Signale & Systeme Dozent: Lutz Gröll Benötigt: excel, scilab/matlab

Signale & Systeme
Dozent:
Lutz Gröll
Benötigt:
excel, scilab/matlab
Definition System
…
Im System Zustände
Zustände
𝑥 ∈ ℝ𝑛
Eingänge
𝑢 ∈ ℝ𝑚
Ausgänge
𝑦 ∈ ℝ𝑝
Störungen
𝑧 ∈ ℝ𝑞
BSP: Füllstände, Temperaturen, Spannungen auf Kondensator
q°zu
h
A3
q°ab
phys. Mo.
𝐴3 ×
h(0) = h0 <- Anfangswert
𝑥° = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑛
𝑦 = 𝐶𝑥 + 𝐷𝑛
Lineares Modell
LTI-System
Zustände 1
Eingänge 2
Ausgänge 1
X=h
𝑢1 = 𝑞°𝑧𝑢
𝑢2 = 𝑞°𝑎𝑏
𝑦=𝑥
𝑛1
1
1
𝑥° = 0 × 𝑥 + (𝐴 ; − 𝐴 ) (𝑛 )
2
3
3
A
B
𝑛1
𝑦 = 1 × 𝑥 + (0; 0) (𝑛 )
2
C
A – Systemmatrix
B – Eingangsmatrix
C – Ausgangsmatrix
D – Durchgriffmatrix
D
𝑑
× ℎ = 𝑞°𝑧𝑢 − 𝑞°𝑎𝑏
𝑑𝑡
Signaleigenschaften und -klassifizierung
Zeitkontinuierliches Signal, wenn 𝑇 = ℝ
Zeitdiskretes Signal, wenn 𝑇 = ℤ
Wertkontinuierliches Signal, wenn f stückweise stetig
Wertdiskretes (quantisiertes) Signal, wenn W diskrete Menge
Analogsignal, wenn zeit- und wertkontinuierlich
Digitalsignal, wenn zeit- und wertdiskret
Sonnenuhr zeit-,wertkontinuierlich
Zusammenfassung siehe folie
Systemeigenschaften, -klassifizierung
System: geht was rein, kommt was raus, in der Mitte wird was gemacht
Aus Variablen (x, y, z, u) und Parametern (A,B,C,D)
Klausurrelevant
Schritte zum Modell
1. Detaillierungsgrad festlegen
2. Festlegen der Ein-, Ausgangs-, Zustands-, Störgrößen
3. Physikalische Gleichungen (statische Beziehungen(Kopplungen, Bernullie Gesetz,
Bremslastverteilung), Dgl.)
4. Arbeits- und Bezugspunkte festlegen (z.B. Raumtemperatur etc.)
5. Skalierung, Normierung (Werte in Verhältnisse, Prozente, wie gewünscht)
6. Umcodierung in Systemvariablen (x, y, z, u)
7. Eventuell Linearisieren
anhand Beispiels erklären
Definitionen:
Signal:
Funktion über der Zeit die, in einer Amplitude oder über die Frequenz, eine Information trägt
System:
von der Umwelt abgegrenztes Gebilde, in das Signale rein-, rausgehen und das durch
Zustände gekennzeichnet ist
Systemtheorie notwendig für:
- universelles Werkzeug zur Simulierung, Modellierung verschiedener Fachrichtungen
- für neue, schwer möglich zu testende Systeme
z.B. Blutkreislauf des Menschen
- Zuordnung von unterschiedlichen Modellen in Klassen
Wertkontinuierlich:
- kann jeden beliebigen wert annehmen
Wertdiskret:
- bestimmte Anzahl von werten
ϕ:
Abbildung die von Eingang zu Ausgang überträgt
Funktion:
Abbildung, die Wert nimmt und Wert zurückgibt
Funktional:
Abbildung einer Funktion auf Werte
Operator:
Abbildung Funktion auf Funktion
1. System:
LTI-System:
linear time-invariant
Standardform: 𝑥̇ = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑢
A – Matrix, Größe wie die Anzahl der Zustände (n x n)
2. System:
LTV-System:
linear time-variable
Unterschied zwischen zeitvariant und zeitinvariant:
zeitvariant:
zeitabhängiger Parameter
zeitinvariant: Parameter konstant, unabhängig von Zeit
Zustand:
interne Prozessgröße, die in aller Regel als Speichergröße fungiert
z.B.: Temperatur, Kontostand
Bezeichner: x
Zustandsraumdarstellung:
endlichdimensional: Zustandsvektor endlich
unendlichdimensional: unendlich viele Zustände
kausal:
nichtkausal:
alle technischen Systeme
erst tritt Ursache ein, dann Wirkung
System erst fragen, dann kommt Antwort
Bsp.: y(t)=u(t-T)
-> Förderband
y(t+T)=u(t)
=>
y(t’)=u(t’-T)
Informatik:
Daten aus Vergangenheit werden zum Nullpunkt
Werte aus der Zukunft benötigt
Bsp.: y(t)=u(t+T)
nicht-minimal-phasen-System
Systeme die nicht in die richtige Richtung antworten und später in die richtige Richtung
umschwenken
statisch:
dynamisch:
direkter Zusammenhang
können keine Ableitungen vorhanden sein
SISO single-input-single-output
MIMO multiple-input-multiple-output
MISO multiple-input-single-output
SIMO single-input-multiple-output
Mehrgrößensysteme: MIMO, MISO, SIMO
Eingrößensystem:
SISO
autonomes System:
Parameter fest
ohne Eingänge
ohne Zeitvarianz
Bsp. Festgeldkonto
DFT: Diskrete Fourier Transformation
Mittelwertfunktion als System:
Eingang: x
Ausgang: y
Übertragungs-Operator-Modell:
1
𝑥̅ = 𝑘 ∑𝑘𝑖=1 𝑥𝑖
1
𝑦[𝑘] = 𝑘 ∑𝑘𝑖=1 𝑢[𝑖]
umschreiben:
1
∑𝑘𝑖=1 𝑢[𝑖]
𝑦[𝑘 + 1] =
𝑘+1
1
(𝑘𝑦[𝑘] +
𝑘+1
=
𝑢[𝑘 + 1])
Differenzengleichung
𝑘
1
𝑦[𝑘 + 1] = 𝑘+1 𝑦[𝑘] + 𝑘+1 𝑢[𝑘 + 1]
𝑦[𝑘] =
𝑘−1
𝑦[𝑘
𝑘
1
− 1] + 𝑘 𝑢[𝑘]
𝑎[𝑘]
𝑏[𝑘]
Praxis: 𝑦[𝑘] = 𝑎𝑦[𝑘 − 1] + (1 − 𝑎)𝑢[𝑘]
𝑎 ≈ 0,9 … 0,99
Mittlung mit exponentiellem Vergessen
Klausurrelevant
Lineare Systeme
Eigenschaften
- Zerlegungsgesetz
Eigenvorgang 𝜓(𝑡, 𝑡0 , 𝑥0 , 𝑢[𝑡0 ,𝑡) ) = 𝜓(𝑡, 𝑡0 , 𝑥0 , 0[𝑡0 ,𝑡) ) + 𝜓(𝑡, 𝑡0 , 0𝑛 , 𝑢[𝑡0 ,𝑡) )
Eigenvorgang: Vorgang die ein Prozess durchläuft bei dem der Eingang 0 ist
z.B. Abkühlvorgang
- Superpositionsgesetz für erzwungene Vorgänge (aus der Ruhelage)
Addition der Eingänge, zieht eine Addition der Ausgänge nach sich
∗
∗∗
∗
∗∗
𝜓 (𝑡, 𝑡0 , 0𝑛 , 𝑘1 𝑢[𝑡
+ 𝑘2 𝑢[𝑡
) = 𝑘1 𝜓 (𝑡, 𝑡0 , 0𝑛 , 𝑢[𝑡
) + 𝑘2 𝜓 (𝑡, 𝑡0 , 0𝑛 , 𝑢[𝑡
)
0,𝑡 )
0,𝑡 )
0,𝑡 )
0,𝑡 )
- Superpositionsgesetz für Eigenvorgänge (für das freie System)
Addition der Zustände, zieht eine Addition der Ausgänge nach sich
x(t0) und u sind nur durch + verbunden, also nicht gekoppelt
Integrierer ist lineares System
statisches System
Bsp.: Wippe, eins geht och das andre runter
Bremspedalwinkel und Bremskraft
Zustandsgrößen treten immer nur in erster Ordnung auf, als Vektor
Newton:
m`x´=F
|
m`y´=u
Ein-Ausgangsdarstellung
Eingang: F
y = x1 = x
Zustandsgröße 1 Lage
x2 = x°
Zustandsgröße 2 Geschwindigkeit -> Zustandsvektor
x1° = x2
x2° = `x´ = F/m = 1/m *u
(x1°) = (0 1)(x1) + ( 0 ) * u
(x2°) (0 0)(x2) (1/m)
Zustandsraumdarstellung
y = (1 0)(x1)
(x2)
Bsp. nicht-lineares System:
x° = -x3
Regenwassertonne Wasser ablassen
Gesamtheit aller im Signal auftretenden Schwingungen heißt Spektrum
Funktion der Amplituden der Spektralanteile in Abhängigkeit von der
Frequenz heißt Amplitudenspektrum
Funktion der Amplituden der Phasen heißt Phasenspektrum
periodische Signale für Amplituden- und Phasenspektren heißen Linienspektrum
a=0.9
y[k]=ay[k-1]+(1-a)x[k]
LTI-System:
lineares System
R
i
C
u
y
Zustandsgrößen = Speichergrößen
1 x Kondensator C => System 1. Ordnung
y=1/C ∫idt
iR = u-y
-> y° = 1/C * i
y° = 1/CR * iR
y° = 1/CR * (u-y)
CRy° + y = u
Ty° + y = u
Klausurbeispiel:
Erklärung Rückwirkungsfreiheit
eine Signalflussrichtung, keine Wechselwirkung, kein Einfluss auf Eingangssignal
Bsp. Behälter einmal offen, einmal zu, Wasser einfüllen lassen
a2 y“
y“
y”
+ a1 y’
+ a1/a2 y’
+ a0 y
+ a0/a2 y
Bsp. Ruhelage herausfinden
=bu
= b/a2 u
= - a1/a2 y’
- a0/a2 y
+ b/a2 u
Ruhelage bei Ableitungen = 0
x° = x2 - 1
Ableitung Null setzen
0 = x2 - 1
xR1 = 1
xR2 = -1
Linearisieren
Ruhelage + kleines Delta einsetzen
(1 + ∆x)°
= (1 + ∆x)2 - 1
∆x°
= 1 + 2∆x + (∆x)2 - 1
= 2∆x + (∆x)2
∆x°
≈ 2∆x
∆x(t) = e2t * ∆x0
∆x° = -2∆x
∆x°
= a∆x
a>0 -> instabil
a<0 -> stabil
Statisches Kennfeld
y
u2
u1
-> funktionaler Zusammenhang aller stabilen Ruhelagen
Aufnahme statische Kennlinie:
- Eingangsgröße (konkrete u-Werte) einstellen
- Abklingen aller Eigenvorgänge (eingeschwungener Zustand)
- zugehörige Ausgangswerte bestimmen
- letztlich Punkte zur Kennlinie verbinden
Linearität eines statischen Zusammenhangs:
alle Messwerte liegen auf einer Geraden, die durch den Ursprung geht
Hat jedes System eine statische Kennlinie?
nein, zeitvariante Systeme nicht
zeitvariant:
zeitabhängiger Parameter
nein, wenn keine Eingangsgrößen vorhanden sind
nein, wenn es kein statisches System ist
nein, bei einem Integrator nicht
Integrator und instabile Systeme haben keine statische Kennlinie, da sie nicht einschwingen sondern
aufschwingen!
ein statisches System ist ein System, das keinen Speicher hat:
Ausgangswert hängt nur unmittelbar vom Eingangswert ab
keine Ableitungen im System
SIMO
Klausurbeispiel:
bestimmen sie die Ruhelagen(Fixpunkte) für diese Differenzialgleichung:
xn+1 = (xn + a/xn) / 2
Ruhelage -> Lösung ist eine Konstante, alle Ableitungen = 0
=> Ableitungen Null setzen
Bsp.:
y°° + y° y + y2 = u
Ableitung Null setzen
0 + 0 y + y2 = u
y2 = u
y = √u für u ≥ 0
y
Linearisieren
Ruhelage + kleines Delta einsetzen
yR
= √uR
(y°°R + ∆y°°) + (y°R + ∆y°)(yR + ∆y) + (yR + ∆y)2
= uR + ∆u
∆y°° + (∆y°)(yR + ∆y) + (yR + ∆y)2
= uR + ∆u
2
∆y°° + yR ∆y° + ∆y° ∆y + yR + 2 yR ∆y + ∆y2= uR + ∆u
∆y°° + yR∆y° + 2 yR ∆y
= ∆u
zeitinvariantes System? ja
zeitinvariant? ja, lineare Differenzialgleichung mit Konstanten
stabil => statische Kennlinie
u
y°° = u – y2 - yy°
y°°
-
∫
y°
-
y2
xn+1 = (xn + a/xn) / 2
xs = (xs + a/xs) / 2
…
∫
x2
xn = xn+1 = xn+2 = xs
Linearisieren Bsp.2
y°° + y° y + y2 = u
d/dy°° ; d/dy° ; d/dy ; d/du ; d/du°
1∆y°° + yR∆y° + y°Ry + 2yR∆y = 1∆u
∆y°° +yR∆y° + 2yR∆y = ∆u
Lineares System Zustandsmodell:
x[k+1] = A x[k] + B u[k]
y[k] = C x[k] + D u[k]
nichtlineares Zustandsmodell:
y