Teil C - Wahlaufgabe 1
Werbung
Name: Kurs: Geschwister-Scholl-Gymnasium Löbau Vorklausur Mathematik Schuljahr 2005/06 - Leistungskurs Ihre Arbeitszeit (einschließlich der Zeit für das Lesen der Aufgabentexte und der Zeit für die Auswahl der Wahlaufgabe) beträgt 300 Minuten. Die Vorklausur besteht aus den zu bearbeitenden Pflichtteilen A und B sowie dem Wahlteil C. Es sind alle Aufgaben der Pflichtteile zu bearbeiten. Aus dem Teil C ist genau eine der beiden Aufgaben zu bearbeiten. Der Lösungsweg mit Begründungen, Nebenrechnungen und Hilfslinien (bei Konstruktionen) muss deutlich erkennbar in gut lesbarer Form dargestellt werden. Erlaubte Hilfsmittel: - Wörterbuch der deutschen Rechtschreibung Graphikfähiger Taschenrechner ohne Computer-Algebra-System Tabellen- und Formelsammlung (im Unterricht eingeführt, ohne ausführliche Musterbeispiele) Zeichengeräte Insgesamt sind 90 Bewertungseinheiten (BE) erreichbar. maximal erreichbare BE erreichte BE / im Teil A : / 40 im Teil B : / 30 im Teil C : / 20 90 BE Löbau, den 8.2.2006 Ihre Fachlehrer wünschen Ihnen Viel Erfolg ! Geschwister-Scholl-Gymnasium Löbau Vorklausur 2005/06 Prüfungsinhalt Pflichtaufgaben: Teil A - Analysis Für jedes t (t R; t > 0) ist eine Funktion ft(x) = x D 1 1 ln 3 x 2 t t ft gegeben. a) Geben Sie für die Funktion f 1 Definitions- und Wertebereich und die e Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen an. Erreichbare BE-Anzahl: 4 b) Ermitteln Sie den größtmöglichen Definitionsbereich der Funktion ft. Untersuchen Sie den Graphen der Funktion ft auf Symmetrie. Geben Sie das Verhalten der Funktion ft an den Grenzen des Definitionsbereiches an. Ermitteln Sie die Anzahl der Nullstellen der Funktion ft in Abhängigkeit von t. Erreichbare BE-Anzahl: 9 c) Weisen Sie nach, dass ft“(x) = 2t 2 2t 5 x 2 1 t x 3 2 2 eine Gleichung für die zweite Ableitung der Funktion ft ist. Ermitteln Sie die Koordinaten und die Art des lokalen Extrempunktes des Graphen der Funktion ft. Zeigen Sie, dass der Graph der Funktion ft keine Wendepunkte besitzt. Bestimmen Sie t für den Fall, dass der Wertebereich y R mit y 6 ln 2 ist. Erreichbare BE-Anzahl: 9 d) Der Graph der Funktion f 1 und die Abszissenachse begrenzen eine Fläche e vollständig. Durch Rotation dieser Fläche um die Abszissenachse entsteht ein Körper. Ermitteln Sie einen Näherungswert für das Volumen dieses Körpers. Erreichbare BE-Anzahl: 3 Fortsetzung Seite 2 Mathematik Leistungskurs -2- Geschwister-Scholl-Gymnasium Löbau Vorklausur 2005/06 Fortsetzung: Teil A - Analysis e) Für jedes u (u R, 0 < u < e 3 1 ) sind die Punkte Q ( u ; 0 ); P ( u ; f 1 (u) ), e sowie der Koordinatenursprung Eckpunkte des Dreiecks OPQ. Ermitteln Sie den Wert u, für den das zugehörige Dreieck den größten Flächeninhalt aller so gebildeten Dreiecke besitzt. Geben Sie diesen maximalen Flächeninhalt an. Erreichbare BE-Anzahl: 3 f) Der Graph einer quadratischen Funktion p hat mit dem Graphen der Funktion f 1 den Extrempunkt und die Schnittpunkte mit der Abszissenachse gemeinsam. e Zeigen Sie, dass der Graph der Funktion p mit der Gleichung 3e x 2 3e x R die beschriebenen Bedingungen erfüllt. p(x) = 3 e 1 Berechnen Sie ohne Verwendung von Näherungswerten den Inhalt der vom Graphen der Funktion p und der Abszissenachse vollständig eingeschlossenen Fläche. Erreichbare BE-Anzahl: 7 g) Auf dem Graphen der Funktion f 1 existiert genau ein Punkt A, für den der Anstieg e der Senkrechten zur Tangente an den Graphen der Funktion f 1 im Punkt A den e Wert –1 hat. Ermitteln Sie ohne Verwendung von Näherungswerten die Abszisse des Punktes A. Erreichbare BE-Anzahl: 5 Mathematik Leistungskurs -3- Geschwister-Scholl-Gymnasium Löbau Vorklausur 2005/06 Pflichtaufgaben: Teil B - Geometrie/Algebra In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A( 0 ; 2 ; -3 ) und B( -2 ; 6 ; 4 ) sowie für jedes a (a R) ein Punkt P a ( 2a ; -a ; a ) gegeben. a) Zeigen Sie, dass alle Punkte P a auf ein und derselben Geraden g liegen. Ermitteln Sie die Koordinaten desjenigen Punktes P a , der vom Punkt B den kleinstmöglichen Abstand hat. Berechnen Sie den Schnittwinkel zwischen der Geraden g und der x-y-Koordinatenebene. Erreichbare BE-Anzahl: 6 b) Ermitteln Sie die Koordinaten des Punktes C so, dass das Viereck P 1 ABC ein Parallelogramm ist. Untersuchen Sie rechnerisch, ob es ein Trapez mit den Eckpunkten P 0 , A, B und P a gibt, wobei die Reihenfolge der Eckpunkte nicht festgelegt ist. Erreichbare BE-Anzahl: 5 c) Die Punkte A, B und P a sind Eckpunkte eines Dreiecks. Es gibt genau zwei Werte a, für die die Seite AB Hypotenuse dieses Dreiecks ist. Ermitteln Sie die beiden Werte a. Erreichbare BE-Anzahl: 5 d) Weisen Sie rechnerisch nach, dass für jedes a durch die Punkte A, B und P a eindeutig eine Ebene E a festgelegt wird. Die Ebene E a lässt sich durch die Gleichung (11a + 26)x + (16a + 6)y + (- 6a + 4)z = 50a beschreiben. Begründen Sie, dass sich alle Ebenen E a in einer Geraden schneiden. Bestimmen Sie den Schnittwinkel der Ebenen E 0 und E 1 . Ermitteln Sie, für welchen Wert a sich die Ebenen E 0 und E a senkrecht schneiden. Erreichbare BE-Anzahl: 8 e) Es existieren genau zwei Werte a, für die der Punkt P a ein Spiegelpunkt des Punktes B bei Spiegelung an einer durch Punkt A verlaufenden Ebene ist. Berechnen Sie diese Werte a. Erreichbare BE-Anzahl: 6 Mathematik Leistungskurs -4- Geschwister-Scholl-Gymnasium Löbau Vorklausur 2005/06 Teil C - Wahlaufgabe 1 Max und seine Schwester Maria spielen am Hang hinter dem Haus mit einem Ball. Der Hang kann in einem kartesischen Koordinatensystem näherungsweise durch eine Ebene E mit der Gleichung 10x – 2y + 13z = 10 beschrieben werden. Eine Längeneinheit entspricht einem Meter. Hinter dem Haus befindet sich in der x-y-Ebene ein kreisförmiger Gartenteich mit einem Durchmesser von 5 Metern und dem Mittelpunkt M ( 8 ; 1 ; 0 ). a) Geben Sie eine Gleichung des Kreises k an, die den Gartenteich beschreibt. Geben Sie eine Gleichung der Schnittgerade der Hanges E mit der x-y-Ebene an. Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes A auf dem Kreis k, der in der x-yEbene vom Hang den kleinsten Abstand hat. Geben Sie diesen Abstand an. Erreichbare BE-Anzahl: 7 b) Ermitteln Sie den Neigungswinkel und die prozentuale Steigung des Hanges bzgl. der x-y-Ebene. Erreichbare BE-Anzahl: 3 c) Maria lässt den Ball vom Punkt P ( -3 ; 6 ; z p ) ( z p R) des Hanges aus der Ruhe losrollen. Der Ball rollt den Hang geradlinig hinab. Es wird angenommen, dass er anschließend mit konstanter Geschwindigkeit geradlinig in der x-y-Ebene weiter rollt. Geben Sie die Koordinate z p des Punktes P an. Zeigen Sie rechnerisch, dass der Ball nicht in den Gartenteich rollen kann. Erreichbare BE-Anzahl: 4 d) Auf dem Hang befindet sich lotrecht zur x-y-Ebene ein 7,50 m hoher Baum mit 11 dem Fußpunkt F ( -3,6 ; 16 ; 6 ). Sonnenstrahlen mit dem Richtungsvektor 10 25 erzeugen von diesem Baum auf dem Hang einen Schatten. Untersuchen Sie, ob der Schatten des Baumes vollständig auf dem Hang liegt, wenn man den Baum als Strecke betrachtet. Der 1,50 m große Max möchte lotrecht vollständig in diesem Schatten stehen. Ermitteln Sie die Menge aller Punkte des Hanges, in denen er sich dafür aufstellen kann, wenn man sowohl Max als auch den Baum als Strecken betrachtet. Erreichbare BE-Anzahl: 6 Mathematik Leistungskurs -5- Geschwister-Scholl-Gymnasium Löbau Vorklausur 2005/06 Teil C - Wahlaufgabe 2 In einem x-y-Koordinatensystem sind für jedes a ( a R ; a > 0 ) und jedes b ( b R ; b > 0 ) eine Funktion fa;b durch y = fa;b (x) = -a x² + b und für jedes c c ( c R ; c > 0 ) eine Funktion gc durch y = gc (x) = gegeben. x² a) Berechnen Sie alle Werte a, b und c so, dass sich die zugehörigen Graphen der Funktionen fa;b und gc im Schnittpunkt der Geraden y = x und y = 2 berühren. Erreichbare BE-Anzahl: 4 b) Ermitteln Sie die Anzahl der Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f a;b und gc in Abhängigkeit von a, b und c. Erreichbare BE-Anzahl: 5 c) Aus dem verwendeten x-y-Koordinatensystem wird nun durch Hinzufügen einer z-Achse ein räumliches kartesisches Koordinatensystem. Die Graphen der Funktionen f 1 und g8 sowie die Gerade y = 20 begrenzen 2 ;4 eine Fläche vollständig. Bei Rotation dieser Fläche um die y-Achse entsteht ein Rotationskörper. Dieser Körper wird durch eine zur x-z-Koordinatenebene parallele Ebene geschnitten. Ein entstehender Teilkörper hat das Volumen von 12 . Bestimmen Sie ohne Verwendung von Näherungswerten eine Gleichung einer solchen Ebene in allgemeiner Form. Erreichbare BE-Anzahl: 6 d) Im räumlichen kartesischen Koordinatensystem existieren Ebenen, in denen die beiden gemeinsamen Punkte der Graphen der Funktionen f 1 und g8 liegen. 2 ;4 Es gibt genau zwei Ebenen dieser Art, die vom Punkt A ( 0 ; 1 ; 0 ) den Abstand 1 5 besitzen. 5 Ermitteln Sie, unter welchem Winkel sich diese beiden Ebenen schneiden. Erreichbare BE-Anzahl: 5 Mathematik Leistungskurs -6-
