lineare Optimierung (2)

Beispiele zur linearen Optimierung 2 (Überprüfe alle graphischen Ergebnisse durch Rechnung!)
1 Der Besitzer eines Sportgeschäftes kauft zwei Sorten von Fahrrädern, nämlich Mountain- und
Citybikes ein. Insgesamt möchte er mindestens 32, aber höchstens 64 Fahrräder anschaffen, wobei die
Anzahl an Mountainbikes 40 nicht überschreiten soll und die Anzahl an Citybikes nicht größer als 48 sein
soll. Für den gesamten Einkauf möchte er höchstens € 24000 ausgeben, das Gesamtgewicht soll 672 kg
nicht überschreiten, da er dann in den Genuss besonders günstiger Lieferkonditionen kommt. Ein
Mountainbike wiegt 8 kg und kostet im Einkauf € 500, ein Citybike wiegt 12 kg und kostet im Einkauf €
250. Der Gewinn beim Verkauf eines Mountainbikes beträgt 30% des Einkaufspreises, beim Citybike
sind dies 40%. Wie viele Mountain- und wie viele Citybikes muss der Händler einkaufen, um möglichst
großen Gewinn zu erzielen, und wie hoch ist dieser maximale Gewinn? Inwiefern ändern sich die
Ergebnisse wenn er sich dazu entschließt die Gesamtanzahl an Fahrrädern nicht einzuschränken?
[Lösung:
32 MB; 32 CB; G=8000€
bzw.
30 MB; 36 CB; G=8100€ ]
2 Eine Legierung soll mindestens 31,5 kg Kupfer und mindestens 33 kg Zink, jedoch höchstens 34 kg
Nickel enthalten. Es stehen zwei verschiedene Sorten von Ausgangsmaterial zur Verfügung:
Sorte A:
15 % Cu
30 % Zn
20 % Ni
Preis: 4 €/kg
Sorte B :
45 % Cu
15 % Zn
20 % Ni
Preis: 6 €/kg
Ermittle, wie viel Kilogramm der Sorte A und wie viel Kilogramm der Sorte B verwendet werden müssen,
damit die gestellten Bedingungen zu einem möglichst niedrigen Preis erfüllbar sind.
[Lösung:
90kg von A und 40kg von B kosten 600€]
3 Ein Elektrogroßhändler bestellt zwei Sorten von Fernsehgeräten. Vom älteren Modell A möchte er
maximal 84 Stück ordern, vom Modell B, einem Breitbildfernseher, maximal 48 Stück. Insgesamt soll die
Lieferung nicht mehr als 100 Stück umfassen. Ein Modell A kostet im Einkauf 180 €, ein Modell B 540 €;
die gesamte Lieferung soll nicht mehr als 32 400 € kosten. Der Händler hat nur 57 m2 Lagerfläche zur
Verfügung, wobei ein Gerät des älteren Modells 0,5 m2 und ein Breitbildfernseher 0,75 m2 Lagerfläche in
Anspruch nimmt. Der Gewinn beim Verkauf eines Geräts der Sorte A beträgt 230 €, bei einem
Breitbildfernseher B sind dies 460 €. Wie viele Geräte der Sorten A und B muss der Händler bestellen,
damit der Gewinn maximal wird, und wie hoch ist der maximale Gewinn? Inwiefern ändern sich die
Ergebnisse, wenn dem Händler unbegrenzte Lagermöglichkeiten zur Verfügung stehen?
[Lösung:
48 St. A und 44 St. B; 31280 €
bzw.
60 St. A und 40 St. B; 32200 € ]
4 Eine Gärtnerei soll in einem Glashaus insgesamt 250 Kakteen unterbringen. Die Kosten für die
Anzucht betragen 0,2 €, 0,6 € bzw. 1 € je Kaktus für die drei verschiedenen Sorten A, B und C. Ein
Kaktus A wird um 0,6 €, einer der Sorte B um 1,8 € und einer der Sorte C um 2,6 € verkauft. Aus
Absatzgründen soll die Anzahl der Kakteen der Sorte B nicht größer als 200 und die der Sorte C nicht
größer als 100 sein. Wie viele Kakteen jeder Sorte soll man züchten, damit der Gewinn möglichst groß
wird?
[Lösung:
0 St. von A, 150 St. von B, 100 St. von C, 340 € Gewinn]
5 In zwei Lagern A und B befinden sich 800 bzw. 1200 Liter Preis in Cent
pro Liter
nach K
nach L
nach M
Schnaps. Dieser soll zu drei Händlern K, L und M geliefert
von A
12
30
18
werden, die insgesamt 1000, 400 bzw. 600 Liter benötigen.
Der
von B
30
36
27
nebenstehenden Tabelle sind die Transportkosten pro Liter zu
entnehmen.
Wie ist der Transport zu organisieren, damit die Gesamtkosten möglichst gering sind? Wie hoch sind
diese minimalen Kosten und was macht ein vernünftiger Händler mit mehreren hundert Liter Schnaps?
[Lösung:
800 l von A nach K, 200 l von B nach K, 400 von B nach L, 600 von B nach M, Rest 0, 462 € Kosten ]
6 Für ein Medikament stehen zwei verschiedene Packungsgrößen zur Verfügung. Die Packung A hat
400 g Masse, ein Volumen von 200 cm³ und enthält 2000 Einheiten des wirksamen Stoffes. Die Packung
B hat 200 g Masse, ein Volumen von 200 cm³ und enthält 1600 Einheiten des wirksamen Stoffes. Das
Medikament soll in Paketen verschickt werden, die netto höchstens 20 kg wiegen und höchstens ein
Volumen von 16 dm³ haben. Wie viele Packungen jeder Art packt man in ein Paket, damit es möglichst
viele Einheiten des wirksamen Stoffes enthält?
[Lösung:
20 Pkg. A und 60 Pkg. B enthalten 136000 Einheiten ]
7 Ein Betrieb erzeugt mit Hilfe von 4 Maschinen M1, M2,
M3 und M4 die beiden Produkte P1 und P2. Die Tabelle
gibt die Bearbeitungszeiten je ME von P1 und P2, die
Kapazitäten der Maschinen in einem bestimmten
Produktionszeitraum sowie die Verkaufspreise und die
Erzeugungskosten je ME an. Welche Menge ist von
jedem Produkt P1 und P2 zu erzeugen, damit der
Gewinn maximal wird?
[Lösung:
M1
M2
M3
M4
Verkaufspreis
Produktionskosten
P1
3
5
1
1
57
45
P2
2
6
2
0
66
48
Kapazität
3000
6000
1600
900
600 ME von P1 und 500 ME von P2 bringen 16200 GE Gewinn. ]
8 Im Zuge einer Diät möchte Frau Maier täglich höchstens 100 g Fett, höchstens 210 g Kohlehydrate,
mindestens 120 g Eiweiß und mindestens 90 g Ballaststoffe zu sich nehmen. Es stehen zwei
Fertignahrungen A und B mit den in der Tabelle gegebenen Nährstoffanteilen und Preisen zur
Verfügung. In welchem Verhältnis soll Frau Maier die beiden Fertignahrungen mischen, um die Kosten
möglichst gering zu halten, und wie hoch sind diese Kosten pro Tag?
Fertignahrung
A
B
[Lösung:
Fett (%)
10
20
Kohlehydrate (%)
30
30
Eiweiß (%)
30
15
Ballaststoffe (%)
10
30
Preis (€/kg)
12
4
200 g von A und 400 g von B kosten 4 €. ]
9 Eine Legierung soll mindestens 40 kg Kupfer, mindestens 50 kg Zink und höchstens 40 kg Nickel
enthalten. Es stehen zwei Sorten von Material zur Verfügung, deren Anteile an Metallen in der folgenden
Tabelle zu entnehmen sind. Ermittle, wie viel kg der Sorten A und B verwendet werden müssen, damit
die gestellten Bedingungen zu einem möglichst niedrigen Preis erfüllt sind.
[Lösung:
Mischung
Cu (%)
Zn (%)
A
20
40
B
50
20
106,25 kg von A und 37,5 kg von B kosten 650 €. ]
Ni (%)
25
20
Preis (€/kg)
4
6
10 Ein Unternehmer produziert zwei elektrische Geräte A und B. Insgesamt können in einem bestimmten Produktionszeitraum maximal 1000 Geräte hergestellt werden. Die Anzahl der Geräte A soll mindestens gleich groß wie die Anzahl der Geräte B sein. Die Anzahl der Geräte A darf 800 Stück, die Anzahl von B 400 Stück nicht übersteigen. Die elektrische Installation kann für höchstens 900 Geräte des
Typs A oder für 600 Geräte des Typs B oder für eine entsprechende Kombination der beiden Typen fertig gestellt werden. Der Gewinn beim Gerät A beträgt 75 €, beim Gerät B 100 €. Wie viel Stück jeden
Typs müssen produziert werden, um den Gewinn zu maximieren?
[Lösung:
798 St. von A; 68 St. von B; 66650 € Gewinn]
11 Für die Erzeugung von zwei Artikeln A und B muss je Stück eine Stunde bzw. zwei Stunden an
Arbeitszeit an einer Maschine aufgewendet werden, die höchstens 24 Stunden zur Verfügung steht. An
elektrischer Energie benötigt man für ein Stück A 3 kWh, für ein Stück B 2 kWh. Insgesamt können
maximal 42 kWh elektrische Energie und 44 m³ Erdgas verbraucht werden. Für ein Stück A benötigt
man 1 m³, für ein Stück B 4 m³ Erdgas. An verschiedenen Rohstoffen werden für ein Stück A 500 kg, für
ein Stück B 600 kg benötigt. 8400 kg stehen zur Verfügung. Vom Artikel A werden maximal 12 Stück
produziert. Mit einem Stück des Artikels A verdient die Produktionsfirma 2 GE, pro Stück von B 3 GE.
Wie viele Stück jedes Artikels müssen produziert werden, damit der Gewinn maximal wird?
[Lösung:
6 St. von A und 9 St. von B; 39 € Gewinn]
12 Zur Erhaltung seiner Gesundheit benötigt der Mensch wöchentlich (unter anderem) mindestens 200
mg Vitamin B, 720 mg Vitamin C und 60 mg Vitamin H. Eine Apotheke bietet die folgenden zwei Sorten
von Mischungen an:
Mischung
A
B
Vitamin B [mg]
20
20
Vitamin C [mg]
180
60
Vitamin H [mg]
5
15
Preis [€/Pkg.]
0,5
1
Wie viele Packungen jeder Mischung soll man kaufen, um den Mindestbedarf mit möglichst geringen
Kosten zu decken?
[Lösung:
9 Pkg. von A und 1 Pkg. von B kosten 5,5 €]