Dipl - Ing.

Dipl.-Physiker Jochen Ebel
Oberfläche und Speicherung
In [1] wurde nachgewiesen, daß der Zeitverlauf der Oberflächentemperatur allein bestimmend
für die Wärmespeicherung in der Wand bei gegebenen Aufbau. Offen geblieben ist die Frage
nach dem Zusammenhang nach dem Zusammenhang zwischen Oberflächentemperatur und
den Umgebungsbedingungen. Das Problem kann hier nur für wenige Spezialfälle gelöst werden, aber damit kann für viele Fälle der Einfluß abgeschätzt werden.
Eine wichtige Rolle dabei spielt der Begriff des Gleichgewichtes. Wenn sich die Umgebungsbedingungen laufend ändern, ist es schwer bis unmöglich, den momentanen Abstand zum
Gleichgewicht zu bestimmen. Deswegen wird der hier nur ein Spezialfall untersucht: In einer
Umgebung, die für alle Zeiten eine Temperatur von 0°C hat, befindet sich eine  dicke Wand,
die für die Zeit t < 0 auch die Temperatur 0°C hat, ab der Zeit t = 0 eine konstante Strahlung
mit dem nichtreflektierten Anteil E einfällt. Dieser hat in SI-Einheiten die Dimension W/m².
Gesucht wird die Oberflächentemperatur der Wand. Dabei ist zu berücksichtigen, daß es bei
steigender Wandtemperatur T zum Wärmeverlust in die Umgebung kommt. Ohne wesentliche
Einschränkung der Allgemeinheit wird angenommen, daß dieser Wärmeverlust proportional
der Temperatur ist.. Damit wird ein Verlustkoeffizient  (mit etwas anderer Bedeutung gleich
dem Wärmeübergangskoeffizienten) definiert, der nur von der Art der Oberfläche abhängig
ist, aber unabhängig vom weiteren Aufbau der Wand (siehe z.B. [4]). Dieser hat in SI-Einheiten die Dimension W/m²K. Der Wärmestrom im Wandinnern q. Dieser hat in SI-Einheiten die
Dimension W/m². Aus der Definition der Wärmestromrichtung in [1] ist für q ein „-“ zu berücksichtigen. Damit entsteht folgende Gleichung:
E -  T = -q
(1)
Bei [1, Gl. (17)] ergibt sich bei Berücksichtigung der Voraussetzung, das T(t) für t < 0 gleich
0 sein soll, daß die obere Integrationsgrenze nicht bis  sondern nur bis t reicht. Mit der modifizierten [1, Gl. (17)] ergibt sich aus (1):
t
G( , x )
E -  T(t,0) = -  
(2)
* T (t   ,0) d
x
0
Wegen der vorausgesetzten dicken Wand ist aus [1, Gl. (16)] auch die Funktion G bekannt.
Dabei hat a in SI-Einheiten die Dimension m²/s:
G ( , x ) 
x
e

x2
4 a
mit
a

c
(3)
4a 3
(2) und (3) stellen ein Gleichungssystem zur Bestimmung der unbekannten Funktion T dar.
Eine derartige Aufgabe wird zweckmäßig mit der Laplacetransformation behandelt, siehe [2]
oder [3, S. 94ff]. Zunächst wird (3) transformiert. Dafür ist keine Bildfunktion in der Tabelle
[2, S. 139ff] vorhanden. Unter Nr. 52 ist ein Transformationspaar aufgeführt, Mit dem weitergearbeitet werden kann:
e


4



e
p
p
Durch Differentation nach dem Parameter  geht (4) in (5) über, die in (3) hilft:
(4)
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

1 e
4

4
 
p

2 
p
e
p
Im Transformationspaar wird noch – 4 multipliziert,  links mit unter die Wurzel genommen
und rechts p gekürzt. Damit entsteht:
e


4

3

2 

e
p
(5)
Wird (3) mit (5) verglichen, ergibt sich:
=
x2
a
(6)
Und für die ganze Transformation:
x2
x 2   ap
G ( , x ) 
e
4a x 2
a
Obige Gleichung läßt sich durch Kürzen usw. in eine bessere Form bringen:
x
p
(7)
G( , x )  e a
Gebraucht wird aber nicht G selber, sondern die Ableitung nach x (im Sinne der Laplacetransformation nach dem Parameter x):
G ( , x )
p x a
(8)
 
e
x
a
Mit dem Faltungssatz der Laplacetransformation und der Laplacetransformierten der Konstante E wird aus (2) mit (8):
p
p
p x a
E
e
TL (t ,0)
-  TL(t,0) = 
(9)
a
p
In (9) wird noch berücksichtigt, daß der Wärmestrom an der Stelle x = 0 berücksichtigt wird,
dadurch wird die e-Funktion zu 1 und braucht nicht aufgeführt zu werden:
p
E
-T= 
(10)
TL
p
a
(10) hat die Form einer algebraischen Gleichung und wird nach TL aufgelöst:
E a
1
1

TL = E
(11)





p
p p 
a

p    



a 

Verschiedene Konstanten lassen sich zum Wärmeeindringkoeffizienten b zusammenfassen
[3]. Dabei hat b in SI-Einheiten die Dimension Ws1/2/Km2:

c

 c
b=
(12)

a
E
1
E

Mit (12) wird aus (11):
TL =
(13)
  p b p 
b 
p p  
b

(13) ist jetzt zurück zu transformieren. Obwohl (13) einfach aussieht, ist wegen der Wurzel
die Rücktransformation nicht einfach. Vielleicht kann später noch die exakte Lösung angege-


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ben werden. Vorerst wird eine Funktion TK konstruiert, die für t  0 und t   asymptotisch
gleich der richtigen unbekannten Funktion ist. Zunächst sind die Asymptoten zu konstruieren
1
[2, S. 42]. Für t  0 wird als Vergleichsfkt. die Fkt.
genommen. Nach [2, S. 139ff] wird
p p
mit Nr. 41:
2E
2
E
t

t
T(t  0) =
(14)
b

b
Für t   ist
lim
p TL  lim
p  0
p  0
E
b
1
p


E

(15)
b
Vergleicht man (15) mit (1) für q  0 (bei t  ), so folgt:
E
T(t  ) =
(16)

(14) und (16) legen folgende Funktion mit einem geeigneten Zeitparameter tZ nahe:
t 

E 
tZ 
TK(t) =
(17)
1 e

 


Für t   wird der Exponent  und damit der Wert der Exponentialfkt. 0. Vergleicht man
den Rest von (17) mit (16), so ergibt sich T(t  )  TK(t  ). Für t  0 wird aus (17):
E t
TK(t  0) =
(18)
 tZ
(14) und (18) werden asymptotisch gleich, wenn gilt:
 b2
(19)
tZ 
4 2
Für Zeiten t << tZ ist der Wärmeleitungsvorgang weit vom Gleichgewicht entfernt, d.h. der
Wärmeverlust durch Erhöhung Oberflächentemperatur ist klein gegenüber der Einstrahlung.
Für typische Materialien ist nun tZ zu bestimmen. Zuerst wird  bestimmt. Wird für  der
schwarze Strahler genommen (mit TU Umgebungstemperatur, T der Temperaturerhöhung, 
Stefan-Konstante = 5,67 10-8 W/m2 K4) wird die Energiestrahlung E*:
E* =  (TU + T)4 -  TU4 =  (4TU3 T + 4TU2 T2 + 4TU T3 + T4)
*
Wird für E nur der in T lineare Anteil genommen, so wird mit (1):

E* =  4 TU3 T =  T
 =  4 TU3
(20)
Für TU = - 10°C = 263 K wird aus (20):
 = 5,67 10-8 W/m2 K4  4  2633 K3 = 4,12 W/m2 K
(21)
In [4] ist eine ähnliche Linearisierung vorgenommen worden. Ist die Oberfläche nicht schwarz
(d.h. der Reflexionskoeffizient ist wellenlängenunabhängig = 0), sonder farbig (d.h. der Reflexionskoeffizient ist wellenlängenabhängig > 0) wird  kleiner, kommt Konvektion und Wind
dazu, wird  größer. In [3, S. 143ff] ist b für verschiedene Stoffe angegeben, ausgewählt werden hier Kiesbeton (b = 1570 Ws1/2/Km2) und ein Styropor-Schaumstoff (mittlerer Wert
b = 49 Ws1/2/Km2). Mit diesen Werten und (19) wird für tZ:
Beton: 114049,86 s = 31,7 h
Polystyrol: 111,09 s = 1,85 min
(22)
Beide Werte sind aus 2 Gründen nur Orientierungswerte: 1. Man hat es in der Praxis nicht mit
-dicken Wänden zu tun und 2. die Oberfläche besteht nicht nur aus einer ganz dünnen Oberflächenschicht, die für die Wärmeleitung unwesentlich ist, sondern hat eine gewisse Stärke.
Wird der tägliche Wetterverlauf (mit typischen Zeiten um Stunden) betrachtet, so ist aus (22)
trotzdem abzuschätzen, daß die Oberfläche von Betonwänden der fiktiven Umgebungstempe-
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ratur (Lufttemperatur plus Strahlungseinfluß, in [4] kritisiert Sonnentemperatur genannt)
kaum folgt. Im Gegensatz dazu macht die Oberfläche einer Dämmstoffwand alle Temperaturbewegungen mit. Anders sieht es mit Witterungstrends aus (typischen Zeiten um Tage). Diesem Trend folgen etwa die Oberflächen beider Wände.
Obenstehende Lösung folgt weitgehend [3, S. 99ff].  in [3] ist gleich dem hier verwendeten
. Damit geht  in [3, Gl. (6.85)] über in:
t
(23)
 Z
4 t0
Wird die Oberfläche in [3] betrachtet, wird in [3, Gl. (6.85)]:
=0
da x = 0 an der Oberfläche
(24)
Aus (22) bis (24) folgt wegen der großen bzw. kleinen Werte von , daß mit [3, (6.90) und
(6.91)] die Oberfläche von Beton dem täglichen Temperaturgang (t0  24 h) kaum folgt und
dazu noch mit fast 6 h Zeitverzögerung, die Oberfläche von Dämmstoff folgt dagegen fast sofort. Längeren Bewegungen (Tagen, d.h. >> 60 h) folgen beide Oberflächen.
Welche Auswirkungen hat das nun? Die zeitweisen hohen Temperaturen der Dämmstoffoberfläche werden im allgemeinen die Oberfläche nicht beschädigen, dagegen können die tiefen
Temperaturen wegen Tauwasserausfall zu einer Oberflächenbelastung führen. Fließt das Wasser ab und verdunstet nicht wieder, wird die beim Tauen freiwerdende Wärme weitgehend der
Wand zugeführt. Das dem langfristigeren Temperaturgang die Oberflächen beider Stoffe folgen, unterstreicht noch einmal die Aussagen in [1], daß der u-Wert bei allen Wandaufbauten
gültig ist. Das der Einfluß der einzelnen Temperaturgänge unabhängig voneinander betrachtet
werden kann, folgt aus der Linearität der Wärmeleitungsgleichung, wie in [1] gezeigt und
auch in [3] angewandt.
Literatur
[1] Ebel, J.:
Wie steht es mit der Gültigkeit des u-Wertes? Word-Dokument in
www.bauphysik.com vom 12.11.01
[2] Stopp, F.: Operatorenrechnung. BSB B. G. Teubner Verlagsgesellschaft. Leipzig 1978
[3] Grigull, U.; Sandner, H.: Wärmeleitung. Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York
1979
[4] Nehring, G.: Über den Wärmefluß durch Außenwände und Dächer in klimatisierte Räume
infolge der periodischen Tagesgänge der bestimmenden meteorologischen
Elemente. Gesundheits-Ingenieur 83 (1962) H. 7, S. 185 – 189; H. 8, S. 230 –
242; H. 9, S. 253 - 269