Ballpyramiden - SINUS

A. Ballpyramiden – Freies Forschen und Entdecken
Mit Tennisbällen lassen sich Pyramiden bauen:
1 a) Überlegen Sie sich dazu möglichst vielfältige mathematische Fragestellungen und schreiben
Sie diese auf.
b) Lösen Sie (einige) Ihre(r) Probleme aus a).
2)
Im Pascalschen Dreieck stehen außen Einsen, jede Zahl im Inneren ist die Summe der beiden
direkt darüber stehenden Zahlen.
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a) Welche Entdeckungen können Sie am Pascalschen Dreieck machen?
b) Stellen Sie Bezüge zwischen dem Pascalschen Dreieck und den Ballpyramiden her.
3)
Nehmen Sie aus dem Säckchen die Kugelstangen und bauen Sie daraus eine Ballpyramide.
Überlegen Sie sich dazu mathematische Fragestellungen und versuchen Sie, diese zu lösen.
4)
Lesen Sie zur Hintergrundinformation die Texte im Umschlag „Literatur“.
5)
Planen Sie eine Unterrichtseinheit zu dieser Thematik.
Welche Lernziele erscheinen Ihnen dabei besonders bedeutend?
B. Ballpyramiden – Gelenktes Forschen und Entdecken
Mit Tennisbällen lassen sich Pyramiden bauen:
Aus wie vielen Bällen besteht die Pyramide, wenn eine „Kante“ 2, 3, 4, 5, …, n, … Bälle
enthält?
1)
(mögliche Hilfe:
2)
1  2  3  ...  n  12 n(n  1)
1  4  9  ...  n²  16 n(n  1)(2n  1)
)
Im Pascalschen Dreieck stehen außen Einsen, jede Zahl im Inneren ist die Summe der beiden
direkt darüber stehenden Zahlen.
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a) Betrachten Sie die schräg verlaufenden Zahlenreihen. Welche Entdeckungen können Sie hier
machen?
b) Stellen Sie Bezüge zwischen dem Pascalschen Dreieck und den Ballpyramiden her.
3 a) Nehmen Sie aus dem Säckchen die Kugelstangen und bauen Sie daraus eine Ballpyramide.
Versuchen Sie, die folgenden Situationen im Kopf zu bearbeiten. Nehmen Sie nur im Notfall die
Holzkugeln zur Hand.
b) Stellen Sie sich vor, jede der sechs Kugelstangen hat eine andere Farbe. Welche
Auswirkungen hat dies auf die Pyramide?
c) Stellen Sie sich vor, bei der Pyramide hat jede der vier horizontalen Ebenen eine andere Farbe.
Was bedeutet dies für die Kugelstangen?
d) Verallgemeinern Sie das Kugelpuzzle auf größere Pyramiden.
4)
Untersuchen Sie, wie viele Kugeln bei den Pyramiden im Inneren liegen, also von außen nicht
sichtbar sind.
5)
Lesen Sie zur Hintergrundinformation die Texte im Umschlag „Literatur“.
6)
Planen Sie eine Unterrichtseinheit zu dieser Thematik.
Welche Lernziele erscheinen Ihnen dabei besonders bedeutend?
C. Ballpyramiden – Mathematisches Arbeiten nach
detaillierten Anweisungen
Mit Tennisbällen lassen sich Pyramiden bauen:
1)
Problem: Aus wie vielen Bällen besteht die Pyramide, wenn eine „Kante“ 2, 3, 4, 5, …, n,
… Bälle enthält?
a) Stellen Sie für die ersten Pyramiden eine Wertetabelle auf, die die Gesamtzahl der Bälle
wiedergibt.
b) Beschreiben Sie, wie die n-te Pyramide entsteht.
c) Entwickeln Sie einen Term T(n), der die Zahl der Bälle in der n-ten Pyramide angibt.
(mögliche Hilfe:
2)
1  2  3  ...  n  12 n(n  1)
1  4  9  ...  n²  16 n(n  1)(2n  1)
)
Pascalsches Dreieck: Im Pascalschen Dreieck stehen außen Einsen, jede Zahl im Inneren ist
die Summe der beiden direkt darüber stehenden Zahlen.
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Begründen Sie:
a) In der zweiten schräg verlaufenden Reihe stehen die natürlichen Zahlen 1, 2, 3, 4, … .
b) In der dritten schrägen Reihe stehen die Dreieckszahlen 1, 3, 6, 10, 15, … . Sie geben die Zahl
der Punkte in den Dreiecken
an.
c) In der vierten schräg verlaufenden Reihe stehen die Pyramidenzahlen 1, 4, 10, 20, 35, … aus
Aufgabe 1.
Im Pascalschen Dreieck steht in der n-ten Zeile an k-ter Stelle die Zahl
n
n!
,
  
 k  k!(n  k )!
wobei die Zählung jeweils bei 0 begonnen wird. (Dies braucht hier nicht bewiesen zu werden)
d) Folgern Sie daraus eine Darstellung des Terms T(n) aus Aufgabe 1 und vergleichen Sie Ihr
Ergebnis mit Ihren anderen Resultaten aus 1).
3 a) Nehmen Sie aus dem Säckchen die Kugelstangen und bauen Sie daraus eine Ballpyramide.
Versuchen Sie, die folgenden Aufgaben im Kopf zu lösen. Nehmen Sie nur im Notfall die
Holzkugeln zur Hand.
b) Stellen Sie sich vor, jede der sechs Kugelstangen hätte eine andere Farbe. Wie sähen dann die
vier horizontalen Ebenen der Pyramide aus? Skizzieren Sie sie auf Papier.
c) Wie müsste man die Kugelstangen färben, damit bei der Pyramide jede der vier horizontalen
Ebenen eine andere Farbe hätte. Zeichnen Sie sie auf Papier.
d) Wie sieht das entsprechende Kugelpuzzle für die nächst größere Pyramide aus (5 Kugel längs
einer Kante)? Es sollen möglichst wenige Kugelstangen benötigt werden.
4)
Wie viele Kugel liegen bei der n-ten Pyramide im Inneren, sind also von außen nicht sichtbar?
Stellen Sie eine Wertetabelle auf und vergleichen Sie diese mit Ihren bisherigen Ergebnissen
5)
Lesen Sie zur Hintergrundinformation die Texte im Umschlag „Literatur“.
6)
Planen Sie eine Unterrichtseinheit zu dieser Thematik.
Welche Lernziele erscheinen Ihnen dabei besonders bedeutend?
Literatur: Die Idee und die Abbildung mit den Ballpyramiden wurde entnommen aus:
Schmidt, Günter: Heuristische Strategien im Mathematikunterricht – Eine Unterrichtskizze, in:
Glatfeld, M. (Hrsg.): Finden, Erfinden, Lernen – Zum Umgang mit Mathematik unter
heuristischem Aspekt, Europäische Hochschulschriften, Peter Lang Verlag, Frankfurt am Main
1990,
sowie aus:
Affolter, W. u. a.: mathbu.ch 9+, Mathematik im 9. Schuljahr, Klett und Balmer Verlag, Zug
2004