Tausches indifferent ist?
4.2
Ambrosius, den wir im vorigen Kapitel kennenlernten, läßt es sich weiterhin bei Nüssen
und Beeren gut gehen. Wir sahen bereits eine seiner Indifferenzkurven. Sie hatte die
Gleichung x2 = 24 – 4 x1 , wobei x1 sein Konsum an Nüssen und x2 sein Konsum an
Beeren ist. Man kann sagen, daß Ambrosius’ Nutzen quasilinear ist und seine
Präferenzen durch die Nutzenfunktion U(x1, x2) = 4 x1 + x2 dargestellt werden können.
a) Ursprünglich konsumierte Ambrosius 9 Einheiten Nüsse und 10 Einheiten Beeren.
Sein Nußkonsum wird um 4 Einheiten verringert, er erhält jedoch genügend Beeren,
so daß er nachher genauso gut dran ist wie vorher. Wie viele Beereneinheiten
konsumiert Ambrosius nach der Änderung?
b) Tragen Sie in einer Grafik Ambrosius’ ursprünglichen Konsum ein und skizzieren
Sie eine Indifferenzkurve durch diesen Punkt. Wie man leicht überprüfen kann, ist
Ambrosius zwischen den Bündeln (9, 10) und (25, 2) indifferent. Verdoppelung der
Mengen beider Güter in jedem Bündel ergäbe die Bündel (18, 20) und (50, 4).
Liegen diese beiden Bündel auch auf einer gemeinsamen Indifferenzkurve?
(Hinweis: Wie überprüft man bei Kenntnis der Nutzenfunktion, ob man zwischen
zwei Bündeln indifferent ist?)
c) Wie lautet Ambrosius’ Grenzrate der Substitution, MRS(x1, x2), wenn er das Bündel
(9, 10) konsumiert? (Geben Sie eine Zahl als Antwort!)
Wie groß ist die Grenzrate der Substitution beim Konsum des Bündels (9, 20)?
4.3
Angenommen die Nutzenfunktionen u(x, y) und v(x, y) stehen zueinander in der
Beziehung v(x, y) = f(u(x, y)). Schreiben Sie in jedem der unten angeführten Fälle „ja“,
wenn die Funktion f eine positive monotone Transformation ist, und „nein“, wenn nicht.
a) f(u) = 3,141592 u
b) f(u) = 5.000 – 23 u
c) f(u) = u – 100.000
d) f(u) = 1/u
e) f(u) = –1/u
4.4
Barbara Bescheidens Präferenzen werden durch die Nutzenfunktion U(k, b) = kb/100
beschrieben, wobei k die Dekagramm Kekse und b die Dekagramm Bohnen sind, die sie
konsumiert.
a) Skizzieren Sie in einer Grafik den geometrischen Ort aller Punkte, die für Barbara in
Bezug auf 8 Dekagramm Kekse und 2 Dekagramm Bohnen indifferent sind.
Zeichnen Sie auch den geometrischen Ort aller jener Punkte, die sie im Vergleich zu
6 Dekagramm Keksen und 4 Dekagramm Bohnen indifferent findet.
b) Mechthild Messings Präferenzen sind durch die Nutzenfunktion V(k, b) = 1.000k2b2
darstellbar, wobei k wiederum die Dekagramm Kekse und b die Dekagramm
Bohnen sind, die sie konsumiert. Skizzieren Sie in einer Grafik den geometrischen
Ort aller jener Punkte, die für Mechthild in Bezug auf 8 Dekagramm Kekse und 2
Dekagramm Bohnen indifferent sind. Zeichnen Sie auch den geometrischen Ort aller
jener Punkte, die sie in Bezug auf 6 Dekagramm Kekse und 4 Dekagramm Bohnen
indifferent findet.
c) Sind Barbaras Präferenzen konvex? Und Mechthilds?
d) Was kann man über den Unterschied zwischen Barbaras und Mechthilds
Indifferenzkurven aussagen?
4.5
Joe Bob’s Nutzenfunktion ist durch u(x1, x2) = x12 + 2x1x2 + x 22 gegeben.
a) Berechne Joe Bob’s Grenzrate der Substitution: MRS(x1, x2) = ...................................
b) Joe Bob’s Cousin Al hat die Nutzenfunktion v(x1, x2) = x1 + x2. Berechne Al’s
Grenzrate der Substitution: MRS(x1, x2) = ............................................
c) Stellen u(x1, x2) und v(x1, x2) dieselben Präferenzen dar? Kann man zeigen, daß Joe
Bob’s Nutzenfunktion eine monotone Transformation von Al’s Nutzenfunktion ist?