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Aufgabensammlung
8
Kopfgeometrie
1)
A
Nach dem Zusammensetzen soll die Pyramide auf dem gleichschenklig-rechtwinkligen Dreieck stehen, das
an das gleichseitige Dreieck angrenzt. Die beiden andern gleichschenklig-rechtwinkligen Dreiecke stehen
senkrecht zur Standebene, das gleichseitige liegt „schräg" an deren Hypotenusen an.
B
Damit ist die Pyramidenhöhe
6
, die Grundfläche ein Viertel eines 6x6-Quadrats;
2
1 36 6
also beträgt das Volumen 

 12.7 .
3 4
2
2)
Nach dem Zusammenfalten soll eine solche Pyramide auf dem gleichschenklig-rechtwinkligen Dreieck stehen,
das an das gleichseitige Dreieck angrenzt. Die beiden andern gleichschenklig-rechtwinkligen Dreiecke stehen
senkrecht zur Standebene, das gleichseitige liegt „schräg" an deren Hypotenusen an.
Vier solcher Pyramiden können so gestellt werden, dass ihre Standflächen ein Quadrat mit der Seitenlänge 6
bilden. Die vier Mantel-Dreiecke sind gleichseitig. Damit hat man insgesamt eine „Ägyptische Pyramide": Alle
Kanten sind gleich lang, die Standfläche ist ein Quadrat.
3)
A
16 – 4 = (halbe Seitenlänge)2 = 12 
A(– 12 / –2);
B
s
=
2
12 = 2 
3
B( 12 / –2); C( 0 / 4)
Die Kantenlänge ist 4 
3 ; das ist quadriert 16 ∙ 3 = 48
h2 = 48 – 42 = 32
h=
32 = 4 
2
Damit gilt für die vierte Ecke: S(0 / 0 / 32
4)
Nein, denn das skizzierte Dreieck müsste dann in der Äquatorebene der Kugel liegen, und als Spitze käme bloss
der Nordpol in Frage. Der liegt aber 4 Einheiten über der Grundrissebene.
Die Tetraederhöhe beträgt aber mehr als
Die Rechnung ergibt: h =
Die Kantenlänge ist 4 
32 =
2
der Flächenhöhe.
3
24
3 ; quadriert 16  3 = 48
h = 48 – 4 = 32
2
h=
2
32 = 4 
2
5)
A
Jede Kante wird in drei gleich lange Teile aufgeteilt. Der Schnitt wird nun durch die ersten Teilpunkte von
drei in einer Ecke zusammenlaufenden Kanten geführt. So werden vier regelmässige Tetraeder abgetrennt.
B
Auf einer Seitenfläche des ursprünglichen Tetraeders werden gleichseitige Dreiecke abgetrennt. Wenn das
jeweils an den „Drittel-Stellen" passiert, sind die verbleibenden Sechsecke regelmässig.
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Kopfgeometrie
6)
A
Jede Kante wird in drei gleich lange Teile aufgeteilt. Der Schnitt wird nun durch die ersten Teilpunkte von
drei in einer Ecke zusammenlaufenden Kanten geführt. So werden vier regelmässige Tetraeder abgetrennt.
B
Jeder abgetrennte Teil hat Längen, die im Vergleich mit dem ursprünglichen Tetraeder auf ein Drittel
geschrumpft sind.
1
Damit ist das Volumen eines abgetrennten Körpers
des ursprünglichen Volumens.
27
27  4 23

 85 %.
Übrig bleiben
27
27
7)
A
Die Schnitte gehen je durch die Mitten von drei aufeinander stossenden Kanten. Dabei werden Pyramiden
abgetrennt, von denen drei Kanten halb so lang sind wie die Kante des ursprünglichen Würfels, und drei
Kanten sind halb so lang wie die Flächendiagonalen dieses Würfels.
B
Alle Kanten des entstehenden Körpers sind halb so lang wie die Würfel-Flächendiagonalen: Sie entstehen
an jeder Würfelecke auf dieselbe Art – die Schnittfläche ist ein gleichseitiges Dreieck. Je vier Schnittkanten
bilden ein Quadrat und je drei ein gleichseitiges Dreieck.
C
Auf jeder der ursprünglichen Würfelflächen gibt es 4 Kanten, damit ist
k = 6  4 = 24
An jeder Ecke entsteht ein gleichseitiges Dreieck; damit ist
f = 6 + 8 = 14
Jede Würfelkante wird zu einer Ecke des neuen Körpers, also ist
e = 12
Kontrolle: e + f = 26 = k + 2 (Euler)
8)
A
Drei Kanten sind halb so lang wie die Kante des ursprünglichen Würfels, und drei Kanten sind halb so lang
wie die Flächendiagonalen diese Würfels.
B
Das Volumen einer solchen Pyramide ist
2
1 1 a a
   
3 2 2 2
Da an jeder Würfel-Ecke eine solche Pyramide abgetrennt wird, ist die Summe dieser Volumen
übrig bleiben also
5
oder etwa 83 % des Würfelvolumens.
6
8
 a3
48
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8
Kopfgeometrie
9)
A
Für  = 45° passen die Dreiecke exakt in das Quadrat hinein, die Pyramidenhöhe wäre dann 0. Sobald der
Winkel 90° wird, liegen keine Dreiecke mehr vor. Dazwischen ist jeder Winkelwert möglich.
B
Für  = 60° hat man eine „Ägyptische Pyramide".
Die Höhe eines Manteldreiecks ist h' =
3
 6
2
Zusammen mit einer halben Quadrat-Mittellinie und der gesuchten Pyramidenhöhe bildet sie ein
rechtwinkliges Dreieck.
h2 = h' 2 –
s2
36
=93–
= 27 – 9 = 18
4
4
18 = 3  2
h =
Alternative: Stützdreieck Quadratecke–Quadratmitte–Pyramidenspitze
2
 s 2 
36
h = s – 
= 18
 = 36 –
2
 2 
2
2
10)
Lösungen: