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Prof. Dr. Raymond Hemmecke
Dipl.-Wirt.-Math. Silvia Lindner
Fallstudien der mathematischen Modellbildung
Wintersemester 2011/12 - Teil 2
Tutorübung 1
Aufgaben:
1.1) Lineare Probleme
a) Ein Bauer will fünf Sorten Dünger kaufen. Von den fünf Sorten benötigt er 185, 50,
50, 200 bzw. 185 Tonnen. Der Dünger kann bei vier Händlern beschafft werden, die
insgesamt 350, 225, 195, bzw. 275 Tonnen Dünger anliefern können. Die Preise pro
Tonne der einzelnen Sorten bei den Händlern sind in der folgenden Tabelle angegeben.
Händler
1
2
3
4
Sorte 1
45,0
42,5
47,5
41,3
Preis pro Tonne
Sorte 2 Sorte 3 Sorte 4
13,9
29,9
31,9
17,8
31,0
35,0
19,9
24,0
32,5
12,5
31,2
29,8
Sorte 5
9,9
12,3
12,4
11,0
Formulieren Sie das Problem, den Dünger möglichst günstig einzukaufen, als lineares
Programm (LP).
b) Ein Düngemittelhersteller baut drei Rohstoffe 1,2 und 3 ab, aus denen er zwei Sorten
Dünger produziert: der eine Dünger hat einen hohen Phosphatanteil (H), der andere
einen niedrigen (L). Die nachfolgende Tabelle gibt einen Überblick über die zur Produktion einer Einheit von H und L benötigten Mengen an Rohstoffen, die pro Monat
verfügbaren Mengen an den drei Rohstoffen und den Gewinn, der durch den Verkauf
einer Einheit von Dünger H und L erzielt wird.
Rohstoffbedarf/t
Dünger
Rohstoff H
L
1
2
1
2
1
1
3
1
0
Gewinn/t 15
10
maximal verfügbare
Menge Rohstoff
t/Monat
1500
1200
500
max
Formulieren Sie das Problem des Düngemittelherstellers, den Gewinn aus der Düngerproduktion zu maximieren, als LP.
-1-
-2-
1.2) Graphische Probleme
a) Wir möchten eine Rundreise für einen Urlaub in Schottland planen. Die zu besuchenden Sehenswürdigkeiten sind 6 Classic Malt Whisky Destillerien: T (Talisker), GM
(Gragganmore), D (Dalwhinnie), GK (Glenkinchie), O (Oban) and L (Lagavullin). Da
Schottland gerade für eine Autorundreise unwegsam ist, entstehen oftmals weitere Entfernungen zwischen den einzelnen Destillerien als zu vermuten ist. Die entsprechenden
Entfernungen in km können der folgenden Tabelle entnommen werden.
T GM
T
- 253,6
GM
D
GK
O
L
D
GK
O
L
214,6 405,9 243,1 388,1
89,6 277,9 214,5 359,3
191,8 143,8 288,7
221,4 322,6
145,0
-
Formulieren Sie das Problem eine minimale Rundreise bezüglich der zurückgelegten
km zu finden als Travelling Salesman problem.
b) Sei G = (V, A) ein gerichteter Graph mit n Knoten und sei b : A → N eine Kapazitätsfunktion auf den Bögen von G. Sei K ∈ N die Anzahl von Gütern und sei für
jedes Gut k die Quelle sk ∈ V , das Ziel tk ∈ V , dk ∈ N die Nachfrage und ck : A → N
die Kostenfunktion bezüglich des Graphen G. Formulieren Sie das Problem K Flüsse
f 1 , . . . , f K in diesen Graphen G zu finden, wobei
• jeder Fluss f k ein sk , tk -Fluss mit Wert dk ist,
• die kombinierten Flüsse für jeden Bogen (i, j) ∈ A beschränkt durch bij sind und
• die Gesamtkosten minimal sind
als Multicommodity Flow problem (MCF).
Die Aufgaben werden in den Tutorübungen am 23./24. November 2011
besprochen.
Homepage: http://www-m2.ma.tum.de/bin/view/Allgemeines/Fallstudien201112WS
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