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Arbeitsauftrag 9: In der Weihnachtsbäckerei
Hinweis: Bei dieser Aufgabe würde man im Unterrichtseinsatz die Beispiele 1) – 4) vermutlich nicht
gleichzeitig ausgeben, da die folgende Aufgabe jeweils Hinweise zur Bearbeitung der vorangehenden
enthalten kann.
Eine Lebensmittelfirma stellt drei Sorten (A,B,C) von Weihnachtsgebäck her, für deren Herstellung
fünf streng geheime Zutaten in verschiedener Zusammensetzung verwendet werden.
Für die Herstellung einer Packung (125 g) Weihnachtsgebäck der drei Sorten werden die Zutaten in
folgenden Mengen benötigt:
Zutat 1 Zutat 2 Zutat 3 Zutat 4 Zutat 5
Sorte A
100
10
0
5
10
Sorte B
90
20
10
0
5
Sorte C
80
30
5
5
5
Tabelle 1
Im letzten Jahr waren die Zutaten (in kg) zu folgenden Einkaufspreisen zu erhalten:
Zutat
Zutat 1
Zutat 2
Zutat 3
Zutat 4
Zutat 5
Preis (€)
1
1,5
20
30
40
Tabelle 2
Für die weitere Verarbeitung fallen zudem pro produzierter Packung Kosten in Höhe von 50 Cent
an. Das Unternehmen hat alle Sorten im letzten Jahr zum Preis von 1,99 € pro Packung verkauft. Im
letzten Jahr wurden folgende Mengen umgesetzt:
Sorte
A
B
C
Menge (in ME ≙ 1000 Packungen) 400 250 300
Tabelle 3
Hinweis: Wenn im Folgenden das Aufstellen von Gleichungen oder Vektorgleichungen gefragt ist, so
sind diese Gleichungen zunächst allgemein (mit Variablen, nicht mit konkreten Zahlen oder Vektoren)
aufzustellen.
Aufgaben
1)
Mit der Gleichung: 𝑘𝐴 = 𝑎1 ∙ 𝑧1 + 𝑎2 ∙ 𝑧2 + 𝑎3 ∙ 𝑧3 + 𝑎4 ∙ 𝑧4 + 𝑎5 ∙ 𝑧5 kann man die Materialstückkosten für die Produktion einer Mengeneinheit (ME ≙ 1000 Packungen) der Sorte A berechnen. Dabei stehen z1,…, z5 für die entsprechenden Mengen der für 1 ME Gebäck der Sorte A
benötigten Zutaten 1, …, 5.
a) Wofür stehen in dieser Gleichung a1, …, a5 ?
b) Schreibe entsprechende Gleichungen für die Sorten B und C auf.
c) Berechne die Materialstückkosten kA, kB und kC mit Hilfe dieser Formeln.
2)
Wenn man aus den Zeilen der Tabelle 1 jeweils einen Vektor ⃑⃑⃑
𝑧𝐴 , ⃑⃑⃑⃑
𝑧𝐵 , 𝑧⃑⃑⃑⃑𝐶 und aus der Tabelle 2
einen Spaltenvektor 𝑝 bildet, so kann man die Materialstückkosten kA, kB und kC auch als Vektorgleichungen darstellen.
a) Finde die Vektorgleichungen für die Materialstückkosten.
b) Man kann die Gleichungen aus a) so erweitern, dass man mit Ihrer Hilfe die gesamten Materialkosten für die Produktion von xA, xB bzw. xC ME der Sorten A,B bzw. C berechnen
kann. Stelle die entsprechenden Vektorgleichungen auf.
c) Berechne mit der Gleichung aus b) die gesamten Materialkosten für die in Tabelle 3 gegebenen Produktionsmengen des Vorjahres.
3)
Man kann die Gleichungen aus 1) und 2) noch ein wenig kompakter darstellen, wenn man alle
Zeilen und Spalten in einer Matrix Z zusammenfasst.
a) Weise durch einsetzen und ausrechnen nach, dass sich mit
𝑥𝐴
𝐾 = (𝑍 ⋅ 𝑝) ⋅ (𝑥𝐵 )
𝑥𝐶
die gesamten Materialkosten bestimmen lassen (die Lösung müsste mit Deiner Lösung
aus 2c) übereinstimmen).
b) Wie muss man die Gleichung aus a) erweitern, wenn man auch die weiteren Verarbeitungskosten von 0,5 € pro produzierter Packung berücksichtigen möchte?
4)
Ein vom Unternehmen beauftragtes Marktforschungsinstitut findet heraus, dass 25% der
Käufer der Sorte A auf Sorte B umsteigen würden, wenn deren Preis auf 1,89 Euro abgesenkt
würde (bei ansonsten unveränderten Preisen und unveränderter Nachfragesituation).
Würdest Du dem Unternehmen die Preissenkung empfehlen? Lege eine geeignete Kalkulation
zur Stützung Deiner Argumentation vor.