Übungen zu MAPLE (W. Büttner)

Übungen zu MAPLE (W. Büttner)
39) Berechnen Sie zu Aufgabe 22 (aus Übung V5)
die Elemente a3 , ..., a20 der Folge a n 
als Dezimalbrüche mit einer for-Schleife. Der Befehl rsolve soll nicht
verwendet werden !
Hinweis: Definieren Sie innerhalb der for-Schleife die Elemente a n als
indizierte Größen a[n]:= ….
40) Definieren Sie die Funktion aus Aufgabe 5 (aus Übung V1) mit Hilfe einer
Prozedur, die if- und elif-Anweisungen enthält. Stellen Sie dann die
Funktion im Intervall  5  x  5 grafisch dar !
41) Schreiben Sie eine Prozedur Pos, die berechnet, an welcher Position i ein
Ausdruck x in einer Liste L (mit beliebiger Anzahl von Elementen) zum
ersten Mal auftritt (Eingabeparameter: x und L).
Die Prozedur soll die Position i zurückgeben bzw. den Text ‚x ist nicht in
der Liste’. Testen Sie ihr Programm mit der Liste 0, a, u, a, 0, 1, 0 .
42) Schreiben Sie eine Prozedur F mit Eingabeparameter n (  0 , ganzzahlig),
welche F(n) folgendermaßen berechnet:
F(0) = 0
F(1) = 1
F(n) = F(n-1) + F(n-2)
für n  2 .
Testen Sie Ihre Prozedur mit der Folge F(0), F(1), …, F(10).
43) Aus einer Liste L mit n Elementen x1, y1 , x2 , y 2 , ..... soll eine Liste von
Listen der Form  [ x1, y1 ], [ x2 , y2 ], ....., [ xn , yn ]  gebildet werden. Das
kann jedoch nur funktionieren, wenn n eine gerade Zahl ist.
Schreiben Sie die zugehörige Prozedur pairup mit Eingabe-Parameter L.
Falls n ungerade ist, soll die Prozedur mit dem Text ‚Die Zahl der
Listenelemente ist ungerade’ verlassen werden.
44) Eingabeparameter einer Prozedur Newton seien
ein Ausdruck f (für eine Funktion der Variablen x), sowie
die reellen Endpunkte x1 und x2 eines Intervalls (mit x1  x2 ).
Die Prozedur soll eine Nullstelle der Funktion f im Intervall x1  x  x2
nach dem Newton-Verfahren finden. Dieses benützt die Iterationsgleichung
xneu  xalt 
f ( xalt )
f ' ( xalt )
(*)
.
Vor der ersten Verwendung von (*) soll gelten: xalt  x1 und xneu 
x1  x2
2 .
Danach soll (*) so lange durchlaufen werden, wie gilt:
xalt  xneu  106
.
Ausgabewert der Prozedur sei der zuletzt berechnete Wert xneu .
Testen Sie Ihre Prozedur mit f  ( x  2) 2  3 und x1  1, x2  2.
Zusatzaufgabe für die besonders schnellen Studenten/innen:
Z13) Gegeben sei eine T-periodische Funktion f(t), d.h. es gelte
f (t  T )  f (t ) für alle t.
2
bezeichnet man die zugehörige ‘Grundkreisfrequenz’.
T
f(t) kann durch eine sog. ‚Fouriersche Summe’ S N approximiert werden:
Mit 0 
a0 N
SN 
  ak cos(k 0 t )  bk sin( k 0 t )
2 k 1
a
S N ist eine Überlagerung des Mittelwerts f  0 von f(t) mit
2
harmonischen Schwingungen […….] der Kreisfrequenzen
0 , 2 0 , ....., n 0 . Die Approximation ist umso genauer, je größer die
natürliche Zahl N gewählt wird.
Die sog. ‚Fourierkoeffizienten‘ a0 , a1 , .....b1 , b2 ,.... berechnet man mit
2
 f (t ) dt
T P
2
ak   f (t ) cos(k 0 t ) dt
T P
a0 
(k  1, 2, ....., N )
bk 
2
 f (t ) sin( k 0 t ) dt
T P
(k  1, 2, ....., N )
In obigen Integralen erfolgt die Integration jeweils über eine Periode P von
f(t), also über ein Intervall der Länge T, z.B. über 0  t  T .
Schreiben Sie eine Prozedur mit den Eingabeparametern T, N, f(t)
(Typenkontrolle !), welche
die Fourierkoeffizienten a0 , ak , bk , (k  1, 2, ....., N ) berechnet
und als Ergebnis die Fouriersche Summe S N zurückgibt.
Testen Sie Ihre Prozedur für T = 10 mit
T

sin(

t
)
fuer
0

t

0

2
f (t )  
T
 0
fuer
t T

2
Stellen Sie f(t) und S N (t ) im Intervall 0  t  T gemeinsam in den Farben
rot und blau grafisch dar, und zwar
a) f (t ) und S 3 (t )
b) f (t ) und S 6 (t ).