TU München Reinhard Scholz Physik Department, T33 T. Eissfeller

TU München
Reinhard Scholz
Physik Department, T33
T. Eissfeller, P. Greck, T. Kubis, C. Schindler
http://www.wsi.tum.de/T33/Teaching/teaching.htm
Übung in Theoretischer Physik 5B (Thermodynamik)
Blatt 7
(Abgabe Do 12. Juni 2008 in Vorlesung)
1. van der Waals Gas, innere Energie [4 Punkte]
Berechnen Sie die innere Energie U(T,V,N) eines einatomigen van der Waals Gases.
Berechnen Sie außerdem die Enthalpieänderung ΔH bei isothermer Prozessführung.
𝜕𝑈
Hinweis: (𝜕𝑉 ) ist durch die Zustandsgleichung
𝑇
(𝑃 +
𝑎
) (𝑉 − 𝑏) = 𝑅𝑇
𝑉2
bestimmt. Beachten Sie, dass sich im Limes V→∞ das bekannte Ergebnis des idealen Gases
𝜕𝑈
ergeben soll. Benutzen Sie für die Ermittlung von (𝜕𝑉 ) die erste Aufgabe von Blatt 6.
𝑇
2. Freie Enthalpie in der Van der Waals Gleichung [8 Punkte]
a) Zeigen Sie zunächst, dass sich die van-der-Waalsgleichung
(𝑃 +
𝑎
) (𝑉 − 𝑏) = 𝑅𝑇
𝑉2
mit den sog. kritischen Größen
𝑃𝑐 =
𝑎
8𝑎
, 𝑉𝑐 = 3𝑏, 𝑇𝑐 =
2
27𝑏
27𝑅𝑏
in die folgende Form bringen läßt
(𝑝 +
𝑃
𝑉
𝑇
𝑐
𝑐
𝑐
3
) (3𝑣 − 1) = 8𝑡
𝑣2
wobei 𝑝 = 𝑃 , 𝑣 = 𝑉 , 𝑡 = 𝑇 .
Die Aufgabe besteht darin, die freie Enthalpie für konstante Temperatur t=0.7875 numerisch
zu berechnen. Dies geht am einfachsten mit dem Programm Mathematica, das Ihnen am
Physik Applikationsserver (http://ph.tum.de/appserver) zur Verfügung steht. Wenn Sie dieses
Programm noch nie verwendet haben, lesen Sie am besten zuerst die Kurzanleitung
(http://www.physik.tumuenchen.de/intern/computing/appserver/Applikationen/index.htm#Mathematica) , die auch
Links zu sehr guten Einführungen in Mathematica enthält.
b) Plotten Sie nun zuerst die Funktion p(v) wie hier gezeigt. Beachten Sie das Zeichen v_ in
der Funktionsdefinition.
A
C
B
c) Bestimmen Sie nun die Extrema. Dazu geben Sie in Mathematica ein
Sind alle ausgegebenen Extrema sinnvoll? Geben Sie die sinnvollen Wertepaare 𝑝𝑖 , 𝑣𝑖 an.
d) Leiten Sie die Beziehung
𝜕𝐺
( ) =𝑣
𝜕𝑝 𝑇
aus der Fundamentalrelation her. Wir können daraus durch einfache Integration G(p) bei
fester Temperatur bestimmen. Weil aber die Funktion v(p) nicht eindeutig ist, müssen wir
diese Integration getrennt für die Bereiche A, B und C durchführen.
Zunächst ist es sinnvoll, die Funktion v(p) graphisch zu veranschaulichen. Dies ist in
Mathematica möglich mit
e) Beginnen wir nun mit dem Bereich A. Der Anfangsdruck 𝑝0 und 𝐺(𝑝0 ) ist belanglos, wir
wählen 𝑝0 = 0.3. Wir müssen für gegebenen Druck p das zugehörige Volumen v im
Bereich A bestimmen, was in Mathematica durch Nullstellensuche möglich ist:
Anmerkung: Das Ergebnis von FindRoot ist keine Zahl, sondern eine Zuordnung. Um daraus
eine Zahl zu erhalten, gibt man die gewünschte Variable an (v in dem Fall) und teilt
Mathematica mit, dass man dasjenige v haben will, das sich aus der Funktion VA[p] für ein
gegebenes p ergibt.
Geben Sie an, wie sich G[p] qualitativ verhält? Nimmt es von kleinen Drücken zu größeren
zu oder ab? Was ist der Wert von G beim maximalen p?
f) Nun können Sie gleiche Prozedur für die Bereiche B und C durchführen, wobei Sie den
Bereich der Volumina v für die Nullstellensuche entsprechend eingrenzen und den
Plotbereich für den Druck anpassen müssen.
Geben Sie an, wie sich G[p] in den Bereichen B und C qualitativ verhält und fertigen Sie eine
grobe Skizze von G[p] an.