Strain analysis

Strain analysis
Displacement - length and angle changes
Displacement: change of positions of points in a body
Deformation or strain: change in shape of a body due to displacement
Elastic, brittle, ductile deformation: reversible, fracture, flow
Finite strain and incremental strain: strain path
Simple shear:
 = tan = a/b; shear strain; (, Angle between normal to the shear zone before and after
deformation; a,b: b, width of shear zone, a: displacement parallel to shear zone),  = gamma,  =
psi; clockwise rotation = negative.
Longitudinal Strain = Extension:
e = (ld-l)/l;, (-1<e<+) (ld, deformed line length; l, initial line length)
Lagrangian extension equation for simple shear:
e = (1 - 2yxcossin + 2yxsin2)1/2 - 1; (, angle between the shear zone boundary and a line) (Fig.
1.10)
Eulerian extension equation for simple shear deformation:
e = (1 + 2yxcos’sin’ + 2yxsin2’)1/2 - 1;
Homogeneous strain: all objects deformed but into objects which have again an identical form
Strain ellipse: ellipse derived from a unit circle by homogeneous strain, long (major) axis: 1+e1,
minor axis: 1+e2 (=principal finite strains)
Rotational component of strain:
 = ’ –  (, omega, , theta), , ’ = orientation of the deformed and undeformed finite
major/minor principal axes
Internal rotation:
tan = /2 or  = 2tan
tan2 = tan(2’ - 2)
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Orientation of principal strain before and after deformation in simple shear:
Lagrangian formulation: tan2’ = -2/ or  = -2/ tan2’; zwei Lösungen bei 2’ und 2’+180
Eulerian formulation: tan2 = 2/
Line rotation:
w = ’ -  (’, , orientation of a line in the deformed and undeformed state)
cot’ = cot -  or  = cot - cot’
Principal quadratic extensions:
(1 + e1,2)2 = 1 or 2 = ½(2 + 2 ± (2+4)1/2)
Area change or area dilatation A:
1 + A = (1+e1)(1+e2)
Practical strain measurement: initially circular and elliptical markers
Ellipticity or aspect ratio:
R  (1  e1 ) / (1  e2 )
Voraussetzung - passende Marker = Objekte: Sphärulithe, Lapilli, Bläschen, Konkretionen, Pisolithe,
Gesteinsfragmente, Fossilien, Ooide, Gerölle, Reduktionsflecken, Mineralkörner, Sedimentstrukturen, Brekzien, Xenolithe, Boudins, Wurmspuren, Nodules, Trockenrisse etc.
Rf/ plots:
Plot long axes of elliptical markers against the orientation of their long axes (Fig. 5.3)
 is usually used for marking
undefomed angles
same Ri, variable  ,
no strain
same Ri, variable 
and specific Rs
2
Rapid strain determination via means:
mean R f 
R f 1  R f 2 ... R fn
n
arithmetic mean
1
n
G  ( R f 1  R f 2 ... R fn ) geometric mean
H  n / ( Rf 11  Rf 12 ... Rfn1 ) harmonic mean
Rs < H < G < mean Rf
Mittelwertmethoden:
Nachteil: alle zu hohe Intensität, weil sie initiale Orientierung () nicht berücksichtigt; ungenau bis
auf H; Vorteil: H geht sehr rasch und gibt Ergebnisse innerhalb 10% Fehlergrenzen für regionale
Analysen.
Rf/ Methode
Voraussetzungen:
Elliptische Objekte, kein Viskositätskontrast
Beziehungen zwischen: Ri, Rs, Rf, , :
tan 2 
2 Rs ( Ri2  1)sin 2
( Ri2  1)( Rs2  1)  ( Ri2  1)( Rs2  1)cos 2
1/ 2
 tan 2  (1  Ri2 tan 2  )  Rs2 (tan 2   Ri2 ) 
Rf   2

2
2
2
2
 Rs tan  (tan   Ri )  (1  Ri tan  ) 
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Herleitung der Rf/ -Diagramme und der Kurven mit konstantem Ri und spezifischem Rs:
Mittels obiger Gleichungen sind aus unterschiedlichen Rs-Werten Kurven (Rf/ Kurven) mit
konstantem Ri und Rs und variablem  und Rf errechenbar (Fig. 2.2).
variable Ri curves
same Ri, variable -curve
Die Gleichung für diese (konstantes Ri und variables ) Kurve ist:
cos 2 
( R f  1 / R f )( Rs  1 / Rs )  2( Ri  1 / Ri )
( R f  1 / R f )( Rs  1 / Rs )
Eingeschlossen wird der Punkt Rf = Rs,  = 0, ein deformierter Kreis.
Suites of markers with identical initial orientation:
Markers sharing the same initial orientation (; Fig. 2.5) define a curve on a Rf/ diagram termed a
theta-curve (-curve). By varying the initial orientation of the whole suite, a family of -curves are
produced, which radiate from the point  = 0 and Rf = Rs.
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Combining Ri- and -curves (Fig. 6.1) for a constant strain value Rs:
For variable Rs and Ri values standard Rf/ curves can be constructed (Fig. 5.4): no -curves are
shown.
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Extreme Gestalten:
Streuung (Fluktuation) von , ist eine Funktion von Ri,  und Rs. Für Ri>Rs  = 90°; für Ri<Rs  < 90°.
Fluktuation:
𝐹 = 𝑡𝑎𝑛
−1
𝑅𝑠 (𝑅2
𝑖 −1)
2 −1)(𝑅2 −𝑅2 ) 1/2
((𝑅2
𝑅
𝑠
𝑖 𝑠
𝑖
Rfmax = RsRimax
Rfmin = der größere Wert von Rs/Rimin, Rimin/Rs
Für Ri>Rs
(RfmaxRfmin)½ = Rimax
(Rfmax/Rfmin)½ = Rs
Für Rs>Ri
(RfmaxRfmin)½ = Rs
(Rfmax/Rfmin)½ = Rimax
Schwierigkeit: Genaue Bestimmung der Werte Ri, Rfmax, etc. aus Rf/ Plots (beste
Dateneinhüllende).
Bevorzuge Auswertung zur Bestimmung des Strains:
Annahme: initial ziellose Verteilung; Voraussetzungen: symmetrisch um Vektormittel von ;
Vektormittel von  = ½arctan (Σsin2/Σcos2)
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Methode des Vergleiches mit Standardkurven (visuell): Standardkurven werden solange an die
unbekannte Verteilung angepasst bis die Ri-Kurven die Daten bestmöglich einhüllen und die Verteilung einer ziellosen Ursprungsverteilung entspricht (d.h. in jedem -Kurven Intervall sollten
gleich viel Datenpunkte liegen. Das Fitten wird mit dem Einzeichnen des Vektormittelwerts und des
Harmonischen Mittelwerts erleichtert (see Fig. below).
The best principle is to find a set of -curves for which the distribution of ’s is most uniform (Fig.
4.3).
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Methode der Anwendung eines -Verteilungstests: Zu finden ist die uniformste Verteilung der
Messwerte innerhalb der -Kurven; Vorgangsweise: mit harmonischen Mittelwert den Bereich des Rs
einschränken, indem wir suchen.
2-Test machen:
i=k
 = = Σ[(Oi-Ei)²/Ei]
2
i=1
E, erwartetes n in einer Zelleinheit (z.B. zwischen 2 -Kurven); ACHTUNG E sollte ≥ 5 sein; O,
beobachtetes n; Nullhypothese ist uniforme Verteilung: E=N/k (k.. Anzahl der Zellen).
Zellen sollten je nach Datenmenge gewählt (Fig. 4.5).
Eine signifikant gute Verteilung ist erreicht wenn der errechnete Wert unterhalb dem in der Tabelle
4.3 angegebenen liegt.

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Mehrere Versuche: niedrigster χ2-Wert gibt bestes Rs Ergebnis: in der Praxis wird Rs in 0.1 Schritten
variiert (Abb. 3.9)
bester Rs-Wert
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Ein weitere Unterstützung bietet die 50% = 45°-Kurve (Abb. 3.7):
Schichtungssymetrische Gefüge:
Häufig in Sedimenten, Vulkaniten; Voraussetzung: s0-Spur sichtbar und Winkel zwischen s0 und sf
messbar. Initiale Annahme eines symmetrischen Gefüges kann getestet werden.
𝐼𝑆𝑌𝑀 = 1 − (|𝑛𝐴 − 𝑛𝐵 | + |𝑛𝐶 − 𝑛𝐷 |)/𝑁
Mit nA-D als Anzahl der Datenpunkte in den Arealen A-D. Die einzelnen Areale werden definiert durch
den Vektormittelwert und den harmonischen Mittelwert (Fig. 4.2). Hohe Werte zeigen symmetrische
Verteilungen.
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Such distributions can be unstrained, using the symmetry around bedding (plotted as Rf=50 and  =
bedding; Fig. 4-9). Destraining takes place about a line corresponding to the extension direction, that is
e.g. the cleavage trace (cleavage is aligned with  = 0).
There are several computerized versions of Rf/ analysis.
Datenerfassung:
Objekte: alles in was man eine Ellipse einschreiben kann
Flächen: im Gelände Kluftflächen, etc. und die Markerlinie ist down-dip.
Flächen: im Labor Orientierung der Flächen für 3-D Strain am einfachsten nach Hauptstrainflächen.
Generell: je orthogonaler desto besser; 3 Flächen für beliebige Orientierung; 2 Flächen für
Hauptstrainschnitte; 3 Flächen geben internen Check (RsYZ × RsXY = RsXZ).
3-D Strain:
Messungen an 2 Hauptstrainflächen; beliebige Orientierung = 3 Flächen (= 3 2-D Resultate = Rs und
s). Problem der Fehler in 2-D Messungen: es muss eine Kompatibilität (Anpassung) hergestellt
werden. Wenige Computerprogramme.
Messungsauswahl:
Z.B. Gerölle, Minerale: nur eine lithologische Gruppe; Größengruppen, z.B. bei Drücklösung;
Viskositätskontrast: eventuell vermerken
Anzahl der Messungen:
Objektspezifisch: Gerölle >50.
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CENTER TO CENTER METHODEN
Strainbestimmung in Gesteinen wo Objekte (bzw. deren Mittelpunkte) definiert werden können, deren
Gestalt aber nicht zur Strainbestimmung herangezogen werden kann. Z.B. in Konglomeraten, die
einen deutlichen Kompetenzkontrast mit der Matrix zeigen (geben mit der Rf/ Methode nur den
Objektstrain nicht den des Gesamtgesteins) oder bei Drucklösungsdeformation.
Annahmen:
* initial ziellose Verteilung der Objektmittelpunkte;
* homogener Strain
Exkurs: initiale ziellose Verteilungen von Punkten:
* Poissonsche Verteilung (Punktgruppen [cluster] und relativ leere Räume stehen einander
gegenüber); es ist unmöglich Strain aus deformierten Poissonschen Verteilungen zu errechnen, wenn
nicht die ursprünglichen kürzesten Verbindungslinien zwischen den Punkten festgestellt werden
können.
* Statistisch uniforme Verteilungen: Punkteabstände ziemlich konstant (kein Cluster- bzw.
Anticlustering). Solche Verteilungen entstehen, weil die Objekte, die diese Verteilungen aufbauen,
eine charakteristische initiale Gestalt haben, und ihre Mittelpunktabstände durch die Art ihrer Packung
kontrolliert werden. Die Deformation einer solchen Punktverteilung führt zu einer geometrischen
Veränderung. Die Mittelpunkte zeigen größere Separation in Richtung der langen Achse des
Strainellipsoids und kürzere in Richtung der kürzeren Achse. Die Separationsdistanzen sind eine
direkte Funktion des Strains.
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Methode der nächsten Nachbarn
Basiert auf obig beschriebenen Veränderungen der Mittelpunktabstände:
* gut geeignet wo die ursprünglichen Objektabstände ziemlich uniform waren
Vorgangsweise:
* Bestimmung der Objektmittelpunkte
* Bestimmung der nächsten Nachbarn durch Zeichnen der Verbindungslinien zwischen den nächsten
Objekten (sind diejenigen, bei denen die Mittelpunktverbindungslinien kein anderes Objekt
schneiden).
* Messung der Abstände (d') zwischen den einzelnen Objekten (Länge der Verbindungslinien) und der
Winkel ', die die Verbindungslinien mit einer Referenzlinie (am besten wieder Streckungslineation
und Schieferungsspur) einschließen.
* Plotte in einem x-y Plot die Wertepaare mit d' als y-Achse und 'als x-Achse
* Finde eine "best-fit" Kurve zum entstehenden Diagramm (viele Daten sind notwendig!) und
bestimme die Maximum- und Minimumwerte der Kurve und ihre Symmetrieachsen. Am einfachsten
bestimmt man diese Kurve durch die Mittelwertsberechnung von d' in einem bestimmten '-Intervall
(z.B. 10).
* Rs = d'max/d'min; s ist der Winkel von d'max.
Siehe Fig. 7.6, 7.17, 7.18 und Abb. 3.17.
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Fry Methode (Dichteverteilungsmethode)
Zur Erläuterung: dichteste Kugelpackung; Abstand der Punkte reflektiert Kugelradius (und
Packungsart bei anderen Verteilungen); bei der dichtesten Kugelpackungen ist der kürzestmögliche
Abstand 2  der Radius, der nächstmögliche Abstand 23r, etc. Es ergibt sich ein zonierter Wechsel
der Abstände (siehe die Zonierungen in Fig. 7.10). In natürlichen Gesteinen ist diese Zonierung nicht
stark ausgeprägt, generell vom Objektdurchmesser bestimmt und wird nach außen schwächer.
Bei Deformation werden diese Zonierungen, die im undeformierten, statistisch uniform verteilten
(anticlusterten) Fall, konzentrische Kreise sind, entsprechend dem Strainellipsoid verändert, d.h. zu
Ellipsen.
Vorgangsweise: (graphische Methode)
* Markiere und nummeriere auf Transparent alle Objektmittelpunkte;
* Markiere auf einem weiteren Transparent einen zentralen Referenzpunkt und ein fixes
Koordinatensystem entlang dem das Transparent gegenüber dem unteren gleichbleibend verschoben
werden kann;
* Platziere den Referenzpunkt über einen Objektmittelpunkt des unteren Transparentes und markiere
alle Punkte des unteren Transparentes (behalte die Orientierung aufrecht);
* Bewege das obere Transparent im Referenzgerüst und markiere alle Punkte bis alle unteren Punkte
einmal als Referenzpunkte gedient haben (oder bis was rauskommt) (es empfiehlt sich das
Referenzgerüst wieder parallel der Streckungslineation bzw. der Schieferungsspur zu legen);
* Bei Erfüllung der Annahme (initial statistisch uniforme Verteilung mit Anticlustering) ergibt sich
eine Zonierung deren Form und Orientierung Rs und  entspricht. Die unterste Zonierung, die einen
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punktleeren bzw. unterbesetzten Raum umschließt, resultiert aus der Tatsache, dass sich zwei Objekte
nicht näher als 2  ihr Radius kommen können. Um dieses Feld zeigt sich eine erhöhte Punktdichte:
diese spiegelt den häufigsten Packungsdichteabstand wider. Diese Zonierung wird unscharf, wenn
eine große Größenvariation der Objekte vorliegt.
Wichtiger Unterschied zur Rf/ Methode: nicht gestaltabhängig und Duktilitätskontrast geht nicht in
Analyse. Nachteil: nur mittel Computerprogrammen durchführbar, sonst macht die graphische
Methode verrückt.
Erweiterte Fry-Methode:
Eine Verbesserung kann die Beschränkung auf Kornzentren sich berührender oder wenigstens
nahezu berührender Nachbarn und vor allem auf einen bestimmten Kornumfang bringen. Durch die
Korngrößenbeschränkung wird der punktfreie Raum klarer.
Die "normalisierte" Fry-Methode:
Mit der Normalisierung des Zentrumabstandes auf den Radius wird versucht die dreidimensionale
Form der Objekte und vor allem ihre Größe zu berücksichtigen. Bei Objekten mit annähernd
kugeliger Form kann man den Abstand zwischen zwei Objektzentren in einer Ebene nach der
Formel:
auf die Größe der Objekte beziehen. Dabei ist Dn der normalisierte Abstand, der sich aus dem
Abstand zwischen zwei Objektzentren (D) und den Radien der zwei Objekte (ra und rb) errechnet. Je
näher zwei solche kugelförmigen Objekte beieinander liegen, desto mehr nähern sich die Summe
der Radien und der Objektabstand einander an. Folglich wird der normalisierte Abstand immer
kleiner und nähert sich 1 an. Durch diese Berechnung wird die Anwendung der Methode von
Korngrößenvariationen weitgehend unabhängig und es können auch schlecht sortierte Kornaggregate untersucht werden.
Bei elliptischen Objekten wird die Formel verwendet.
Dabei sind Xa und Xb die längsten und Ya und Yb die kürzesten Achsen der Ellipsen. Das Resultat
ist ähnlich wie bei der Anwendung der einfachen Fry-Methode; die 2-D Strainellipse wird jedoch
klarer durch das Punktmuster nachgezeichnet.
Verschiede analytische Methode können verwendet werden, um die bestmögliche Ellipse zu fitten
(verschiedene Programme).
Erweiterte normalisierte Fry-Merhode:
Hier werden alle Punkte eliminiert, die in einem Abstand zum punktarmen Raum liegen, der größer
ist, als ein vorher festgelegter Wert (meist 1.05 oder 1.1 des normierten Durchmessers Dn). Kleinere
Werte als 0.9-0.95 werden ebenfalls eliminiert.
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Einen Vergleich der Fry-Varianten gibt Abb. 3.19:
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Die Projektionsmethode
Umrißlinien von Körnern oder Partikeln in einem Gestein können näherungsweise als geschlossene
Polygonzüge mit einer variablen Anzahl gerader Linien dargestellt werden. Bei der
Projektionsmethode wird die Länge der Projektion (P) einer Teillinie auf die x-Achse eines
Koordinatensystems, das in einem bestimmten Winkel (α) zur Referenzachse einer Probe (bzw. in
Abb. 3.20 zur Längsachse der Ellipse) steht.
Der Strainwert wird berechnet aus:
𝑅=
𝑎 𝐴(𝛼)𝑚𝑎𝑥 𝐵(𝛼)𝑚𝑎𝑥
=
=
𝑏 𝐴(𝛼)𝑚𝑖𝑛
𝐵(𝛼)𝑚𝑖𝑛
Bei der Berechnung eines Datensatzes nach der Projektionsmethode werden die Teillinien sämtlicher
Kornumrisse, die digitalisiert wurden, auf ein Koordinatensystem x-y projiziert, das in festgelegten
Winkelintervallen um die Linien rotiert wird (Abb. 3.21).
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Die projizierten Längen werden für jede Stellung des Koordinatensystems separat addiert und in
einem Diagramm Rotationswinkel des Koordinatensystems gegen Gesamtprojektionslänge
aufgetragen (Abb. 3.22). Die für verschiedene Stellungen des Koordinatensystems ermittelten Werte
ergeben bei einer Vorzugsorientierung eine sinusförmige Kurve, deren Amplitude die Elliptizität und
deren Maximum die Orientierung der Hauptachse der Verformungsellipse repräsentiert.
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Elongationsmessungen
Ausgeführt an rigiden länglichen Objekten (Abb. 3.26).
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