lin_fkt_04

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15.05.2016
Lineare Funktionen IV
Lösung alltäglicher Probleme mittels linearer Funktionen.
1. Ein Energieversorgungsunternehmen bietet seinen Kunden zu folgenden
Bedingungen Strom an:
Eine kWh kostet 0,14 € bei einer monatlichen Grundgebühr von 7,50 €.
a) Stellen Sie einen Funktionsterm auf.
Zeichnen Sie den Graphen für die Abnahme bis zu 200 kWh in ein geeignetes
Koordinatensystem.
b) Die Stromrechnung für 4 Monate beläuft sich auf 150,40 €.
Wie viel kWh wurden bezogen?
c) Ein Zweitanbieter verkauft Strom für 0,10 € pro kWh bei einer monatlichen
Grundgebühr von 10 €. Ab welcher Abnahme lohnt sich der Wechsel des
Stromanbieters?
Lösung:
zu a)
Ansatz:
1 kWh: 0,14  1  7,50
2 kWh: 0,14  2  7,50
................................
x kWh: 0,14  x  7,50
Funktionsterm:
f(x)  0,14  x  7,50
x
kWh ; f(x)
40
40
35
30
25
f ( x)
20
15
€
10
5
Bemerkung:
Die Rechnung erfolgt ohne
Einheiten, diese werden den
jeweiligen Ergebnissen angefügt.
0
0 40 80 120 160 200
0
x
200
zu b)
Ansatz: f(x)  0,14x  7,50 gilt für die monatliche Abrechnung.
Für 4 Monate betragen die Grundgebühren 30 €.
 f4  x   0,14x  30
P  x | 150, 4 
 f4  x   0,14x  30  150, 4
 0,14x  30  150, 4 |  30
 0,14x  120, 4 | : 0,14
 x  860
Der Energiebezug in 4 Monaten betrug 860 kWh
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zu c)
Anbieter I: f(x)  0,14x  7,50
Anbieter II: g(x)  0,1x  10
Kostengleich im Schnittpunkt S.
f(x)  g(x)
 0,14x  7,50  0,1x  10 |  0,1x
 0,04x  7,50  10 ;  7,5
 0,04x  2,5 | : 0,04
 x  62,5
Kostengleich bei 62,5 kWh.
Bei einem monatlichen Energiebezug
von mehr als 62,5 kWh ist Anbieter II
günstiger als Anbieter I.
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40
40
35
30
25
f ( x)
20
g ( x)
15
10
5
0
0 40 80 120 160 200
0
x
200
2. Der Abbau eines bestimmten Dopingmittels erfolgt linear mit 2,35 mg/h.
Zwei Stunden nach Einnahme werden bei einem Sportler noch 4,60 mg
nachgewiesen.
a) Bestimmen Sie die Funktionsgleichung.
b) Wie viel mg des Mittels hatte der Sportler eingenommen?
c) Eine Konzentration unter 1 mg ist nicht mehr nachweisbar.
Wie früh vor dem Wettkampf müsste der Sportler das Mittel mindestens
einnehmen, um bei einem Test unmittelbar vor dem Wettkampf nicht
aufzufallen?
Lösung:
a)
Abbau des Dopingmittels: 2,35 mg / h
 y  f(x)  2,35x  a0
Nach 2 Stunden noch im Körper: P ( 2 | 4,6 ) :
 y  f(2)  2,35  2  a0  4,6  a0  9,3  y  f(x)  2,35x  9,3
b)
Zur Zeit Null (Einnahmezeitpunkt): P ( 0 | y ) : f(0)  2,35  0  9,3  9,3
 P1 ( 0 | 9,3 )  Eingenommene Menge: 9,3 mg
c)
y  f(x)  2,35x  9,3 Abnahme bis auf 1 mg:
8,3
P ( x | 1) : y  f(x)  2,35x  9,3  1  x 
 3,5
2,35
Die Einnahme sollte ca. 3,5 h vor dem Wettkampf erfolgen.
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3. Der Telefondienst „Handybillig“ (HB) bietet an:
Monatliche Grundgebühr 13 €, jede Gesprächsminute kostet 0,08 €.
Anbieter „Handypreiswert“ (HP) wirbt mit 10 € Grundgebühr pro Monat,
jede Gesprächsminute soll 0,10 € kosten.
a) Bei wie viel Minuten sind die Kosten bei beiden gleich?
b) Ihnen stehen 30 € monatlich zum Telefonieren zur Verfügung (Oma zahlt).
Welchen Dienst wählen Sie und wie lange können Sie bei dem gewählten
Anbieter telefonieren?
c) Stellen Sie den Sachverhalt von a) und b) im Koordinatensystem da.
Lösung:
a) HB :
f(x)  0,08x  13
HP : g(x)  0,1x  10
 0,1x s  10  0,08x s  13 |  0,08x s  10

y s  g(x s )  0,1 150  10  25  S 150 | 25 
Schnittpunkt: g(x s )  f(x s )
0,02x s  3  x s  150
Bei 150 Gesprächsminuten sind bei beiden Anbietern die Kosten gleich (25 €).
b) Bedingung: P  x | 30 
30  13
 212,5  PHB  212,5 | 30 
0,08
30  10
HP : f(xHP )  0,1xHP  10  30  xHP 
 200  PHP  200 | 30 
0,1
HB ist der günstigere Anbieter, denn für 30 € kann dort 212,5 Minuten telefoniert
werden.
f(xHB )  0,08xHB  13  30  xHB 
HB :
c)
40
40
35
30
f ( x)
25
g ( x)
20
h ( x)
15
10
5
0
0
20
0
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40
60
80 100 120 140 160 180 200 220 240
x
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240
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4. Maria möchte im Internet surfen und begutachtet die Tarife A und B.
Tarif A: Grundgebühr 5 € / Monat die ersten 60 min. frei, dann 1 Ct. / min.
Tarif B: Grundgebühr 10 € / Monat die ersten 120 min. frei, dann 0,5 Ct. / min.
Maria surft im Durchschnitt 30 Stunden im Monat.
a) Fertigen Sie eine Planskizze an.
b) Welcher Tarif ist für sie der günstigste?
c) Berechnen Sie die Surfdauer für den gleichen monatlichen Rechnungsbetrag
bei A und B. Wie hoch ist dieser?
d) Stellen Sie den Sachverhalt graphisch dar.
Lösung:
a) Planskizze:
Tarif A
y
Tarif B
S( xs | ys )
PB( 120 | 10 )
10 €
5€
PA( 60 | 5 )
60 min
x
120 min
b) Tarif A: y  f(x)  0,01x  a0A
Tarif A:
P ( 60 | 5 ) :
Tarif B:
P (120 | 10 ) :
Tarif B: y  g(x)  0,005 x  a0B
y  f(60)  0,01 60  a 0A  5  a 0A  4, 4  y  f(x)  0,01x  4, 4
y  g(120)  0,005  120  a 0B  10  a 0B  9, 4  y  g(x)  0,005x  9, 4
Monatliche Surfdauer 30 h = 1800 min.
Tarif A: y  f(1800)  22, 40
Tarif B: y  g(1800)  18, 40
 Tarif B ist für Maria der beste.
c) Zu ermitteln ist der Schnittpunkt beider Geraden:
f  x s   g  x s   0,01x s  4,4  0,005x s  9,4  x s  1000  S (1000 | 14,40 )
Für eine Surfdauer von 1000 Minuten sind beide Tarife gleich,
die Kosten betragen dann 14,40 €
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d)
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30
25
f ( x)
20
g ( x)
15
h ( x)
10
i ( x)
5
0
0
2
4
6
8
10
12 14 16 18 20
0
x
f(x) für Tarif A , g(x) für Tarif B, h(x)  5 ; i(x)  10
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22 24 26 28 30
30
x  Achse in Stunden, y  Achse in €.
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