05 Terme und Variable
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Materialien zum Modellversuch: Vorschläge und Anregungen zu einer veränderten Aufgabenkultur (5) Zum Themengebiet Terme und Variablen Vorschlag 5.1: Immer wieder gleiche Seiten und Flächen .............................. 3 Handlungsorientiertes Aufstellen eines Terms. Zusammenfassen und Umformen des Terms Vorschlag 5.2: Das geheimnisvolle Paket .......................................................... 5 Die Äquivalenzumformungen werden handlungsorientiert durch Ein- und Auspacken eines Pakets dargestellt Vorschlag 5.3: Der Computer FeliX .................................................................. 6 Die Äquivalenzumformung wird als Black Box FeliX dargestellt. Vorschlag 5.4: Streichholzquadrate .................................................................. 7 Eine handlungsorientierte Knobelaufgabe, bei der die Anzahl der Streichhölzern in geometrischen Figuren gesucht wird Vorschlag 5.5: Plättchenmuster ......................................................................... 9 Hier werden geometrische Muster gelegt, die dann durch einen Term beschrieben werden sollen. Vorschlag 5.6: Das Tischtennisturnier ............................................................ 10 Eine realitätsnahe Aufgabe, die sich gut zum Aufstellen von Termen und zum Lösen von Gleichungen durch Probieren eignet Vorschlag 5.7: Mathegeschichten .................................................................... 11 Aufgaben von Schülern, die als zusätzliches Übungsmaterial und als Anreiz dienen, selbst originelle Mathegeschichten zu schreiben. Vorschlag 5.8: Zur Berechnung der Blutalkoholkonzentration ................... 13 Aus allgemeinen Formeln zur BAK soll ein Term zur Berechnung gefunden werden Vorschlag 5.9: Termdomino ............................................................................. 15 Übungen zu Äquivalenzumformungen, die in diesem Fall im Kopf durchgeführt werden sollen Vorschlag 5.10: Binomische Formeln .............................................................. 17 Die binomische Formel wird als ein Paar wertgleicher Terme entdeckt und direkt geometrisch gedeutet Vorschlag 5.11: Babylonische Multiplikation ................................................ 19 Aufstellung eines Term zur Übung und Wiederholung der Binomischen Formeln Vorschlag 5.12: Umzug mit dem Mietwagen .................................................. 20 Die Schüler sollen das günstigste Angebot für einen Umzug auswählen. Vorschlag 5.13: Term-Mobile .......................................................................... 22 Das Term-Mobile ist im Gleichgewicht, wenn an beiden Enden insgesamt wertgleiche Terme vorhanden sind. So wird Gleichheit visuell betont und in einer interessanteren Übungsform aufgegriffen Vorschlag 5.14: Aquamaxx............................................................................... 23 Ist es wirklich billiger, Mineralwasser selbst herzustellen als Kisten zu kaufen? Die Schüler sollen dazu Gleichungen aufstellen und diese später gleichsetzen. Vorschlag 5.15: Aufstellen von Formeln für Umfang und Flächeninhalt ... 24 An einer einfachen Figur sollen verschiedene Terme aufgestellt werden. So kann gut die Wertgleichheit der Terme eingesehen und begründet werden. Vorschlag 5.16: Wortform von Termen .......................................................... 25 Übungen zur Übersetzung von Sachsituationen in Terme und umgekehrt Vorschlag 5.17: Das Brot duckt sich! - Spiel .................................................. 26 Spielerische Übung zur Multiplikation von Summen Vorschlag 5.18: Algebra mit Zahlenmauern .................................................. 28 Schrittweise Heranführung von Schüler an die algebraische Denkweise, die direkt an der Arithmetik anknüpft Die Arbeit entstand im Rahmen des BLK-Modellversuchsprogramms "Steigerung der Effizienz des mathematisch-naturwissenschaftlichen Unterrichts", das vom Bund und den Ländern gefördert wird. 2 Vorschlag 5.1: Immer wieder gleiche Seiten und Flächen 1 Faltet ein DIN A4 großes Blatt Papier 2-mal quer, danach 2-mal längs und nach dem Auffalten 2-mal diagonal von Ecke zu Ecke. Wie viele Faltlinien mit der Länge l gibt es? Wie viele Faltlinien mit der Breite b gibt es? Messt aus wie lang sie jeweils sind. Wie lang sind alle Faltlinien zusammen? Beschreibt euren Rechenweg! Welche sind die längsten Faltlinien? Wie viele gibt es davon? Gebt ihnen einen Namen. 2 a) Ein Paket hat die Länge l = 35 cm, die Breite b = 25 cm und die Höhe h = 12 cm. Je nach Gewicht des Inhaltes soll es unterschiedlich verschnürt werden. Schätzt, für welches Paket ihr am meisten Schnur benötigt. Gebt noch 20 cm (insgesamt) für die Knoten hinzu und berechnet die jeweils benötigte Schnurlänge. Versucht, einen Schuhkarton wie in der Grafik dargestellt zu schnüren, die Kordel soll nirgends doppelt verlaufen. b) Gebt die Schnurlängen auch allgemein für solche Pakete mit der Länge l, der Breite b und der Höhe h an. c) Wie sieht eine Paket-Schnürung aus zu 4l 4b 4h 15 bzw. zu 3l 2b 4h 10 ? d) Überlege dir weitere Terme und lass deinen Nachbarn die Pakete aufzeichnen. Quelle: Mathe live 7, S. 140-141. 3 Immer wieder gleiche Seiten und Flächen: Anregungen für den Unterrichtseinsatz Material: DIN A4 Blatt (für 1.) Karton (für 2.) Kordel (für 2.) Ziele: Aufstellen von Termen als Rechenerleichterung Zusammenfassen und Umformen von Termen Lösungen: Aufgabe 1 3 Faltlinien der Länge l (29,7 cm) und 3 Faltlinien der Länge b (21 cm) l+l+l+b+b+b+d+d = 3l + 3b + 2d; Gesamtlänge: 224,9 cm. 2 Diagonalen d (36,4 cm) Aufgabe 2 zu A) 2l + 4b + 6h + 20 = 2(l + 2b + 3h) + 20 zu B) 4l + 2b + 6h + 20 = 2(2l + b + 3h) + 20 zu C) 4l + 4b + 8h + 20 = 2(2l + 2b + 4h) + 20 zu D) 2l + 2b + 4h + 20 = 2(l + b + 2h) + 20 Teil 2 bei b nicht möglich! = 262 cm = 282 cm = 356 cm = 188 cm Eignung (mögliche) Methode: Gruppenarbeit auch für leistungsschwächere Gruppen 4 Vorschlag 5.2: Das geheimnisvolle Paket Material: Paket Papier Kordel Ziele: Aufbau der Grundvorstellung: Variable als unbekannte Zahl (Gegenstandsvorstellung) Vorgehensweise: das geheimnisvolle Paket wird im Plenum vorgestellt. Die Idee besteht darin, eine Gleichung in ein richtiges Paket zu packen und dann auszupacken. Zum Beispiel wurde eine unbekannte Zahl x in der Gleichung 3 x + 5=17 folgendermaßen verpackt: x 3x 3x+5 Nach dem letzten Verpackungsvorgang hat man die Zahl 17 erhalten. Die Überlegungen gehen nun dahin, herauszufinden, welche Zahl denn da eigentlich verpackt wurde; d.h. nichts anderes als: Was für eine Zahl kommt zum Vorschein, wenn man auspackt? Dazu muss man zwei Verpackungsvorgänge unterscheiden: das Addieren und das Multiplizieren. Zum Auspacken müssen die Vorgänge Subtrahieren und Dividieren verwendet werden. In schriftlicher Form sieht das so aus: x = 4 3x = 12 Das gleiche Prinzip kann man auch bei den 3x + 5 = 17 zusammengesetzten Puppen anwenden: Eignung, (mögliche) Methoden: besonders für leistungsschwächere Schüler geeignet Quelle: MUED 5 Vorschlag 5.3: Der Computer FeliX Material große Kiste Ziele Aufbau einer Grundvorstellung vom Variablenbegriff (Einsetzungsaspekt) Vorgehensweise: Der Computer FeliX wird sozusagen als Black Box eingesetzt und die Schüler sollen erkennen, welche Operation in der Black Box durchgeführt wird. Der Lehrer bereitet die Zahleneingabe und Zahlenausgabe auf zwei getrennten Zetteln vor. Ein Schüler schiebt nun den Eingabenzettel als Input in den Computer. Auf der anderen Seite zieht ein anderer Schüler den entsprechenden Ausgabenzettel als Output aus dem Computer heraus. Beides wird an der Tafel ”ausgedruckt” Was macht Felix mit den Zahlen? (Mögliche) Variationen: Bei bekannter Operation den Computer kontrollieren Bei bekannter Operation und Ausgabe die Eingabe bestimmen. Mögliche Ausdrucke an der Tafel: INPUT 1 -2 2/3 0 ½ x OPERATION ? ? ? 0+4 ½+4 x+4 OUTPUT 5 2 14/3 4 3,5 INPUT x 1 7 -3 2/3 OPERATION x·3+4 1·3+4 7·3+4 -3 · 3 + 4 2/3 · 3 + 4 OUTPUT INPUT x ? ? OPERATION x-7 OUTPUT ? ? -5 6 11 -1/3 0 6 Vorschlag 5.4: Streichholzquadrate 1. Für diese Aufgabe benötigt ihr eine Schachtel Streichhölzer. Legt vier Quadrate wie in a). Wie viele Streichhölzer benötigt ihr dafür? 2. Legt nun vier Quadrate wie in b). Wieso benötigt ihr jetzt ein Streichholz mehr? Wie viele Streichhölzer benötigt ihr für die Lösung in c) mehr? 3. Könnt ihr eine Regel bilden, mit der man die benötigte Anzahl der Streichhölzer für die Legebeispiele in a), b), c) berechnen kann? 4. Findet heraus, wie man fünf, sechs, sieben, acht,... Quadrate mit möglichst wenig Streichhölzern legen kann. Zeichnet euch auch eine Skizze in eure Hefte . 5. Wie viele Streichhölzer benötigt ihr mindestens um 100, 1000, ... Quadrate zu legen? Wie viele höchstens? 6. Wie viele Quadrate könnt ihr mit 100, 1000, ... Streichhölzern legen? 7. Zu guter Letzt: Legt drei gleichseitige Dreiecke mit möglichst wenigen Streichhölzern. c) Quelle: Mathe live. Klasse 7 Seite141 (leicht verändert) 7 Streichholzquadrate: Anregungen für den Unterrichtseinsatz Ziel: Aufstellen von Termen Mögliche Lösungen: (1) 12 Streichhölzer (2) b): 13, da die Möglichkeit zum „Zweierquadrat“ nicht genutzt wird c): 16 Streichhölzer: 4 mehr als in a) (3) Q: Anzahl der Quadrate, V: Anzahl der Viererquadrate, D: Anzahl der Dreierquadrate, Z: Anzahl der Zweierquadrate, S: Anzahl der Streichhölzer. a) 4 D = S | 2 V + 2 Z = S b) 2 V + 1 D + 1 Z = S | 1 V + 3 D = S c) 4 V = S (4) Q=5 Q=6 Q=7 Q=8 Q=9 S=15 S=17 S=20 S=22 S=24 3 5 15 5 3 2 17 6 3 2 20 6 3 2 2 22 6 3 3 2 24 (5) 100 Quadrate: mindestens 220 Streichhölzer (z.B. 20 D + 80 Z) höchstens 400 (100 V) 1000 Quadrate: mindestens 2064 Streichhölzer (z.B. 64 D + 936 Z) höchstens 4000 (1000 V) (6) 100 Streichhölzer: 43 Quadrate (14 D + 29 Z) 1000 Streichhölzer: 478 Quadrate (44 D + 434 Z) (7) mit 7 Streichhölzern Bemerkung: Für weitere Anregungen zur Arbeit mit Streichhölzern vgl. Mathe-Welt: Streichholzmathematik. In: mathematik lehren (2001) H. 105. 8 Vorschlag 5.5: Plättchenmuster 1 Schau dir die folgende Reihe aus regelmäßig wachsenden Plättchen mustern genau an und versuche, sie fortzusetzen. Wie viele Plättchen sind in einer Grundseite, wenn die gesamte Figur aus 28 (68) Plättchen besteht? 2 Gegeben sind die Terme 2·n; 3·n-3; n·n , wobei n für irgendeine natürliche Zahl steht. Lege Figuren, bei denen sich die Gesamtzahl der Plättchen durch den vorgegebenen Term bestimmen lässt. 3 Denkt euch andere Muster aus, bei denen ihr die Gesamtzahl der Plättchen gut mit einem Rechenausdruck bestimmen könnt. Notiert den Rechenausdruck und lasst die Nachbargruppe das Muster dazu raten. Quelle: MatheNetz7, S. 217 (leicht verändert) Plättchenmuster Anregungen zum Unterrichtseinsatz Ziele Aufstellen und Zusammenfassen eines Terms Einführung von Termen Anwendung des Distributivgesetzes Variationen der Aufgabe: Stärkere Stufung: Zunächst Aufstellen einer Tabelle. 3,4,5,6,10,11 Plättchen in der Grundseite; Frage nach Gesamtplättchenanzahl. Erst dann Übergang zur Umkehrfrage. Vorgabe eines Plättchenmusters (z.B. Quadrat oben). „Bestimme möglichst viele unterschiedliche Terme zur Plättchenanzahl in diesem Muster. Erkläre jeweils, wie du gezählt hast. Erfahrungen: Lehrer (Gymnasium, 8. Klasse): „Die Plättchenmuster bieten erstaunliche Möglichkeiten und sind hervorragend für einen Einstieg in das Thema Termumformungen geeignet.“ Mögliche Lösungen: (1) n: Anzahl der Plättchen auf der Grundseite. N: Anzahl der Gesamtplättchen. Dann gilt: N = 4n-4 = 4(n-1). Für N = 28 gilt: n = 8. Für N = 68 gilt: n = 18. (2) jeweils fortgesetzt...(Dreieck innen leer) (3) z.B. siehe rechts oben 2n+3(n-2)=5n-6 2n+3(n-2)+n-3=6n-9 9 Vorschlag 5.6: Das Tischtennisturnier Bei einem Tischtennisturnier soll jeder Teilnehmer gegen jeden anderen ein Hin- und ein Rückspiel austragen. a) Lege eine Tabelle an, in der die Spielergebnisse eingetragen werden können, falls sich 4 Spieler beteiligen! b) Wie viele Spiele sind insgesamt bei 4 [5;10] Teilnehmern auszutragen? Begründe deine Antwort! c) Bestimme einen Term, mit dem man die Zahl der Spiele bei n Teilnehmern berechnen kann. d) Bei einem solchen Turnier gab es 72 [110] Spiele. Wie viele Spieler haben teilgenommen? Das Tischtennisturnier: Anregungen zum Unterrichtseinsatz Ziele: Aufstellen von Termen Lösen von Gleichungen durch Probieren Variationen der Aufgabe: Analoge Aufgabenstellung: Spiele in der (Fußball-) Bundesliga. Möglicher Transfer durch Anzahl des Händeschüttelns bei n Personen. Erfahrungen: Lehrer (Gymnasium, 8. Klasse): „Die Aufgabe eignet sich sehr gut zum Aufstellen von Termen und hat eine erstaunliche Variationsbreite. Obwohl sie auf einen quadratischen Term führt, ist sie von den Schülern gut zu lösen. Interessant war, dass nur wenige Schüler die Tabelle als Hilfe für die folgenden Aufgabenteile nutzen.“ Mögliche Lösungen: (b) 12 [20; 90] (c) nn 1 n 2 n (d) 9 [11] 10 Vorschlag 5.7: Mathegeschichten Das Verständnis für die Struktur von Textaufgaben erhöht sich deutlich, wenn man selbst solche Aufgaben erfindet und löst. Die folgenden Mathegeschichten sind von Schülerinnen und Schülern einer 8. Klasse formuliert worden. Die Aufgaben sollen als zusätzliches Übungsmaterial und als Anreiz dienen, selbst originelle Mathegeschichten zu schreiben. 1 Die Backstreet Boys Die Backstreet Boys waren 1998 zusammen 107 Jahre alt. Kevin war ein Jahr älter als Brian und Howie. Nick war sechs Jahre jünger und A.J. fünf Jahre jünger als Kevin. Wie alt war jeder? Max der Vergessliche 2 Max will wissen, wie viel sein Kuli gekostet hat, den er zusammen mit einigen anderen Sachen gekauft hat. Doch er weiß nur noch, dass dieser halb so teuer war wie der Füller. Und der Füller, erinnert er sich, hat 2 DM mehr gekostet als der Stift. Der Stift, das weiß er noch, war so teuer wie das Heft. Das Heft, das Buch und die Mappe haben zusammen 20 DM gekostet. Das Buch war um 4 DM teurer als das Heft. Die Mappe hat 4 DM gekostet. Gut wer einen Opa hat 3 Detlef hat Geburtstag. Sein Opa Dieter kauft ihm eine Mütze, eine Hose, die drei mal so viel kostet wie die Mütze und ein T-Shirt, das halb so viel wie die Hose kostet. Auf Wunsch seines Enkels kauft er ihm noch ein Kickboard, das so viel kostet wie die Hose, die Mütze und das T-Shirt zusammen. Für alles zusammen zahlt er das 9½-fache der Mütze und 30 DM. a) Wie viel haben die Sachen zusammen gekostet? b) Wie viel haben die einzelnen Sachen gekostet? 4 Der Weihnachtsmann Der Weihnachtsmann hat an Weihnachten viel zu tun, also hat er einen Helfer. Weihnachtsmann A ist grad in Finnland und will zurück zum Nordpol. Um 19 Uhr startet er seine 1120 km lange Reise mit 25 km/h zum Nordpol. Weihnachtsmann B ist am Nordpol und will in Finnland weiter machen. Er startet auch um 19 Uhr und fährt mit 35 km/h. Wann treffen sie sich? Der Marathon-Lauf 5 Vor einer Woche hat in Berlin ein großer Marathon-Lauf von 500 Menschen stattgefunden. Der Startschuss fiel um 16.00 Uhr. Um diese Uhrzeit mussten alle Läufer an der Startfläche stehen. Obwohl ein Läufer noch nicht da war, hat der Lauf ohne ihn begonnen. Alle Läufer liefen 5 km/h. Am Ziel erwartete den Gewinner eine Summe von 5000 DM. Doch plötzlich, nach einer viertel Stunde, kam der fehlende Läufer. Ihm wurde in letzter Sekunde noch erlaubt mit zu laufen, nämlich 7 km/h. Wie lange dauerte es, bis er die anderen 499 eingeholt hatte ? Schreibe nun selbst eine Mathegeschichte! 11 Mathegeschichten: Anregungen für den Unterrichtseinsatz Ziele: Verständnis von Textaufgaben Übung Variationen der Aufgabe: Schüler Geschichten zu vorgegebenen Termen schreiben lassen. Vgl. auch Vorschlag 5.16: Wortform von Termen. Lösungen: Backstreet Boys: Kevin war 24. Max der Vergessliche: Heft: 6 DM; Stift: 6 DM; Buch: 10 DM; Füller: 8 DM; Kuli: 4 DM. Gut wer einen Opa hat: Mütze: 20 DM; Hose: 60 DM; T-Shirt: 30 DM; Kickboard: 110 DM. Der Weihnachtsmann: 18 h 40 min bis Treff. Also um 13.40 Uhr. Marathon: Einholen nach 0,875 h = 52,5 min. Bemerkung: Wenn man Schüler selbst Aufgaben erfinden lässt, stellt sich natürlich das Problem der Ergebnissicherung. Bewährt hat sich u.a. folgende Methode: Die Schüler sollen ihre Aufgabe (mit Namen) auf eine Postkarte und die Lösung auf eine zweite Karte schreiben (verschiedene Farben verwenden und die Karten nummerieren). Der Lehrer kopiert diese Karten (jeweils 4 auf ein Din-A 4 Blatt; Rand vorgeben) und erstellt so ein kleines Mathebuch. Die Schüler bearbeiten Aufgaben ihrer Interessen und können die Lösungen beim Autor einfordern oder in einer Kartei nachschlagen oder man macht aus den Postkarten eine Kartei (sowie eine Kartei mit Lösungen), die in der freien Arbeit durchgearbeitet werden. 12 Vorschlag 5.8: Zur Berechnung der Blutalkoholkonzentration (BAK) Verkehrsrichter mit 2,7 Promille erwischt Jochen K. (63), Vorsitzender Richter am Langgericht Deggendorf, zehn Jahre war er Verkehrsrichter, verurteilte viele betrunkene Fahrer. Jetzt hat es ihn selbst erwischt. Auf der Landstraße fuhr er Schlangenlinien - eine Streife folgte ihm bis zu seinem Haus. Zunächst wollte er die Haustür nicht öffnen. Bis die Polizisten drohten: “Wir brechen die Tür auf.“ Der Richter lallend: “Ich habe gerade eine Flasche Wein getrunken.“ Alkoholtest: 2,7 Promille, Führerschein weg. Stellt euch vor, ihr seid bei der Verhandlung gegen Jochen K. als (mathematische) Gutachter vor Gericht geladen um eine begründete Stellungnahme abzugeben. Vielleicht können euch die folgenden Informationen ein wenig helfen. Allgemeine Informationen Die Höhe der Blutalkoholkonzentration (BAK) zu einem bestimmten Zeitpunkt ist von mehreren Faktoren abhängig: etwa von der aufgenommenen Alkoholmenge, der Geschwindigkeit der Aufnahme, dem Körpergewicht, der Konstitution und der Abbauzeit. Frauen vertragen weniger Alkohol als Männer. Dies liegt in erster Linie daran, dass der weibliche Körper mehr Fett- und weniger Muskelgewebe als der männliche enthält und sich der Alkohol nur in der Körperflüssigkeit verteilt. Bei vier bis fünf Promille kann eine tödliche Atemlähmung auftreten. Der Grad der Alkoholisierung wird als Blutalkoholkonzentration in Promille (o/oo) angegeben. Die Blutalkoholkonzentration in g Alkohol / 1000 g Blut ("Promille") berechnet sich aus dem Quotienten getrunkener Alkohol in g Körpergewicht in kg · F wobei F ein Korrekturfaktor ist, der für Frauen den Wert 0,6 und für Männer den Wert 0,7 besitzt. Die Prozentangaben von alkoholischen Getränken (% vol) beziehen sich stets auf das Volumen, nicht auf die Masse. Die Dichte von Trinkalkohol (Ethanol) beträgt 0,8 g/cm3. Pro Stunde baut der Körper etwa 0,15 Promille ab. Quelle: Herget / Scholz: Die etwas andere Aufgabe. Kallmeyer, S. 51ff. 13 Zur Berechnung der Blutalkoholkonzentration (BAK): Anregungen zum Unterrichtseinsatz Ziele: Aufstellen eines Terms aus den gegebenen Gleichungen Übung Mögliche Fragestellungen: Kann die Aussage des Richters stimmen? Wie viel Promille hat der Richter nach einer Flasche Wein? Wie viel Wein müsste er mindestens getrunken haben? Mögliche Lösungen: angenommen er wiegt 80 kg, trinkt 0,75 l Wein mit 11,5 % vol.: 11,5% von 750 cm3. Also: 86,25cm3 g x cm 3 86, 25cm 3 69 g BAK 800,7 1,23 0,8 2,7 o/oo = x 800, 7 ; x = 69 g ‰ x=151,2g 0,8 g cm 3 151, 2 g x x=189cm3 dies entspricht 11,5%. 100%=1643,5 cm3 also mindestens 1,7 l Wein zwei Literflasche in 3h 20min zwei Liter: 3,2P, mit Abbau: 3h 20 min Trinkzeit. Eignung (mögliche) Methode: Partner- bzw. Gruppenarbeit Erfahrungen: Lehrer einer siebten Klasse: „Das Schöne an der Aufgabe ist, dass die Schüler eine Reihe plausibler Annahmen treffen müssen, um überhaupt etwas rechnen zu können. Unter Umständen müssen sie auch noch Informationen einholen (Welches Volumen hat eine Weinflasche, wie ist der Alkoholgehalt,..). Ich forderte die Schüler auf, sich vorzustellen, sie seien als (mathematische) Gutachter vor Gericht geladen um eine begründete Stellungnahme abzugeben. Die Aufgabe wurde in Gruppenarbeit bearbeitet und von einer Gruppe ohne Hilfe innerhalb einer Schulstunde richtig gelöst.“ 14 Vorschlag 5.9: Termdomino 5 z 1 14 x 2 r s 1r 1s 9 x 2 5x 2 3 xz 4 xz xz 1 2a 4a 2a 4x 2 3 (a 2b) 6 xz 14 x 5 z 3 4( x y) 2 (a 2b) a bc 5y2 x 6x c b 3a 4a 2a 4b x y y 5xy 2 4x 4 y 3a 6b ARe chteck 11 1 7 ( ) 2 x 2y (r s) (r s) a b 196 : 142 a3 x y yx x2 y2 15 17 21 0 aaa 35 10 5 1 4 2s 4x 3 y 2x 3 y 9 16 2 Spielanleitung: Schneidet die Dominosteine entlang der Doppellinien auseinander. Teilt die Dominosteine in eurer Gruppe auf und bestimmt, wer anfängt. Jetzt versucht jeder Spieler nacheinander, einen seiner Steine anzulegen. Dazu müssen die Terme allerdings wertgleich sein. Wer nicht anlegen kann, muss eine Runde aussetzen. 15 Termdomino: Anregungen zum Unterrichtseinsatz Ziele: Übung zur Äquivalenzumformung von Termen Eignung (mögliche) Methode: Gruppenarbeit Spieldauer: ca. 20 Minuten Spielbeschreibung: Eine Gruppe kann z.B. aus 4 Schülern bestehen und jeder Schüler erhält 5 Domino-Spielkarten. Ein Schüler fängt an und legt eine Karte auf den Tisch. Nun müssen alle Spieler schauen, ob sie eine passende Anlegekarte besitzen, wenn ja wird diese angelegt. Die Schüler sollen während des Spiels keine schriftlichen Nebenrechnungen machen und es dürfen keine weiteren Dominoreihen gebildet werden. Sind alle Karten richtig aneinander gelegt worden, so passt die letzte und erste Karte der Reihe zusammen. Während des Spielverlaufs entstehen Diskussionen darüber, welche Terme äquivalent sind, und die Schüler erfahren, dass es eine Vielzahl von Äquivalenzumformungen gibt. Da die Schüler die möglichen Ergebnisse sehen, können sie Unsicherheiten hinterfragen oder gemachte Fehler selbst überprüfen und korrigieren. Erfahrungen: Lehrerin einer achten Klasse: „Wichtig erscheint im Rückblick, eine gewisse Progression einzubauen, also mit einfachen Termumformungen zu beginnen und dann jeweils zu erweitern.“ 16 Vorschlag 5.10: Binomische Formeln 1. Schneide die unten abgebildeten Vierecke aus! 2. Bestimme einen Term für den Flächeninhalt der grauen Gesamtfläche A der vier Rechtecke in Abhängigkeit von den Seitenlängen a und b: A= Überlege, ob es noch andere Terme gibt, mit denen man den Flächeninhalt A darstellen kann. a b b a a b a a a a a b b b b b 17 Binomische Formeln: Anregungen für den Unterrichtseinsatz Ziele: Herleitung der Binomischen Formel über die geometrisch einsichtige Äquivalenz von Termen Mögliche Variationen: (2) „Gegeben ist der Term (a-b)2. Finde möglichst viele wertgleiche Terme und versuche sie jeweils zu veranschaulichen“. Mögliche Lösungen: b2 + ab + a2 + ab = (b + 2a) b + a2 = (a + 2b) a + b2 = (a + b)2 18 Vorschlag 5.11: Babylonische Multiplikation Die Babylonier nutzten Tafeln mit Quadratzahlen, um beliebige Zahlen miteinander zu multiplizieren. Sollten die Zahlen a und b miteinander multipliziert werden, bildeten sie zunächst die Summe (a+b) und die Differenz (a-b), ermittelten dann die Quadrate der Summe und der Differenz mit Hilfe der Tafeln und subtrahierten anschließend die beiden Zahlen voneinander. Schließlich teilten sie das Ergebnis durch 4 und heraus kam das Produkt der beiden Zahlen a und b. a) Berechne mit diesem Verfahren 53 · 47. b) Erstelle einen Term für das Rechenverfahren der Babylonier und zeige, dass dieser Term tatsächlich gleich dem Produkt a · b ist. c) Welcher Zusammenhang besteht zwischen dem beschriebenen Rechenverfahren und der Grafik? d) Beurteile dieses Verfahren? Die Babylonier lebten in Mesopotamien, einer fruchtbaren Ebene zwischen den Flüssen Euphrat und Tigris, im heutigen Irak. Sie entwickelten eine Schrift, die aus keilförmigen Symbolen bestand und mit Stiften in Tonplatten gedrückt wurde. Anschließend wurden die Platten in der Sonne getrocknet. Viele Tausende dieser Tafeln existieren noch heute, unter ihnen auch die im Text erwähnten Tafeln mit Quadratzahlen. Quelle: Mathe live 8, S. 69 Babylonische Multiplikation: Anregungen für den Unterrichtseinsatz Ziele: Wiederholung/ Übung Lösungen: 100 2 6 2 2491 4 2 2 a b a b a 2 2ab b 2 a 2 2ab b 2 ab 4 4 Mögliche Variationen: „Stelle den Term des Rechenverfahrens graphisch dar“ (für leistungsstärkere Gruppen) 19 Vorschlag 5.12: Umzug mit dem Mietwagen Für den Transport größerer Gegenstände, z.B. Möbel bei einem Umzug, kann man sich für Stunden oder auch Tage einen Lkw mieten. Meistens kann man bei den Vermietern unter verschiedenen Lkw-Größen und unter verschiedenen Angeboten wählen. Der Gesamtpreis errechnet sich aus der Tagesmiete und einem Pauschalpreis für jeden gefahrenen Kilometer. Manchmal gibt es Mietangebote mit einer bestimmten Anzahl von Freikilometern. Nach der abgelaufenen Mietzeit muss man das Fahrzeug vollgetankt wieder zurückbringen. STANDARD-ANGEBOT Wagentyp Transporter Klein-Lkw Lkw Tagesmiete 65 € 75 € 99 € Pauschale pro Kilometer 0,36 € 0,39 € 0,54 € An Wochenenden macht der gleiche Vermieter ein Spar-Angebot, bei dem 100 Kilometer schon in der Tagesmiete eingeschlossen sind SPAR-ANGEBOT Wagentyp Transporter Klein-Lkw Lkw Tagesmiete incl. 100 km 73 € 87 € 125 € Mehr-km 0,18 € 0,22 € 0,30 € Inges Eltern wollen am Wochenende in eine 65 km entfernte Stadt umziehen. Sie wollen das Sparpaket nutzen und überlegen, ob sie zum Sparangebot den kleineren Wagentyp 2 nehmen. Dann müssen sie allerdings 2-mal fahren. Mit dem größeren Typ müssten sie nur 1-mal fahren. Quelle: Mathe Live 7, Seite 156. 20 Umzug mit dem Mietwagen: Anregungen zum Unterrichtseinsatz Ziele: Übung und Wiederholung Aufstellen eines Terms Mögliche Aufgabenstellungen: (2) Berechne für die Wagentypen 1 bis 3, wie teuer es ist, sie für einen Tag zu mieten. (3) Wie groß sind die Preisunterschiede? (4) Bilde für jeden Wagentypen eine Gleichung mit Variablen, mit der man den Gesamtpreis für beliebig viele gefahrene Kilometer berechnen kann. (5) Lege für den Wagentyp 2 eine Preistabelle für 25; 50; 100; 150 und 200 gefahrene Kilometer an. Wie viele Kilometer kann man für einen Gesamtpreis von 200 € fahren ? (6) Bilde für alle drei Wagentypen Gleichungen mit Variablen, mit denen man für beliebig viel gefahrene Kilometer über 100 km (Mehr-km) den Gesamtpreis errechnen kann. (7) Verdoppelt sich mit den gefahrenen Kilometern auch der Gesamtpreis? (8) Was kosten jetzt im Sparangebot 150; 200; 250 und 300 gefahrene Kilometer für die Wagentypen 1 bis 3? (9) Wie viel Kilometer kann man mit Wagentyp 1 für 200 € fahren? (10) Welche Lösung ist für Inges Eltern sinnvoller? Lösungen: (2) bei 120 km: Transporter: 108,2 €; Klein-Lkw: 121,8 €; Lkw: 163,8 € (3) 13,6 €; 42 € (4) T = 0,36x + 65; K = 0,39x + 75; L 0,54 x 99 (5) 84,75 €, 94,5 €, 114 €, 133,5 €; 153 €; ca. 320,5 km (6) T = 73 + 0,18x; K = 87 + 0,22x; L = 125 + 0,3x; (7) Nein, weil die Tagesmiete konstant ist. (8) Transporter 82 €; 91 €; 100 €; 109 €; Klein LKW 98 €; 109 €; 120 €; 131 €; LKW140 €; 155 €; 170 €; 180 €. (9) ca. 805,5 km (10) An die Autovermietung sind jeweils zu zahlen: 4 65 km 260 km 87 0,22 160 122,2 2 65 km 130 km 125 0,3 30 134 Gar nicht so leicht zu entscheiden: Bei fallen wahrscheinlich höhere Benzinkosten an. Und vielleicht sind ja andere Faktoren entscheidender als die Kosten. 21 Vorschlag 5.13: Term-Mobile Das Term-Mobile ist im Gleichgewicht, wenn an beiden Enden eines Balkens insgesamt wertgleiche Terme vorhanden sind. Bringe die Mobiles mit den jeweils vorhandenen Elementen ins Gleichgewicht. Färbe dazu die entsprechenden Felder in gleicher Farbe. Stelle selbst ein Term-Mobile her. Verwende dabei u.a. die folgenden Terme: a) 3x 4 x b) 2x 6 c) 8x 1 41 x Quelle: Elemente der Mathematik. Unterrichtsmaterialien Band 2 (2001), S. 159 (verändert) 22 Vorschlag 5.14: Aquamaxx Frau S. aus K. ist es leid, jede Woche ein- oder zweimal zum Getränkemarkt zu fahren, um den entsprechenden Vorrat an Mineralwasser für ihre fünfköpfige Familie zu besorgen. Sie denkt über die Anschaffung eines Wasseraufbereitungsgerätes nach. Die Firma Aquamaxx bietet ein solches Gerät zum Preis von 120 DM an. Die entsprechenden CO2-Patronen kosten 16 DM und reichen für 40 l. 1 m3 Leitungswasser kostet 8,50 DM (einschließlich Abwassergebühren). Die Hersteller des Aquamaxx behaupten: Bei Verwendung des Gerätes Aquamaxx sind die Kosten für ihr Mineralwasser bereits vor Ablauf eines Jahres geringer, als wenn Sie das Wasser im Getränkemarkt kaufen. Aquamaxx: Anregungen zum Unterrichtseinsatz Ziele: Einführung Lösen von Gleichungen durch Äquivalenzumformungen zur Gleichsetzung der Terme benötigt man ca. 2 Unterrichtsstunden Mögliche Variationen: Einen aktuellen Werbeprospekt mitbringen und daran die Fragen entwickeln (1) Schüler entwickeln eigene Fragestellungen (2) Wie viel kostet ein Kasten Mineralwasser? (3) Schätze den Tages- bzw. den Wochenbedarf der Familie S. (4) Stelle die Kosten in einer Tabelle gegenüber (100 l, 200 l, 300 l) (5) Stelle für beide Möglichkeiten einen Term auf. (6) Überprüfe die Aussage von Aquamaxx (7) Setze die beiden Gleichungen gleich und interpretiere das Ergebnis Mögliche Lösungen: (2) angenommen, 12 Flaschen à 0,7 l kosten 7,60 DM (ohne Pfand) (3) Jedes Kind eine Flasche, Eltern zusammen 3 bis 4 am Tag: ca. 6 Flaschen. 3-4 Kisten pro Woche, fast 30 l (4) 100 l 200 l 300 l Aquamaxx 48,5 DM + 120 DM 81,70 DM + 120 DM 130,55 DM + 120 DM Kasten 91,20 DM 182,40 DM 240 DM (5) Kasten: K = 91,2 x. Aquamaxx: A = 16,34 x +120 (in DM; x in 40 l-Einheiten) (6) A: 100 l Leitungswasser kosten 0,85DM, also kosten 40 l 0,34 DM. Dazu kommen 16 DM für die Patrone. Also kosten 40 l Mineralwasser 16,34 DM. K: In einem Kasten sind 8,4 l, also braucht man für 40 l ca. 4,8 Kisten und die kosten ca. 36,48 DM. Differenz also 20,14 DM. Damit macht sich die Anschaffung nach 6 Patronen bezahlt und das sind 240 l Mineralwasser, d.h. die Aussage stimmt. (7) 91,20 x = 36,48 x x = 5,96 also nach der 6. Patrone. 23 Vorschlag 5.15: Aufstellen von Formeln für Umfang und Flächeninhalt Stelle eine Formel für den Umfang und eine Formel für den Flächeninhalt der folgenden Figur auf: d c b a Aufstellen von Formeln für Umfang und Flächeninhalt: Anregungen zum Unterrichtseinsatz Ziele: Einführung des Distributivgesetzes Vernetzung (Flächeninhalt, Umfang) Wiederholung (Flächeninhalt, Umfang bei Vielecken) Mögliche Variationen: Schüler finden in Partnerarbeit andere Figuren und lassen ihre Nachbarn die Aufgabe bearbeiten. Mögliche Lösungen: U a b c d (c a) (d b) 2a 2b 2c 2d 2(a b c d ) A a (b d ) c d (a c) d a b (a c) (b d ) b c ab ad cd 24 Vorschlag 5.16: Wortform von Termen einen Term mit einer Variablen an, der zu jeder Zahl, die man für die 1 Gib Variable einsetzt, a) b) c) d) e) f) g) h) liefert. das Doppelte der Zahl; die Hälfte der Zahl, vermindert um 3; die Hälfte der um drei verminderten Zahl; das Quadrat der Zahl; den Kehrwert der Zahl; den Vorgänger der Zahl; das Dreifache des Kehrwerts; den Kehrwert des Dreifachen der Zahl Term 2 n für n N beschreibt eine beliebige gerade Zahl. Beschreibe 2 Der durch einen Term a) b) c) d) eine beliebige durch 3 teilbare Zahl; eine beliebige ungerade Zahl; eine beliebige Quadratzahl. Finde weitere Beschreibungen und den dazugehörigen Term. Paket wiegt a kg, ein anderes b kg. 3 Ein Was bedeuten die folgenden Aussagen? a) a b 10 b) a b 10 c) b 12 a d) a 1,5 b 2 seien a, b und c natürliche Zahlen, wobei a b c ist. 4 Es a) Beschreibe die Aussage a (b c) (a b) c b) Stelle die Aussage mit Hilfe von Strecken dar. c) Erfinde eine Geschichte zu dieser Aussage, z.B.: „In einem Reisebus befinden sich a Personen...“. Quelle: MatheNetz7, S. 220 (leicht verändert) Wortform von Termen: Anregungen zum Unterrichtseinsatz Ziele: Übersetzen von Sachsituationen in Terme 25 Vorschlag 5.17: Das Brot duckt sich! - Spiel 26 Das Brot duckt sich! - Spiel: Anregungen für den Unterrichtseinsatz Ziele: Übung zur Multiplikation von Summen Das Spiel dauert 20-30 Minuten und ist bei den Schülern sehr beliebt. Spielbeschreibung: Die Klasse wird in Zweiergruppen eingeteilt. Jede Zweiergruppe erhält acht Karten, auf denen Klammerausdrücke abgebildet sind. Die Spielkarten werden gemischt und mit der Rückseite nach oben auf dem Tisch verteilt. Nun ziehen die Schüler jeweils zwei mal zwei Karten und die Karten des ersten Zugs, bzw. des zweiten Zugs werden als Kartenpaar offen auf den Tisch gelegt. Jeder Spieler besitzt jetzt zwei Kartenpaare. Jedes Kartenpaar entspricht einer bestimmten Punktzahl. Um diese zu ermitteln, müssen die Spieler die Klammerausdrücke jedes ihrer Kartenpaare miteinander multiplizieren und dann den dadurch entstandenen Summenterm auf der Punkteliste suchen. Die neben dem Summenterm stehende Punktzahl wird auf einem Blatt als Gewinnpunkte notiert. Ist kein geeigneter Term zu finden, wurde die Aufgabe falsch berechnet und der Spieler erhält für dieses Kartenpaar keine Punkte. Nachdem alle Zahlenpaare die auf dem Tisch liegen berechnet wurden, werden die Karten gemischt und erneut wie oben verteilt. Da jeder Spieler zwei Kartenpaare pro Spieldurchgang zu berechnen hat, kann er maximal 9 Punkte erreichen. Gewonnen hat der Spieler, der zuerst 30 Punkte erreicht hat. SUMMENFORM PUNKTE 2 2 i + u + 2ui 1 2 2 25x + 9z + 30xz 1 - 10x2 + 15xy - 6xz + 9yz 5 2 2 - 5x - 3z - 8xz 2 2 5x + 5xy + 3xz + 3yz 3 - 5x2 - 3xz + 25x + 15z 1 2 2 4x + 9y - 12xy 1 2 2x - 3xy - 10x + 15y 2 - 2x2 + 3y2 + xy 2 2 2x - 3xy + 2xz - 3yz 4 2 2 x + y + 2xy 1 x2 + z2 + 2xz 1 2 - x - xy - xz - yz 2 - x2 - xy + 5x + 5y 2 2 x + xz - 5x - 5z 3 2 x - 10x + 25 1 9y2 - 12yz + 8xz - 6xy 2 2 2 9y + 16z - 24yz 3 2 6y - 4xy + 6x - 9y 3 6y2 - 8yz - 9y + 12z 3 2 4y - 12y + 9 2 2 3y + 3xy - 4xz - 4yz 3 2y2 + 2xy - 3x - 3y 4 2 -12z + 15xy - 20xz + 9yz 3 4z2 - 3xy + 4xz - 3yz 3 - 5ix - 3iz - 5ux - 3zu 2 2ix - 3iy + 2ux - 3uy 2 - ix - iy - ux - uy 3 ix + iz + ux + uz 2 ix + ux - 5i - 5u 2 - 3iy + 4iz - 3uy + 4uz 3 - 2iy - 2uy + 3i + 3u 3 10xy + 6yz - 15x - 9z 3 - 3xy + 4xz + 15y - 20z 2 - 2xy - 2yz + 3x + 3z 3 - 2xy + 3x + 10y - 15 4 Variationen: Damit auch Aufgaben mit binomischen Formeln auftreten, bietet es sich an, mit zwei Kartensätzen je Gruppe zu spielen. In dieser Variation können auch je vier Spieler an einem Spiel teilnehmen. Die Lösungsterme befinden sich bereits auf der nebenstehenden Karte. Man kann das “Brot duckt sich” auch mit der ganzen Klasse spielen, indem der Lehrer den Summenterm vorgibt und die Schüler herausfinden müssen, aus welchem Produktterm er entstanden ist. Quelle: mathe spielend lernen 8, Klett 2000 27 Vorschlag 5.18: Algebra mit Zahlenmauern Du kennst vielleicht schon sogenannte Zahlenmauern. In der untersten Reihe können beliebige Zahlen geschrieben werden. In die übrigen Felder wird nun jeweils die Summe aus den Zahlen in den beiden darunter liegenden Steinen geschrieben. 1 21 5 12 12 9 Kannst du die oben stehende Zahlenmauer vervollständigen? Welche Zahl steht ganz oben? Wie viele Zahlen müssen mindestens vorgegeben werden, damit jeder die gleiche Zahlenmauer erhält? Vielleicht wolltet ihr euch bei der Beantwortung der ersten Frage schon auf bestimmte Felder beziehen. Aus diesem Grund führen wir die folgenden Bezeichnungen ein: F10 F8 F5 F1 F9 F6 F2 F7 F3 F4 Was passiert nun beispielsweise mit der Zahl im Feld F10, wenn wir die Zahl in F2 um eins erhöhen? Zur Beantwortung ist es hilfreich, einen Punkt zu betrachten, der die zusätzliche Eins darstellt: 2 Fülle die Zahlenmauer vollständig aus. Erkläre damit, wie sich F10 verändert, wenn man die Zahl in F2 [F1; F3] um eins erhöht. 3 4 Wie wirken sich die Veränderungen aus Aufgabe 2 aus fünfreihige Zahlenmauern aus? Wie verändert sich die Zahl in F10 in vierreihigen Zahlenmauern, wenn man die Zahl in F2 um 2 erhöht? Untersuche dies auch für die anderen Felder. Im Folgenden untersuchen wir ganz spezielle Zahlenmauern. Bei diesen stehen in der untersten Reihe aufeinander folgende natürliche Zahlen (Also zum Beispiel 5, 6, 7). Für die Zahl im ersten Feld schreiben wir ganz allgemein „n“, wobei dieses n für irgendeine natürliche Zahl steht. Wir starten mit dreireihigen Mauern: 5 6 Fülle die Tabelle allgemein aus. Welche Zahl steht im ersten Feld, wenn im obersten Feld die 128 [176] steht? Denke dir selbst eine Zahl aus, die im obersten Feld stehen könnte und lass deinen Nachbarn die erste Zahl angeben. n n+1 Untersuche nun vierreihige Zahlenmauern. Welche Zahl steht im ersten Feld, wenn im obersten Feld die 124 [188] steht? Denke dir selbst eine Zahl aus, die im obersten Feld stehen könnte und lass deinen Nachbarn die erste Zahl angeben. Quelle: Margit Kopp: Algebra mit Zahlenmauern. 28 In: mathematik lehren H. 105 (2001), S. 16-19 (verändert). Algebra mit Zahlenmauern: Anregungen zum Unterrichtseinsatz Ziele: Heranführung an die algebraische Denkweise Grundvorstellung von Variablen Mögliche Variationen: Nach dem erfolgreichen Durchlaufen dieser Aufgaben können leicht allgemeine Zahlenmauern gerechnet werden. Ggf. können die Schüler die erste Reihe bestimmen. Mögliche Lösungen: (1) Oben steht die 71 (2) F2, F3 um 1 erhöhen: Erhöhung tritt dreimal auf. Damit erhöht sich F10 um 3 F1 um 1 erhöhen: Erhöhung tritt einmal auf. Damit erhöht sich F10 um 1 (3) F1 um 1 erhöhen: Erhöhung tritt einmal auf. Damit erhöht sich F10 um 1 F2 um 1 erhöhen: Erhöhung tritt viermal auf. Damit erhöht sich F10 um 4 F3 um 1 erhöhen: Erhöhung tritt sechsmal auf. Damit erhöht sich F10 um 6 (4) F1: Erhöhung um 2; F2, F3: Erhöhung um 6; F4: Erhöhung um 2; (5) Oberstes Feld: 128 erstes Feld: 31; Oberstes Feld: 176 erstes Feld: 43 (6) Oberstes Feld: 124 erstes Feld: 14; Oberstes Feld: 188 erstes Feld: 22 Bemerkungen: Zur Beantwortung der Frage 2 könnte man natürlich auch mehrere Beispiele ausrechnen und sehen, dass sich die Änderung bis F10 verdreifacht. Damit würde die Aufgabe aber arithmetisch gelöst, ohne dass sie aus einem algebraischen Blickwinkel betrachtet wird. Der eingeführte Punkt liefert damit nicht nur die Erklärung des Ergebnisses, sondern vermittelt indirekt auch eine Betrachtungsweise, die in der Algebra große Bedeutung hat: Verschiedene Größen getrennt voneinander zu sehen und zu beobachten, wie bestimmte Operationen auf sie wirken. Interessant ist der Übergang zu Frage 4: Hier zeichnen manche Schüler einen weiteren Punkt ein und ergänzen das Punktmuster entsprechend. Andere beginnen in Gedanken die zwei Punkte durch die Mauer hindurch zu verfolgen. Es gilt nun zu erkennen, dass unabhängig vom speziellen Wert die Erhöhung bis Feld 10 genau drei mal auftreten wird. Die Autoren warnt davor nach Aufgabe 4 sofort die Buchstabenvariablen einzuführen, wie das hier geschehen ist: „[Dies] würde mehr verwirren als nützen, weil Buchstaben bisher anderen Erfahrungsbereichen angehören und Erklärungen allein nicht ausreichen, um ihnen die Bedeutung von Variablen zu verleihen.“ Allerdings ist der Artikel für das 6./7. Schuljahr geschrieben, während wir gewisse Vorerfahrungen voraussetzen. 29
